2026-2027学年苏科版数学八年级上册 期中阶段复习能力提升卷一（第1章～3章）

期中阶段复习能力提升卷一（第1章～3章） 一、选择题（共16分） 1．下面能组成三角形的三边长是（     ） A．2，4，2 B．3，4，5 C．4，5，9 D．4，5，10 2．一个直角三角形的两条直角边分别是6和8，则斜边长是（     ） A．10 B．12 C．14 D．100 3．用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则要说明，需要证明，则这两个三角形全等的依据是（     ） A． B． C． D． 4．下列关于亿的说法正确的是（     ） A．亿是精确到亿位 B．亿是精确到十亿位 C．亿用科学记数法表示为，则， D．亿用科学记数法表示为，则， 5．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为，和，和是两个相对的端点，点处有一只蚂蚁，想到点处去吃可口的食物．若这只蚂蚁从顶点出发，沿着表面爬行到顶点处，则最短的路线长为（     ） A．17cm B．13cm C．12cm D．9cm 6．已知实数a、b满足，则的值为（     ） A．1 B．3 C．－1 D．－3 7．如图，在中，，，，的垂直平分线交于点，交于点，的垂直平分线交于点，交于点，则的长为（     ） A． B． C． D． 8．如图，在中，的平分线交于点，为线段上一动点，为边上一动点．若，，，则的最小值为（     ） A．4 B． C．10 D． 二、填空题（共20分） 9．如图，，点、、、依次在同一直线上．若，，则______________． 10．在中，，，点D为的中点，则_________ 11．如图，是一个数值转换机示意图，当输入x的值为，则输出y的值为______． 12．如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，则它至少飞行________米． 13．《周髀算经》中记录了一组“勾为三，股为四，弦为五”的勾股数．观察下列勾股数：、、；、、；、、；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为，若某个此类勾股数的勾为，则其弦是________． 14．已知，，，……，类比这些等式，若，则__________． 15．如图，在中，，平分交于点，，，则的面积为___________． 16．已知，，．若，求的值为________． 17．我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“弦图”后人称其为“赵爽弦图”，如图是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积为25，每个直角三角形两直角边的和为7，则中间小正方形的边长为________． 18．如图，在四边形中，，，，点E从点D出发，以1个单位长度的速度沿向点A匀速移动，点F从点C出发，以3个单位长度的速度沿方向匀速移动，点G从点B出发沿向点D匀速移动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动．当点G的运动速度取值为______时，与在某一时刻会全等． 三、解答题（共64分） 19．解下列方程： (1)； (2)． 20．已知三角形的一条边长为，第二条边比第一条短，第三条边比第二条边的倍短． (1)用含的代数式表示这个三角形的周长； (2)当时，判断该三角形的形状，并说明理由． 21．回答下列问题： (1)已知，，求与的值； (2)已知的三边分别是，化简代数式：． 22．如图，在中，，，．以点A为圆心，的长为半径画弧交于M，再分别以C，M为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点N，作射线交于点D． (1)求的度数； (2)求的长． 23．如图，是等边内一点，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段． (1)求点与的距离； (2)求四边形的面积． 24．如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船，河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从点移动到点，同时小船从点移动到点，且绳长始终保持不变，回答下列问题： (1)根据题意，可知________（填“”“”“”）； (2)若米，米，米，求男孩需向右移动的距离（结果保留根号）． 25．我们在学习“从面积到乘法公式”时，曾用两种不同的方法计算同一个图形的面积，探索了完全平方公式：（如图1）． (1)观察图2，请你写出、、之间的等量关系是___________； (2)若，，且，求的值； (3)若，求的值； (4)如图3，在中，，，点M在边上，，在边上取一点Q，使，分别以，为边在外部作正方形和正方形，连接，若的面积等于，设，求正方形和正方形的面积和． 26．【数学理解】 (1)我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形，如图1，中，，，，P为上一点，当______时，与是偏等积三角形； 【数学应用】 (2)如图2，与是偏等积三角形，，，且线段的长度为正整数，求的长度； 【联系拓广】 (3)如图3，四边形是一片绿色花园，，，．与是偏等积三角形吗？请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中阶段复习能力提升卷一（第1章～3章） 一、选择题（共16分） 1．下面能组成三角形的三边长是（     ） A．2，4，2 B．3，4，5 C．4，5，9 D．4，5，10 【答案】B 【分析】通过比较较小两边之和与最长边的大小，可快速判断能否组成三角形． 【详解】解：A、，不能组成三角形． B、，能组成三角形． C、，不能组成三角形． D、，不能组成三角形． 2．一个直角三角形的两条直角边分别是6和8，则斜边长是（     ） A．10 B．12 C．14 D．100 【答案】A 【分析】根据勾股定理解答即可． 【详解】解：∵直角三角形两直角边长分别为6和8， ∴斜边长为． 3．用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则要说明，需要证明，则这两个三角形全等的依据是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由作一个角等于已知角的方法得到，利用””可得出和全等，进而由全等三角形的对应角相等可得出． 【详解】解：由作图可得，，， ∴， ∴． 综上所述，全等的依据为””． 4．下列关于亿的说法正确的是（     ） A．亿是精确到亿位 B．亿是精确到十亿位 C．亿用科学记数法表示为，则， D．亿用科学记数法表示为，则， 【答案】C 【分析】将原数用科学记数法表示后即可确定正确的选项． 【详解】解：亿． ∵亿的末位数字对应百万位， ∴亿精确到百万位，A，B错误． ， 即，，C正确，D错误． 5．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为，和，和是两个相对的端点，点处有一只蚂蚁，想到点处去吃可口的食物．若这只蚂蚁从顶点出发，沿着表面爬行到顶点处，则最短的路线长为（     ） A．17cm B．13cm C．12cm D．9cm 【答案】B 【详解】台阶的展开图如图所示，连接，标示点． ∵，， ∴在中，， 即蚂蚁爬行的最短路线长为． 6．已知实数a、b满足，则的值为（     ） A．1 B．3 C．－1 D．－3 【答案】A 【分析】算术平方根与绝对值均为非负数，两非负数之和为0则各自为0，据此求解a，b的值后代入计算． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴． 7．如图，在中，，，，的垂直平分线交于点，交于点，的垂直平分线交于点，交于点，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，由垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得，再根据，证得是等边三角形，通过边角关系进行计算求解即可． 【详解】解：连接， ∵的垂直平分线交于点，交于点，的垂直平分线交于点，交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴． 8．如图，在中，的平分线交于点，为线段上一动点，为边上一动点．若，，，则的最小值为（     ） A．4 B． C．10 D． 【答案】D 【分析】在边上取一点，使，连接，过点作于点．证明得出，故当点，，三点共线时，取得最小值，最小值为的长．根据勾股定理的逆定理得出为直角三角形，结合已知可得，根据等面积法求得，即可求解． 【详解】如图，在边上取一点，使，连接，过点作于点． 因为的平分线交于点， 所以， 因为，， 所以， 所以， 所以， 故当点，，三点共线时，取得最小值，最小值为的长． 在中，，，， 所以， 所以为直角三角形，且， 所以． 又因为，， 所以， 所以， 所以是的垂直平分线， 所以． 因为， 所以， 解得， 则的最小值为． 二、填空题（共20分） 9．如图，，点、、、依次在同一直线上．若，，则______________． 【答案】4 【分析】根据全等三角形的性质可得，进而求解即可． 【详解】解： ． 10．在中，，，点D为的中点，则_________ 【答案】 【分析】已知直角三角形斜边的长度，为斜边中点，可利用直角三角形斜边中线的性质直接计算的长度． 【详解】解：∵在中，，点为的中点， ∴， 将代入得：． 11．如图，是一个数值转换机示意图，当输入x的值为，则输出y的值为______． 【答案】 【分析】按照示意图中的计算顺序计算即可． 【详解】第一步：取算术平方根，， 第二步：回来再取算术平方根，得， 第三步：按要求输出． 12．如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，则它至少飞行________米． 【答案】 【分析】根据题意，作出合适的直角三角形，然后根据勾股定理即可求得的长． 【详解】解：如图所示， 由题意可得，（米），米，， （米）， 即小鸟至少飞行10米． 13．《周髀算经》中记录了一组“勾为三，股为四，弦为五”的勾股数．观察下列勾股数：、、；、、；、、；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为，若某个此类勾股数的勾为，则其弦是________． 【答案】 【分析】已知勾为，弦与股相差，根据勾股定理列方程即可求解． 【详解】解：设该勾股数的股为，则弦为， 根据勾股定理可得， 展开等式右边得， 消去后整理得， 解得， 因此弦为． 14．已知，，，……，类比这些等式，若，则__________． 【答案】9999 【分析】对比已知等式中根号内的整数与对应分数的分母数值，归纳通用规律后代入计算即可． 【详解】解：观察给出的三个等式的数值特征 ∵第一个等式中根号内的整数为2，对应分数的分母为，分子为， ∵第二个等式中根号内的整数为3，对应分数的分母为，分子为， 第三个等式中根号内的整数为4，对应分数的分母为，分子为， ∴ 可得规律：， 当题目中根号内的整数为100时，对应， ∴ ． 15．如图，在中，，平分交于点，，，则的面积为___________． 【答案】 【分析】过点作于，根据角平分线的性质求出，再根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：如图，过点作于， ∵平分，，， ∴， ∴， 即的面积为． 16．已知，，．若，求的值为________． 【答案】5或 【分析】根据绝对值、乘方的定义得到a、b、c的所有可能取值，结合有理数乘法的符号法则筛选出满足的a、b组合，代入代数式计算即可． 【详解】解： 或 或 ，且 ，即a、b异号 当时，由a、b异号得 此时 当时，由a、b异号得 此时． 17．我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“弦图”后人称其为“赵爽弦图”，如图是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积为25，每个直角三角形两直角边的和为7，则中间小正方形的边长为________． 【答案】1 【分析】设直角三角形的两直角边中较长边为，较短边为，斜边为c，根据大正方形面积为25和结合勾股定理与完全平方公式的变形求出的值即可． 【详解】解：设直角三角形的两直角边中较长边为，较短边为，斜边为c， 根据题意，得，， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴ 中间小正方形的边长为1． 18．如图，在四边形中，，，，点E从点D出发，以1个单位长度的速度沿向点A匀速移动，点F从点C出发，以3个单位长度的速度沿方向匀速移动，点G从点B出发沿向点D匀速移动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动．当点G的运动速度取值为______时，与在某一时刻会全等． 【答案】个单位长度或个单位长度或个单位长度 【分析】先证明得到，设运动时间为，点G的运动速度为v个单位长度，分以下几种情况：和，再分和分别求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 设运动时间为，点G的运动速度为v个单位长度， 由题意，分以下几种情况： 当时，点F由方向移动，则，，， ∴，， 当时，，， 则，解得； 当时，，， 则，解得，不符合题意，舍去； 当时，点F由方向移动，则，，， ∴，， 当时，，， 则，解得； 当时，，， 则，解得， 综上，当点G的运动速度取值为个单位长度或个单位长度或个单位长度时，与在某一时刻会全等． 三、解答题（共64分） 19．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解： 解得，； （2）解： 解得． 20．已知三角形的一条边长为，第二条边比第一条短，第三条边比第二条边的倍短． (1)用含的代数式表示这个三角形的周长； (2)当时，判断该三角形的形状，并说明理由． 【答案】(1)； (2) 直角三角形，理由如下： 当时，，， ∴， ∴三角形是直角三角形． 【分析】（）根据第一条边长表示出第二、三条边长，即可确定出周长； （）把的值代入计算，然后用勾股定理得逆定理即可求解； 本题考查了整式的加减求，代数式的值和勾股定理逆定理，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， ； （2）略 21．回答下列问题： (1)已知，，求与的值； (2)已知的三边分别是，化简代数式：． 【答案】(1)， (2) 【分析】（）利用完全平方公式计算即可； （）由三角形三边关系得，再根据绝对值的性质化简合并即可； 本题考查了完全平方公式的变形运算，三角形的三边关系，绝对值的性质等，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵是的三边， ∴， ． 22．如图，在中，，，．以点A为圆心，的长为半径画弧交于M，再分别以C，M为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点N，作射线交于点D． (1)求的度数； (2)求的长． 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）由作法得：平分，求出，即可求解； （2）连接，证明，可得，再根据直角三角形的性质可得，即可求解． 【详解】（1）解：由作法得：平分， 在中，∵，， ∴， ∵平分， ∴； （2）解：如图，连接， 由作法得：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 23．如图，是等边内一点，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段． (1)求点与的距离； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)4 (2) 【分析】（1）连接，根据旋转的性质推出为等边三角形，即可得出结果； （2）先证明，再证明为直角三角形，过点作，勾股定理求出的长，分割法求出四边形的面积即可. 【详解】（1）解：连接， ∵旋转， ∴，， ∴为等边三角形， ∴，即点与的距离为4； （2）解：∵等边， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴为直角三角形，且， ∴的面积为， 过点作，则， ∴， ∴的面积为， ∵四边形的面积为的面积与的面积之和， ∴四边形的面积为. 24．如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船，河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从点移动到点，同时小船从点移动到点，且绳长始终保持不变，回答下列问题： (1)根据题意，可知________（填“”“”“”）； (2)若米，米，米，求男孩需向右移动的距离（结果保留根号）． 【答案】(1) (2)男孩需向右移动的距离为米 【分析】（1）由绳长始终保持不变即可求解； （2）由勾股定理求出、的长，然后根据即可求解． 【详解】（1）解：的长度是男孩未拽之前的绳子长，的长度是男孩拽之后的绳子长，绳长始终保持不变， ， （2）解：连接，则点、、三点共线， 在中，（米， （米， 在中，（米， ， （米， 男孩需向右移动的距离为米． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求出、的长是解题的关键． 25．我们在学习“从面积到乘法公式”时，曾用两种不同的方法计算同一个图形的面积，探索了完全平方公式：（如图1）． (1)观察图2，请你写出、、之间的等量关系是___________； (2)若，，且，求的值； (3)若，求的值； (4)如图3，在中，，，点M在边上，，在边上取一点Q，使，分别以，为边在外部作正方形和正方形，连接，若的面积等于，设，求正方形和正方形的面积和． 【答案】(1) (2)3 (3) (4)79 【分析】（1）利用等面积法求得结论即可； （2）由完全平方公式变形为，代入数值求出结果即可； （3）根据完全平方公式可得，然后利用整体思想求出结果即可； （4）根据题意得，设，则，进而可得，结合三角形面积公式可得；令，易得，然后利用整体思想求出结果即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）由（1）可得，， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）∵， ∴， ∵， ∴ ， ∴； （4）设，则， ∵，， ∴， ∵， ∴，即， 令， ∴， ∴正方形和正方形的面积和 ． 26．【数学理解】 (1)我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形，如图1，中，，，，P为上一点，当______时，与是偏等积三角形； 【数学应用】 (2)如图2，与是偏等积三角形，，，且线段的长度为正整数，求的长度； 【联系拓广】 (3)如图3，四边形是一片绿色花园，，，．与是偏等积三角形吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)与是偏等积三角形． 理由：如图3， ， ， ， ， ， ，， 与不全等，              作于点F，交的延长线于点G，则， ， ，            在和中，， ， ， ， 与面积相等， 与是偏等积三角形． 【分析】（1）连接，由与在、边上的高相等，可知当点P为中点时，与的面积相等，且与不全等，即可求解； （2）过C作交的延长线于E，根据与是偏等积三角形，且与在、边上的高相等，则有，再证明，得，再根据三角形的三边关系可知，进而可求解； （3）先证明，再由，，说明与不全等，作于点F，交的延长线于点G，可证明得，即可证明与面积相等，即可解答． 【详解】（1）解：如图1，连接， 与在、边上的高相等， 当时，与的面积相等， ， ， ， 与不全等， 与是偏等积三角形； 故答案为：3； （2）解：如图2，过C作交的延长线于E， ， 与是偏等积三角形，且与在、边上的高相等， ， 在和中， ， ， ，，， ， ， 线段的长度为正整数，              或5； （3）略 学科网（北京）股份有限公司 $