2026-2027学年北师大版数学七年级上册 期中阶段复习能力提升卷二（第1章～3章）

期中阶段复习能力提升卷二（第1章～3章） 一、选择题（共16分） 1．化简的结果是（     ） A． B．2026 C． D． 2．将下列平面图形绕轴旋转一周，可以得到下图中所示的立体图形是（     ） A． B． C． D． 3．如图是一正方体的表面展开图．将其折叠成正方体后，与顶点K距离最远的顶点是（　　）    A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 4．对于任意式子A，B，定义：．当时，的值是（    ） A．2 B．8 C．10 D．16 5．有一个数值转换器，其工作原理如图．若输入的值为，则输出的结果是（     ） A． B． C． D． 6．四个有理数在数轴上的位置如图，其中，则下列结论正确的是（     ）． A． B． C． D． 7．若一个多项式与的和是，则这个多项式与的差是（     ） A． B． C． D． 8．已知，当分别取，，，…，时，所对应的值的总和是（     ） A． B． C． D． 二、填空题（共20分） 9．如图是一个正方体的展开图，则该正方体上与“国”字相对的字是________． 10．多项式按字母x的升幂排列是______． 11．如图，小明用几个棱长为的正方体积木塔了一个几何体，则这个几何体的体积是______．    12．若有理数，互为倒数，，互为相反数，则＝_____． 13．进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，我们最常用的是十进制，约定逢十进一就是十进制，基数是；二进制就是逢二进一，基数是；八进制就是逢八进一，基数是；不同的进位制数之间可以进行相互转换，一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式．如二进制数转换为十进制数是， 即，其中规定； 三进制数转换为十进制数是，即； 八进制数转换为十进制数是，即； 则七进制数转换为十进制数是____________________．（只填计算结果） 14．已知，则的值为________． 15．如图是从三个方向看一个几何体所得到的形状图，若将它的侧面展开，展开后得到的图形的面积为___________．（结果保留π）． 16．去年7月份小明到银行开户，存入元，以后每月根据收支情况存入一笔钱，下表为小明从8月份到月份的存款情况：则截止到去年月份，存折上共有________元钱． 月份 8 9 当月存款额与上月比较 17．边长为个单位长度的正方形从如图所示的位置开始在数轴上顺时针滚动，当正方形某个顶点落在数字时停止，此时与重合的点是点________（填“”“”“”或“”）、 18．有理数，，满足，且，________． 三、解答题（共64分） 19．计算： (1)； (2)； (3) 20．已知、为整式，，． (1)若，，求的值； (2)若，，求的值． 21．两张长方形纸片如图1、图2所示，小容将图1长方形纸片卷起来从而得到一个圆柱体；小易将图2长方形纸片绕其一条边所在直线旋转一周，从而得到一个圆柱体．请你通过计算判断哪位同学得到的圆柱体体积大（取3）．    22．如图1是两个几何体的表面展开图，图2是一个正方体的表面展开图． (1)写出图1中对应几何体的名称：①__________，②__________； (2)将图2的展开图折叠成正方体，折叠后相对的两个面上的数字之和均相等，求的值． 23．某工厂为满足市场需求计划每天生产600件防护服，如表是某一周的生产情况（超产部分记为正，减产部分记为负，单位：件）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 +15 ﹣12 +10 ﹣15 ﹣8 +15 +20 (1)产量最多的一天比产量最少的一天多生产　 　件； (2)该工厂实行计件工资制，每生产一件支付工资20元，本周该工厂应支付工人的工资总额是多少元？ 24．某楼盘准备推出一套小户型商品房，该户型商品房的单价是每平方米万元 ，售房部为购房者提供了以下两种优惠方案： 方案一：整套房的单价为每平方米万元，免费赠送厨房的面积； 方案二：整套房按原销售总金额的折出售． (1)用含的式子表示该户型商品房的面积及方案一、方案二中购买一套该户型商品房的总金额； (2)当时，通过计算说明哪种方案更优惠？优惠多少万元？ 25．从江津圣泉寺站到重庆西站，可先从圣泉寺站乘轻轨至跳磴站，再由跳磴站乘地铁至重庆西站．其中江津段（圣泉寺站至跳磴站）全程约28，运行速度约为；主城段（跳磴站至重庆西站）全程约，运行速度约为．根据这些数据回答下列问题： (1)列车在江津段行驶时，行驶的路程是多少？列车在江津段行驶的路程与时间成什么比例关系？ (2)未来随着技术的进步和优化，预计列车在主城段的行驶速度将提升到，用含v的代数式表示提速后列车在主城段行驶的时间，并说明列车在主城段行驶的时间与速度成什么比例关系？ (3)不考虑技术优化，列车按原速度在江津段上先行驶a后，又进入主城段行驶了bkm． ①请用含a、b的代数式表示列车行驶的时间； ②当，时，请求出列车行驶的时间． 26．【概念学习】 规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫作除方，如，等，类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的3次商”，记作，读作“的4次商”．一般地，我们把n个相除记作，读作“a的n次商”． (1)【初步探究】直接写出结果：_______，_______． (2)【深入思考】除法运算能够转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例如： ①试一试：将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式： ________，________； ②想一想：将一个非零有理数a的n次商写成幂的形式：________． (3)【灵活应用】算一算： 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中阶段复习能力提升卷二（第1章～3章） 一、选择题（共16分） 1．化简的结果是（     ） A． B．2026 C． D． 【答案】A 【分析】根据去括号法则逐步化简． 【详解】解：． 2．将下列平面图形绕轴旋转一周，可以得到下图中所示的立体图形是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图， 可知得到所示的立体图形是． 3．如图是一正方体的表面展开图．将其折叠成正方体后，与顶点K距离最远的顶点是（　　）    A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【答案】D 【分析】根据题意画出立体图形，即可求解． 【详解】解：折叠之后如图所示，    则K与点D的距离最远， 故选D． 【点睛】本题考查了正方体的展开与折叠，学生需要有一定的空间想象能力． 4．对于任意式子A，B，定义：．当时，的值是（    ） A．2 B．8 C．10 D．16 【答案】C 【详解】解：当时， ． 5．有一个数值转换器，其工作原理如图．若输入的值为，则输出的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数值转换器的工作原理计算即可． 【详解】解：当， ， ， ，需重新输入计算， 当， ， ， 故输出的结果为． 6．四个有理数在数轴上的位置如图，其中，则下列结论正确的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数轴上各数的位置判断其大小和绝对值大小，再按照选项进行计算即可． 【详解】解：由图可知，， 又， 则， ， ， 选项A、，原选项错误； 选项B、，原选项错误； 选项C、，，原选项正确； 选项D、，原选项错误． 7．若一个多项式与的和是，则这个多项式与的差是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先用和减去多项式求出这个多项式，再用所求结果减去即可． 【详解】解：该多项式为 ； 所求差为 ． 8．已知，当分别取，，，…，时，所对应的值的总和是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分情况化简绝对值，利用时为定值的规律求和． 【详解】解：当时，， 当时，，为定值． 取到时，共有个， 对应的和为， 所有值的总和为． 二、填空题（共20分） 9．如图是一个正方体的展开图，则该正方体上与“国”字相对的字是________． 【答案】运 【分析】根据正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点即可判断． 【详解】解：根据正方体的表面展开图可知：“中”与“神”是相对面，“奥”与“精”是相对面，“国”与“运”是相对面， 因此该正方体上与“国”字相对的字是“运”． 10．多项式按字母x的升幂排列是______． 【答案】 【详解】解：多项式按字母x的升幂排列是． 11．如图，小明用几个棱长为的正方体积木塔了一个几何体，则这个几何体的体积是______．    【答案】9 【分析】本题主要考查了求简单几何体的体积，准确得出小正方体个数是解题的关键．求出一个小正方体的体积为立方厘米，再得出共用9个小正方体，因此求出总体积． 【详解】解：由图可知第一层有6个小正方体，第二层有个小正方体， ∴搭建这个几何体共用9个棱长为的小正方体， ∴该几何体的体积为：． 故答案为：9． 12．若有理数，互为倒数，，互为相反数，则＝_____． 【答案】 【分析】根据倒数、相反数的性质，得到，，代入所求式子计算即可得到结果． 【详解】解：∵，互为倒数，，互为相反数， ∴，， ∴． 13．进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，我们最常用的是十进制，约定逢十进一就是十进制，基数是；二进制就是逢二进一，基数是；八进制就是逢八进一，基数是；不同的进位制数之间可以进行相互转换，一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式．如二进制数转换为十进制数是， 即，其中规定； 三进制数转换为十进制数是，即； 八进制数转换为十进制数是，即； 则七进制数转换为十进制数是____________________．（只填计算结果） 【答案】 【分析】按照题意进行转换即可． 【详解】解：由题意可得， ∴七进制数转换为十进制数是． 14．已知，则的值为________． 【答案】 【分析】对比已知等式与所求代数式的结构，可通过整体代入法简化计算，无需单独求解的具体值． 【详解】解：∵， ∴． ∴ ． 15．如图是从三个方向看一个几何体所得到的形状图，若将它的侧面展开，展开后得到的图形的面积为___________．（结果保留π）． 【答案】 【分析】由题意可得此几何体为圆柱，其侧面展开图为矩形，一边为圆柱的高，另一边为底面圆的周长，代入矩形的面积公式解答即可． 【详解】解：由题意得，此几何体为圆柱，侧面展开图为矩形， 其中一边长为，另一边长为， 矩形的面积为． 16．去年7月份小明到银行开户，存入元，以后每月根据收支情况存入一笔钱，下表为小明从8月份到月份的存款情况：则截止到去年月份，存折上共有________元钱． 月份 8 9 当月存款额与上月比较 【答案】 【分析】根据7月初始存入元，表格中数值为当月存款额与上月存款额的差值，分别计算8至月每月的存款额，再将7至月的所有存款额累加得到总金额. 【详解】解：∵7月份存入元， ∴8月份存款额为：元， ∵9月份存款额与上月比较为， ∴9月份存款额为：元， ∵月份存款额与上月比较为， ∴月份存款额为：元， ∵月份存款额与上月比较为， ∴月份存款额为：元， ∵月份存款额与上月比较为， ∴月份存款额为：元， ∴截止到去年月份，存折上的总金额为：元， ∴截止到去年月份，存折上共有元. 17．边长为个单位长度的正方形从如图所示的位置开始在数轴上顺时针滚动，当正方形某个顶点落在数字时停止，此时与重合的点是点________（填“”“”“”或“”）、 【答案】 【分析】通过模拟正方形在数轴上的前几次滚动，确定顶点落在数轴上的顺序规律，发现每次滚动为一个循环组，利用余数性质求解． 【详解】由图可知，正方形边长为，初始位置点在处，点在处 第次滚动，点落在数轴上的处； 第次滚动，点落在数轴上的处； 第次滚动，点落在数轴上的处； 第次滚动，点落在数轴上的处； 由此可知，正方形顶点落在数轴上的顺序每次为一个循环组，依次为，，，， 当数字落在时，正方形滚过了个单位长度， ， 当正方形滚动到数字时，经历了个循环组， 此时与重合的点是点． 18．有理数，，满足，且，________． 【答案】 3 【分析】先根据绝对值的非负性与代数意义，结合的条件推导得出且，再代入待求式，根据的取值范围去掉绝对值符号化简即可. 【详解】解：根据绝对值的非负性，由可得， 分两种情况讨论： 当时，，代入等式得，化简得，即，与题设矛盾，该情况舍去； 当时，，代入等式得，化简得，即； 将代入，得，结合，可得； 将代入， ∵， ∴，， ∴，， ∴原式. 三、解答题（共64分） 19．计算： (1)； (2)； (3) 【答案】(1)13 (2) (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： 20．已知、为整式，，． (1)若，，求的值； (2)若，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用整式的加减运算法则求出的结果，再代入求值即可； （2）根据题意得到，，则可得到，，把两式相加即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ， 当，时，原式； （2）解：∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 21．两张长方形纸片如图1、图2所示，小容将图1长方形纸片卷起来从而得到一个圆柱体；小易将图2长方形纸片绕其一条边所在直线旋转一周，从而得到一个圆柱体．请你通过计算判断哪位同学得到的圆柱体体积大（取3）．    【答案】小易同学将图2长方形纸片绕的边旋转时得到的圆柱体体积大 【分析】分别计算两位同学所得到的圆柱的体积，再比较大小即可． 【详解】解：小容有两种不同的卷法： 当小容同学以为圆柱底面圆周长，为圆柱高时， 圆柱体的体积： 当小容同学以为圆柱底面圆周长，为圆柱高时， 圆柱体的体积： 小易有两种不同的旋转方法： 当小易同学绕的边旋转时，即以为圆柱底面圆半径，为圆柱高时， 圆柱体的体积： 当小易同学绕的边旋转时，即以为圆柱底面圆半径，为圆柱高时， 圆柱体的体积： ， ∴小易同学将图2长方形纸片绕的边旋转时得到的圆柱体体积大． 【点睛】本题考查的是圆柱的认识与形成，圆柱的体积的计算，清晰的分类讨论是解本题的关键． 22．如图1是两个几何体的表面展开图，图2是一个正方体的表面展开图． (1)写出图1中对应几何体的名称：①__________，②__________； (2)将图2的展开图折叠成正方体，折叠后相对的两个面上的数字之和均相等，求的值． 【答案】(1)长方体（或四棱柱）； 三棱锥 (2)11 【分析】本题主要考查了几何体的展开图、正方体相对面的识别，熟练掌握常见几何体的展开图特征、正方体展开图中相对面的位置关系是解题的关键． （1）根据几何体表面展开图的特征，即可判断图①、图②对应的几何体； （2）先确定正方体展开图中相对的面，再根据相对面数字之和相等，求出、的值，进而计算． 【详解】（1）解：图1中对应几何体为：①长方体（或四棱柱），②三棱锥. （2）解：由题图可知与1，2与4，y与相对． ∵相对的两个面上的数字之和均相等，， ． ． ． 23．某工厂为满足市场需求计划每天生产600件防护服，如表是某一周的生产情况（超产部分记为正，减产部分记为负，单位：件）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 +15 ﹣12 +10 ﹣15 ﹣8 +15 +20 (1)产量最多的一天比产量最少的一天多生产　 　件； (2)该工厂实行计件工资制，每生产一件支付工资20元，本周该工厂应支付工人的工资总额是多少元？ 【答案】(1)35 (2)84500元 【分析】（1）根据正负数的意义确定星期日的产量最多，星期四的产量最少，然后用星期日的产量减去星期四的产量即可； （2）求出一周产量的和，然后根据工资总额的计算方法，列式计算即可． 【详解】（1）（件）， ∴产量最多的一天比产量最少的一天多生产35件， 故答案为：35． （2） （件）， （元）， ∴本周该工厂应支付工人的工资总额是84500元． 【点睛】本题考查了正数和负数，理解“用正数和负数表示具有相反意义的量”是解决本题的关键． 24．某楼盘准备推出一套小户型商品房，该户型商品房的单价是每平方米万元 ，售房部为购房者提供了以下两种优惠方案： 方案一：整套房的单价为每平方米万元，免费赠送厨房的面积； 方案二：整套房按原销售总金额的折出售． (1)用含的式子表示该户型商品房的面积及方案一、方案二中购买一套该户型商品房的总金额； (2)当时，通过计算说明哪种方案更优惠？优惠多少万元？ 【答案】(1)总面积：，方案一总金额：万元，方案二总金额：万元 (2)方案一更优惠，优惠万元 【分析】（1）先分别计算各区域面积，再计算总面积；按两种付款方案分别计算购买一套该户型商品房的总金额即可； （2）将代入方案一和方案二的代数式中，分别计算出两种方案的具体金额，再进行比较即可． 【详解】（1）解：各区域面积： 卫生间面积：（）， 厨房面积：（）， 客厅面积：（）， 卧室面积：（）， 总面积：（）， 方案一 付费面积：， 总金额：万元． 方案二 总金额：万元． （2）解：当时， 方案一：万元， 方案二：万元， 优惠：万元． 综上可得：方案一更优惠，优惠万元． 25．从江津圣泉寺站到重庆西站，可先从圣泉寺站乘轻轨至跳磴站，再由跳磴站乘地铁至重庆西站．其中江津段（圣泉寺站至跳磴站）全程约28，运行速度约为；主城段（跳磴站至重庆西站）全程约，运行速度约为．根据这些数据回答下列问题： (1)列车在江津段行驶时，行驶的路程是多少？列车在江津段行驶的路程与时间成什么比例关系？ (2)未来随着技术的进步和优化，预计列车在主城段的行驶速度将提升到，用含v的代数式表示提速后列车在主城段行驶的时间，并说明列车在主城段行驶的时间与速度成什么比例关系？ (3)不考虑技术优化，列车按原速度在江津段上先行驶a后，又进入主城段行驶了bkm． ①请用含a、b的代数式表示列车行驶的时间； ②当，时，请求出列车行驶的时间． 【答案】(1)行驶的路程为60t千米，列车在江津段行驶的路程与时间成正比例关系 (2)行驶时间为小时，列车在主城段行驶的时间与速度成反比例关系 (3)①（）小时；②列车行驶的时间为0.42小时． 【分析】本题综合考查匀速运动中的时间、路程与速度的关系，涉及正比例、反比例关系的理解与代数表达式的构建．特别注意在分段行程问题中，总时间等于各段时间之和，每段时间由该段路程与对应速度决定．同时，在代数运算中需准确使用分数运算规则，避免单位混淆． （1）直接根据匀速运动中路程与时间的关系进行代数式表达即可，并结合正比例关系的定义进行思考； （2）直接用含v的代数式表示提速后列车在主城段行驶的时间即可，并结合反比例关系的定义进行思考； （3）①利用速度公式建立时间表达式即可； ②代入数值，求解． 【详解】（1）解：因为江津段速度为， 所以行驶的路程为60t千米． 列车在江津段行驶的路程与时间成正比例关系． （2）因为主城段路程为15，速度提升到， 所以行驶时间为小时． 列车在主城段行驶的时间与速度成反比例关系． （3）①江津段先行驶a，速度，用时小时； 主城段又行驶b，速度，用时小时； 总行驶时间：（小时） ②当，时：（小时） 答：列车行驶的时间为0.42小时． 26．【概念学习】 规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫作除方，如，等，类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的3次商”，记作，读作“的4次商”．一般地，我们把n个相除记作，读作“a的n次商”． (1)【初步探究】直接写出结果：_______，_______． (2)【深入思考】除法运算能够转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例如： ①试一试：将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式： ________，________； ②想一想：将一个非零有理数a的n次商写成幂的形式：________． (3)【灵活应用】算一算： 【答案】(1)；； (2)；；； (3) 【分析】（1）按照定义直接计算即可； （2）按照定义直接写出算式，再写成乘方的形式； （3）利用第二问的结论直接计算． 【详解】（1）解：； ； （2）； ； 根据以上规律可知：将一个非零有理数a的n次商写成幂的形式为． （3） 学科网（北京）股份有限公司 $