精品解析：广东深圳外国语学校高中园2027届高三上学期第一次月考数学试题

深外高中园2027届高三第一次月考 数学 本试卷共4页，19题，满分150分，考试用时120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”. 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据自然数集的定义写出集合中的全部元素，再解绝对值不等式求出集合的取值范围，最后找出两个集合中的公共元素，即可求出交集. 【详解】， ， ， ， ， 即， . 2. 已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【详解】由的周期性，得，， 所以，所以， 所以在复平面内对应的点为， 所以在复平面内对应的点位于第三象限. 3. 已知一组数据为2，3，5，6，若为这组数据的平均数，则的展开式中的系数为（ ） A. B. 8 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出这组数据的平均数，再利用二项式展开式求项的系数． 【详解】由题意，． 所以 因此的系数为，A正确． 4. 已知，则使成立的一个充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】对于A：已知，由基本不等式得， 故，无法推出，排除A； 对于B：已知，由基本不等式得， 可推出，符合要求； 对于C：已知，由基本不等式得， 即，由指数函数单调性得，解得， 无法推出，排除C； 对于D：已知，两边同除以得， 则， 取，满足，但，无法推出，排除D. 5. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的定义域和奇偶性排除选项A，C ，然后利用函数在无穷远处的变化趋势确定最终选项. 【详解】函数的定义域为. ，都有， 且， 所以为偶函数，的图象关于轴对称. 所以A，C错误． ， 当时，， 所以，单调递增. 所以排除D，B符合. 6. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过角的代换将所求角转化为与已知角相关的形式，结合诱导公式、二倍角公式计算求解. 【详解】令，则，则， 所以. 由二倍角余弦公式，代入，得 ，即. 7. 如图，为了测量河对岸的塔高AB，某测量队选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测量得米，在点C，D处测得塔顶A的仰角分别为，则塔高（ ） A. 10米 B. 米 C. 20米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】利用两处仰角表示塔底到测量点的水平距离，再在水平三角形中运用余弦定理求出塔高． 【详解】 设塔高（米）（）． 因为垂直于水平面，所以、均为直角三角形． 由仰角分别为、，得，． 在水平三角形中，由余弦定理得 整理得，即． 因为，所以，塔高米． 8. 已知正实数，满足，则下列关系不可能的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】，即可得到，，，画出，，的图象，结合图象即可判断． 【详解】因为为正实数，令， 所以，，， 因为在上单调递增且，， 在上单调递增且，，， 在上单调递减且， 在同一平面直角坐标系下画出，，的图象， 根据图象可知，、在第一象限必有一交点，设此交点的横坐标为， 则可知，当时，，即存在的情况， 当时，，即存在的情况， 当时，，即存在的情况， 而对于，恒成立，不存在的情况，即不可能． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数是奇函数 D. 将函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍，得到函数的图象 【答案】BC 【解析】 【分析】由函数图象求出，得到函数解析式，再根据三角函数的性质及图象变换规则逐一判断各选项. 【详解】由图可知，，，所以，则，故A错误； 由，得， 又，所以，故. 选项B：当时，，此时函数取得最小值，图象关于直线对称，故B正确； 选项C：，该函数为奇函数，故C正确； 选项D：将函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍，即变为，得到函数的图象，故D错误.  10. 已知定义在上的函数满足：为奇函数，是偶函数，且．则下列选项中说法不正确的有（ ） A. 为奇函数 B. 周期为2 C. D. 是偶函数 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据条件可推出图象关于中心对称，推不出关于中心对称，结合对称轴与对称中心可推出周期为8，可判断AB；利用周期、对称轴和已知的可算出，可判断C；若为偶函数，则的周期为2，矛盾即可判断D. 【详解】∵定义在上的函数满足为奇函数， 即①，即， ∴图象关于中心对称，又是偶函数， 即，令，即， ∴关于对称，即的对称轴为， 再令，则②， 由①②可得，令，则， 再用代换可得，即的周期， 综上条件可得；图象关于中心对称， 的对称轴为，的周期， 选项A，假设是奇函数，则，又由条件， 令，则， 即，∴的周期为2，与条件矛盾，A错误； ∵图象关于中心对称，对称轴为，A错误； 选项B，由上面推导可知的周期，B错误； 选项C，∵， 又的对称轴为，即，又， 取，则，即，C正确； 选项D，若为偶函数，则， 由的对称轴为，知，即， 即的周期为2，与所求结论不符合，D错误. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，函数仅有一个零点 B. 都存在极值点 C. 若恒成立，则 D. 当时，若在上单调递增，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】代入，得到，解方程可得到仅有一个零点，即可判断A；求导后研究导函数的单调性和极小值，由极小值恒为负、右端点趋向于正无穷，结合零点存在定理，即可判断B；两个因式零点必须重合才能保证乘积恒非负，得到，再用点到直线距离求的最小值，即可判断C；由单调递增转化为导函数在区间上恒大于等于0，分离参数构造函数求出值域，即可判断D. 【详解】选项A，当时，， 令，即，得或，解得， 所有函数仅有一个零点，A正确； 选项B，∵， 令， ， 当时，，即在上单调递减， 当时，，即在上单调递增， 当时，有极小值， 当时，， ∴当时，必存在一个，使得， 由零点存在定理可知，都存在极值点，B正确； 选项C，令，解得或， 又和均为上的增函数， 若恒成立，则，即， ∵， 这个式子的几何意义是直线上的点到原点的距离的平方， 原点到此直线的距离为，∴，C正确； 选项D，当时，，， ∵在上单调递增，即在上恒成立， 即， 令，恒成立，单调递增， 即，∴，D错误. 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 一个钟表的分针长6cm，经过45min后，分针外端点转过的弧长是______cm． 【答案】 【解析】 【详解】经过45min后，分针转过的角为，弧长为，则， 所以． 13. 已知偶函数，则a＝________． 【答案】2 【解析】 【分析】利用偶函数的定义直接求解即可. 【详解】为偶函数， ，当时，恒成立，当时，可得ex－e(a－1)x＝0，即ex＝e(a－1)x， 则x＝(a－1)x，即1＝a－1，解得a＝2. 故答案为：2 14. 若函数有两个极值点，则实数的取值范围_________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意分析的根的情况，再分离参数，从而求得实数的取值范围. 【详解】函数的定义域为， . 因为函数有两个极值点， 所以有两个正根， 即有两个正根， 即有两个正根. 所以与的图象有两个交点. 令， 则在上单调递减，在上单调递增. 所以在处取得最小值，最小值为. 又， 所以， 即实数的取值范围是. 四、填空题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的单调区间． 【答案】（1） （2） 单调递增区间为，单调递减区间为. 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求切点处的切线斜率，结合切点坐标写出切线方程； （2）求导后根据导函数的正负性，结合定义域确定函数的单调区间. 【小问1详解】 当时，，定义域为， 求导得， 代入得，且. 由点斜式可得切线方程为，即. 【小问2详解】 函数的定义域为， ， 令，得或（舍去）. 由于，因此. 令，则，解得； 令，则，解得. 故函数的单调递增区间为，单调递减区间为. 16. 设函数现有三个条件： 条件①：； 条件②：的最大值为； 条件③：的图象的相邻两条对称轴之间的距离为． 从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得存在且唯一． （1）求函数的解析式和对称中心； （2）将的图象向左平移个单位长度得到的图象，解不等式． 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多组条件分别解答，按第一组解答计分． 【答案】（1） 函数解析式为，对称中心为 （2） 不等式的解集为 【解析】 【分析】(1)选①③，由得；选②③，由最大值求出，两种选择都可通过三角恒等变换化为正弦型函数，结合对称轴条件求出；①②不能确定，不符合要求； (2)由平移得到，根据范围确定角的范围，解三角不等式得到解集. 【小问1详解】 先化简函数， 选择条件②③作答， 由条件③：相邻两条对称轴距离为，所以， 又，故，解得， 此时， 由条件②：的最大值为， 最大值为，解得，满足， 将，代入化简式， ， 令，解得， 所以函数的对称中心为. 选择条件①③作答， 由条件①：， 由条件③：相邻两条对称轴距离为，所以，， 又，故，解得 ， 令，解得， 所以函数的对称中心为. 【小问2详解】 将的图象向左平移个单位长度， ， 由，得，即， 因为，所以， 由，，得， 即，解得， 所以不等式的解集为. 17. 某市为了解本市初中生周末运动时间，随机调查了3000名学生，统计了他们的周末运动时间，制成如图所示的频率分布直方图． （1）按照分层随机抽样，从和中随机抽取了7名学生．现从已抽取的7名学生中随机推荐3名学生参加体能测试．记推荐的3名学生来自的人数为X，求X的分布列； （2）由频率分布直方图可认为：周末运动时间t服从正态分布 其中，μ为周末运动时间的平均数，σ近似为样本的标准差s，并已求得．可以用该样本的频率估计总体的概率，现从本市所有初中生中随机抽取10名学生，记周末运动时间在之外的人数为Y，求（精确到0.001）． 参考数据1：当时，，，． 参考数据2：． 【答案】（1） 的分布列为： 0 1 2 3 （2） 【解析】 【小问1详解】 由频率分布直方图知组距为10，分别计算两组频率： 的频率为，的频率为， 两组频率之比为，按分层随机抽样从这两组中共抽取7名学生，故来自的有人，来自的有人， X表示推荐的3名学生中来自的人数，其概率为. 则；； ；. 故的分布列为： 0 1 2 3 【小问2详解】 由频率分布直方图估计平均数μ，取各组中点值乘以对应频率求和： . 由题设，即，于是 ， 即区间， 由正态曲线关于直线对称，将该区间拆为与两段， ， 故， 一名学生周末运动时间在之外的概率为：， 从全市随机抽取10名学生，相当于做10次独立重复试验，故， 于是. 18. 如图，在中，． （1）求A； （2）设BC边上有两点D，E，，且，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据两角和差的正余弦公式及诱导公式化简求解即可； （2）结合（1）得到，设，根据正弦定理及三角形性质得到，结合两角和的正弦公式求解即可． 【小问1详解】 由，得 ， 整理得，，即， 所以或， 若，则； 若，即，因为，所以不是钝角，该情形不成立； 故； 【小问2详解】 设，则， 在中，由正弦定理，得， 即，又，所以， 由（1）知，为直角三角形，由， 所以， 所以， 整理得，所以，即． 19. 已知函数，． （1）若在定义域上单调递增，求m的取值范围； （2）若有两个极值点a，b，证明：； （3）若，关于x的方程在上有两个不同的实数根，，证明：． 【答案】（1） （2）证明：由题意得，． 因为有2个极值点a，b，则有两个正根a，b． 则，解得． 所以 ． 设，，则． 因为，所以，则， 所以在区间上单调递增． 即， 所以． （3）设， 当时，．又恒成立，则在上单调递减； 当时，．又恒成立，则在上单调递增． 因为方程在上有2个不同的根，， 又时，，如图所示： 所以，． 又在处的切线方程为，设，． 当时，恒成立，所以在区间上单调递增，则． 即当时，． 与，的两个交点的横坐标分别为与， 则有，同时． 过点和的直线方程为， 该直线与的交点的横坐标为，同理可证：， 所以． 综上所述，成立． 【解析】 【分析】（1）求定义域，求导，根据函数单调性得到恒成立，参变分离，结合基本不等式可得答案； （2）根据极值点情况可得不等式，得到，，故，设，，求导，得到的单调性，得到，证明出结论； （3）设，求导，得到的单调性，画出的图象，数形结合得到，．又在处的切线方程为，设，求导，得到的单调性，得到，并得到过点和的直线方程为，该直线与的交点的横坐标为，同理可证，所以，可得成立． 【小问1详解】 的定义域为，． 因为在上单调递增，所以恒成立． 则，即在上恒成立，所以． 因为，当且仅当时，等号成立． 所以． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】极值点个数的判断问题，一般转化为方程根的个数，求导后若可以化为二次函数，可以利用根的判别式及韦达定理求解，若不是二次函数，则研究函数的单调性，借助函数图象研究，在完成此类题目时，往往会将多元问题转化为一元问题进行解决. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 深外高中园2027届高三第一次月考 数学 本试卷共4页，19题，满分150分，考试用时120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”. 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知一组数据为2，3，5，6，若为这组数据的平均数，则的展开式中的系数为（ ） A. B. 8 C. 1 D. 4. 已知，则使成立的一个充分条件是（ ） A. B. C. D. 5. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，为了测量河对岸的塔高AB，某测量队选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测量得米，在点C，D处测得塔顶A的仰角分别为，则塔高（ ） A. 10米 B. 米 C. 20米 D. 米 8. 已知正实数，满足，则下列关系不可能的是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数是奇函数 D. 将函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍，得到函数的图象 10. 已知定义在上的函数满足：为奇函数，是偶函数，且．则下列选项中说法不正确的有（ ） A. 为奇函数 B. 周期为2 C. D. 是偶函数 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，函数仅有一个零点 B. 都存在极值点 C. 若恒成立，则 D. 当时，若在上单调递增，则 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 一个钟表的分针长6cm，经过45min后，分针外端点转过的弧长是______cm． 13. 已知偶函数，则a＝________． 14. 若函数有两个极值点，则实数的取值范围_________． 四、填空题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的单调区间． 16. 设函数现有三个条件： 条件①：； 条件②：的最大值为； 条件③：的图象的相邻两条对称轴之间的距离为． 从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得存在且唯一． （1）求函数的解析式和对称中心； （2）将的图象向左平移个单位长度得到的图象，解不等式． 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多组条件分别解答，按第一组解答计分． 17. 某市为了解本市初中生周末运动时间，随机调查了3000名学生，统计了他们的周末运动时间，制成如图所示的频率分布直方图． （1）按照分层随机抽样，从和中随机抽取了7名学生．现从已抽取的7名学生中随机推荐3名学生参加体能测试．记推荐的3名学生来自的人数为X，求X的分布列； （2）由频率分布直方图可认为：周末运动时间t服从正态分布 其中，μ为周末运动时间的平均数，σ近似为样本的标准差s，并已求得．可以用该样本的频率估计总体的概率，现从本市所有初中生中随机抽取10名学生，记周末运动时间在之外的人数为Y，求（精确到0.001）． 参考数据1：当时，，，． 参考数据2：． 18. 如图，在中，． （1）求A； （2）设BC边上有两点D，E，，且，求． 19. 已知函数，． （1）若在定义域上单调递增，求m的取值范围； （2）若有两个极值点a，b，证明：； （3）若，关于x的方程在上有两个不同的实数根，，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $