精品解析：广东汕头市潮阳林百欣中学2026-2027学年高三上学期第一阶段考试数学试题

潮阳林百欣中学2026—2027学年度第一学期 第一阶段考试高三数学试题 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先求解集合，再求交集. 【详解】由题可知，又因为，故． 故选：B 2. 已知向量，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】因为向量，， 若，则，解得， 又因为集合是集合的真子集， 所以“”是“”的必要不充分条件. 3. 为了得到函数的图象，可将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数的图象变换规律，可得的解析式． 【详解】解为了得到函数的图象，可将函数的图象向左平移个单位得到， 即． 故选：C． 4. 在平行四边形中，为的中点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】在平行四边形中，为中点， 则， 因为，所以， 若，则，所以. 5. 已知角α的顶点在坐标原点O，始边与x轴的非负半轴重合，若角α的终边绕着原点按顺时针方向旋转后经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】设角的终边顺时针旋转后得到的角为，则，即， 由点在的终边上，可得， 根据三角函数的定义： ，， 所以 . 6. 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，在研究函数的图象时，常和性质来分析，已知，则其倒数的大致形状是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据函数的奇偶性排除B、C选项，再根据当时，函数值的正负排除D选项，进而得到答案即可. 【详解】已知函数的定义域为， 由于，可知为奇函数， 即得函数也为奇函数，因此图像应关于原点对称，故排除B、C选项； 又因当时，，得：，故排除D选项. 综上可得：A为正确选项. 故选：A 7. 已知函数，若任意的都有恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】画出函数的图象，求出函数在处的切线恰过点时切线的斜率，再数形结合即可得解. 【详解】画出函数的图象如下所示： 因为任意的都有恒成立，即的图象恒在的上方（或重合）， 又表示过定点的直线， 设函数在处的切线恰过点， 由，则，所以切线方程为， 又，解得，此时切线为，切线的斜率为， 所以当时， 当时， 由图可知，即实数的取值范围为. 故选：A 8. 已知定义域为的函数满足：对任意的，有，且当时，，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得函数是周期为4的周期函数，所以，令，结合题意可求得. 【详解】由，得， 即，所以函数是周期为4的周期函数. 所以. 又，令，得， 所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9. “立定跳远”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项，已知某地区高中男生的立定跳远测试数据（单位：）服从正态分布，且，现从该地区高中男生中随机抽取3人，并记不在的人数为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据正态分布求得特定区间的概率，不在的概率为，则，从而求得期望，方差及概率. 【详解】由，则， 则，故A正确； 不在的概率为，则， 则，故B正确； ，故C错误； ，故D正确. 故选：ABD. 10. 已知实数a，b，c，满足，则下列关系式中可能成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】分别在同一坐标系中画出三个函数图像，利用其函数值相等画出所有可能的自变量大小的情况，即可作出判断. 【详解】由题意可知，分别画出三个函数图像，如图所示： 当满足时，如图中细虚线所示，，即可能是A； 对于B选项，当时如上图所示，需满足，即不可能是B； 如图所示，可能是C； 如上图所示，可能是，即可能是D. 故选：ACD 11. 9月21日普宁一中在多功能会议厅举行了班主任能力大赛，共有 位男教师， 位女教师参加．现通过抽签决定出场顺序，记事件 表示“第一位出场的是男教师”，事件 表示“第二位出场的是男教师”，则（      ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，用分步乘法求积事件概率，依次计算第一位、第二位都是男教师的概率再相乘，得到P(AB)；对B，利用条件概率定义，既可在发生后的样本空间直接计数求概率，也可代入条件概率公式计算；对C，使用全概率公式计算第二位是男教师的概率，对比与判断命题对错；对D，有两种思路，一是找的对立事件（前两位都是女教师），用减去对立事件概率；二是直接套用概率加法公式计算. 【详解】对于A：表示前两位出场均为男教师的概率，分步计算：第一位是男教师的概率为， 去掉1位男教师后，剩余12人中第二位仍是男教师的概率为， 因此，A正确； 对于B：事件A发生后，剩余12位教师中有6位男教师、6位女教师， 因此第二位出场是男教师的条件概率​， 也可通过条件概率公式，B正确； 对于C：，， 即，C错误; 对于D：利用对立事件简化计算，的对立事件是“前两位出场都是女教师”， 该事件概率为，因此， 也可通过概率加法公式，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分；第14题第一空2分，第二空3分． 12. 展开式中，的系数是______． 【答案】 【解析】 【分析】由二项式展开式得，令，解得，再将代入计算即可． 【详解】的展开式， 当时，解得，则， 所以展开式中，的系数是． 故答案为：． 13. 若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】由一元二次不等式的解集为，可知二次函数开口向上，判别式小于0，解得即可. 【详解】当时，，，不满足题意； 当时，,所以， 综上，实数的取值范围为. 故答案为： 14. 已知平面截球得截面圆，其面积为；过圆心且与平面所成角的大小为的平面截球得截面圆，其面积为，则球的表面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出两个截面圆的半径，结合球心到截面的距离公式和二面角的几何关系建立关于球半径的方程，求解后计算球的表面积. 【详解】按照题意画出如下图草图， 由已知条件可得，圆的半径为，即，圆的半径为，即， 由球的性质可知，平面，平面， 因为平面和平面所成的角为，所以与平面的夹角为， 又因为平面，所以，则， 设，则，设球的半径为， 在中，由勾股定理得，， 在中，由勾股定理得，， 则，解得，即， 所以球的表面积为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角所对的边分别为，且. （1）求； （2）若，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理，结合恒等变形可得，进而得到即可； （2）利用余弦定理解出，进而得到，再根据面积公式计算即可． 【小问1详解】 解：， 利用正弦定理：， 整理得：， 由于， 所以，因为，所以； 【小问2详解】 ，， ，即， 解得（负值已舍去），则， . 16. 已知等差数列，等比数列满足. （1）分别求数列的通项公式； （2）记分别是数列的前项和，，判断2027是否是数列中的项. 【答案】（1）， （2）不存在 【解析】 【分析】（1）根据等差数列、等比数列的定义结合题意求得，后可得通项公式； （2）根据等差数列、等比数列前项和公式求得数列的通项公式，根据数列单调性判断求解. 【小问1详解】 设的公差为，由题知，，即，解得， 所以. 设的公比为，则，所以，解得， 所以. 【小问2详解】 由（1）知， 所以， 所以，易知数列是递增数列. 又因为， 所以不存在，使得，即2027不是数列的项. 17. 如图，在直三棱柱中，分别为和的中点，平面. （1）证明：； （2）若，直线与平面所成角的正弦值为，求的长. 【答案】（1） 法一：取中点，连接， 因为是的中点，所以且. 由直三棱柱的性质知且，所以且， 又因为是的中点，所以且， 所以四边形为平行四边形，所以. 因为平面，平面，所以， 结合，所以，又因为是的中点，所以. 法二：由直三棱柱的性质知平面， 因为平面，所以， 又因为，所以两两垂直. 以为坐标原点，所在直线分别为 轴建立如图所示的空间直角坐标系. 设， 则. 因为分别为和的中点，所以. 因为平面，所以， 又因为，所以， 由解得，即. （2）2 【解析】 【分析】（1）方法1，取中点，连结接，由题设可得四边形为平行四边形，据此可完成证明；方法2，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，然后由空间向量知识结合可完成证明； （2）方法1，设到平面的距离为，由，可得，然后由与平面所成角的正弦值为，可得 ，据此可得答案；方法2，由（1）方法2，设直线与平面所成角为，由题设及空间向量知识可得，据此可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 法一：在等腰直角中，因为，所以. 由（1）知，平面且. 设到平面的距离为， 则三棱锥的体积. 又因为三棱锥的体积， 所以由，得，解得. 因为直线与平面所成角的正弦值为，所以， 所以，因为，所以，即的长为2. 法二：因为，所以由（1）知， 设平面的一个法向量为， 则取，则，即. 设直线与平面所成角为，则， 即，化简得， 因为，所以，即的长为2. 18. 已知函数，曲线在点处的切线方程为（为自然对数的底数）. （1）求的极值； （2）证明：. 【答案】（1）极小值为0，无极大值. （2）证明：因为，，所以在点处的切线方程为，即，所以， 设，求导可得， 设，求导可得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以的极大值为，即，在上单调递减， 因为， 所以当时，，， 当时，，， 综上所述，. 【解析】 【分析】（1）通过求导判断函数的单调性从而找到极值； （2）通过求导得到切线方程，构建辅助函数，根据辅助函数的单调性来判断函数的极值，进而对不等式进行证明. 【小问1详解】 ，求导可得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以的极小值为，无极大值. 【小问2详解】 略 19. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，右顶点和上顶点分别为和，． （1）求的标准方程； （2）设为线段上的动点，过作平行于轴的直线与在第一象限内交于点，点满足，延长线段交于另一点． ①当的横坐标为1时，记直线和的斜率分别为和，求的值； ②当直线的斜率为1时，直线与线段交于点，记和的面积分别为和，求的值． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的性质结合离心率构造方程求出，进而求出椭圆方程； （2）①根据已知条件结合椭圆方程求出相关点坐标，利用斜率公式表示斜率，进而求解；②设坐标及直线方程，联立椭圆方程，利用韦达定理结合构造方程求出，进而得出点坐标，进而求出． 【小问1详解】 设的焦距为，右顶点，上顶点， 离心率为，， ，， ，解得，故， ， 的标准方程为． 【小问2详解】 由题意可得，，直线的方程为， ①当的横坐标为1时，， 由题意可知点为线段的中点，， ， ； ②设，直线的方程为， 由，得， ， 为线段上的动点， ， ， ，故， 三点共线， ， 又， ， 将代入上式并化简，得： ， 即 ，解得， 当时，，与点在第一象限内矛盾，舍去； 当时，直线的方程为， ，， 又，得， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 潮阳林百欣中学2026—2027学年度第一学期 第一阶段考试高三数学试题 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 为了得到函数的图象，可将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位 4. 在平行四边形中，为的中点，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知角α的顶点在坐标原点O，始边与x轴的非负半轴重合，若角α的终边绕着原点按顺时针方向旋转后经过点，则（ ） A. B. C. D. 6. 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，在研究函数的图象时，常和性质来分析，已知，则其倒数的大致形状是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若任意的都有恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义域为的函数满足：对任意的，有，且当时，，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9. “立定跳远”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项，已知某地区高中男生的立定跳远测试数据（单位：）服从正态分布，且，现从该地区高中男生中随机抽取3人，并记不在的人数为，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知实数a，b，c，满足，则下列关系式中可能成立的是（ ） A. B. C. D. 11. 9月21日普宁一中在多功能会议厅举行了班主任能力大赛，共有 位男教师， 位女教师参加．现通过抽签决定出场顺序，记事件 表示“第一位出场的是男教师”，事件 表示“第二位出场的是男教师”，则（      ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分；第14题第一空2分，第二空3分． 12. 展开式中，的系数是______． 13. 若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为______. 14. 已知平面截球得截面圆，其面积为；过圆心且与平面所成角的大小为的平面截球得截面圆，其面积为，则球的表面积为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角所对的边分别为，且. （1）求； （2）若，求的面积. 16. 已知等差数列，等比数列满足. （1）分别求数列的通项公式； （2）记分别是数列的前项和，，判断2027是否是数列中的项. 17. 如图，在直三棱柱中，分别为和的中点，平面. （1）证明：； （2）若，直线与平面所成角的正弦值为，求的长. 18. 已知函数，曲线在点处的切线方程为（为自然对数的底数）. （1）求的极值； （2）证明：. 19. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，右顶点和上顶点分别为和，． （1）求的标准方程； （2）设为线段上的动点，过作平行于轴的直线与在第一象限内交于点，点满足，延长线段交于另一点． ①当的横坐标为1时，记直线和的斜率分别为和，求的值； ②当直线的斜率为1时，直线与线段交于点，记和的面积分别为和，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $