广东深圳市福田区红岭中学（红岭教育集团）2026届上学期高三第四次统一考试数学试题

红岭中学（红岭教育集团）2026届高三第四次统一考试数学试题 （说明：本试卷考试时间为120分钟，满分为150分） 命题人：肖竣文 审题人：李友军 一、选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分，每小题的4个选项中仅有一个选项是正确的，请将你认为正确的答案的代号涂在答题卡上） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列四个命题中，是假命题的为（ ） A. B. ，使 C. D. ，使 3. 在的展开式中，求含的项为（　　） A. B. C. D. 4. 已知实数满足，则最小值为（　　） A. 4 B. 8 C. D. 5. 如图，矩形的长为3，宽为2，E是边的中点，F是边上靠近点A的三等分点，与交于点M，则的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 在等比数列中，，，则（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 7. 已知直线与圆相切，则满足条件的直线有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 8. 在长方体中，分别是棱的中点，点满足，若过点的平面截长方体所得的截面为五边形，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本大题共3小题，每题6分，共18分，每小题的4个选项中有多个选项是正确的，少选的按比例给分，有选错的得0分，请将你认为正确的答案的代号涂在答题卡上） 9. 为研究关于的线性相关关系，收集了5组样本数据（见下表），假设经验回归方程为，则（ ）（参考公式：相关系数为） 1 2 3 4 5 0.3 0.8 1 1.2 1.7 A. B. 当时，对应的残差为0.11 C. 样本数据的上四分位数为1.2 D. 去掉点后，与的样本相关系数变小 10. 已知为常数，函数有且只有一个极值点，则（ ） A. B. C. 为极大值点 D. 11. 已知是抛物线上一点.按如下方式依次构造点（）；过点作斜率为（）的直线与交于另一点，点为关于轴的对称点.令.（ ） A. 若，则 B. 数列是等差数列 C. 数列是等比数列 D. 设是的面积，则 三、填空题（本大题共3小题，每题5分，共15分，请将答案填写在答题卷相应位置上） 12. 若是以2为最小正周期的函数，时，，则__________. 13. 若复数满足，则__________. 14. 在日常好友聚会时，为了助兴通常会玩一种“数七”的游戏：参与游戏的人围坐一圈，随机选择一人从1开始报数，围坐的人按逆时针座位顺序依次报数，所报数字比上一人报数增加1.当报数的数字为7的倍数，或所报数字各数位上含有数字7时，不能直接报出此数字，需报出“过”代替，例如按序需报数7，14，17……等数字的报数人则不报该数，直接报“过”，直到有人报错，该轮游戏结束.在某轮游戏中小明报数为31，且在这次报数之前没有报“过”，则参与本轮游戏人数至少是_____________人. 四、解答题（共77分，请将答案填写在答题卷相应位置上，答错位置不给分，要求要有必要的文字叙述和推理说明） 15. 在中，角的对边分别是，已知. （1）求； （2）若，且的周长为，求. 16. 如图，在三棱锥中，平面PAB，平面平面ABC，点D，E分别为棱AB，AC的中点，. （1）证明：平面ABC； （2）点关于平面PDE的对称点为，求直线MB与平面PCD所成角的正弦值. 17. 为探索“AI技术赋能下的教育新范式”，2025年10月，深圳市福田区红岭中学高中部，提出新的教学评价标准.为了得到高一年级50位教师对新评价标准是否赞同的真实反馈，学校教学处利用“西蒙斯模型”进行网上问卷调查：在微信中开发了一个随机数模拟小程序，当教师点击“抽取”键，手机屏幕将出现数字的快速随机滚动，并最终等可能的生成1，2，3，4，5当中的一个数，每个教师抽取两次.规定“若抽取的两个数奇偶性不同，则按方案①填写问卷，否则按方案②填写问卷”. 方案①：若第一次抽到的是偶数且第二次抽到的是奇数，则在问卷中填“”否则填“”； 方案②：若对新评价标准赞同，则在问卷中填“”，否则填“”. 当所有教师完成问卷调查后，统计填“”与填“”的比例.用频率估计概率，即可得到高一年级50位教师对新评价标准赞同比例的估计值. （1）若用表示按方案①填写问卷的人数，求的数学期望和方差； （2）若所有调查问卷中，填“”的问卷有33份，试估计高一年级50位教师对新评价标准的赞同比例（用分数表示）． 18. 已知函数的定义域为，其导函数为，且. （1）求的单调区间； （2）已知关于的方程恰有两个实数根，若，求的取值范围； （3）证明：. 19. 已知双曲线，上顶点为，直线与双曲线的两支分别交于两点（在第一象限），与轴交于点.设直线的倾斜角分别为. （1）若， （i）若，求； （ii）求证：为定值； （2）若，直线与轴交于点，求与的外接圆半径之比的最大值. 红岭中学（红岭教育集团）2026届高三第四次统一考试数学试题 （说明：本试卷考试时间为120分钟，满分为150分） 命题人：肖竣文 审题人：李友军 一、选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分，每小题的4个选项中仅有一个选项是正确的，请将你认为正确的答案的代号涂在答题卡上） 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】B 二、选择题（本大题共3小题，每题6分，共18分，每小题的4个选项中有多个选项是正确的，少选的按比例给分，有选错的得0分，请将你认为正确的答案的代号涂在答题卡上） 【9题答案】 【答案】AC 【10题答案】 【答案】ABD 【11题答案】 【答案】BD 三、填空题（本大题共3小题，每题5分，共15分，请将答案填写在答题卷相应位置上） 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】3 【14题答案】 【答案】 四、解答题（共77分，请将答案填写在答题卷相应位置上，答错位置不给分，要求要有必要的文字叙述和推理说明） 【15题答案】 【答案】（1）或； （2） 当时，无解；当时，或. 【16题答案】 【答案】（1）证明: 因为平面， 平面，所以 又平面平面ABC，平面平面，平面， 则平面ABC； （2） 【17题答案】 【答案】（1） （2） 【18题答案】 【答案】（1）在单调递增，在单调递减，最大值为； （2）； （3） 设， 设，则， 设，则， 所以单调递减，，所以单调递减， 因为，所以在单调递增，在单调递减， 所以， 由（1）知，，所以函数在上单调递减， 所以，即， 所以. 【19题答案】 【答案】（1）（i）； （ii）法1：①直线斜率存在时，可设直线的方程为， 设由得 所以. 当时，由（i）可得； 当时，设的斜率分别为.. 所以， . 所以. 因为在第一象限，所以，所以，所以. ②直线斜率不存在时，可得， 可得，所以， 同理可得.综上可得，为定值，得证.法2： ①时，由（i）可得；②时， 设的斜率分别为.设， 由在直线上可得. 与联立可得， 即， 所以就是方程的两根. 所以，， 因为在第一象限，所以，所以， 所以.综上可得，为定值，得证. （2）2 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $