2.5.2 圆与圆的位置关系（2）课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.5.2 圆与圆的位置关系 第2课时 新知探究 问题 除了利用圆心距和联立方程，还有什么方法可以判断圆与圆的位置关系？ 外离 相交 内含 外切 内切 4条 3条 2条 1条 0条 两圆的公切线的条数 2 典例解析 《全优课堂》P81 练习：圆x2－4x＋y2＝0与圆x2＋y2＋4x＋3＝0的公切线共有(　　) A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 【解析】x2－4x＋y2＝0⇒(x－2)2＋y2＝22，圆心坐标为(2，0)，半径为 2；x2＋y2＋4x＋3＝0⇒(x＋2)2＋y2＝12，圆心坐标为(－2，0)，半径为 1，圆心距为4.两圆半径和为3，因为4＞3，所以两圆外离，故两圆的公 切线共有4条. 【答案】(1)D 例6 已知圆O的直径AB＝4，动点M与点A的距离是它与点B的距离的 倍. 试探究点M的轨迹，并判断该轨迹与圆O的位置关系. 分析：我们可以通过建立适当的平面直角坐标系,求得满足条件的动点M的轨迹方程,从而得到点M的轨迹;通过研究它的轨迹方程与圆O方程的关系，判断这个轨迹与圆O的位置关系。 • P • M x y O • A B 解: 如图示，以线段AB的中点O为原点建立平面直角坐标系. 由AB=4，得A(一2, 0)，B(2, 0). 所以点M的轨迹是以P(6, 0)为圆心，半 径为4的一个圆. 课本P97 典例解析 练习巩固 《全优课堂》P73 已知△ABC的边AB长为4，若BC边上的中线为定长3，求顶点C的轨迹方程. 解：以直线AB为x轴，AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系(如图)， 则点A(－2，0)，B(2，0)，设C(x，y)，BC中点D(x0，y0). ∴ ① ∵｜AD｜＝3，∴(x0＋2)2＋ ＝9.② 将①代入②，整理得(x＋6)2＋y2＝36. ∵点C不能在x轴上，∴y≠0. 综上，点C的轨迹是以(－6，0)为圆心，6为半径的圆，去掉(－12，0)和(0，0)两点. 轨迹方程为(x＋6)2＋y2＝36(y≠0). 应用 求圆的方程 课本P98 例1. 求经过点M(2,-2)以及圆x2＋y2－6x＝0与x2＋y2=4交点的圆的方程. 应用 求圆的方程 课本P98 例2. 求圆心在直线x－y－4＝0上，并且经过圆x2＋y2＋6x－4＝0与x2＋y2＋6y－28=0交点的圆的方程. 应用 求圆的方程 解题核心 ①两个圆心的中点落在直线上 ②两个圆心所在直线与已知直线垂直 课本P98 目标：求圆心/半径 例3. 应用 求圆的方程 《全优课堂》P81 例4. 已知圆O1：x2＋y2－8 x－8 y＋48＝0，圆O2过点A(0，－4)， 若圆O2与圆O1相切于点B(2 ，2 )，求圆O2的方程. 【答案】(2)解：圆O1的方程化为(x－4 )2＋(y－4 )2＝16， 所以圆心O1(4 ，4 ). 因为圆O2与圆O1相切于点B(2 ，2 )， 所以圆O2的圆心在直线y＝x上，不妨设为(a，a). 因为圆O2过点A(0，－4)，所以圆O2与圆O1外切. 因为圆O2过点B(2 ，2 )， 所以a2＋(a＋4)2＝2(a－2 )2，解得a＝0， 所以圆O2的方程为x2＋y2＝16. 应用 求圆的方程 《全优课堂》P81 例5. 求与圆x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋ y＝0相切于点M(3，－ )的圆的方程. (2)解：已知圆的方程可化为(x－1)2＋y2＝1， 则圆心为C(1，0)，半径为1. 设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0). 由题意可得解得或 所以所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4)2＝36. 应用 求圆的方程 《全优课堂》P81 例6. (1)已知动圆M与y轴相切且与定圆A：(x－3)2＋y2＝9外切，则动圆 的圆心M的轨迹方程是(　　) A. y2＝12x(x＞0) B. y＝0(x＜0) C. y2＝12x D. y2＝12x(x＞0)或y＝0(x＜0) 【答案】(1)D 【解析】设点M(x，y)，动圆的半径为r，由题意得｜MA｜＝r＋3且r ＝｜x｜，所以 ＝｜x｜＋3.当x＞0时，两边平方，化 简得y2＝12x(x＞0)；当x＜0时，两边平方，化简得y＝0(x＜0).故动圆 的圆心M的轨迹方程是y2＝12x(x＞0)或y＝0(x＜0). 应用 求圆的方程 《全优课堂》P83 例7. (2026年重庆期末)若点A，B在圆C1：(x－2)2＋y2＝3上运动，｜AB｜＝2 ，P为AB的中点.点Q在圆C2：(x＋2)2＋y2＝1上运动， 则｜PQ｜的最小值为(　　) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B $