精品解析：广东普宁英才华侨中学2026-2027学年高二上学期第一次月考数学试题

英才侨中2026-2027学年度第一学期第一次月考 高二数学 （用时：120分钟 满分：150分） 组卷人：林洪彬 复核人：高二数学备课组 第一卷 选择题部分 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 直线过点，，则的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出直线的斜率，再由斜率的定义即可得到倾斜角. 【详解】因为直线过点，，所以直线的斜率， 设直线的倾斜角，则，又，所以， 所以直线的倾斜角为. 故选：D. 2. 已知，则平面的一个法向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设平面的法向量，则 ， 因为，所以 ， 令，则，所以. 因为向量，，与不共线， 故A，C，D不符合题意； 因为，所以B符合题意. 3. 如图，直线，，的斜率分别为，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设直线的倾斜角为，， 图中直线对应的倾斜角分别为， 由图可知为钝角，即， ，即， 所以. 4. 求过点且与直线平行的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】与直线平行的直线方程满足， 且该直线过点，则，解得， 故该直线方程为． 5. 若直线的倾斜角为，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为倾斜角为，所以斜率， 由直线得斜率，所以，即． 6. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥为阳马，平面，且，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定的几何体，利用空间向量线性运算，结合空间向量基本定理计算即得. 【详解】在四棱锥中，由，得， 所以 ，又，且不共面， 因此，所以. 故选：A 7. 在正三棱柱中，已知，则异面直线与所成角的余弦值为（       ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】取中点O，中点，连接，建立空间直角坐标系，利用异面直线夹角的向量求法求解即可． 【详解】取中点O，中点，连接，因为三棱柱为正三棱柱， 所以由正三棱柱性质可得两两相互垂直，如图，以为原点建立空间直角坐标系， 设，则，，，， 所以，， 设异面直线与所成角为 则 8. 直线，若，则实数的值为 （      ） A. 0 B. 2 C. 0或 D. 0或 【答案】D 【解析】 【详解】由题意可得，解得或. 二、多选题（每小题6分，漏选得相应部分得分，错选多选不得分，共18分） 9. 给出下列四个命题，其中正确的有（ ） A. 若空间向量均为非零向量，满足，，则； B. 设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底； C. 已知空间四个点，若，则三点共线； D. 对任意空间向量，都有成立. 【答案】AC 【解析】 【分析】A，利用平行关系的传递性判断；B，通过设线性组合为零，判断三向量是否线性相关，从而确定能否构成基底；C，利用向量共线定理，由系数和为1判断三点共线；D，通过比较两向量各自与哪个向量共线来判断是否恒相等. 【详解】对于A：若，，且，由平行关系的传递性可得则，所以A正确； 对于B，需判断是否线性无关， 设， 整理得： 因为是基底，所以， 由第一式，第二式，代入第三式得，恒成立， 说明存在非零解，例如，使得： 所以三向量线性相关，不能作为基底，所以B错误； 对于C：由，且系数和，所以三点共线，所以C正确； 对于D：与共线，与共线， 向量与向量方向不一定相同，所以一般不相等，所以D错误. 10. 已知两条不重合的直线，，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据直线的位置关系与斜率关系即可判断. 【详解】对A，若，则，故A正确； 对B，若，又两直线不重合，则，故B正确； 对C，若，则与不垂直，故C错误； 对D，若，则，故D正确. 故选：ABD. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点，则下列结论正确的有（ ） A. 直线与平面所成角的正弦值为 B. 点到直线的距离为 C. 直线与直线是异面直线 D. 点到平面的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，对于A，写出直线的方向向量与平面的法向量，再代入公式即可；对于B，写出直线的方向向量，再代入点到线公式即可；对于C，写出直线的方向向量与直线的方向向量进而判断出两条直线平行即可；对于D，写出平面的法向量，再代入点到面的距离公式即可. 【详解】以为原点，以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以，由正方体性质可知平面的一个法向量， 设直线与平面所成的角为，则，故A正确； 而， 点到直线的距离为，故B正确； 因为， 所以，所以四点共面， 所以直线与直线不是异面直线，故C错误； ，， 设平面的法向量为，所以， 令，则，所以， 得到点到平面的距离为，故D正确. 故选：ABD. 第二卷 非选择题部分 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 直线在轴上的截距为______． 【答案】## 【解析】 【分析】求出直线与轴交点的横坐标即可. 【详解】∵直线方程为， ∴令，得，即直线与轴交于点， ∴直线在轴的截距为. 故答案为：. 13. 经过点P（1，4），且在两坐标轴上的截距相反的直线方程是_____． 【答案】y＝4x或y＝x+3 【解析】 【分析】直线在两坐标轴上的截距相反，直线过原点或斜率为1，设直线方程将点P坐标代入，即可求解. 【详解】依题意，设直线方程为或， 代入方程可得或， 所求的直线方程为或. 故答案为:或. 【点睛】本题考查满足条件的直线方程，要注意过原点的直线，在坐标轴上的截距为0，此类直线在两坐标轴的截距是任意倍关系，解题时不要遗漏，属于基础题. 14. 如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形，，，直线平面，则______. 【答案】 【解析】 【分析】在线段上取点，使得，连接，，，由平面，可得，进而可得是线段的中点，由向量关系可得，即可求. 【详解】如图，在线段上取点，使得. 连接，，，记，， 连接，因为直线平面，且平面平面， 所以. 因为四边形是平行四边形， 所以为线段的中点，则为线段的中点. 因为，，所以， 所以，即. 因为为线段的中点，所以是线段的中点， 则，所以，则. 故答案为： 四、解答题（共77分） 15. 已知，. （1）求的值； （2）已知，若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 . 【小问2详解】 ， ， 由于，则，解得，符合题意. 故的值为. 16. 如图，正方体的棱长为，是的中点． （1）求证：； （2）求平面与底面所成锐二面角的余弦值． 【答案】（1）在正方体中， 建立如图所示空间直角坐标系： 则，，，， 所以，，， 则， 所以． （2）． 【解析】 【分析】（1）以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用坐标法直接判断两向量垂直，即可得出结论； （2）利用坐标法直接求解锐二面角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，，，，， 由底面，得底面的法向量为， 而，， 设平面的法向量为，则， 得，取，得， 因此， 所以平面与底面所成锐二面角的余弦值为. 17. 如图，已知中，，，，延长至点，连接． （1）求的长； （2）若，求的面积． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）在中，利用正弦定理求； （2）在中，利用余弦定理求，再根据三角形面积公式计算即可. 【小问1详解】 在中，由正弦定理得：， 又，，． 所以． 【小问2详解】 在中，由余弦定理得：， 代入得， （负数舍）， 故的面积为． 18. 三角形的顶点是， 求： （1）边所在直线的方程． （2）边上的高所在直线的方程； （3）边的垂直平分线的方程． 【答案】（1）． （2）． （3）． 【解析】 【分析】（1）先求出直线的斜率，结合截距写出直线方程； （2）先算出的斜率，利用两直线垂直斜率之积为得到高的斜率，代入点C求直线方程； （3）求出中点及斜率，由垂直关系得到垂直平分线斜率，再利用点斜式写出方程． 【小问1详解】 因为， 所以直线的斜率，直线在轴上的截距， 故直线的方程为，即． 【小问2详解】 由已知， 由得：，解得， 直线过点，则直线的方程为：，即． 【小问3详解】 取中点，则，， 设其垂直平分线斜率为，则，解得， 故直线的方程为，即． 19. 如图，在四棱锥中，平面平面，，点为的中点． （1）求证：平面； （2）若线段上存在一点，使直线与平面所成角的正弦值为，求的值． 【答案】（1）取的中点，连接， 因为F，M均为中点， 故为中位线，即， 又， 故， 所以四边形为平行四边形， 故， 又平面， 所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，根据中位线的性质证明四边形为平行四边形，得到线线平行，进而证得线面平行； （2）先建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用向量法即可确定的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在平面中，过作，以所在直线为x，y，z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 由已知，． ， 设平面法向量为，则， 解得，令，则，故． 设，则， 所以， 解得（舍去）， 故． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 英才侨中2026-2027学年度第一学期第一次月考 高二数学 （用时：120分钟 满分：150分） 组卷人：林洪彬 复核人：高二数学备课组 第一卷 选择题部分 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 直线过点，，则的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则平面的一个法向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，直线，，的斜率分别为，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 求过点且与直线平行的直线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 若直线的倾斜角为，则实数（ ） A. B. C. D. 6. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥为阳马，平面，且，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 在正三棱柱中，已知，则异面直线与所成角的余弦值为（       ） A. B. C. D. 8. 直线，若，则实数的值为 （      ） A. 0 B. 2 C. 0或 D. 0或 二、多选题（每小题6分，漏选得相应部分得分，错选多选不得分，共18分） 9. 给出下列四个命题，其中正确的有（ ） A. 若空间向量均为非零向量，满足，，则； B. 设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底； C. 已知空间四个点，若，则三点共线； D. 对任意空间向量，都有成立. 10. 已知两条不重合的直线，，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 如图，在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点，则下列结论正确的有（ ） A. 直线与平面所成角的正弦值为 B. 点到直线的距离为 C. 直线与直线是异面直线 D. 点到平面的距离为 第二卷 非选择题部分 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 直线在轴上的截距为______． 13. 经过点P（1，4），且在两坐标轴上的截距相反的直线方程是_____． 14. 如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形，，，直线平面，则______. 四、解答题（共77分） 15. 已知，. （1）求的值； （2）已知，若，求的值. 16. 如图，正方体的棱长为，是的中点． （1）求证：； （2）求平面与底面所成锐二面角的余弦值． 17. 如图，已知中，，，，延长至点，连接． （1）求的长； （2）若，求的面积． 18. 三角形的顶点是， 求： （1）边所在直线的方程． （2）边上的高所在直线的方程； （3）边的垂直平分线的方程． 19. 如图，在四棱锥中，平面平面，，点为的中点． （1）求证：平面； （2）若线段上存在一点，使直线与平面所成角的正弦值为，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $