3.3 垂径定理 同步课时练 2026-2027学年浙教版九年级数学上册

第3章　圆的基本性质

3.3　垂径定理　同步课时练

【教材版本】浙教版九年级上册（现行教材）　　【建议用时】45分钟　　【满分】100分

【学习目标】

1. 理解圆的轴对称性，掌握垂径定理及其推论，能说出定理的条件与结论；

2. 会作弦心距这一常用辅助线，能运用垂径定理进行计算与证明；

3. 能用垂径定理解决拱桥、管道截面等实际问题，体会把实际问题转化为几何问题的方法。

【知识梳理】

一、垂径定理

◆  圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴。沿垂直于弦的直径折叠，直径两侧的两个半圆互相重合。

◆  垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

◆  如图1，CD 是 ⊙O 的直径，CD⊥AB 于点 E，则 AE＝BE，弧AC＝弧BC，弧AD＝弧BD。

图1　垂径定理的基本图形：直径 CD 垂直于弦 AB，垂足为 E

◆  分一条弧成相等的两条弧的点，叫作这条弧的中点。

二、垂径定理的推论

◆  定理1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

◆  定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦。

◆  过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的劣弧、平分弦所对的优弧，这五个条件中任意两个成立，其余三个必定成立（简称「知二推三」）。

三、弦心距与半径、半弦的关系

◆  如图2，设 ⊙O 的半径为 r，弦 AB 的长为 a，圆心 O 到 AB 的距离 d（弦心距），则

图2　弦心距 d、半弦与半径 r 构成直角三角形

◆  常用辅助线：过圆心作弦的垂线得弦心距，或连结圆心与弦的端点，构造直角三角形。

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一、选择题（每小题5分，共25分）

1.（5分）如图3，CD 是 ⊙O 的直径，弦 AB⊥CD 于点 E，且 AB 不是直径。下列结论中不一定正确的是（　　）

A. AE＝BE　　B. 弧AC＝弧BC　　C. OE＝DE　　D. 弧AD＝弧BD

图3　直径 CD 垂直于弦 AB，垂足为 E

2.（5分）⊙O 的半径为 10，弦 AB 的长为 16，则圆心 O 到 AB 的距离为（　　）

A. 6　　B. 8　　C. 10　　D. 12

3.（5分）⊙O 的弦 AB 的长为 4 cm，弦心距为 1 cm，则 ⊙O 的直径为（　　）

A. √3 cm　　B. √5 cm　　C. 2√3 cm　　D. 2√5 cm

4.（5分）⊙O 的半径为 13，弦 AB 的长为 24，则圆心 O 到 AB 的距离为（　　）

A. 5　　B. 7　　C. 12　　D. 13

5.（5分）如图4，CD 是 ⊙O 的直径，交弦 AB（不是直径）于点 E，且 AE＝BE。下列结论中一定成立的是（　　）

A. AB＝CD　　B. CD⊥AB　　C. OE＝CE　　D. ∠AOB＝60°

图4　直径 CD 平分弦 AB，AE＝BE

二、填空题（每小题5分，共25分）

6.（5分）⊙O 的半径为 5，弦 AB 的长为 8，则圆心 O 到 AB 的距离为 ______。

7.（5分）⊙O 中弦 AB 的长为 8 cm，弓形的高（弧的中点到弦的距离）为 2 cm，则 ⊙O 的半径为 ______ cm。

8.（5分）要在直径为 120 mm 的轴上铣出宽为 30 mm 的一块平面，吃刀深度 h 约为 ______ mm（精确到 0.1 mm）。

9.（5分）平分弧的直径 ______ 弧所对的弦。

10.（5分）⊙O 的半径为 10，弦 AB 的长为 12，M 是弧 AB（劣弧）的中点，则 OM 的长为 ______。

三、解答题（共20分）