3.3垂径定理 课时练习 2026-2027学年浙教版九年级上册数学

**基本信息** 聚焦垂径定理，通过基础计算、综合推理、实际应用三阶分层设计，构建从概念理解到问题解决的知识巩固路径，培养几何直观与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|垂径定理直接应用|单选题1-2、填空题11，通过弦长与半径关系的简单计算，巩固“垂直于弦的直径平分弦”核心概念| |中档|综合推理与计算|单选题3-8、填空题12-14，结合勾股定理、坐标几何（如第4题），提升图形转化与方程思想| |提升|实际情境应用|解答题15-17，以拱桥、隧道等真实场景（如第17题货船过桥），培养数学建模与问题解决能力|

3.3垂径定理 课时练习 一、单选题 1.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P.若CD＝AP＝8，则⊙O的直径为（   ） A. 10                                           B. 8                                           C. 5                                           D. 3 2.如图， 是 的弦，半径 于点 ，下列判断中错误的是（   ） A.                    B.                    C.                    D.  3.一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA=1m，水面宽AB=1.2m，某天下雨后，水管水面上升了1.4m，则此时排水管水面宽为(    ) A. 1.2m                                   B. 1.4m                                   C. 1.6m                                   D. 1.8m 4.如图，M（0，﹣3）、N（0，﹣9），半径为5的⊙A经过M、N ， 则A点坐标为（   ） A. （-5，-6）                       B. （4，-6）                       C. （-6，-4）                       D. （-4，-6） 5.嘉兴南湖不仅是党的诞生地，它优美的风光还吸引全国各地的旅客前来观赏．如图是南湖的一座三孔桥，某天测得最大桥拱的水面宽 为 ，桥顶 到水面 的距离为 ，则这座桥桥拱半径为    A.                                       B.                                       C.                                       D.  6.如图，有两条公路OM，ON相交成30°，沿公路OM方向离两条公路的交叉处O点80米的A处有一所希望小学，当拖拉机沿ON方向行驶时，距拖拉机中心50米的范围内均会受到噪音影响，已知有两台相距40米的拖拉机正沿ON方向行驶，它们的速度均为10米/秒，则这两台拖拉机沿ON方向行驶时给小学带来噪音影响的时间为（   ） A. 6秒                                     B. 8秒                                     C. 10秒                                     D. 18秒 7.如图2，在平面直角坐标系中，点 的坐标为（1，4）、（5，4）、（1、 ），则 外接圆的圆心坐标是 A. （2，3）                           B. （3，2）                           C. （1，3）                           D. （3，1） 8.如图，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆相交于点D、E，量出半径OC=5cm，弦DE=8cm，则直尺的宽度是(      )   A. 4cm                                     B. 3cm                                     C. 2cm                                     D. 1cm 9.如图，点A、B、C是圆O上的三点，且四边形OABC是平行四边形，OD⊥AB交圆O于点D，则∠OAD等于(    ) A. 72．5°                                     B. 75°                                     C. 80°                                     D. 60° 10.《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就．它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用．书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸（ED=1寸），锯道长1尺（AB=1尺=10寸）”，问这块圆柱形木材的直径是多少？”如图所示，请根据所学知识计算：圆柱形木材的直径AC是（   ）   A. 13寸                                    B. 20寸                                    C. 26寸                                    D. 28寸 二、填空题 11.如图，在圆O中，弦AB=4，点C在AB上移动，连接OC，过点C做CD⊥OC交圆O于点D，则CD的最大值为________。 12.如图，D是⊙O弦BC的中点，A是弧BC上一点，OA与BC交于点E，若AO＝8，BC＝12，EO＝ BE，则线段OD＝________，BE＝________． 13.已知⊙O的直径长为10，弦AB长为8，弦长CD为6，且AB∥CD，则弦AB与CD之间的距离为________. 14.如图，工程上常用钢珠来测量零件上小孔的宽度，假设钢珠的直径是12毫米，测得钢珠顶端离零件表面的距离为9毫米，则这个小孔的宽度AB是________毫米。 三、解答题 15.如图，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D.已知：AB=24cm, CD=8cm （1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹） （2）求（1）中所作圆的半径 16.如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分.如果M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E，并且CD＝4，EM＝6，求⊙O的半径. 17.好山好水好江山，石拱桥在江山处处可见，小明要帮忙船夫计算一艘货船是否能够安全通过一座圆弧形的拱桥，现测得桥下水面宽度16m时，拱顶高出水平 面4m，货船宽12m，船舱顶部为矩形并高出水面3m。 （1）请你帮助小明求此圆弧形拱桥的半径。 （2）小明在解决这个问题时遇到困难，请你判断一下，此货船能顺利通过这座拱桥吗？说说你的理由。 答案解析部分 一、单选题 1. A 考点：垂径定理 解：连接OC， ∵CD⊥AB，CD＝8， ∴PC＝ CD＝ ×8＝4， 在Rt△OCP中，设OC＝x，则OA＝x， ∵PC＝4，OP＝AP−OA＝8−x， ∴OC2＝PC2＋OP2 ， 即x2＝42＋（8−x）2 ， 解得x＝5， ∴⊙O的直径为10. 故答案为：A. 分析：连接OC，根据垂径定理得出PC＝ CD＝ ×8＝4，在Rt△OCP中，设OC＝x，则OA＝x，OP＝AP−OA＝8−x，根据勾股定理建立方程，求解得出x的值，从而得出答案. 2. A 考点：垂径定理 解：∵AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB， ∴弧AC=弧BC，AD=BD，∠AOC=∠BOC= ∠AOB，B、C、D不符合题意，A符合题意. 故答案为：A 分析：根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧，得出弧AC=弧BC，AD=BD，再根据等弧所对的圆心角相等得出∠AOC=∠BOC= ∠AOB，综上所述即可得出答案。 3. C 考点：垂径定理的应用 解：过O作OH垂直AB交圆于G， ∴AH=AB=0.6m, ∴OH= ∴GH=OG-OH=1-0.8=0.2m, 当水面上升到CD时，GE=HE+HG=1.4+0.2=1.6m， ∴OE=GE-OG=1.6-1=0.6m, CE= ∴CD=2CE=2×0.8=1.6m. 故答案为：C. 分析：过O作OH垂直AB交圆于G，根据垂径定理得出AH的长，利用勾股定理求出OH的长，则初始水深GH可求，当水面上升1.4米，到达CD时，利用垂径定理和勾股定理求出CE的长，则CD的长，即水面宽可求. 4. D 考点：垂径定理 解：过A作AB⊥NM交 轴于B，连接AM， ∵点M（0，−3）、N（0，−9）， ∴MN＝6， ∴BM＝BN＝3， ∴OB＝3＋3＝6， ∴ ， ∵ ， 由勾股定理得： ， ∴点A的坐标为（−4，−6）， 故答案为：（−4，−6）． 分析：过A点作AB⊥NM于B，连接AM，由点M（0，﹣3）、N（0，﹣9），得MN＝6，所以BM＝BN＝3，得 ，由勾股定理求出AB，即可得出答案． 5. B 考点：垂径定理 解：连接 ， 由题意可得： ，设 半径 ， 则 ， 由勾股定理可得： ， 解得： ． 故选： 分析：连接 ，设 ，则 ，根据垂径定理得出 ，然后根据勾股定理得出关于 的方程，解方程即可得出答案 6. C 考点：垂径定理的应用 解：以A为圆心，以半径等于50米画圆，连接OE，作AF⊥ON于F， ∵∠AOF=30°， ∴AF=OA=40， ∵EF===30， 则EG=2EF=60， 所以S=60+40=100， t= , 故答案为：C. 分析：以A为圆心，以半径等于50米画圆，作AF⊥ON于F，利用勾股定理构造直角三角形，∠AOF=30°，先求出AF的长，在Rt△AEF中，运用勾股定理列式求出EF，则EG长可求，于是拖拉机的相距距离与EG之和就是影响范围，代入速度公式求时间即可. 7. D 考点：垂径定理的应用 解：根据垂径定理的推论，则 作弦AB、AC的垂直平分线，交点O1即为圆心，且坐标是（3，1）. 故答案为：D. 分析：根据垂径定理的推论“弦的垂直平分线一定经过圆心”，故作出弦AB、AC的垂直平分线，交点O1即为圆心，根据点的坐标与图形的性质借助方格纸的特点即可得出答案. 8. B 考点：垂径定理 解：过点O作OM⊥DE于点M,连接OD. ∴DE= DE， ∵DE=8cm， ∴DM=4cm， 在Rt△ODM中，∵OD=OC=5cm， ∴ ∴直尺的宽度为3cm. 故答案为：B. 分析：过点O作OM⊥DE于点M,连接OD。由垂径定理可得DM=ME=DE，在直角三角形ODM中，用勾股定理可求得OM的长。 9. B 考点：垂径定理 解：∵四边形OABC是平行四边形， ∴AB=BC=OA=OC， ∴△OAB是等边三角形， ∴∠AOB=∠OAB=60°， 又∵ OD⊥AB ， ∴∠DOB=30°， ∵∠DAB=∠DOB=15°， ∴ ∠OAD =∠OAB+∠DAB=60°+15°=75°. 故答案为：B. 分析：根据平行四边形的性质和圆的性质得AB=BC=OA=OC，由等边三角形判定可得△OAB是等边三角形，根据等边三角形性质和垂径定理∠DAB=15°，由 ∠OAD =∠OAB+∠DAB即可求得答案. 10. C 考点：垂径定理 解： 设⊙O的半径为r． 在Rt△ADO中，AD=5，OD=r﹣1，OA=r， 则有r2=52+（r﹣1）2 ， 解得r=13， ∴⊙O的直径为26寸， 故答案为：C． 分析：在Rt△ADO中，用勾股定理可得关于半径的方程，解方程即可求得半径的值，则 直径AC等于半径的两倍。 二、填空题 11. 2 考点：垂径定理 解：如图：连接OD， ∴∠DCO=90∘， ∴CD= 当OC的值最小时，CD的值最大， OC⊥AB时，OC最小，此时D. B两点重合， ∴CD=CB=AB=2， 即CD的最大值为2. 故答案为：2. 分析：连接OD，根据勾股定理求出CD，利用垂线段最短得到当OC⊥AB时，OC最小，根据垂径定理计算即可. 12. ；4 考点：垂径定理的应用 解：连接OB， ∵点O是BC的中点， ∴OD⊥BC， ∴BD=BC=×12=6    ∵AO=BO=8， ∴; 设BE=x，则DE=6-x， ∵ EO＝ BE ∴OE= 在Rt△ODE中， ∴ 解之：x1=4，x2=-16（舍去） ∴BE=4 故答案为：；4. 分析： 连接OB，利用垂径定理可求出BD的长，再利用勾股定理求出OD的长；设BE=x，用含x的代数式表示出DE，OE的长，再利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值，即可得到BE的长。 13. 1或7 考点：垂径定理 解：如图：分类讨论： ①当两条弦位于圆心O一侧时，如图1所示， 过O作OE⊥CD，交CD于点E，交AB于点F，连接OA，OC， ∵AB∥CD， ∴OE⊥AB， ∴E、F分别为CD、AB的中点， ∴CE=DE=CD=4，AF=BF=AB=3， 在Rt△AOF中，OA=5，AF=4，根据勾股定理得：OF=3， 在Rt△COE中，OC=5，CE=3，根据勾股定理得：OE═4， 则EF=OE－OF=4－3=1； ②当两条弦位于圆心O两侧时，如图2所示， 同理可得EF=4＋3=7， 综上，弦AB与CD的距离为7或1． 故答案为：7或1． 分析：分类讨论：当两条弦位于圆心O一侧时，如图1所示，过O作OE⊥CD，交CD于点E，交AB于点F，连接OA，OC，由AB∥CD，得出OE⊥AB，根据垂径定理得出E、F分别为CD、AB的中点，然后利用勾股定理分别算出OF、OE的长，进而根据EF=OE－OF算出答案；②当两条弦位于圆心O两侧时，如图2所示，同理求出OF、OE的长，进而根据EF=OE+OF算出答案，综上所述即可得出答案. 14. 考点：垂径定理的应用 解：过点O作CD⊥AB于点D，交圆O于点C，连接OA ∴AB=2AD， ∵圆的直径为12，CD=9 ∴OA=6，OD=CD-OC=9-6=3, 在Rt△AOD中， , ∴. 故答案为： 分析：过点O作CD⊥AB于点D，交圆O于点C，连接OA，根据垂径定理可得到AB=2AD，利用已知条件可求出OA，OD的长，再利用勾股定理求出AD的长，继而可求出AB的长。 三、解答题 15.解：（1）作弦AC的垂直平分线与弦AB的垂直平分线交于O点，以O为圆心OA长为半径作圆O就是此残片所在的圆，如图． （2）连接OA，设OA=x，AD=12cm，OD=（x-8）cm， 则根据勾股定理列方程： x2=122+（x-8）2 ， 解得：x=13． 答：圆的半径为13cm． 考点：垂径定理 分析： （1）、由垂径定理知，垂直于弦的直径是弦的中垂线，故作AC，BC的中垂线交于点O，则点O是弧ACB所在圆的圆心； （2）、在Rt△OAD中，由勾股定理可求得半径OA的长． 16. 解：连接OC， ∵M是⊙O弦CD的中点， 根据垂径定理：EM⊥CD， 又CD＝4则有：CM＝ CD＝2， 设圆的半径是x米， 在Rt△COM中，有OC2＝CM2+OM2 ， 即：x2＝22+（6﹣x）2 ， 解得：x＝ ， 所以圆的半径长是 考点：垂径定理 分析： 连接OC， 根据垂径定理得出 EM⊥CD ， CM＝ CD＝2， 设圆的半径是x米， 在Rt△COM中 ，利用勾股定理建立方程，求解即可. 17. （1）解：连接OA， 由题意可知CD=4，AB=16，OC⊥AB于点D， ∴, 设OA=r，则OD=r-4 ∴（r-4）2+82=r2 ， 解之：r=10 答：此圆弧形拱桥的半径为10m. （2）解：如图 ∵EF=12 ∴FG=12÷2=6 ∴OG= ∵OD=10-4=6 ∴DG=OG-OD=8-6=2＜3 ∴此货船能顺利不能通过这座拱桥. 考点：垂径定理的应用 分析：（1）连接OA，题意可知CD=4，AB=16，OC⊥AB于点D，利用垂径定理求出AD的长，然后利用勾股定理求出圆的半径。 （2）如图可求出FG的长，再利用勾股定理求出OG的长，然后根据DG=OG-OD求出DG的长与3比较大小，即可作出判断。 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $