1.3 证明 同步课时练 2026-2027学年浙教版八年级数学上册

第1章　三角形

1.3　证明　同步课时练

【教材版本】浙教版八年级上册（现行教材）　　【建议用时】45分钟　　【满分】100分

【学习目标】

1. 了解证明的意义，知道通过实验、观察、归纳得到的结论不一定正确；

2. 理解证明的表述格式，会分清命题的条件和结论，写出「已知」「求证」；

3. 会证明三角形内角和定理及其推论，能用外角的性质进行简单的推理与计算。

【知识梳理】

一、为什么需要证明

◆  通过观察，先猜想结论，再验证，往往会出错。例如看上去并不平行的一组直线，量一量却发现它们互相平行；又如当 n＝0，1，2，3，4，5 时，代数式 n²－3n＋7 的值分别是 7，5，5，7，11，17，都是质数，但当 n＝6 时，这个代数式的值是 25，不是质数。

◆  通过实验、观察、归纳得到的结论可能正确，也可能不正确。因此，要判断一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理等，一步一步推得结论成立。这样的推理过程叫作证明。

二、证明的表述格式

◆  证明几何命题时，表述格式一般是：（1）按题意画出图形；（2）分清命题的条件和结论，结合图形，在「已知」中写出条件，在「求证」中写出结论；（3）在「证明」中写出推理过程。

◆  证明过程中的每一步推理都要有依据，依据作为推理的理由，可以写在每一步后面的括号内。在解决几何问题时，有时需要添加辅助线，添辅助线的过程要写入证明中，辅助线通常画成虚线。

三、三角形内角和定理

◆  三角形三个内角的和等于 180°。证明时，过三角形的一个顶点作对边的平行线，把三个内角「搬」到一起，凑成一个平角。

四、三角形的外角与推论

◆  三角形的一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角，叫作该三角形的外角。由 ∠ACD＋∠ACB＝180°，∠A＋∠B＋∠ACB＝180°，得 ∠ACD＝∠A＋∠B。

◆  三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。这是由三角形内角和定理直接推理得到的一个推论，推论也可以作为推理的依据。

◆  由此还可得到：三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角；三角形不共顶点的三个外角的和等于 360°。

一、选择题（每小题5分，共25分）

1.（5分）下列选项中，不能作为推理依据的是（　　）

A. 定义　　B. 基本事实

C. 定理　　D. 通过测量得到的结论

2.（5分）在 △ABC 中，∠A＝50°，∠B＝60°，则与 ∠C 相邻的外角等于（　　）

A. 70°　　B. 110°　　C. 120°　　D. 130°

3.（5分）三角形不共顶点的三个外角的和等于（　　）

A. 180°　　B. 270°　　C. 360°　　D. 540°

4.（5分）如图1，AB∥CD，EP，FP 分别平分 ∠BEF，∠DFE，则 ∠PEF＋∠PFE 等于（　　）

A. 45°　　B. 60°　　C. 90°　　D. 120°

图1　AB∥CD，EP，FP 分别平分 ∠BEF，∠DFE

5.（5分）在 △ABC 中，∠A:∠B:∠C＝1:2:3，则与 ∠A 相邻的外角等于（　　）

A. 30°　　B. 60°　　C. 120°　　D. 150°

二、填空题（每小题5分，共25分）

6.（5分）如图2，DE∥BC，∠1＝∠E。因为 DE∥BC，所以 ∠2＝∠E（______）；又 ∠1＝∠E，所以 ∠1＝∠2，即 BE 平分 ∠ABC。

图2　DE∥BC，∠1＝∠E

7.（5分）已知 ∠ACD 是 △ABC 的外角，∠A＝50°，∠ACD＝120°，则 ∠B＝ ______。

8.（5分）如图3，BC⊥AC 于点 C，CD⊥AB 于点 D，∠EBC＝∠A。因为 ∠ACB＝90°，所以 ∠ACD＋∠BCD＝90°；又 CD⊥AB，所以 ∠A＋∠ACD＝90°，所以 ∠BCD＝∠A（______），从而 ∠EBC＝∠BCD，所以 BE∥CD（______）。

图3　BC⊥AC，CD⊥AB，∠EBC＝∠A

9.（5分）一个三角形的两个外角分别是 100° 和 130°，则第三个外角是 ______，最大的内角是 ______。

10.（5分）如图4，∠ACD 是 △ABC 的外角，CE 平分 ∠ACD。已知 ∠A＝70°，∠B＝50°，则 ∠ACE＝ ______。

图4　CE 平分 △ABC 的外角 ∠ACD