1.2～1.3 定义与命题、证明 分类练习 2026-2027学年浙教版八年级数学上册

**基本信息** 该同步练习聚焦定义与命题、证明及三角形外角性质，通过基础概念辨析、推理过程书写到综合逻辑应用的三层递进设计，强化数学抽象与推理能力，适配新授课分层巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|命题判断、真假识别、反例构造、命题改写|以选择填空为主，直接考查定义理解，如命题的判断与改写，培养抽象能力| |进阶层|证明过程规范书写|填空式推理步骤，引导逻辑表达，如三角形全等证明填空，发展推理意识| |综合层|逻辑推理应用、三角形外角性质综合|情境化问题（如四人比身高推理）与几何性质应用（如外角计算），提升几何直观与综合思维|

1.2&1.3定义与命题、证明常考题型汇编[杭州专用]答案解析2026--2027学年浙教版八年级数学上册 题型一 命题的判断 1.下列句子中，属于命题的是(    ) A. 垂线段最短 B. 作一个角等于已知角 C. 将16开平方 D. 负数小于正数吗？ 【答案】A  【解析】解：命题是能判断真假的陈述句， “垂线段最短”是陈述句，且为真； B.“作一个角等于已知角”是操作指令，不是陈述句； C.“将16开平方”是操作指令，不是陈述句； D.“负数小于正数吗？”是疑问句，不是陈述句； 故选： 命题是能判断真假的陈述句；选项A是陈述句且为真；选项B和C是操作指令，不是陈述句；选项D是疑问句，不是陈述句． 本题主要考查命题，熟练掌握命题的定义是解题的关键． 2．下面语句是命题的是（ ） A．是有理数 B．已知，求 C．作的角平分线 D．正数大于一切负数吗？ 【答案】A 【分析】根据命题的定义逐一判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、对事情作出了判断，是命题，符合题意； B、为陈述句，没有对问题作出判断，不是命题，不符合题意； C、为陈述句，没有对问题作出判断，不是命题，不符合题意； D、为疑问句，没有对问题作出判断，不是命题，不符合题意． 故选：A． 【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解命题是判断一件事情的句子，难度不大． 3．下列语句不是命题的是（    ） A．对顶角相等 B．连结，并延长至点 C．两直线平行，内错角相等 D．等角的补角相等 【答案】B 【分析】此题考查了命题，命题是能判断真假的陈述句．B选项是描述作图过程的语句，不是陈述句，因此不是命题． 【详解】解：∵ 命题是能判断真假的陈述句； A、C、D均为几何真命题，是陈述句； B为作图指令，不是陈述句，无法判断真假； ∴ B不是命题． 故选：B 4．下列描述属于定义的是（   ） A．两直线平行，内错角相等 B．三角形的内角和等于 C．对顶角相等 D．有一个角是直角的三角形叫作直角三角形 【答案】D 【分析】本题考查了定义的概念，熟记定义的概念是解题的关键． 根据定义的概念逐项判断即可． 【详解】解：A． 两直线平行，内错角相等是平行线的性质，故该选项不符合题意； B． 三角形的内角和等于是三角形的内角和定理，故该选项不符合题意； C． 对顶角相等是定理，故该选项不符合题意； D． 有一个角是直角的三角形叫作直角三角形是定义，故该选项符合题意； 故选：D． 题型二 判断命题真假 1．下列命题中，是真命题的是（    ） A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B．过直线外一点有无数条直线与已知直线平行 C．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 D．直线外一点到这条直线的垂线段叫作这点到直线的距离 【答案】C 【分析】本题考查命题的真假判断，涉及平行线的性质、平行公理、点到直线的距离等初中数学知识点．根据相关定义和定理逐项分析即可． 【详解】解：、两条直线被第三条直线所截，只有当两条直线平行时，同位角才相等，故本选项不符合题意； 、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项不符合题意； 、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，故本选项符合题意； 、点到直线的距离是垂线段的长度，而不是垂线段本身，故本选项不符合题意； 故选：． 2．以下四个命题中，假命题是（    ） A．三角形的三条高所在的直线一定相交于三角形内 B．三角形三个内角中至少有两个锐角 C．对顶角相等 D．一个数能被4整除，这个数也能被2整除 【答案】A 【分析】本题考查真假命题的判断，逐一分析各选项的正确性，重点在于理解每个命题的数学依据，尤其是可能存在特殊情况或前提条件的情况． 【详解】解：选项A：锐角三角形的垂心在内部；直角三角形的垂心在直角顶点（即边上）；钝角三角形的垂心在外部； 因此，选项A中“一定相交于三角形内”不成立，存在反例（如钝角三角形），是假命题，选项正确； 选项B： 根据三角形内角和为： 若存在一个直角，则剩余两角和为，必为两个锐角； 若存在一个钝角（如），剩余两角和为，均为锐角； 若三个角均为锐角（如等边三角形），显然满足条件， 因此选项B中“三角形三个内角中至少有两个锐角”为真命题，选项错误； 选项C：根据几何基本定理，对顶角一定相等，选项C为真命题，选项错误； 选项D：因为，能被4整除的数必为偶数（即能被2整除），选项D为真命题，选项错误． 故选：A． 3．下列命题为假命题的是（    ）． A．对顶角相等 B．等角的补角相等 C．同旁内角互补 D．两直线平行，同位角相等 【答案】C 【分析】本题考查命题，命题是由题设和结论两部分组成的陈述句，正确的命题叫真命题；错误的命题叫假命题，熟记对顶角、补角及平行线的性质是解决问题的关键． 根据对顶角、补角、平行线的性质逐项验证即可得到答案． 【详解】解：A、对顶角相等，选项命题是真命题，不符合题意； B、等角的补角相等，选项命题是真命题，不符合题意； C、两直线平行、同旁内角互补，选项命题是假命题，符合题意； D、两直线平行，同位角相等，选项命题是真命题，不符合题意； 故选：C． 题型三 假命题举反例 1．（2025八上·杭州月考）对于命题“若，则”能说明它属于假命题的反例是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【知识点】举反例判断命题真假 【解析】【解答】解：A．，则，，不能说明，故A不符合题意； B．，则，，可以说明，故B符合题意． C．，则，，不能说明，故C不符合题意； D．，则，，不能说明，故D不符合题意． 故选：B． 【分析】根据举例条件符合题意，但不符合结论逐项判断解答． 2.命题“若，则”是一个错误的命题，请举一个反例说明：________． 【答案】，而（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理，判断一个命题是假命题的方法可以举出反例． 如，说明即可． 【详解】解：当，时， ，而； 故命题“若，则”是一个错误的命题， 故答案为：，而（答案不唯一）． 3．用“举反例”的方法说明命题“若有平方根，则是正数”是假命题，则反例是________． 【答案】/ 【分析】本题考查的是平方根的含义，举反例说明命题是假命题；先举例：当时，有平方根，但是不是正数，从而可得答案. 【详解】解：当时，有平方根，但是不是正数， ∴说明命题“若有平方根，则是正数”是假命题，则反例是：； 故答案为： 题型四 命题改写 1．将“对顶角相等”改写成“如果…，那么…”的形式____________________， 将“等角的余角相等”改写成“如果…，那么…”的形式____________________． 【答案】 如图两个角是对顶角，那么这两个角相等 如果两个角相等，那么它们的余角也相等 【分析】根据命题的定义，把命题改写为题设和结论的形式即可． 【详解】根据命题的定义， 将“对顶角相等”改写成：如图两个角是对顶角，那么这两个角相等 将“等角的余角相等”改写为：如果两个角相等，那么这两个角的余角也相等． 故答案为：如图两个角是对顶角，那么这两个角相等；如果两个角相等，那么它们的余角也相等． 【点睛】本题考查了命题的条件和结论的叙述，命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面接的部分是结论． 2．把命题“三角形的内角和等于”改写成“如果那么”的形式：如果______，那么______． 【答案】 三个角是三角形的内角 它们的和等于 【分析】本题考查了命题，根据命题的题设和结论写出即可，找出命题的题设和结论是解题的关键． 【详解】解：把命题“三角形的内角和等于”改写成“如果那么”的形式：如果三个角是三角形的内角，那么它们的和等于， 故答案为：三个角是三角形的内角，它们的和等于． 3．如果，那么，这个命题的条件是______，结论是______． 【答案】 【分析】本题考查了命题的结果，掌握命题是由题设（条件）和结论组成是关键，根据命题的结果判定即可求解． 【详解】解：如果，那么， ∴这个命题的条件是，结论是， 故答案为：①，② ． 题型五 证明过程书写 1. 已知：如图，，，求证：平分．请完成下面的推理过程（填空）． 证明：在和中， ______（______）， ， 平分． 【答案】；公共边；； 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，根据证明，得到，进而可得结论． 【详解】证明：在和中， ∵， ， ， 平分． 故答案为：；公共边；；． 2．如图，直线DE经过点A，． 填空： ∵， ∴______（______），______（______）， ∵直线过点A ∴，∴____________． 于是，我们证明了结论：______． 【答案】，两直线平行，内错角相等，，两直线平行，内错角相等，，，三角形的内角和等于； 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的证明，平行线的性质，根据题干信息逐步完善推理过程与推理依据即可； 【详解】解：， ∴（两直线平行，内错角相等），（两直线平行，内错角相等）， ∵直线过点A ∴， ∴． 于是，我们证明了结论：三角形的内角和等于． 3．如图，点、、在同一条直线上，请你从下面三个条件中，选出两个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个正确的命题．①；②；③平分． (1)上述问题有哪几种正确命题，请按“”的形式一一书写出来； (2)选择（1）中的一个真命题加以说明． 【答案】(1)有三种正确命题，命题1：；命题2：；命题3： (2) 解：选择命题1：． 证明：∵， ∴，． ∵， ∴． ∴平分． 选择命题2：． 证明：∵， ∴，． ∵平分， ∴． ∴． 选择命题3：． 证明：∵平分， ∴． ∴， ∵， ∴． ∴， ∴． 【分析】（1）根据题意，结合平行线的性质和角平分线的性质，选择两个条件做题设，一个条件做结论，得到正确的命题． （2）任选一个命题，根据平行线的性质，角平分线的性质和三角形内角和定理即可证明． 【详解】（1）解：上述问题有三种正确命题，分别是： 命题1：； 命题2：； 命题3：． （2）略 【点睛】本题考查写出一个命题并求证，正确利用平行线的性质和角平分线的性质写出命题并求证是解题的关键． 题型六 逻辑推理与论证 1．甲、乙、丙、丁在比身高，甲说：“我最高。”乙说：“我不最矮。”丙说：“我没有甲高，但还有人比我矮。”丁说：“我最矮。”实际测量表明只有一人说错了，身高从高到低排第三位的是（    ）． A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】根据题干可得：丁没有说错，因为如果丁说错了，这四个人就没有最矮的了，抓住这一点即可展开讨论推理，从而解决问题． 【详解】解：根据题干分析可得：丁没有说错，则乙也没有说错，那么甲和丙中有一个人说错了； 假设甲说对了“我最高”，那么丙也说对了“我没有甲高，但还有人比我矮”，所以此假设不成立，即：甲说错了，那么丙就说对了． 由上述推理可得：这四个人的身高按从高到矮排列：乙、甲、丙、丁． 所以排在第三位的是丙． 故选：C． 【点睛】本题考查逻辑推理初步，根据题干得出丁没有说错，从而得出乙也没有说错是本题进行推理的关键所在． 2．甲、乙、丙、丁四位同学在操场上踢足球，不小心打碎了玻璃窗．老师问他们是谁打碎了玻璃窗． 甲说：“是丙，也可能是丁打碎的．” 乙说：“一定是丁打碎的．” 丙说：“我没有打碎玻璃窗．” 丁说：“我没有干这件事．” 若四位同学中只有一位说了谎话，由此我们可以推断，打碎玻璃的同学是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】本题考查推理与论证，利用假设法解决逻辑问题，得出结论是解答的关键．根据题意，利用假设法逐一判断即可． 【详解】解：假设是甲打碎玻璃窗，则甲、乙2人说了谎，与已知不相符，故选项A错误； 假设是乙打碎玻璃窗，则甲、乙2人说了谎，与已知不相符，故选项B错误； 假设是丙打碎玻璃窗，则乙、丙2人说了谎，与已知不相符，故选项C错误； 假设是丁打碎玻璃窗，则丙1人说了谎，与已知相符，故选项D正确； 故选：D． 3．A，B，C，D，E五名学生猜测自己能否进入市中国象棋前三强．A说：“如果我进入，那么B也进入．”B说：“如果我进入，那么C也进入．”C说：“如果我进入，那么D也进入．”D说：“如果我进入，那么E也进入，”大家都没有说错，则进入前三强的三个人是（   ） A．A，B，C B．B，C，D C．D，E，A D．C，D，E 【答案】D 【分析】此题考查了推理与论证．若，进入了前三强，那么、、、也均能进入，由于前三强只有三个人，显然这是不合理的；因此只有当进行前三强，那么、也进入，这样才符合题意． 【详解】解：若进入前三强，那么进入前三强的有、、、、共5人，显然不合题意， 同理，当进入前三强时，也不合题意，所以应从开始进入前三强．即进入前三强的是，，． 故选：D． 题型七 三角形外角的定义与性质 1．如图，在中，，外角，则 ______． 【答案】/度 【分析】本题考查三角形的外角性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，根据图示，由三角形的外角性质得到即可． 【详解】解：， , 故答案为：． 2．将一副三角板如图叠放在一起，则图中的度数为________．    【答案】/105度 【分析】该题主要考查了三角板中的角度计算以及三角形外角的性质，解题的关键是掌握三角形外角的性质． 根据图象算出，再根据三角形外角的性质即可求出的度数． 【详解】解：如图，， ∴， 故答案为：．    3．如图，在中，，将沿直线翻折，点落在点的位置，则的度数是_____． 【答案】/76度 【分析】本题考查了折叠的性质、三角形的外角性质等知识，熟练掌握折叠的性质是解题关键．先根据折叠的性质可得，，再根据三角形的外角性质可得，则可得和的大小，据此建立等式，化简求解即可得． 【详解】解：由折叠的性质得：，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 4．如图，与、分别交于点、，则______ 【答案】 180 【分析】根据三角形外角的性质可得，再根据平角的定义和三角形内角和定理即可得答案． 【详解】解：∵和分别是和的外角， ∴， ∴， ∵， ∴． 5．如图，点D在上，点E在上，相交于点O． (1)若，求的度数； (2)试猜想与之间的关系，并证明你的猜想． 【答案】(1) (2) 解：猜想，理由如下： ，， ． 【分析】（1）根据三角形的外角性质求出，根据三角形内角和定理求出的度数； （2）根据三角形的外角性质证明即可． 本题考查的是三角形的外角性质、三角形内角和定理，熟记三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 【详解】（1）解： ，， ， ； （2）略 6．（1）如图1，在中，和的平分线交于点O，求与的关系，请说明理由． （2）如图2，在中，内角的平分线和外角的平分线交于点O，请直接写出与的关系，不必说明理由． （3）如图3，分别平分，，求与（）的关系，请说明理由． （4）如图4，分别平分，，请直接写出与，的关系，不必说明理由． 【答案】 （1），理由如下： ∵在中，， ∴， ∵是∠ABC的平分线， ∴， 同理可得： ∴， ∵在中，， ∴； （2）； （3），理由如下： ∵分别平分， ∴， ∵是和的外角， ∴， ∴， ∴， ∵是和的外角， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （4） 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、三角形外角的性质、角的和差等知识点，弄清角之间的关系成为解题的关键． （1）由三角形内角和定理可得，再根据角平分线的定义可得、，易得，然后再根据三角形内角和定理即可解答； （2）由角平分线的定义可得，易得，然后根据等量代换以及角的和差即可解答； （3）由角平分线的定义可得，再根据三角形外角的性质可得，进而得到；同理可得，再根据等量代换即可解答； （4）由角平分线的定义可得，再结合三角形内角和定理以及等量代换可得，再结合，运用等量代换即可解答． 【详解】解：（1）略 （2），理由如下： ∵是的角平分线， ∴． 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． （3）略 （4），理由如下： ∵分别平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2&1.3定义与命题、证明常考题型汇编[杭州专用]2026--2027学年浙教版八年级数学上册 题型一 命题的判断 1.下列句子中，属于命题的是(    ) A. 垂线段最短 B. 作一个角等于已知角 C. 将16开平方 D. 负数小于正数吗？ 2．下面语句是命题的是（ ） A．是有理数 B．已知，求 C．作的角平分线 D．正数大于一切负数吗？ 3．下列语句不是命题的是（    ） A．对顶角相等 B．连结，并延长至点 C．两直线平行，内错角相等 D．等角的补角相等 4．下列描述属于定义的是（   ） A．两直线平行，内错角相等 B．三角形的内角和等于 C．对顶角相等 D．有一个角是直角的三角形叫作直角三角形 题型二 判断命题真假 1．下列命题中，是真命题的是（    ） A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B．过直线外一点有无数条直线与已知直线平行 C．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 D．直线外一点到这条直线的垂线段叫作这点到直线的距离 2．以下四个命题中，假命题是（    ） A．三角形的三条高所在的直线一定相交于三角形内 B．三角形三个内角中至少有两个锐角 C．对顶角相等 D．一个数能被4整除，这个数也能被2整除 3．下列命题为假命题的是（    ）． A．对顶角相等 B．等角的补角相等 C．同旁内角互补 D．两直线平行，同位角相等 题型三 假命题举反例 1．（2025八上·杭州月考）对于命题“若，则”能说明它属于假命题的反例是（　　） A．， B．， C．， D．， 2. 命题“若，则”是一个错误的命题，请举一个反例说明：________． 3．用“举反例”的方法说明命题“若有平方根，则是正数”是假命题，则反例是________． 题型四 命题改写 1．将“对顶角相等”改写成“如果…，那么…”的形式____________________， 将“等角的余角相等”改写成“如果…，那么…”的形式____________________． 2．把命题“三角形的内角和等于”改写成“如果那么”的形式：如果______，那么______． 3．如果，那么，这个命题的条件是______，结论是______． 题型五 证明过程书写 1. 已知：如图，，，求证：平分．请完成下面的推理过程（填空）． 证明：在和中， ______（______）， ， 平分． 2．如图，直线DE经过点A，． 填空： ∵， ∴______（______），______（______）， ∵直线过点A ∴，∴____________． 于是，我们证明了结论：______． 3．如图，点、、在同一条直线上，请你从下面三个条件中，选出两个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个正确的命题．①；②；③平分． (1)上述问题有哪几种正确命题，请按“”的形式一一书写出来； (2)选择（1）中的一个真命题加以说明． 题型六 逻辑推理与论证 1．甲、乙、丙、丁在比身高，甲说：“我最高。”乙说：“我不最矮。”丙说：“我没有甲高，但还有人比我矮。”丁说：“我最矮。”实际测量表明只有一人说错了，身高从高到低排第三位的是（    ）． A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 2．甲、乙、丙、丁四位同学在操场上踢足球，不小心打碎了玻璃窗．老师问他们是谁打碎了玻璃窗． 甲说：“是丙，也可能是丁打碎的．” 乙说：“一定是丁打碎的．” 丙说：“我没有打碎玻璃窗．” 丁说：“我没有干这件事．” 若四位同学中只有一位说了谎话，由此我们可以推断，打碎玻璃的同学是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 3．A，B，C，D，E五名学生猜测自己能否进入市中国象棋前三强．A说：“如果我进入，那么B也进入．”B说：“如果我进入，那么C也进入．”C说：“如果我进入，那么D也进入．”D说：“如果我进入，那么E也进入，”大家都没有说错，则进入前三强的三个人是（   ） A．A，B，C B．B，C，D C．D，E，A D．C，D，E 题型七 三角形外角的定义与性质 1．如图，在中，，外角，则 ______． 2．将一副三角板如图叠放在一起，则图中的度数为________．    3．如图，在中，，将沿直线翻折，点落在点的位置，则的度数是_____． 4．如图，与、分别交于点、，则______ 5．如图，点D在上，点E在上，相交于点O． (1)若，求的度数； (2)试猜想与之间的关系，并证明你的猜想． 6．（1）如图1，在中，和的平分线交于点O，求与的关系，请说明理由． （2）如图2，在中，内角的平分线和外角的平分线交于点O，请直接写出与的关系，不必说明理由． （3）如图3，分别平分，，求与（）的关系，请说明理由． （4）如图4，分别平分，，请直接写出与，的关系，不必说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $