1.7 角平分线的性质 同步课时练 2026-2027学年浙教版八年级数学上册

第1章　三角形

1.7　角平分线的性质　同步课时练

【教材版本】浙教版八年级上册（现行教材）　　【建议用时】45分钟　　【满分】100分

【学习目标】

1. 理解角平分线的概念，会用直尺和圆规作一个角的平分线，并能说明作法的道理；

2. 掌握角平分线的性质定理，知道定理中的「距离」是点到角两边的垂线段的长；

3. 会用角平分线的性质定理证明线段相等、求点到直线的距离与图形的面积。

【知识梳理】

一、角平分线的概念与作法

◆  从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫作这个角的平分线。

◆  工人师傅用角尺平分一个角：∠AOB 是任意角，在 OA，OB 上分别取 OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点 M，N 重合，那么过角尺顶点 C 的射线 OC 就是∠AOB 的平分线。依据是 CM＝CN，OM＝ON，OC＝OC，所以 △OMC≌△ONC（SSS），于是 ∠MOC＝∠NOC。

◆  用直尺和圆规作∠BAC 的平分线 AD：① 以点 A 为圆心、适当长为半径作弧，与角的两边分别交于 E，F 两点；② 分别以点 E，F 为圆心、大于 EF 长度一半的长为半径作弧，两弧在∠BAC 内交于点 D；③ 作射线 AD。射线 AD 就是∠BAC 的平分线（如图1）。

图1　尺规作∠BAC 的平分线 AD

◆  道理：连结 DE，DF。由作法得 AE＝AF，DE＝DF，又 AD＝AD，所以 △ADE≌△ADF（SSS），所以 ∠1＝∠2，即 AD 平分∠BAC。

二、角平分线的性质定理

◆  任意作一个角∠BAC，P 是∠BAC 的平分线上的一点，PD⊥AB 于点 D，PE⊥AC 于点 E，量一量 PD 与 PE，可以发现 PD＝PE（如图2）。

图2　P 在∠BAC 的平分线上，PD⊥AB，PE⊥AC

◆  角平分线上的点到角两边的距离相等。

◆  定理中的「距离」是点到角两边的垂线段的长度。所以用这个定理时，一定要先作出（或指出）垂线段，不能把角平分线上一点与边上任意一点连起来的线段当作距离。

◆  反过来，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。所以作「到角两边距离相等的点」，只要作出这个角的平分线。

三、性质定理的用法

◆  要证两条线段相等，若它们分别是从同一点到角两边的垂线段，就不必再证三角形全等，可直接用性质定理；要求点到直线的距离，先找角平分线，再由另一点的垂线段转化。

◆  两条平行线被第三条直线所截，一对同旁内角的平分线相交，这个交点到这三条直线的距离都相等。比如 AB∥CD，BP，CP 分别平分∠ABC 和∠DCB，那么点 P 到 AB，BC，CD 的距离相等。

四、过直线上一点作已知直线的垂线

◆  已知直线 l 和 l 上一点 A。以点 A 为圆心、适当长为半径作弧，与 l 交于 M，N 两点；分别以 M，N 为圆心、大于 MN 长度一半的长为半径作弧，两弧交于点 P；作直线 AP，则 AP⊥l。

◆  道理：AM＝AN，PM＝PN，所以点 A，P 都在线段 MN 的垂直平分线上，直线 AP 就是线段 MN 的垂直平分线，所以 AP⊥l，并且经过 MN 的中点。

一、选择题（每小题5分，共25分）

1.（5分）下列说法中，正确的是（　　）

A. 角的平分线是一条线段

B. 角平分线上的点到角两边的距离相等

C. 角平分线上的点到角两边上任意一点的距离相等

D. 角的平分线经过角的顶点，但可能在角的外部

2.（5分）如图3，∠AOB 是任意角，在 OA，OB 上分别取 OM＝ON。移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点 M，N 重合，过角尺顶点 C 的射线 OC 就是∠AOB 的平分线。得到 ∠MOC＝∠NOC 的依据是（　　）

A. SAS　　B. SSS　　C. ASA　　D. AAS

图3　移动角尺，使刻度与 M，N 重合

3.（5分）在 △ABC 中，∠C＝90°，AD 平分∠BAC，交 BC 于点 D。若点 D 到 AB 的距离为 5，则 CD 的长为（　　）

A. 2.5　　B. 5　　C. 10　　D. 不能确定

4.（5分）如图4，AB 平分∠CAD，∠C＝∠D＝90°。若 BC＝5，则 BD 的长为（　　）

A. 2.5　　B. 5　　C. 10　　D. 不能确定

图4　AB 平分∠CAD，∠C＝∠D＝90°