1.7 角平分线的性质 课时作业 2026-2027学年浙教版数学 八年级上册

**基本信息** 初中数学八年级上册1.7角平分线的性质同步练，以“基础巩固-推理应用-拓展提升”分层设计，通过概念梳理、阶梯题型与实际情境，培养几何直观、推理能力与应用意识，适配新授课知识内化与能力进阶需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |知识点梳理|角平分线性质/判定、尺规作图、三角形角平分线性质|以定义+几何语言+证明思路构建概念体系，配易错提醒强化理解| |基础巩固|性质直接应用、距离概念、简单计算|课前热身填空+选择填空，聚焦单一知识点，如性质求距离、面积法基础| |推理与证明|性质与判定综合应用、全等推理|规范证明步骤（如证PD=PE、OP垂直平分DE），培养逻辑推理能力| |实际应用|面积法、选址问题|结合三角形面积计算（如已知面积求距离）、加油站选址，体现模型意识| |拓展探究|动点问题、多角平分线综合|含动点P移动中PD=PE关系探究、三角形内角平分线交角计算，发展创新意识|

浙教版八年级上册 第1章 1.7 角平分线的性质 课时作业 第1章 三角形 浙教版 八年级上册 1.7 角平分线的性质 课时作业 班级：＿＿＿＿＿＿　　姓名：＿＿＿＿＿＿　　学号：＿＿＿＿　　得分：＿＿＿＿ （满分 100 分　建议用时 45 分钟） 一、知识点梳理 知识点 1　角平分线与点到直线的距离 从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。 点到直线的距离：从直线外一点向这条直线作垂线，垂线段的长度叫做这个点到这条直线的距离。 注意：距离是 “垂线段的长度”，不是任意一条连线的长度。 知识点 2　性质定理 角平分线上的点到角的两边的距离相等。 图 1　OC 平分 ∠AOB，PD ⊥ OA，PE ⊥ OB 几何语言：因为 OC 平分 ∠AOB，点 P 在 OC 上，PD ⊥ OA 于 D，PE ⊥ OB 于 E， 所以 PD = PE。 证明思路：在 △OPD 和 △OPE 中，∠ODP = ∠OEP = 90°，∠DOP = ∠EOP，OP = OP， 所以 △OPD ≌ △OPE（AAS），所以 PD = PE。 顺带结论：由这两个三角形全等还可以得到 OD = OE，∠OPD = ∠OPE。 知识点 3　判定定理 在角的内部，到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 几何语言：因为 PD ⊥ OA，PE ⊥ OB，PD = PE，点 P 在 ∠AOB 的内部， 所以 OP 平分 ∠AOB。 定　理 条　件 结　论 作　用 性质定理 点在角平分线上 点到角两边的距离相等 证明两条垂线段相等 判定定理 角内部的点到两边距离相等 点在这个角的平分线上 证明射线是角平分线 　 特别提醒：判定定理中 “在角的内部” 这个前提不能丢掉。 知识点 4　尺规作图：作角的平分线 已知 ∠AOB，作它的平分线的步骤： ① 以点 O 为圆心，适当长为半径画弧，分别交 OA、OB 于点 M、N； ② 分别以 M、N 为圆心，大于 MN 的长为半径画弧，两弧在角的内部交于点 P； ③ 作射线 OP，射线 OP 就是 ∠AOB 的平分线。 道理：由作图得 OM = ON，MP = NP，又 OP = OP，所以 △OMP ≌ △ONP（SSS）， 所以 ∠MOP = ∠NOP，即 OP 平分 ∠AOB。 知识点 5　三角形三条角平分线的性质 图 2　三条角平分线交于一点 P 三角形的三条角平分线相交于一点，这一点到三角形三边的距离相等。 如图 2，设这一点到三边的距离为 d，三角形的三边长分别为 a、b、c，则 S△ABC = ad + bd + cd = d(a + b + c)， 即 三角形的面积 = × 周长 × 这一点到三边的距离。这就是常用的 “面积法”。 易错提醒：① 判定定理必须加上 “在角的内部”，否则结论不成立；② “距离” 一定是垂线段的长度，作图时别忘了画直角标记；③ 三条角平分线的交点到三边距离相等，不是到三个顶点距离相等（那是三边垂直平分线的交点）；④ 用性质定理时，两条垂线段必须分别垂直于角的两边。 二、典例精析 例 1　如图 1，OC 平分 ∠AOB，点 P 在 OC 上，PD ⊥ OA 于点 D，PE ⊥ OB 于点 E。若 PD = 3 cm，∠AOB = 60°，求 PE 的长与 ∠AOC 的度数。 解：因为 OC 平分 ∠AOB，点 P 在 OC 上，PD ⊥ OA，PE ⊥ OB， 所以 PE = PD = 3 cm（角平分线上的点到角的两边的距离相等）。 因为 OC 平分 ∠AOB，∠AOB = 60°， 所以 ∠AOC = ∠AOB = × 60° = 30°。 例 2　已知：如图 1，OC 平分 ∠AOB，点 P 在 OC 上，PD ⊥ OA 于 D，PE ⊥ OB 于 E。求证：PD = PE。 分析：把两条垂线段放到两个三角形中，证明这两个三角形全等。 证明：因为 PD ⊥ OA，PE ⊥ OB， 所以 ∠ODP = ∠OEP = 90°。 因为 OC 平分 ∠AOB，所以 ∠DOP = ∠EOP（角平分线的定义）。 在 △ODP 和 △OEP 中， ∠ODP = ∠OEP（已证），∠DOP = ∠EOP（已证），OP = OP（公共边）， 所以 △ODP ≌ △OEP（AAS）。 所以 PD = PE（全等三角形的对应边相等）。 例 3　（面积法）如图 3，在 △ABC 中，AD 平分 ∠BAC，DE ⊥ AB 于点 E，DF ⊥ AC 于点 F。已知 AB = 10，AC = 6，△ABC 的面积为 24，求 DE 的长。 图 3　AD 平分 ∠BAC 分析：AD 把 △ABC 分成 △ABD 与 △ACD，它们分别以 AB、AC 为底，高恰好是 DE、DF，而 DE = DF。 解：因为 AD 平分 ∠BAC，DE ⊥ AB，DF ⊥ AC， 所以 DE = DF（角平分线上的点到角的两边的距离相等）。 设 DE = DF = d，则 S△ABC = S△ABD + S△ACD = × AB × d + × AC × d = × d × (AB + AC) = × d × (10 + 6) = 8d。 所以 8d = 24，解得 d = 3，即 DE = 3。 例 4　（实际应用）如图，三条公路两两相交，围成一个三角形区域。现在要在这个区域内修建一个加油站，使它到三条公路的距离都相等。 例 4 图 解：分别作三角形两个内角的平分线，两条角平分线的交点 P 就是加油站的位置。 理由：点 P 在一个角的平分线上，所以它到这个角两边（即两条公路）的距离相等； 点 P 又在另一个角的平分线上，所以它到那个角两边的距离也相等。 由等量代换可知，点 P 到三条公路的距离都相等。 说明：在三角形区域内部，这样的点只有一个。 解题思路提炼：见 “角平分线 + 垂线段” 就想 “距离相等”；见 “距离相等（在角内）” 就想 “角平分线”。若题目中出现面积与周长，优先考虑面积法。 三、基础巩固 （〇）课前热身（不计分，直接填空） ① 点到直线的距离是指这个点到直线的＿＿＿＿的长度。 ② 角平分线上的点到角的两边的＿＿＿＿相等。 ③ 在角的＿＿＿＿，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上。 ④ 三角形三条角平分线的交点到三角形＿＿＿＿的距离相等。 ⑤ 尺规作角平分线的原理是三角形全等的判定方法＿＿＿＿。 （一）选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1．如图 1，OC 平分 ∠AOB，PD ⊥ OA，PE ⊥ OB。若 PD = 4，则 PE 等于（　　） A．2　　　　　　B．4　　　　　　C．8　　　　　　D．无法确定 2．下列说法中，正确的是（　　） A．角平分线上的点到角的两边的距离相等 B．到角两边距离相等的点一定在这个角的平分线上 C．角平分线上的点到角两边端点的距离相等 D．三角形三条角平分线的交点到三个顶点的距离相等 3．三角形三条角平分线的交点到三角形（　　） A．三个顶点的距离相等　　　　B．三边的距离相等 C．三条中线的距离相等　　　　D．以上都不对 4．如图 3，AD 平分 ∠BAC，DE ⊥ AB 于 E，DF ⊥ AC 于 F，则下列结论中不一定成立的是（　　） A．DE = DF　　B．AE = AF　　C．∠ADE = ∠ADF　　D．BD = CD 5．在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AD 平分 ∠CAB 交 BC 于点 D，DE ⊥ AB 于点 E。若 CD = 3 cm，则 DE 等于（　　） A．3 cm　　　　B．4 cm　　　　C．5 cm　　　　D．6 cm 6．如图 2，P 是 △ABC 三条角平分线的交点。若点 P 到 AB 的距离为 2，则点 P 到 BC 的距离为（　　） A．1　　　　　　B．2　　　　　　C．4　　　　　　D．无法确定 7．如图 3，若 AB = 8，AC = 6，DE = 3，则 △ABC 的面积等于（　　） A．21　　　　　B．24　　　　　C．42　　　　　D．18 8．要在三角形区域内修一个加油站，使它到三条公路的距离都相等，这样的位置有（　　） A．1 个　　　　 B．2 个　　　　C．3 个　　　　 D．无数个 9．用尺规作角平分线时，所依据的三角形全等的判定方法是（　　） A．SSS　　　　　B．SAS　　　　　C．ASA　　　　　D．AAS 10．已知 △ABC 的周长为 20 cm，三条角平分线的交点 P 到 AB 的距离为 3 cm，则 △ABC 的面积为（　　） A．30 cm2　　B．60 cm2　　C．15 cm2　　D．20 cm2 （二）填空题（每小题 3 分，共 24 分） 11．如图 1，OC 平分 ∠AOB，PD ⊥ OA，PE ⊥ OB。若 PE = 6 cm，则 PD = ＿＿＿ cm。 12．如图 1，若 ∠AOB = 80°，则 ∠AOC = ＿＿＿＿。 13．如图 1，由 △ODP ≌ △OEP 还可以得到 OD = ＿＿＿＿。 14．在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AD 平分 ∠CAB，DE ⊥ AB 于 E。若 DE = 4 cm，则 CD = ＿＿＿ cm。 15．如图 3，AD 平分 ∠BAC，DE ⊥ AB 于 E，DF ⊥ AC 于 F。若 AE = 5 cm，则 AF = ＿＿＿ cm。 16．已知 △ABC 的面积为 30 cm2，周长为 20 cm，则它的三条角平分线的交点到三边的距离是 ＿＿＿ cm。 17．如图 2，若 △ABC 的三边长分别为 5、6、7，点 P 到 AB 的距离为 3，则 △ABC 的面积为 ＿＿＿＿。 18．在 △ABC 中，∠B、∠C 的平分线交于点 P。若 ∠A = 70°，则 ∠BPC = ＿＿＿＿。 四、推理与证明（第 19～24 题，共 30 分） 要求：写出完整的推理过程，每一步都要注明依据。 19．（5 分）已知：如图 1，OC 平分 ∠AOB，点 P 在 OC 上，PD ⊥ OA 于 D，PE ⊥ OB 于 E。求证：PD = PE。 第 19、20、24 题图 20．（5 分）在第 19 题的条件下，求证：OD = OE。 21．（5 分）已知：如图 3，在 △ABC 中，AD 平分 ∠BAC，DE ⊥ AB 于 E，DF ⊥ AC 于 F。求证：AE = AF。 第 21、22 题图 22．（5 分）在第 21 题的条件下，求证：直线 AD 是线段 EF 的垂直平分线。 23．（5 分）已知：在 △ABC 中，∠C = 90°，AD 平分 ∠CAB 交 BC 于点 D，DE ⊥ AB 于点 E。求证：DE = DC。 24．（5 分）已知：如图 1，OC 平分 ∠AOB，点 P 在 OC 上，PD ⊥ OA 于 D，PE ⊥ OB 于 E。求证：直线 OP 垂直平分线段 DE。 五、实际应用（第 25～26 题，共 8 分） 25．（4 分）如图（例 4 图），三条公路两两相交围成一个三角形区域，要在区域内修一个加油站，使它到三条公路的距离都相等。 （1）请说明加油站位置的确定方法及理由； （2）若三条公路围成的三角形周长为 36 km，面积为 54 km2，求加油站到每条公路的距离。 26．（4 分）如图 3，在 △ABC 中，AD 平分 ∠BAC，DE ⊥ AB 于 E，DF ⊥ AC 于 F。已知 AB = 12 cm，AC = 8 cm，△ABC 的面积为 40 cm2。 （1）求 DE 的长；（2）求 △ABD 与 △ACD 的面积之比。 六、易错辨析 下面是小杰的五个说法，请判断正误。若有错误，请说明理由。 ① 角平分线上的点到角的两边的距离相等。　　　　　　　　　　　（　　） ② 到角两边距离相等的点一定在这个角的平分线上。　　　　　　　（　　） ③ 点到直线的距离是指这个点与直线上任意一点连线的长度。　　　（　　） ④ 三角形三条角平分线的交点到三个顶点的距离相等。　　　　　　（　　） ⑤ 角平分线上的点到角两边端点的距离相等。　　　　　　　　　　（　　） 七、拓展探究（选做，共 3 小题） 27．在 △ABC 中，∠ABC 与 ∠ACB 的平分线相交于点 P。 （1）若 ∠A = 70°，求 ∠BPC 的度数； （2）若 ∠A = n°，请用含 n 的式子表示 ∠BPC，并说明理由。 28．如图 2，P 是 △ABC 中 ∠ABC 与 ∠ACB 平分线的交点。求证：AP 平分 ∠BAC。 第 28 题图 29．动点探究：如图 1，OC 平分 ∠AOB，点 P 是射线 OC 上的一个动点，PD ⊥ OA 于 D，PE ⊥ OB 于 E。当点 P 沿射线 OC 从点 O 向外移动时： （1）PD 与 PE 的大小关系是否发生变化？为什么？ （2）△ODP 与 △OEP 是否始终全等？为什么？ 参考答案与解析 课前热身 ① 垂线段　② 距离　③ 内部　④ 三边　⑤ SSS 一、选择题 答案速查：1．B　2．A　3．B　4．D　5．A　6．B　7．A　8．A　9．A　10．A 1．B　由角平分线的性质定理，PE = PD = 4。 2．A　B 缺少 “在角的内部” 这一前提，例如角的外部也有到两边所在直线距离相等的点； C 说的是到两边 “端点” 的距离，与定理无关；D 应为到三边的距离相等。故选 A。 3．B　三条角平分线的交点到三边距离相等；到三个顶点距离相等的是三边垂直平分线的交点。 4．D　由角平分线性质得 DE = DF；由 △ADE ≌ △ADF（AAS）得 AE = AF、∠ADE = ∠ADF； 而 AD 只是角平分线，不一定是中线，所以 BD = CD 不一定成立。 5．A　因为 ∠C = 90°，即 DC ⊥ AC，所以 DC 是点 D 到 AC 的距离； 又 DE ⊥ AB，AD 平分 ∠CAB，由性质定理得 DE = DC = 3 cm。 6．B　三条角平分线的交点到三边的距离相等，所以到 BC 的距离也是 2。 7．A　由 AD 平分 ∠BAC 得 DF = DE = 3， S△ABC = × 8 × 3 + × 6 × 3 = 12 + 9 = 21。 8．A　三角形内部的这个点就是三条角平分线的交点，只有一个。 9．A　作图中得到 OM = ON，MP = NP，OP = OP，三边分别相等，用 SSS。 10．A　S = × 周长 × 距离 = × 20 × 3 = 30（cm2）。 二、填空题 11．6　由性质定理 PD = PE = 6 cm。 12．40°　∠AOC = ∠AOB = × 80° = 40°。 13．OE　全等三角形的对应边相等。 14．4　因为 ∠C = 90°，所以 DC ⊥ AC，由性质定理 DC = DE = 4 cm。 15．5　由 △ADE ≌ △ADF 得 AF = AE = 5 cm。 16．3　设距离为 d，则 × 20 × d = 30，即 10d = 30，d = 3（cm）。 17．27　S = × (5 + 6 + 7) × 3 = × 18 × 3 = 27。 18．125°　在 △ABC 中，∠ABC + ∠ACB = 180° - 70° = 110°。 因为 BP、CP 分别平分 ∠ABC、∠ACB，所以 ∠PBC + ∠PCB = × 110° = 55°。 在 △BPC 中，∠BPC = 180° - 55° = 125°。 三、推理与证明 19．证明：因为 PD ⊥ OA，PE ⊥ OB，所以 ∠ODP = ∠OEP = 90°。 因为 OC 平分 ∠AOB，所以 ∠DOP = ∠EOP（角平分线的定义）。 在 △ODP 和 △OEP 中， ∠ODP = ∠OEP（已证），∠DOP = ∠EOP（已证），OP = OP（公共边）， 所以 △ODP ≌ △OEP（AAS）。所以 PD = PE。 20．证明：由第 19 题已证 △ODP ≌ △OEP， 所以 OD = OE（全等三角形的对应边相等）。 21．证明：因为 DE ⊥ AB，DF ⊥ AC，所以 ∠AED = ∠AFD = 90°。 因为 AD 平分 ∠BAC，所以 ∠EAD = ∠FAD。 在 △AED 和 △AFD 中， ∠AED = ∠AFD（已证），∠EAD = ∠FAD（已证），AD = AD（公共边）， 所以 △AED ≌ △AFD（AAS）。所以 AE = AF。 22．证明：由第 21 题得 AE = AF，且由全等还得到 DE = DF。 因为 AE = AF，所以点 A 在线段 EF 的垂直平分线上（到线段两端距离相等的点在垂直平分线上）。 因为 DE = DF，所以点 D 也在线段 EF 的垂直平分线上。 因为两点确定一条直线，所以直线 AD 是线段 EF 的垂直平分线。 23．证明：因为 ∠C = 90°，所以 DC ⊥ AC，即 DC 是点 D 到边 AC 的距离。 因为 DE ⊥ AB，所以 DE 是点 D 到边 AB 的距离。 因为 AD 平分 ∠CAB，点 D 在 AD 上， 所以 DE = DC（角平分线上的点到角的两边的距离相等）。 24．证明：由第 19、20 题得 PD = PE，OD = OE。 因为 OD = OE，所以点 O 在线段 DE 的垂直平分线上； 因为 PD = PE，所以点 P 也在线段 DE 的垂直平分线上。 因为两点确定一条直线，所以直线 OP 垂直平分线段 DE。 四、实际应用 25．（1）分别作三角形两个内角的平分线，它们的交点 P 就是加油站的位置。 理由：点 P 在其中一个角的平分线上，故它到该角两边（两条公路）的距离相等； 点 P 又在另一个角的平分线上，故它到另两条公路的距离也相等； 由等量代换得点 P 到三条公路的距离都相等。 （2）设距离为 d，由面积法得 × 36 × d = 54， 即 18d = 54，所以 d = 3（km）。 26．（1）因为 AD 平分 ∠BAC，DE ⊥ AB，DF ⊥ AC，所以 DE = DF。 设 DE = DF = d，则 × 12 × d + × 8 × d = 40， 即 6d + 4d = 40，10d = 40，所以 d = 4（cm），即 DE = 4 cm。 （2）S△ABD = × 12 × 4 = 24（cm2），S△ACD = × 8 × 4 = 16（cm2）， 所以 S△ABD ∶ S△ACD = 24 ∶ 16 = 3 ∶ 2。 规律：角平分线把三角形分成的两个小三角形，面积之比等于这个角的两边之比。 五、易错辨析 ① 正确。这就是角平分线的性质定理。 ② 错误。必须加上 “在这个角的内部”。角的外部也可能存在到两边所在直线距离相等的点。 ③ 错误。点到直线的距离是垂线段的长度，而不是任意连线的长度。 ④ 错误。三条角平分线的交点到三边的距离相等；到三个顶点距离相等的是三边垂直平分线的交点。 ⑤ 错误。性质定理说的是到角两边（两条射线）的距离相等，与两边上的端点无关。 六、拓展探究 27．（1）在 △ABC 中，∠ABC + ∠ACB = 180° - ∠A = 180° - 70° = 110°。 因为 BP、CP 分别平分 ∠ABC、∠ACB， 所以 ∠PBC + ∠PCB = (∠ABC + ∠ACB) = × 110° = 55°。 在 △BPC 中，∠BPC = 180° - (∠PBC + ∠PCB) = 180° - 55° = 125°。 （2）同理，∠ABC + ∠ACB = 180° - n°， ∠PBC + ∠PCB = (180° - n°) = 90° - ， 所以 ∠BPC = 180° - (90° - ) = 90° + 。 28．证明：过点 P 分别作 PD ⊥ AB 于 D，PE ⊥ BC 于 E，PF ⊥ AC 于 F。 因为 BP 平分 ∠ABC，PD ⊥ AB，PE ⊥ BC，所以 PD = PE（角平分线的性质）。 因为 CP 平分 ∠ACB，PE ⊥ BC，PF ⊥ AC，所以 PE = PF（角平分线的性质）。 所以 PD = PF（等量代换）。 又因为点 P 在 ∠BAC 的内部，PD ⊥ AB，PF ⊥ AC， 所以点 P 在 ∠BAC 的平分线上（角平分线的判定定理），即 AP 平分 ∠BAC。 这也证明了：三角形的三条角平分线相交于同一点。 29．（1）不变，始终有 PD = PE。因为无论点 P 在 OC 上的哪个位置， 它都在 ∠AOB 的平分线上，由角平分线的性质定理都有 PD = PE。 （2）始终全等。因为 ∠ODP = ∠OEP = 90°，∠DOP = ∠EOP，OP = OP， 由 AAS 恒有 △ODP ≌ △OEP。 说明：随着点 P 的移动，PD、PE 的长度会变大，但它们始终相等，两个三角形也始终全等。 七、学习反思 完成本次作业后，请对照下表进行自我评价（在相应等级后打 “√”）。 评价内容 优秀 良好 待加强 能准确说出角平分线的性质定理与判定定理 理解 “点到直线的距离” 是垂线段的长度 能用性质定理证明两条垂线段相等 能用面积法求距离、求面积 能用角平分线知识解决选址等实际问题 　 本次作业中我出错最多的题号是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 出错的主要原因是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 我的改进措施是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 方法小结：本节与 1.6 节的两个定理形式非常相似，可以对照记忆——垂直平分线管的是 “到两个端点的距离”，角平分线管的是 “到两条边的距离”。凡是题目里出现 “角平分线 + 垂直”，先把两条垂线段标成相等，思路就打开了。 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $