微专题02 条件概率与全概率讲义专题训练-2027届高三数学二轮复习

条件概率与全概率

概率统计 · 微专题 02

2027 届高三数学二轮复习

一、本讲导航

条件概率是在已知信息下重新度量样本空间的工具；全概率公式按“原因”把复杂事件拆成若干互斥部分，再分别计算；贝叶斯公式则由结果反推原因。题目文字较长时，宜先确定样本空间与事件，再判断所求是“结果”还是“原因”，最后选择公式。具体可从以下三个方面入手。

· 明确条件落在哪个事件上。 “在……的条件下”“若……”之后的事件是条件，所求事件写在竖线之前； 与 一般不等。

· 明确完备事件组。 全概率公式要求各原因两两互斥且并为样本空间；实际问题中常按“来源”“阶段”“是否患病”分组。

· 明确所求方向。 已知各原因的概率及原因发生时的条件概率，求结果用全概率公式；已知结果，求某原因用贝叶斯公式。

下文以一道流行病学调查题为例，说明从频率表到条件概率的完整转化，并把同一结构迁移到知识掌握、题库作答与运动达标三类情境。

二、真题入场

在某地区进行流行病学调查，随机调查了 位某种疾病患者的年龄，得到如下样本数据的频率分布表（组距为 ）：

（1）估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；

（2）估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间 的概率；

（3）已知该地区这种疾病的患病率为 ，该地区年龄位于区间 的人口占该地区总人口的 。从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间 ，求此人患这种疾病的概率（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到 ）。

三、命题拆解

本题的数据涉及两个总体：患者总体与全人群。第（1）（2）问只在患者总体内计算频率，第（3）问则要用乘法公式把两个总体连接起来。三个层次各自对应一个关键量，宜分别处理。

 

读表得频率 → 乘法公式求 → 条件概率定义求

解题时需注意以下四点：

· 第一，条件概率的方向。 “若……”之后是条件，竖线右侧是条件；若误求 ，会得到 ，与正确答案相差两个数量级。

· 第二，两个比例的分母不同。 来自全人群， 来自患者样本，二者不能直接比较或相除。

· 第三，乘法公式的写法。 与 都成立，应选用已知量较多的一种；本题前者已知，后者含未知的 。

· 第四，近似只放在最后一步。 中间保留足够位数，最后按 取近似，避免误差累积。

四、一题多解

解法一 · 定义法（先乘后除）

第 1 步 读表：组距为 ，九组频率依次为 。以组中值 加权，得

第 2 步 区间 覆盖第 至第 组，故所求概率为 。

第 3 步 设 表示“任选一人年龄位于 ”， 表示“任选一人患该疾病”。由题意 ，；由样本频率估计 。

第 4 步 由乘法公式，。

第 5 步 由条件概率的定义，。

适用信号 题干分别给出“原因的概率”“原因发生时的条件概率”与“结果的总概率”，且所求为反向条件概率；运算为一次乘法与一次除法；适用边界是 ，且各量来自同一总体或可明确分层。

解法二 · 贝叶斯（整数样本与树状图）

第 1 步 取该地区 人作为样本。由患病率 ，患者约 人，未患者约 人。

第 2 步 患者中年龄位于 的占 ，即 人。

第 3 步 全人群中年龄位于 的占 ，即 人。

第 4 步 在 名 至 岁的人中，患者有 人，故 。

第 5 步 这一结果与解法一一致。整数样本法把条件概率还原为古典概型，便于检查分母是否为“条件事件”的人数。