9.3 事件的相互独立性与条件概率、全概率公式（3大考点+6大题型）（讲义+精练）-2027届新高考数学大一轮复习讲义之技巧精讲与题型全归纳（新高考专用）

该高中数学高考复习讲义聚焦事件的相互独立性与条件概率、全概率公式等核心考点，按定义-性质-关系-应用逻辑梳理条件概率、独立事件判定、全概率与贝叶斯公式等知识点，通过主干知识落实、核心题型探究（含六种分层题型）、课时精练三环节，帮助学生构建概率知识体系，突破解题难点。 资料以典例精讲与变式训练结合，如用定义法分步求解条件概率，借全概率公式“化整为零”思想分析复杂事件，培养学生数学思维与模型意识。设置基础到综合的分层练习，助力教师精准把控复习节奏，提升学生概率问题的逻辑推理与实际应用能力。

9.3 事件的相互独立性与条件概率、全概率公式 目录 01 课标要求 2 02 落实主干知识 3 知识点1、条件概率 3 知识点2、相互独立与条件概率的关系 3 知识点3、全概率公式 4 03 探究核心题型 6 题型一：条件概率求解 6 题型二：相互独立事件判定 8 题型三：独立事件概率运算 10 题型四：独立概率综合题型 13 题型五：全概率与贝叶斯公式综合运用 17 题型六：概率递推问题 21 04 课时精练 27 1、了解两个事件相互独立的含义. 2、理解随机事件的独立性和条件概率的关系，会利用全概率公式计算概率. 知识点1、条件概率 （一）定义 一般地，设，为两个事件，且，称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率． 注意：（1）条件概率中“”后面就是条件；（2）若，表示条件不可能发生，此时用条件概率公式计算就没有意义了，所以条件概率计算必须在的情况下进行． （二）性质 （1）条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在和1之间，即． （2）必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为． （3）如果与互斥，则． 注意：（1）如果知道事件发生会影响事件发生的概率，那么； （2）已知发生，在此条件下发生，相当于发生，要求，相当于把看作新的基本事件空间计算发生的概率，即． 知识点2、相互独立与条件概率的关系 （一）相互独立事件的概念及性质 （1）相互独立事件的概念 对于两个事件，，如果，则意味着事件的发生不影响事件发生的概率．设，根据条件概率的计算公式，，从而． 由此我们可得：设，为两个事件，若，则称事件与事件相互独立． （2）概率的乘法公式 由条件概率的定义，对于任意两个事件与，若，则．我们称上式为概率的乘法公式． （3）相互独立事件的性质 如果事件，互相独立，那么与，与，与也都相互独立． （4）两个事件的相互独立性的推广 两个事件的相互独立性可以推广到个事件的相互独立性，即若事件，，…，相互独立，则这个事件同时发生的概率． （二）事件的独立性 （1）事件与相互独立的充要条件是． （2）当时，与独立的充要条件是． （3）如果，与独立，则成立． 知识点3、全概率公式 （一）全概率公式 （1）； （2）定理若样本空间中的事件，，…，满足： ①任意两个事件均互斥，即，，； ②； ③，． 则对中的任意事件，都有，且 ． 注意：（1）全概率公式是用来计算一个复杂事件的概率，它需要将复杂事件分解成若干简单事件的概率计算，即运用了“化整为零”的思想处理问题． （2）什么样的问题适用于这个公式？所研究的事件试验前提或前一步骤试验有多种可能，在这多种可能中均有所研究的事件发生，这时要求所研究事件的概率就可用全概率公式． （二）贝叶斯公式 （1）一般地，当且时，有 （2）定理若样本空间中的事件满足： ①任意两个事件均互斥，即，，； ②； ③，． 则对中的任意概率非零的事件，都有， 且 注意：（1）在理论研究和实际中还会遇到一类问题，这就是需要根据试验发生的结果寻找原因，看看导致这一试验结果的各种可能的原因中哪个起主要作用，解决这类问题的方法就是使用贝叶斯公式．贝叶斯公式的意义是导致事件发生的各种原因可能性的大小，称之为后验概率． （2）贝叶斯公式充分体现了，，，，，之间的转关系，即，，之间的内在联系． 题型一：条件概率求解 【典例1-1】（2026·福建泉州·模拟预测）某人工智能模型用于识别图像中有无“深度伪造”内容.已知一批待检测图像中有20%的图像实际存在深度伪造.在一次检测中，若模型输出结果“有深度伪造”，则实际存在深度伪造的概率为0.5；若图像实际无深度伪造，模型误判为“有深度伪造”的概率为0.1.现从该批图像中任取一张检测，输出结果为“有深度伪造”的概率为（   ） A．0.08 B．0.16 C．0.18 D．0.32 【答案】B 【解析】设事件表示“该图像实际存在深度伪造”，事件表示“模型输出结果为有深度伪造”.由已知：，，， 则 ，可得. 又因为 ，所以 故选B. 【典例1-2】（2026·安徽阜阳·二模）在一次跳远决赛中，甲、乙两名运动员打破赛会纪录的概率分别为0.2和0.3，且两人同时打破纪录的概率为0.1，则在乙打破纪录的条件下，甲也打破纪录的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】记事件A为“甲打破纪录”，事件B为“乙打破纪录”， 因为，，， 所以在乙打破纪录的条件下，甲也打破纪录的概率为==. 【方法技巧与总结】 用定义法求条件概率的步骤 （1）分析题意，弄清概率模型； （2）计算，； （3）代入公式求． 【变式1-1】（2026·高三·河北保定·阶段检测）甲、乙、丙、丁四名同学计划去4个景点旅游，每人只去1个景点．设事件“4位同学去的景点各不相同”，事件“甲同学独自一人去了一个景点”，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】事件为“甲独自一人去一个景点”，甲先选景点共4种选择，剩余乙、丙、丁都不能选甲的景点，每人都有3种选择， 因此：. 事件表示“4人景点各不相同且甲独自去一个景点”，若4人去的景点各不相同，则甲必然独自一个景点， 因此就是“4人景点各不相同”：甲选完景点后，剩余3人全排列去剩下3个景点， 因此：. 故 . 【变式1-2】（2026·高三·全国·专题练习）装有10件某产品（其中一等品5件，二等品3件，三等品2件）的箱子中丢失一件产品，但不知是几等品，今从箱中任取2件产品，结果都是一等品，则丢失的也是一等品的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设事件A为从箱中任取2件产品都是一等品，事件表示丢失的是等品，， 则 ， 因此. 【变式1-3】（2026·高三·全国·专题练习）袋中有大小形状都相同的4个黑球和2个白球．如果不放回地依次取出2球，那么在第1次取到的是黑球的条件下，第2次取到黑球的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】记事件为“第1次取到黑球”，事件为“第2次取到黑球”， 则，， 所以. 所以在第1次取到的是黑球的条件下，第2次取到黑球的概率为. 题型二：相互独立事件判定 【典例2-1】（2026·安徽淮北·二模）某同学制作了一个质地均匀的正四面体形骰子，在其中三个面分别写上一个数字1、2、3，第四个面写了三个数字1，2，3，随机抛掷一次，事件表示向下的面上有数字1，事件表示向下的面上有数字2，事件表示向下的面上有数字3，则（    ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立 C．事件与事件互斥 D．事件与事件相互独立 【答案】B 【解析】由题意可得，，， 对于A，表示向下的面同时有数字1和2，即面4，所以，故A错误； 对于B，的情况只有面4，故， 又，满足，故B正确； 对于C，表示同时有数字1、2和3，即面4，所以，故C错误； 对于D，表示向下的面有数字2或3，包含面2、面3、面4，共3个面， 故，表示向下的面有数字1，且有数字2或3，即面4， 故，所以， 不满足独立事件定义，故D错误． 【典例2-2】（2026·高二·北京·月考）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件．则下列结论中正确的是（   ） ①；②；③事件与事件相互独立；④是两两互斥的事件． A．②④ B．①③ C．②③ D．①④ 【答案】A 【解析】对于①，由题可知： , ， 若取红球入乙罐(发生)，乙罐红球变为5个，总球数为11个： 若取白球入乙罐(发生)，乙罐红球仍为4个，总球数为11个： 若取黑球入乙罐(发生)，乙罐红球仍为4个，总球数为11个： 由全概率公式可得： 代入得：，所以①错误，②正确； 对于③， ，则事件与事件不相互独立，所以③错误； 对于④，从甲罐只取一个球，不可能有两种颜色，则两两互斥，所以④正确. 【方法技巧与总结】 判断事件是否相互独立的方法 （1）定义法：事件，相互独立⇔． （2）由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响． （3）条件概率法：当时，可用判断． 【变式2-1】（2026·高一·河北沧州·期末）投掷一枚均匀的骰子，事件A：点数大于2；事件B：点数小于4；事件C：点数为偶数.则下列关于事件描述正确的是（    ） A．A与B 是互斥事件 B．A 与B 是对立事件 C．A与C是独立事件 D．B与C 是独立事件 【答案】C 【解析】和有公共事件：点数为3，所以不是互斥事件，也不是对立事件，故AB错误； 事件表示点数为4或6，，，，所以，所以与是独立事件，故C正确； 事件表示点数为2，则，，，所以，所以与不是独立事件，故D错误 故选：C 【变式2-2】（2026·高三·全国·一轮复习）已知，为两个随机事件，，，则“，相互独立”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】由题意，，， 若，相互独立，则， ， 故，故充分性成立； 若，即， 则， 即，故，即，相互独立，故，相互独立，故必要性成立， 故“，相互独立”是“”的充分必要条件． 【变式2-3】（2026·河南许昌·三模）“事件相互独立”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】由，结合公式，可得，即事件互斥。 事件相互独立的定义为. 充分性：若相互独立，无法推出，即无法推出. 必要性：若，即互斥，无法推出相互独立. 综上，“事件相互独立”是“”的既不充分也不必要条件. 题型三：独立事件概率运算 【典例3-1】（2026·江苏苏州·三模）已知在5次独立重复试验中，每次试验成功的概率为，设事件表示第一次试验成功，事件表示5次试验中成功3次，若事件与事件相互独立，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，， ， 由事件与事件相互独立，可得， 即，化简可得. 【典例3-2】（2026·高三·全国·专题练习）若事件与相互独立，且，则的值等于（   ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【解析】若事件与相互独立，则. 【方法技巧与总结】 （1）求相互独立事件同时发生的概率的步骤 ①首先确定各事件之间是相互独立的． ②求出每个事件的概率，再求积． （2）使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的． 【变式3-1】（2026·山东济宁·三模）甲、乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，比赛采用5局3胜制，在甲获胜的条件下，比赛进行了3局的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设事件B为“甲获胜”，事件A为“比赛进行了3局”，则所求为条件概率. 甲获胜分为三类情况： 3局全胜：; 4局获胜：前3局甲胜2局，第4局甲胜，; 5局获胜：前4局甲胜2局，第5局甲胜，; 因此. . 【变式3-2】（2026·重庆·模拟预测）在荷花池中，有一只蜻蜓在呈品字形的三片荷叶上飞来飞去（每次飞时，均从一叶飞到另一叶），而且逆时针方向飞的概率是顺时针方向飞的概率的3倍，如图所示，假设现在蜻蜓在叶上，则跳三次之后停在叶上的概率为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，知蜻蜓沿逆时针方向跳的概率是，沿顺时针方向跳的概率是. 蜻蜓跳三次要回到叶上只有两条途径： 第一条，按，此时停在叶上的概率； 第二条，按，此时停在A叶上的概率. 所以跳三次之后停在叶上的概率. 【变式3-3】（2026·河北张家口·三模）现要举办A，B两个活动，每个活动进行一次，已知先举办活动A，活动A失误的概率为，不失误的概率为．若活动A没有失误，则活动B失误的概率为，不失误的概率为；若活动A出现失误，则活动B失误与否的概率均为，则这两个活动有且仅有一个失误的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】记事件E表示“活动A失误”，事件F表示“活动B失误”，这两个活动有且仅有一个失误的概率为. 题型四：独立概率综合题型 【典例4-1】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知李明每次投篮命中的概率都为． (1)若李明投篮3次，且李明投篮命中的次数为，求的分布列和数学期望； (2)若李明与王俊进行投篮比赛，两人各投3次，王俊每次投篮命中的概率都为，且两人之间投篮互不影响，求李明比王俊投篮多命中2次的概率． 【解析】（1）由题意，的所有可能取值为0，1，2，3， 的分布列为 0 1 2 3 ． （2）设“李明比王俊投篮多命中2次”为事件，“李明投篮命中2次且王俊投篮命中0次”为事件，“李明投篮命中3次且王俊投篮命中次”为事件， 则， 李明比王俊投篮多命中2次的概率为． 【典例4-2】（2026·江西萍乡·一模）从萍乡方向登武功山有多条路线，某游客准备从其中的两条路线中选一条登顶．路线一为“从游客中心出发，乘坐中庵索道直达半山腰，随后步行经紫极宫、许愿桥、吊马桩抵达金顶”，这条路线中，该游客在紫极宫、许愿桥、吊马桩三个补给站需要补给的概率均为；路线二为“从游客中心出发，步行经紫极宫、吊马桩抵达金顶”，这条路线中，该游客在紫极宫、吊马桩两个补给站需要补给的概率分别为，.该游客在各补给站是否需要补给互不影响． (1)若该游客走路线一，求最多需要一次补给的概率； (2)按照“平均补给次数最少”的原则，该游客应该选择那条路线登顶，请说明理由． 【解析】（1）设“该游客走路线一最多需要一次补给”为事件，包括0次补给和1次补给两种情况， 则， 所以所求的概率为； （2）设“该游客走路线一需要补给的次数”为，则，故， 设“该游客走路线二需要补给的次数”为，则的可能取值为0，1，2， ， ，， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 所以， 因为， 所以，按照“平均补给次数最少”的原则，应该选择路线二． 【方法技巧与总结】 1、求复杂事件的概率一般可分三步进行 （1）列出题中涉及的各个事件，并用适当的符号表示它们； （2）理清各事件之间的关系，恰当地用事件间的“并”“交”表示所求事件； （3）根据事件之间的关系准确地运用概率公式进行计算． 2、计算事件同时发生的概率常用直接法，当遇到“至少”“至多”问题，考虑逆向思维，考查原事件的对立事件，用间接法处理． 【变式4-1】（2026·云南·三模）甲、乙两选手进行象棋比赛，假设每局比赛结果相互独立，且每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为． (1)若比赛采用三局两胜制，求甲获胜的概率； (2)如果比赛采用五局三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束）进行比赛，求比赛的局数X的分布列和期望； (3)如果每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，比赛的赛制有五局三胜制和三局两胜制两种选择，请问对于甲选手来说，该如何选择比赛赛制对自己更有利，请说明理由，由此你能得出什么结论． 【解析】（1）设事件“比赛采用三局两胜制甲胜”，则． （2）比赛的局数为X的所有可能取值为3，4，5， 可得，， ．           所以随机变量的分布列为： X 3 4 5 P 所以期望为． （3）采用三局二胜制进行比赛甲获胜的概率，         采用五局三胜制进行比赛甲获胜的概率：．           令， 因为，所以．           当时，； 当时，； 当时，．           所以当时，选择三局两胜制对甲有利；当时，选择五局三胜对甲有利； 当时，选择五局三胜制和三局两胜制对甲没有影响．           由此可以得出，比赛局数越多，对实力较强者越有利. 【变式4-2】（2026·上海闵行·一模）2023年9月23日至10月8日，第19届亚运会在杭州成功举办，杭州亚运会的志愿者被称为“小青荷”．某运动场馆内共有小青荷36名，其中男生12名，女生24名，这些小青荷中会说日语和会说韩语的人数统计如下： 男生小青荷 女生小青荷 会说日语 8 12 会说韩语 m n 其中m、n均为正整数，． (1)从这36名小青荷中随机抽取两名作为某活动主持人，求抽取的两名小青荷中至少有一名会说日语的概率； (2)从这些小青荷中随机抽取一名去接待外宾，用A表示事件“抽到的小青荷是男生”，用B表示事件“抽到的小青荷会说韩语”．试给出一组m、n的值，使得事件A与B相互独立，并说明理由． 【解析】（1）从这36名小青荷中随机抽取两名作为某活动主持人，共有种抽法， 抽取的两名小青荷中至少有一名会说日语的抽法有种， 故抽取的两名小青荷中至少有一名会说日语的概率为； （2）由题意得，，， 要使得事件A与B相互独立，则需满足, 即，即， 由于，故时，；时，； 时，，均符合题意，取其中一组即可. 【变式4-3】（2026·高三·山西吕梁·开学考试）在东京奥运会中，甲，乙、丙三名跳水运动员参加小组赛，已知甲晋级的概率为，乙、丙晋级的概率均为，且三人是否晋级相互对立. (1)若甲晋级的概率与乙、丙两人均没有晋级的概率相等，与乙、丙两人有且仅有一人晋级的概率也相等，求，； (2)若，记三个人中晋级的人数为，若时的概率和时的概率相等，求. 【解析】（1）乙、丙两人均没有晋级的概率为， 乙、丙两人有且仅有一人晋级的概率为， 故解得， （2）的所有可能取值为0，1，2，3. ，， 由题知，解得， 所以， 所以 . 题型五：全概率与贝叶斯公式综合运用 【典例5-1】（2026·高三·全国·专题练习）已知某地居民肝癌的发病率为0.0004．通过对血清甲胎蛋白进行检测可以检测一个人是否患有肝癌，但这种检测方法可能出错．具体是：患有肝癌但检测显示正常的概率为0.001，未患有肝癌但检测显示有肝癌的概率为0.005．因为目前情况下，肝癌的致死率比较高，肝癌发现的越早，治疗越有效，因此有人主张对该地区的居民进行普查，以尽早发现肝癌患者，这个主张是否合适？请说明理由． 【解析】根据贝叶斯公式求出当检测有肝癌时，真正得肝癌的概率，进而判断即可. 用表示患有肝癌，表示检测显示患有肝癌， 则，，， 所以，， 因此由贝叶斯公式可知． ， 由此可知当检测有肝癌时，真正得肝癌的概率仅为，误诊率极高，该人的主张不合适． 【典例5-2】（2026·高二·陕西榆林·期中）某次象棋活动上，甲、乙、丙、丁四人进行游戏，先在四人中每两人之间进行一场象棋比赛，每场比赛胜者积1分，负者积0分，若为平局则都积0分.象棋比赛结束后，再进行抽奖，积分为k的人有k次抽奖机会，每人的游戏总得分为其比赛积分与中奖次数的和，总得分最高者（允许并列）获得额外奖励.已知每场象棋比赛中每人获胜的概率均为，每次抽奖每人中奖的概率均为，且各场比赛结果互不影响、每次抽奖结果互不影响． (1)求甲在象棋比赛中积1分的概率； (2)记甲在活动中总得分为2的概率为，证明：p越大时，越大； (3)若，记事件A为“甲在象棋比赛中积3分”，事件B为“甲在游戏中获得额外奖励”，求． 【解析】（1）甲在象棋比赛中积1分，则甲与乙、丙、丁三人的3场比赛中，共胜1场，故概率为． （2）证明：甲在游戏中总得分为2，设甲在比赛中得分为M，总分为N，易知M可能为1或2， 由全概率公式， 因为二次函数在上单调递增， 所以当p越大时，越大． （3）象棋比赛中在事件A发生的条件下，若B不发生，则存在乙、丙、丁中的某人在比赛中得两分，且在抽奖中得两分，并且甲在抽奖中得0分， A发生当且仅当甲战胜乙、丙、丁3人，故， A与同时发生时，有， 由全概率公式， 所以． 【方法技巧与总结】 1、全概率公式在解题中体现了“化整为零、各个击破”的转化思想，可将较为复杂的概率计算分解为一些较为容易的情况分别进行考虑． 2、利用贝叶斯公式求概率的步骤 第一步：利用全概率公式计算，即； 第二步：计算，可利用求解； 第三步：代入求解． 3、贝叶斯概率公式反映了条件概率，全概率公式及乘法公式之间的关系，即． 【变式5-1】（2026·高三·全国·专题练习）某种仪器由三个部件组装而成，假设各部件质量互不影响且它们的优质品率分别为0.8，0.7与0.9．已知如果三个部件都是优质品，则组装后的仪器一定合格；如果有一个部件不是优质品，则组装后的仪器不合格率为0.2；如果有两个部件不是优质品，则仪器的不合格率为0.6；如果三件都不是优质品，则仪器的不合格率为0.9． (1)求仪器的不合格率； (2)如果已发现一台仪器不合格，问它有几个部件不是优质品的概率最大． 【解析】（1）记事件“仪器不合格”，“仪器上有个部件不是优质品”，. 显然，，，构成一个完备事件组，且，， ，，， ， ，． 应用全概率公式，有 ． （2）应用贝叶斯公式，有. ， ， ． 从计算结果可知，一台不合格的仪器中有一个部件不是优质品的概率最大． 【变式5-2】（2026·广西崇左·二模）为了调查某疾病的预防及患病情况，从甲、乙两个社区各随机抽取500人，甲社区有50人患该疾病，乙社区有25人患该疾病，用频率估计概率. (1)从甲社区随机抽取1人，求这个人患该疾病的概率. (2)从甲、乙两个社区各随机抽取1人，设为患该疾病的人数，求的分布列及数学期望. (3)若接种了预防该疾病的疫苗，则只有的概率患该疾病；若没有接种预防该疾病的疫苗，则有的概率患该疾病.从甲社区随机抽取1人，求这个人接种了预防该疾病的疫苗的概率. 【解析】（1）用频率估计概率，从甲社区随机抽取1人，这个人患该疾病的概率为. （2）用频率估计概率，从乙社区随机抽取1人，这个人患该疾病的概率为， 可知随机变量的可能取值为0，1，2， 则； ； ； 所以的分布列为 0 1 2 0.855 0.14 0.005 的期望为. （3）设甲社区随机抽取1人，该人患该疾病为事件，则， 设该人接种了预防该疾病的疫苗为事件，则，， 因为， 即，解得， 所以从甲社区随机抽取1人，求这个人接种了预防该疾病的疫苗的概率为. 【变式5-3】（2026·河北邯郸·三模）某研究机构随机调查了某校100名高中生最近一个月每周使用某AI学习工具的平均时间（单位：小时），得到如下频率分布表： 使用时间区间（小时） 频率 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 研究发现，使用时间不同的学生在接下来的数学测试中成绩提升显著（分数提高15分以上）的比例不同，使用时间区间在、、、、的学生中成绩显著提升的比例依次为10%、20%、50%、30%、10%.现用表格中的频率估计概率. (1)从该校学生中随机抽取一人，设事件表示“学生使用时间区间在”，事件表示“学生成绩显著提升”，求； (2)若该AI学习工具有三种不同的指导方式，其对应的提升学习效果值如下表： 指导方式 个性化深度指导 标准指导 常规指导 提升学习效果值 8分/人 5分/人 4分/人 现学校提供两种指导方案： 方案Ⅰ：随机选取3名学生，统一提供“标准指导”. 方案Ⅱ：随机选取3名学生，向使用时间区间在的学生提供“个性化深度指导”，向其他学生提供“常规指导”. 设每位学生的使用时间区间相互独立.以随机变量表示方案Ⅰ的总学习效果提升值，表示方案Ⅱ的总学习效果提升值.以期望学习效果提升值最大化为标准，学校应选择哪种指导方案？请说明理由. 【解析】（1）由题可知，，， 所以， 由全概率公式可得：， 所以. （2）对于方案Ⅰ，总提升值为确定值，故. 设方案Ⅱ下抽取的3名学生中使用时间在区间的人数为， 由题可知，服从二项分布，即， 所以. 又因为， 所以， 因为， 所以根据期望学习效果提升值最大化的标准，学校应选方案Ⅱ. 题型六：概率递推问题 【典例6-1】（2026·重庆万州·三模）设某湖泊每年的水质会在Ⅰ类、Ⅱ类、Ⅲ类中按如下规律变化： 若上一年是Ⅰ类，则下一年仍是Ⅰ类的概率为0.8，降为Ⅱ类的概率为0.2； 若上一年是Ⅱ类，则下一年变成Ⅰ类的概率为0.3，保持Ⅱ类的概率为0.5，降为Ⅲ类的概率为0.2; 若上一年是Ⅲ类，则下一年变成Ⅰ类的概率为0.1，变成Ⅱ类的概率是0.2，保持Ⅲ类的概率是0.7. 已知该湖泊第1年的水质为Ⅰ类，设第n年的水质为Ⅰ类的概率为，水质为Ⅱ类的概率为. (1)求; (2)证明并求; (3)证明:存在λ和μ，使得是等比数列. 【解析】（1）已知第1年水质为Ⅰ类，故，，. 根据转移规律，，，， 因此． （2）由，得，故， 整理为，这是首项为、公比为的等比数列，因此． （3）由，代入得， 再代入，整理得， 取，，则是公比为的等比数列． 【典例6-2】（2026·内蒙古呼伦贝尔·模拟预测）近年来人工智能与机器人技术快速发展，智能巡检机器人已成为智慧城市安防的重要装备.某科技公司研发的智能巡逻机器人，在、两个核心区域间按如下规则巡逻：若当前在区，则下一时刻巡逻到区的概率为，巡逻到区的概率为：若当前在区，则下一时刻巡逻到区的概率为，巡逻到区的概率为.已知机器人第1次巡逻时，在区和区的概率均为.记第次巡逻时，机器人在区的概率为. (1)求第2次巡逻时，机器人在区的概率； (2)求的表达式（用表示）. 【解析】（1）用表示第次巡逻到区， 则，，， 第2次在区的情况分为两类： 第1次在区，第2次巡逻到区：， 第1次在区，第2次巡逻到区：， 由全概率公式，第2次在区的概率为：； （2）当时，若第次在区，则第次巡逻到区的概率为：； 若第次在区，则第次巡逻到区的概率为：； 则第次在区的概率为：， 设，则，得，解得； 又因为，所以，    故数列是首项为、公比为的等比数列. 故，整理得. 【方法技巧与总结】 先设定对应状态概率，依据事件变化规律搭建递推关系式，确定初始概率值。按不同前序状态分类推导，区分等差、等比、线性递推形式求解通项。稳态概率可借助极限列方程计算，梳理状态转移路径，规范运算即可得出结果。 【变式6-1】（2026·广东广州·一模）甲、乙进行射击比赛，两人依次轮流对同一目标进行射击，直至有人命中目标，比赛结束，命中目标者获胜．假设甲每次射击命中目标的概率均为（），乙每次射击命中目标的概率均为（），各次射击结果互不影响． (1)若甲先射击，甲第2次射击且获胜的概率为，求（用，表示）； (2)若乙先射击，且乙获胜的概率恒大于甲获胜的概率，求的最小值． 参考公式：若，则． 【解析】（1）甲第2次射击且获胜，即甲第1次未命中，乙第1次未命中，甲第2次命中. 所以. （2）设乙先射击并获胜的概率为，甲获胜的概率为. 乙获胜的情况为： 乙第1次射击并命中，概率为； 第1轮甲乙均未命中，乙第2次射击并命中，概率为； 第2轮甲乙均未命中，乙第3次射击并命中，概率为； 第轮甲乙均未命中，乙第次射击并命中，概率为； 这是一个首项为，公比为的无穷等比数列，所以. 甲获胜的情况为： 第1轮乙未命中，甲命中，概率为； 第2轮乙未命中，甲命中，概率为； 第3轮乙未命中，甲命中，概率为； 第轮乙未命中，甲命中，概率为； 这是一个首项为，公比为的无穷等比数列，所以. 由题意知，恒成立，即恒成立， 因为，，所以， 所以恒成立，即. 因为，所以，，所以. 所以的最小值为. 【变式6-2】（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）在篮球训练场上，教练甲指导三名学员进行传球训练，训练开始时，篮球在教练甲手中．由甲开始传球，他每次等可能地将篮球传给学员其中一人，学员接球后，将篮球传出，传给教练甲的概率为，传给另外两学员的概率相等，篮球在四人之间传递． (1)若四人进行了4次传球，求教练甲接球次数的分布列、数学期望； (2)设表示经过次传球后篮球在手中的概率，求． 【解析】（1）设教练甲接球次数为，可取， 球在学员手中，传给教练甲的概率为，传给其他学员的概率为， ， ， 分布列为： 0 1 2 数学期望； （2）设表示经过次传球后篮球在教练甲手中的概率， ， 且， 即， 则数列是首项为，公比为的等比数列， ，即， 又传给学员的概率相等， ． 【变式6-3】（2026·高三·新疆省直辖县级单位·专题练习）某无人机操作员进行定点精准降落训练.据以往训练经验，第一次降落成功的概率为.若第次降落成功，则第次降落成功的概率为；若第次降落未成功，则第次降落成功的概率为，其中. (1)求该操作员第二次降落成功的概率； (2)设第i次降落成功的概率为，求证：. 【解析】（1）设事件“第次降落成功”，则“第次降落未成功”，， 由全概率公式得， 该操作员第二次降落成功的概率为. （2）由题意得， 当时， 即， 整理得， 又， 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列， 故， 即， 易知单调递增 所以. 1．（2026·甘肃兰州·模拟预测）如图，有一块菜地被分成四部分，现要在这四部分种植蔬菜，要求每部分只种植一种，现有4种不同的蔬菜种子可供选择，则在相邻部分不种植同一种蔬菜的条件下，恰好种了3种蔬菜的概率为（   ） 1 2 3 4 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】恰好种植4种蔬菜有种方法；恰好种植3种蔬菜有种方法；恰好种植2种蔬菜有种方法， 因此符合条件的不同种植方法总数是， 所以恰好种了3种蔬菜的概率. 2．（2026·河北保定·二模）若两个随机事件相互独立，满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为两个随机事件相互独立， 所以两个随机事件也相互独立， 由， 由， 所以 3．（2026·河南开封·模拟预测）已知盒子中有9个大小相同、质地均匀的球，其中有5个红球、4个白球，有两种取球方式：①不放回地取球两次，第一次任取1个球，第二次任取2个球，设第二次取到2个红球的概率为；②一次性任取2个球，设取到2个红球的概率为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】不放回地取球两次，第一次任取1个球，第二次任取2个球， 第一次任取1个球为红球，第二次任取2个球均为红球的概率为， 第一次任取1个球为白球，第二次任取2个球均为红球的概率为， 故， 一次性任取2个球，取到2个红球的概率为， 故. 4．（2026·河南·模拟预测）某科技公司使用AI质检系统对生产的芯片进行初筛（分为合格芯片和瑕疵芯片）．已知芯片被标记为合格的概率为，被标记为瑕疵的概率为．被标记为合格的芯片中有实际为瑕疵芯片，被标记为瑕疵的芯片中有实际为合格芯片．在被AI质检过的芯片中随机抽取1个，该芯片为瑕疵芯片的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】记“芯片为瑕疵芯片”为事件，“芯片被标记为合格”为事件，“芯片被标记为瑕疵”为事件. 则，，，. 所以. 即在被AI质检过的芯片中随机抽取1个，该芯片为瑕疵芯片的概率为. 5．（24-25高三上·四川德阳·月考）某汽车4S店从甲乙丙三个车企分别采购同一款智能汽车500，400，100辆进行销售，甲乙丙三个车企生产的该智能汽车的智驾故障率分别为2%，3%，5%，某消费者从该4S店购买了一台此款智能汽车，在智驾过程中突然出现故障，则根据概率计算出甲乙丙三个车企应承担的责任比为（　　） A．2：3：5 B．10：12：5 C．5：12：10 D．5：4：1 【答案】B 【解析】设事件 分别表示购买一辆汽车是甲、乙、丙车企生产的， 则 ， 事件 表示智驾出现故障， 则由全概率公式得 ， 由贝叶斯公式得，，， 所以甲乙丙要承担的责任比为. 故选：B. 6．已知事件A，B满足，，若A与B互斥，记，若A与B相互独立，记，则（    ） A．0 B．0.1 C．0.14 D．0.24 【答案】D 【解析】当A与B互斥，则， 当A与B相互独立，可知也相互独立，则， 所以. 7．（2026·重庆·三模）甲、乙两人进行乒乓球比赛，采取三局两胜制（当一人赢得两局胜利时，该人获胜，比赛结束），已知每局比赛甲获胜的概率为0.6（没有平局），且每局比赛结果相互独立，则两人进行第三局比赛的概率为（    ） A．0.16 B．0.36 C．0.48 D．0.52 【答案】C 【解析】只进行两局比赛结束的概率为， 则两人进行第三局比赛的概率为． 8．（2025·广东茂名·二模）甲、乙、丙三人练习传球，每次传球时，持球者会等可能地传给另外两人中的任意一位，若第一次由甲开始传球，则经过四次传球后，球回到甲手中的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设事件“第次球在甲手中”，“第次球在乙手中”，“第次球在丙手中”， 那么由题意可知：，又， 所以，构造等比数列， 因为第一次由甲传球，可认为第次传球在甲，即， 所以是以为首项，公比为的等比数列， 故， 则. 故选：C. 9．（多选题）（多选）开学后，某学校食堂为了减少师生就餐排队时间，特推出即点即取的米饭套餐和面食套餐两种．已知小明同学每天中午都会在食堂提供的米饭套餐和面食套餐中选择一种，米饭套餐的价格是每份15元，面食套餐的价格是每份10元，如果小明当天选择了某种套餐，他第二天会有的可能性换另一种类型的套餐，假如第1天小明选择了米饭套餐，第天选择米饭套餐的概率为，则以下论述正确的是（   ） A．小明同学第二天一定选择面食套餐 B． C．， D．前天小明同学午餐花费的总费用的数学期望为 【答案】BCD 【解析】在A中，第1天小明选择了米饭套餐，则小明第二天有的可能选择面食套餐，故A错误； 在B中，依题意，，则，故B正确； 在C中，当第天选择米饭套餐时，第天选择米饭套餐的概率为； 当第天选择面食套餐时，第天选择米饭套餐的概率为， 故，故C正确； 在D中，设第天小明同学午餐花费为， 则， 因为， 所以， 所以， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，所以， 所以， 所以前天小明同学午餐花费的总费用数学期望为，故D正确． 10．（多选题）（2026·江苏·二模）已知3张奖券中只有2张有奖奖券，甲､乙2名同学依次随机抽取1张奖券.记事件为“甲中奖”，事件为“乙中奖”，则下列说法正确的有（） A．若抽取后放回，则 B．若抽取后不放回，则 C．若抽取后放回，则 D．若抽取后不放回，则 【答案】ABC 【解析】选项A：因每次抽取后放回，故抽取条件相同，，故A正确； 选项B：不放回时，，下面计算：事件发生有两种情况： ①甲中且乙中（）；②甲不中且乙中（）， 故，所以成立，故B正确. 选项C：放回时，；因事件相互独立， 则，即成立，故C正确. 选项D：不放回时，；求：已知甲中奖，剩2张奖券中有1张有奖， 所以，，故D错误. 11．（多选题）（2026·广东广州·三模）甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和2个白球（两箱中的球除颜色外没有其他区别），先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件和表示从甲箱中取出的球是红球和白球；再从乙箱中随机取出两球，用事件表示从乙箱中取出的两球都是红球，则（     ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】对于A项，甲箱共有个球，其中3个为红球，因此从甲箱取到红球的概率，故A正确， 对于B项，若发生，乙箱新增1个红球，变为3红2白共5个球，此时取2个红球的概率； 若发生，乙箱新增1个白球，变为2红3白共5个球，此时取2个红球的概率， 由全概率公式得，故B正确； 对于C项，由上述计算可知，故C错误； 对于D项，由贝叶斯公式得，故D错误. 12．（2026·上海虹口·三模）已知事件和满足，，，则______． 【答案】/ 【解析】由，所以，得. 所以， 又， 所以. 13．2026年春节，甲，乙等5个人在一个微信群里发红包（每次发的红包只有1个人能抢到）．甲先发了一个红包，规定抢到红包的人必须立即再发一个新红包，且自己不能领，群里另外4个人等可能地领到．记第n次发出红包的人是乙的概率为．则______，______． 【答案】 【解析】设第n次发出红包的人是乙为事件，， 则，且， 因为，， 由全概率公式可得， 即，可得， 且，可知数列是以首项为，公比为的等比数列， 则，所以， 14．（2026·福建泉州·三模）甲抛掷质地均匀的硬币2次，乙抛掷质地均匀的硬币3次，则甲得到的正面向上的次数比乙得到的正面向上的次数少的概率是______． 【答案】/0.5 【解析】设事件表示甲抛掷后正面朝上次，， 事件表示乙抛掷后正面朝上次，， 所以，， 设事件表示甲得到的正面朝上的次数比乙得到的正面朝上的次数少， 所以. 15．（2026·广东茂名·二模）某智能设备装有3个独立运行的芯片，，，设备正常工作的条件是至少有2个芯片正常运行，其中，正常运行的概率均为，正常运行的概率为． (1)若，在恰有2个芯片正常运行的条件下，求正常运行的概率； (2)若该设备正常工作的概率大于，求的取值范围． 【解析】（1）记事件M：恰有2个芯片正常运行. 事件N：芯片C的运行正常． 由题可知，. . 所以在恰有2个芯片正常运行的条件下，C的运行正常的概率为. （2） 若该设备正常工作，则恰有2个或恰有3个芯片正常运行. 所以该设备正常工作的概率为． 所以，结合解得， 所以的取值范围为． 16．（2026·重庆·模拟预测）某乒乓球比赛采用“三局两胜制”.现有甲、乙两位选手参加比赛，假设每局比赛结果相互独立.已知每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为. (1)求甲最终赢得比赛的概率； (2)若已知比赛进行了三局才结束，求甲是最终获胜者的概率； (3)比赛中有“赛点”概念：当某位选手再赢一局即可获得整场比赛胜利时，称该选手拥有“赛点”.据统计，当选手拥有“赛点”时，由于其心理压力等因素，其在该局获胜的概率会比其常规单局获胜概率下降10个百分点（例如，若常规胜率为60%，则拥有“赛点”时胜率为50%）.考虑“赛点”效应时，记为比赛的总局数，求的分布列及数学期望.并简要分析此“赛点”效应使得相比于不考虑“赛点”效应时是增大还是减小. 【解析】（1）设表示第局甲胜，表示比赛进行了两局，表示比赛进行了三局，表示最终甲赢得比赛.有， 所以； （2），， 所以； （3）若考虑“赛点”，记比赛总局数为， 则， ， 所以的分布列为 2 3 故， 若不考虑“赛点”，记比赛总局数为， 则，， 所以， 则有， 所以“赛点”效应使得相比于不考虑“赛点”效应时是增大. 17．（2026·广西崇左·二模）为了调查某疾病的预防及患病情况，从甲、乙两个社区各随机抽取500人，甲社区有50人患该疾病，乙社区有25人患该疾病，用频率估计概率. (1)从甲社区随机抽取1人，求这个人患该疾病的概率. (2)从甲、乙两个社区各随机抽取1人，设为患该疾病的人数，求的分布列及数学期望. (3)若接种了预防该疾病的疫苗，则只有的概率患该疾病；若没有接种预防该疾病的疫苗，则有的概率患该疾病.从甲社区随机抽取1人，求这个人接种了预防该疾病的疫苗的概率. 【答案】(1) (2)的分布列为 0 1 2 0.855 0.14 0.005 的期望为 (3) 【分析】 （1）用频率估计概率，结合题意运算求解即可； （2）可知随机变量的可能取值为0，1，2，结合独立事件概率公式求分布列和期望； （3）设相应事件，结合全概率公式可得，代入运算求解即可. 【详解】 （1）用频率估计概率，从甲社区随机抽取1人，这个人患该疾病的概率为. （2）用频率估计概率，从乙社区随机抽取1人，这个人患该疾病的概率为， 可知随机变量的可能取值为0，1，2， 则； ； ； 所以的分布列为 0 1 2 0.855 0.14 0.005 的期望为. （3）设甲社区随机抽取1人，该人患该疾病为事件，则， 设该人接种了预防该疾病的疫苗为事件，则，， 因为， 即，解得， 所以从甲社区随机抽取1人，求这个人接种了预防该疾病的疫苗的概率为. 18．（2026·河南开封·模拟预测）某光伏板工厂将质检测得的转换效率不低于某数值的光伏板分类为高效板，其余为普通板，该工厂有两条生产线： A线：日产能为400块光伏板，其中高效板占比为15%； B线：日产能为600块光伏板，其中高效板占比为45%. 两条生产线当天生产的产品会先混合存放在同一仓库，销售时随机混合装成标准箱配送，一个标准箱中装有4块光伏板. (1)从仓库某天的产品中随机抽取一块光伏板，求抽到高效板的概率； (2)若普通板利润为25元/块，则要使一个标准箱利润的期望值不低于133元，高效板的利润至少为多少元? 【解析】（1）由题意知，A线日产能400块，其中高效板占比为15%，则A线高效板数量为块； B线日产能600块，其中高效板占比为45%，则B线高效板数量为块， 所以高效板总数为块，因此抽到高效板的概率. （2）设高效板的利润为元/块， 由（1）知，抽到高效板的概率为，则抽到普通板的概率为， 一个标准箱有4块光伏板，设其中高效板的数量为随机变量，则， 根据数学期望公式，可得一个标准箱中高效板的期望数量为块， 普通板的期望数量为块. 已知普通板利润为25元/块，要使一个标准箱利润的期望值不低于133元， 则，解得， 因此，要使一个标准箱利润的期望值不低于133元，高效板的利润至少为50元. 27/27 学科网（北京）股份有限公司 $ 9.3 事件的相互独立性与条件概率、全概率公式 目录 01 课标要求 2 02 落实主干知识 3 知识点1、条件概率 3 知识点2、相互独立与条件概率的关系 3 知识点3、全概率公式 4 03 探究核心题型 6 题型一：条件概率求解 6 题型二：相互独立事件判定 7 题型三：独立事件概率运算 8 题型四：独立概率综合题型 9 题型五：全概率与贝叶斯公式综合运用 11 题型六：概率递推问题 13 04 课时精练 16 1、了解两个事件相互独立的含义. 2、理解随机事件的独立性和条件概率的关系，会利用全概率公式计算概率. 知识点1、条件概率 （一）定义 一般地，设，为两个事件，且，称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率． 注意：（1）条件概率中“”后面就是条件；（2）若，表示条件不可能发生，此时用条件概率公式计算就没有意义了，所以条件概率计算必须在的情况下进行． （二）性质 （1）条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在和1之间，即． （2）必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为． （3）如果与互斥，则． 注意：（1）如果知道事件发生会影响事件发生的概率，那么； （2）已知发生，在此条件下发生，相当于发生，要求，相当于把看作新的基本事件空间计算发生的概率，即． 知识点2、相互独立与条件概率的关系 （一）相互独立事件的概念及性质 （1）相互独立事件的概念 对于两个事件，，如果，则意味着事件的发生不影响事件发生的概率．设，根据条件概率的计算公式，，从而． 由此我们可得：设，为两个事件，若，则称事件与事件相互独立． （2）概率的乘法公式 由条件概率的定义，对于任意两个事件与，若，则．我们称上式为概率的乘法公式． （3）相互独立事件的性质 如果事件，互相独立，那么与，与，与也都相互独立． （4）两个事件的相互独立性的推广 两个事件的相互独立性可以推广到个事件的相互独立性，即若事件，，…，相互独立，则这个事件同时发生的概率． （二）事件的独立性 （1）事件与相互独立的充要条件是． （2）当时，与独立的充要条件是． （3）如果，与独立，则成立． 知识点3、全概率公式 （一）全概率公式 （1）； （2）定理若样本空间中的事件，，…，满足： ①任意两个事件均互斥，即，，； ②； ③，． 则对中的任意事件，都有，且 ． 注意：（1）全概率公式是用来计算一个复杂事件的概率，它需要将复杂事件分解成若干简单事件的概率计算，即运用了“化整为零”的思想处理问题． （2）什么样的问题适用于这个公式？所研究的事件试验前提或前一步骤试验有多种可能，在这多种可能中均有所研究的事件发生，这时要求所研究事件的概率就可用全概率公式． （二）贝叶斯公式 （1）一般地，当且时，有 （2）定理若样本空间中的事件满足： ①任意两个事件均互斥，即，，； ②； ③，． 则对中的任意概率非零的事件，都有， 且 注意：（1）在理论研究和实际中还会遇到一类问题，这就是需要根据试验发生的结果寻找原因，看看导致这一试验结果的各种可能的原因中哪个起主要作用，解决这类问题的方法就是使用贝叶斯公式．贝叶斯公式的意义是导致事件发生的各种原因可能性的大小，称之为后验概率． （2）贝叶斯公式充分体现了，，，，，之间的转关系，即，，之间的内在联系． 题型一：条件概率求解 【典例1-1】（2026·福建泉州·模拟预测）某人工智能模型用于识别图像中有无“深度伪造”内容.已知一批待检测图像中有20%的图像实际存在深度伪造.在一次检测中，若模型输出结果“有深度伪造”，则实际存在深度伪造的概率为0.5；若图像实际无深度伪造，模型误判为“有深度伪造”的概率为0.1.现从该批图像中任取一张检测，输出结果为“有深度伪造”的概率为（   ） A．0.08 B．0.16 C．0.18 D．0.32 【典例1-2】（2026·安徽阜阳·二模）在一次跳远决赛中，甲、乙两名运动员打破赛会纪录的概率分别为0.2和0.3，且两人同时打破纪录的概率为0.1，则在乙打破纪录的条件下，甲也打破纪录的概率为（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 用定义法求条件概率的步骤 （1）分析题意，弄清概率模型； （2）计算，； （3）代入公式求． 【变式1-1】（2026·高三·河北保定·阶段检测）甲、乙、丙、丁四名同学计划去4个景点旅游，每人只去1个景点．设事件“4位同学去的景点各不相同”，事件“甲同学独自一人去了一个景点”，则（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】（2026·高三·全国·专题练习）装有10件某产品（其中一等品5件，二等品3件，三等品2件）的箱子中丢失一件产品，但不知是几等品，今从箱中任取2件产品，结果都是一等品，则丢失的也是一等品的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2026·高三·全国·专题练习）袋中有大小形状都相同的4个黑球和2个白球．如果不放回地依次取出2球，那么在第1次取到的是黑球的条件下，第2次取到黑球的概率为（   ） A． B． C． D． 题型二：相互独立事件判定 【典例2-1】（2026·安徽淮北·二模）某同学制作了一个质地均匀的正四面体形骰子，在其中三个面分别写上一个数字1、2、3，第四个面写了三个数字1，2，3，随机抛掷一次，事件表示向下的面上有数字1，事件表示向下的面上有数字2，事件表示向下的面上有数字3，则（    ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立 C．事件与事件互斥 D．事件与事件相互独立 【典例2-2】（2026·高二·北京·月考）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件．则下列结论中正确的是（   ） ①；②；③事件与事件相互独立；④是两两互斥的事件． A．②④ B．①③ C．②③ D．①④ 【方法技巧与总结】 判断事件是否相互独立的方法 （1）定义法：事件，相互独立⇔． （2）由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响． （3）条件概率法：当时，可用判断． 【变式2-1】（2026·高一·河北沧州·期末）投掷一枚均匀的骰子，事件A：点数大于2；事件B：点数小于4；事件C：点数为偶数.则下列关于事件描述正确的是（    ） A．A与B 是互斥事件 B．A 与B 是对立事件 C．A与C是独立事件 D．B与C 是独立事件 【变式2-2】（2026·高三·全国·一轮复习）已知，为两个随机事件，，，则“，相互独立”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2-3】（2026·河南许昌·三模）“事件相互独立”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型三：独立事件概率运算 【典例3-1】（2026·江苏苏州·三模）已知在5次独立重复试验中，每次试验成功的概率为，设事件表示第一次试验成功，事件表示5次试验中成功3次，若事件与事件相互独立，则（    ） A． B． C． D． 【典例3-2】（2026·高三·全国·专题练习）若事件与相互独立，且，则的值等于（   ） A．0 B． C． D． 【方法技巧与总结】 （1）求相互独立事件同时发生的概率的步骤 ①首先确定各事件之间是相互独立的． ②求出每个事件的概率，再求积． （2）使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的． 【变式3-1】（2026·山东济宁·三模）甲、乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，比赛采用5局3胜制，在甲获胜的条件下，比赛进行了3局的概率是（ ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2026·重庆·模拟预测）在荷花池中，有一只蜻蜓在呈品字形的三片荷叶上飞来飞去（每次飞时，均从一叶飞到另一叶），而且逆时针方向飞的概率是顺时针方向飞的概率的3倍，如图所示，假设现在蜻蜓在叶上，则跳三次之后停在叶上的概率为（    ）    A． B． C． D． 【变式3-3】（2026·河北张家口·三模）现要举办A，B两个活动，每个活动进行一次，已知先举办活动A，活动A失误的概率为，不失误的概率为．若活动A没有失误，则活动B失误的概率为，不失误的概率为；若活动A出现失误，则活动B失误与否的概率均为，则这两个活动有且仅有一个失误的概率为（    ） A． B． C． D． 题型四：独立概率综合题型 【典例4-1】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知李明每次投篮命中的概率都为． (1)若李明投篮3次，且李明投篮命中的次数为，求的分布列和数学期望； (2)若李明与王俊进行投篮比赛，两人各投3次，王俊每次投篮命中的概率都为，且两人之间投篮互不影响，求李明比王俊投篮多命中2次的概率． 【典例4-2】（2026·江西萍乡·一模）从萍乡方向登武功山有多条路线，某游客准备从其中的两条路线中选一条登顶．路线一为“从游客中心出发，乘坐中庵索道直达半山腰，随后步行经紫极宫、许愿桥、吊马桩抵达金顶”，这条路线中，该游客在紫极宫、许愿桥、吊马桩三个补给站需要补给的概率均为；路线二为“从游客中心出发，步行经紫极宫、吊马桩抵达金顶”，这条路线中，该游客在紫极宫、吊马桩两个补给站需要补给的概率分别为，.该游客在各补给站是否需要补给互不影响． (1)若该游客走路线一，求最多需要一次补给的概率； (2)按照“平均补给次数最少”的原则，该游客应该选择那条路线登顶，请说明理由． 【方法技巧与总结】 1、求复杂事件的概率一般可分三步进行 （1）列出题中涉及的各个事件，并用适当的符号表示它们； （2）理清各事件之间的关系，恰当地用事件间的“并”“交”表示所求事件； （3）根据事件之间的关系准确地运用概率公式进行计算． 2、计算事件同时发生的概率常用直接法，当遇到“至少”“至多”问题，考虑逆向思维，考查原事件的对立事件，用间接法处理． 【变式4-1】（2026·云南·三模）甲、乙两选手进行象棋比赛，假设每局比赛结果相互独立，且每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为． (1)若比赛采用三局两胜制，求甲获胜的概率； (2)如果比赛采用五局三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束）进行比赛，求比赛的局数X的分布列和期望； (3)如果每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，比赛的赛制有五局三胜制和三局两胜制两种选择，请问对于甲选手来说，该如何选择比赛赛制对自己更有利，请说明理由，由此你能得出什么结论． 【变式4-2】（2026·上海闵行·一模）2023年9月23日至10月8日，第19届亚运会在杭州成功举办，杭州亚运会的志愿者被称为“小青荷”．某运动场馆内共有小青荷36名，其中男生12名，女生24名，这些小青荷中会说日语和会说韩语的人数统计如下： 男生小青荷 女生小青荷 会说日语 8 12 会说韩语 m n 其中m、n均为正整数，． (1)从这36名小青荷中随机抽取两名作为某活动主持人，求抽取的两名小青荷中至少有一名会说日语的概率； (2)从这些小青荷中随机抽取一名去接待外宾，用A表示事件“抽到的小青荷是男生”，用B表示事件“抽到的小青荷会说韩语”．试给出一组m、n的值，使得事件A与B相互独立，并说明理由． 【变式4-3】（2026·高三·山西吕梁·开学考试）在东京奥运会中，甲，乙、丙三名跳水运动员参加小组赛，已知甲晋级的概率为，乙、丙晋级的概率均为，且三人是否晋级相互对立. (1)若甲晋级的概率与乙、丙两人均没有晋级的概率相等，与乙、丙两人有且仅有一人晋级的概率也相等，求，； (2)若，记三个人中晋级的人数为，若时的概率和时的概率相等，求. 题型五：全概率与贝叶斯公式综合运用 【典例5-1】（2026·高三·全国·专题练习）已知某地居民肝癌的发病率为0.0004．通过对血清甲胎蛋白进行检测可以检测一个人是否患有肝癌，但这种检测方法可能出错．具体是：患有肝癌但检测显示正常的概率为0.001，未患有肝癌但检测显示有肝癌的概率为0.005．因为目前情况下，肝癌的致死率比较高，肝癌发现的越早，治疗越有效，因此有人主张对该地区的居民进行普查，以尽早发现肝癌患者，这个主张是否合适？请说明理由． 【典例5-2】（2026·高二·陕西榆林·期中）某次象棋活动上，甲、乙、丙、丁四人进行游戏，先在四人中每两人之间进行一场象棋比赛，每场比赛胜者积1分，负者积0分，若为平局则都积0分.象棋比赛结束后，再进行抽奖，积分为k的人有k次抽奖机会，每人的游戏总得分为其比赛积分与中奖次数的和，总得分最高者（允许并列）获得额外奖励.已知每场象棋比赛中每人获胜的概率均为，每次抽奖每人中奖的概率均为，且各场比赛结果互不影响、每次抽奖结果互不影响． (1)求甲在象棋比赛中积1分的概率； (2)记甲在活动中总得分为2的概率为，证明：p越大时，越大； (3)若，记事件A为“甲在象棋比赛中积3分”，事件B为“甲在游戏中获得额外奖励”，求． 【方法技巧与总结】 1、全概率公式在解题中体现了“化整为零、各个击破”的转化思想，可将较为复杂的概率计算分解为一些较为容易的情况分别进行考虑． 2、利用贝叶斯公式求概率的步骤 第一步：利用全概率公式计算，即； 第二步：计算，可利用求解； 第三步：代入求解． 3、贝叶斯概率公式反映了条件概率，全概率公式及乘法公式之间的关系，即． 【变式5-1】（2026·高三·全国·专题练习）某种仪器由三个部件组装而成，假设各部件质量互不影响且它们的优质品率分别为0.8，0.7与0.9．已知如果三个部件都是优质品，则组装后的仪器一定合格；如果有一个部件不是优质品，则组装后的仪器不合格率为0.2；如果有两个部件不是优质品，则仪器的不合格率为0.6；如果三件都不是优质品，则仪器的不合格率为0.9． (1)求仪器的不合格率； (2)如果已发现一台仪器不合格，问它有几个部件不是优质品的概率最大． 【变式5-2】（2026·广西崇左·二模）为了调查某疾病的预防及患病情况，从甲、乙两个社区各随机抽取500人，甲社区有50人患该疾病，乙社区有25人患该疾病，用频率估计概率. (1)从甲社区随机抽取1人，求这个人患该疾病的概率. (2)从甲、乙两个社区各随机抽取1人，设为患该疾病的人数，求的分布列及数学期望. (3)若接种了预防该疾病的疫苗，则只有的概率患该疾病；若没有接种预防该疾病的疫苗，则有的概率患该疾病.从甲社区随机抽取1人，求这个人接种了预防该疾病的疫苗的概率. 【变式5-3】（2026·河北邯郸·三模）某研究机构随机调查了某校100名高中生最近一个月每周使用某AI学习工具的平均时间（单位：小时），得到如下频率分布表： 使用时间区间（小时） 频率 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 研究发现，使用时间不同的学生在接下来的数学测试中成绩提升显著（分数提高15分以上）的比例不同，使用时间区间在、、、、的学生中成绩显著提升的比例依次为10%、20%、50%、30%、10%.现用表格中的频率估计概率. (1)从该校学生中随机抽取一人，设事件表示“学生使用时间区间在”，事件表示“学生成绩显著提升”，求； (2)若该AI学习工具有三种不同的指导方式，其对应的提升学习效果值如下表： 指导方式 个性化深度指导 标准指导 常规指导 提升学习效果值 8分/人 5分/人 4分/人 现学校提供两种指导方案： 方案Ⅰ：随机选取3名学生，统一提供“标准指导”. 方案Ⅱ：随机选取3名学生，向使用时间区间在的学生提供“个性化深度指导”，向其他学生提供“常规指导”. 设每位学生的使用时间区间相互独立.以随机变量表示方案Ⅰ的总学习效果提升值，表示方案Ⅱ的总学习效果提升值.以期望学习效果提升值最大化为标准，学校应选择哪种指导方案？请说明理由. 题型六：概率递推问题 【典例6-1】（2026·重庆万州·三模）设某湖泊每年的水质会在Ⅰ类、Ⅱ类、Ⅲ类中按如下规律变化： 若上一年是Ⅰ类，则下一年仍是Ⅰ类的概率为0.8，降为Ⅱ类的概率为0.2； 若上一年是Ⅱ类，则下一年变成Ⅰ类的概率为0.3，保持Ⅱ类的概率为0.5，降为Ⅲ类的概率为0.2; 若上一年是Ⅲ类，则下一年变成Ⅰ类的概率为0.1，变成Ⅱ类的概率是0.2，保持Ⅲ类的概率是0.7. 已知该湖泊第1年的水质为Ⅰ类，设第n年的水质为Ⅰ类的概率为，水质为Ⅱ类的概率为. (1)求; (2)证明并求; (3)证明:存在λ和μ，使得是等比数列. 【典例6-2】（2026·内蒙古呼伦贝尔·模拟预测）近年来人工智能与机器人技术快速发展，智能巡检机器人已成为智慧城市安防的重要装备.某科技公司研发的智能巡逻机器人，在、两个核心区域间按如下规则巡逻：若当前在区，则下一时刻巡逻到区的概率为，巡逻到区的概率为：若当前在区，则下一时刻巡逻到区的概率为，巡逻到区的概率为.已知机器人第1次巡逻时，在区和区的概率均为.记第次巡逻时，机器人在区的概率为. (1)求第2次巡逻时，机器人在区的概率； (2)求的表达式（用表示）. 【方法技巧与总结】 先设定对应状态概率，依据事件变化规律搭建递推关系式，确定初始概率值。按不同前序状态分类推导，区分等差、等比、线性递推形式求解通项。稳态概率可借助极限列方程计算，梳理状态转移路径，规范运算即可得出结果。 【变式6-1】（2026·广东广州·一模）甲、乙进行射击比赛，两人依次轮流对同一目标进行射击，直至有人命中目标，比赛结束，命中目标者获胜．假设甲每次射击命中目标的概率均为（），乙每次射击命中目标的概率均为（），各次射击结果互不影响． (1)若甲先射击，甲第2次射击且获胜的概率为，求（用，表示）； (2)若乙先射击，且乙获胜的概率恒大于甲获胜的概率，求的最小值． 参考公式：若，则． 【变式6-2】（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）在篮球训练场上，教练甲指导三名学员进行传球训练，训练开始时，篮球在教练甲手中．由甲开始传球，他每次等可能地将篮球传给学员其中一人，学员接球后，将篮球传出，传给教练甲的概率为，传给另外两学员的概率相等，篮球在四人之间传递． (1)若四人进行了4次传球，求教练甲接球次数的分布列、数学期望； (2)设表示经过次传球后篮球在手中的概率，求． 【变式6-3】（2026·高三·新疆省直辖县级单位·专题练习）某无人机操作员进行定点精准降落训练.据以往训练经验，第一次降落成功的概率为.若第次降落成功，则第次降落成功的概率为；若第次降落未成功，则第次降落成功的概率为，其中. (1)求该操作员第二次降落成功的概率； (2)设第i次降落成功的概率为，求证：. 1．（2026·甘肃兰州·模拟预测）如图，有一块菜地被分成四部分，现要在这四部分种植蔬菜，要求每部分只种植一种，现有4种不同的蔬菜种子可供选择，则在相邻部分不种植同一种蔬菜的条件下，恰好种了3种蔬菜的概率为（   ） 1 2 3 4 A． B． C． D． 2．（2026·河北保定·二模）若两个随机事件相互独立，满足，则（   ） A． B． C． D． 3．（2026·河南开封·模拟预测）已知盒子中有9个大小相同、质地均匀的球，其中有5个红球、4个白球，有两种取球方式：①不放回地取球两次，第一次任取1个球，第二次任取2个球，设第二次取到2个红球的概率为；②一次性任取2个球，设取到2个红球的概率为，则（   ） A． B． C． D． 4．（2026·河南·模拟预测）某科技公司使用AI质检系统对生产的芯片进行初筛（分为合格芯片和瑕疵芯片）．已知芯片被标记为合格的概率为，被标记为瑕疵的概率为．被标记为合格的芯片中有实际为瑕疵芯片，被标记为瑕疵的芯片中有实际为合格芯片．在被AI质检过的芯片中随机抽取1个，该芯片为瑕疵芯片的概率为（ ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·四川德阳·月考）某汽车4S店从甲乙丙三个车企分别采购同一款智能汽车500，400，100辆进行销售，甲乙丙三个车企生产的该智能汽车的智驾故障率分别为2%，3%，5%，某消费者从该4S店购买了一台此款智能汽车，在智驾过程中突然出现故障，则根据概率计算出甲乙丙三个车企应承担的责任比为（　　） A．2：3：5 B．10：12：5 C．5：12：10 D．5：4：1 6．已知事件A，B满足，，若A与B互斥，记，若A与B相互独立，记，则（    ） A．0 B．0.1 C．0.14 D．0.24 7．（2026·重庆·三模）甲、乙两人进行乒乓球比赛，采取三局两胜制（当一人赢得两局胜利时，该人获胜，比赛结束），已知每局比赛甲获胜的概率为0.6（没有平局），且每局比赛结果相互独立，则两人进行第三局比赛的概率为（    ） A．0.16 B．0.36 C．0.48 D．0.52 8．（2025·广东茂名·二模）甲、乙、丙三人练习传球，每次传球时，持球者会等可能地传给另外两人中的任意一位，若第一次由甲开始传球，则经过四次传球后，球回到甲手中的概率为（   ） A． B． C． D． 9．（多选题）（多选）开学后，某学校食堂为了减少师生就餐排队时间，特推出即点即取的米饭套餐和面食套餐两种．已知小明同学每天中午都会在食堂提供的米饭套餐和面食套餐中选择一种，米饭套餐的价格是每份15元，面食套餐的价格是每份10元，如果小明当天选择了某种套餐，他第二天会有的可能性换另一种类型的套餐，假如第1天小明选择了米饭套餐，第天选择米饭套餐的概率为，则以下论述正确的是（   ） A．小明同学第二天一定选择面食套餐 B． C．， D．前天小明同学午餐花费的总费用的数学期望为 10．（多选题）（2026·江苏·二模）已知3张奖券中只有2张有奖奖券，甲､乙2名同学依次随机抽取1张奖券.记事件为“甲中奖”，事件为“乙中奖”，则下列说法正确的有（） A．若抽取后放回，则 B．若抽取后不放回，则 C．若抽取后放回，则 D．若抽取后不放回，则 11．（多选题）（2026·广东广州·三模）甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和2个白球（两箱中的球除颜色外没有其他区别），先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件和表示从甲箱中取出的球是红球和白球；再从乙箱中随机取出两球，用事件表示从乙箱中取出的两球都是红球，则（     ） A． B． C． D． 12．（2026·上海虹口·三模）已知事件和满足，，，则______． 13．2026年春节，甲，乙等5个人在一个微信群里发红包（每次发的红包只有1个人能抢到）．甲先发了一个红包，规定抢到红包的人必须立即再发一个新红包，且自己不能领，群里另外4个人等可能地领到．记第n次发出红包的人是乙的概率为．则______，______． 14．（2026·福建泉州·三模）甲抛掷质地均匀的硬币2次，乙抛掷质地均匀的硬币3次，则甲得到的正面向上的次数比乙得到的正面向上的次数少的概率是______． 15．（2026·广东茂名·二模）某智能设备装有3个独立运行的芯片，，，设备正常工作的条件是至少有2个芯片正常运行，其中，正常运行的概率均为，正常运行的概率为． (1)若，在恰有2个芯片正常运行的条件下，求正常运行的概率； (2)若该设备正常工作的概率大于，求的取值范围． 16．（2026·重庆·模拟预测）某乒乓球比赛采用“三局两胜制”.现有甲、乙两位选手参加比赛，假设每局比赛结果相互独立.已知每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为. (1)求甲最终赢得比赛的概率； (2)若已知比赛进行了三局才结束，求甲是最终获胜者的概率； (3)比赛中有“赛点”概念：当某位选手再赢一局即可获得整场比赛胜利时，称该选手拥有“赛点”.据统计，当选手拥有“赛点”时，由于其心理压力等因素，其在该局获胜的概率会比其常规单局获胜概率下降10个百分点（例如，若常规胜率为60%，则拥有“赛点”时胜率为50%）.考虑“赛点”效应时，记为比赛的总局数，求的分布列及数学期望.并简要分析此“赛点”效应使得相比于不考虑“赛点”效应时是增大还是减小. 17．（2026·广西崇左·二模）为了调查某疾病的预防及患病情况，从甲、乙两个社区各随机抽取500人，甲社区有50人患该疾病，乙社区有25人患该疾病，用频率估计概率. (1)从甲社区随机抽取1人，求这个人患该疾病的概率. (2)从甲、乙两个社区各随机抽取1人，设为患该疾病的人数，求的分布列及数学期望. (3)若接种了预防该疾病的疫苗，则只有的概率患该疾病；若没有接种预防该疾病的疫苗，则有的概率患该疾病.从甲社区随机抽取1人，求这个人接种了预防该疾病的疫苗的概率. 18．（2026·河南开封·模拟预测）某光伏板工厂将质检测得的转换效率不低于某数值的光伏板分类为高效板，其余为普通板，该工厂有两条生产线： A线：日产能为400块光伏板，其中高效板占比为15%； B线：日产能为600块光伏板，其中高效板占比为45%. 两条生产线当天生产的产品会先混合存放在同一仓库，销售时随机混合装成标准箱配送，一个标准箱中装有4块光伏板. (1)从仓库某天的产品中随机抽取一块光伏板，求抽到高效板的概率； (2)若普通板利润为25元/块，则要使一个标准箱利润的期望值不低于133元，高效板的利润至少为多少元? 27/27 学科网（北京）股份有限公司 $