微专题01随机变量与分布列专题训练-2027届高三数学二轮复习

随机变量与分布列

概率统计 · 微专题 01

2027 届高三数学二轮复习

一、本讲导航

随机变量与分布列，实质是把随机试验的结果数量化，再按“取值—概率”逐一对应．题目情境在变，不变的是三件事：取哪些值、每个值对应什么事件、用什么模型求概率．期望与方差是分布列的数字特征，决策即比较两个分布列的数字特征．

· 明确取值。 先判断随机变量表示“次数”“得分”还是“件数”，再列出全部可能取值；各取值对应的事件必须互斥且完备，遗漏一种情形会使概率和不为 1．

· 明确模型。 独立重复试验用二项分布，不放回的一次抽取用超几何分布；分段试验要先算“进入下一段”的概率，再与下一段的分布合成．

· 明确目标。 求分布列用“定取值、算概率、列成表、验和为 1”四步；求期望方差用定义，或直接用 、 简化．

下文以一道分段投篮问题为例，说明“门槛 + 计分”结构的处理过程．

二、真题入场

某投篮比赛分两个阶段，每个参赛队由两名队员组成．第一阶段由一名队员投篮 3 次，3 次都未投中即被淘汰，成绩为 0 分；至少投中一次则进入第二阶段，由另一名队员投篮 3 次，每次投中得 5 分，未投中得 0 分，成绩为第二阶段的得分总和．

某参赛队由甲、乙两名队员组成，甲、乙每次投中的概率分别为 ，，各次投中与否相互独立．

（1）若 ，，甲参加第一阶段比赛，求该队成绩不少于 5 分的概率；

（2）假设 ．

（i）为使该队成绩为 15 分的概率最大，应由谁参加第一阶段比赛？

（ii）为使该队成绩的数学期望最大，应由谁参加第一阶段比赛？

三、命题拆解

本题由“门槛”与“计分”两段构成：第一段只决定能否继续，第二段才产生分数．两段的结果相互独立，但成绩的分布要按“先过门槛、再计分”的顺序合成，不能把两段的概率简单并列．

定进入概率 → 定第二阶段分布 → 合成成绩分布列 → 比较概率与期望

解题时需注意以下四点：

· 第一，成绩为 0 有两种来源。 第一阶段被淘汰，以及进入后第二阶段 3 次全失，两类情形互斥，概率应相加．

· 第二，第二阶段的得分是 5 的倍数。 只能取 ，不应出现 1 分、3 分这类取值．

· 第三，比较 15 分概率时不能只比 与 。 两种顺序的进入概率分别为 与 ，须一并计入．

· 第四，命中率高不等于期望大。 甲若排在第二阶段，须先由乙通过第一阶段；结论应由代数比较得出，不能凭直觉判断．

四、一题多解

解法一 · 列分布列直算（通法）

第 1 步 甲先投时，进入第二阶段的概率为 ；乙在第二阶段至少命中 1 次的概率为 ．故所求概率为 ．

第 2 步 一般地，设甲参加第一阶段，记 ．成绩 的取值为 ，且 ，，，．

第 3 步 （i）甲先投时 ；乙先投时 ．作差得 ，故应由甲参加第一阶段．

第 4 步 （ii）甲先投时 ；乙先投时 ．

第 5 步 作差得 ，故期望较大者仍为“甲参加第一阶段”．两种标准下的结论一致．

适用信号 题干给出分段规则与具体数据时，直接列分布列最稳妥；运算代价是四个概率加两次作差；适用边界是第二阶段仍为独立重复试验．

解法二 · 分环节与单调性（简捷解）

第 1 步 把成绩拆成两个独立环节：能否进入第二阶段，以及进入后得多少分．前者只与第一阶段队员有关，后者只与第二阶段队员有关．

第 2 步 记 ，则 关于 递增，且 在 上单调递减．

第 3 步 甲先投时 ，乙先投时 ．两者的比较归结为 与 的比较，由 及单调性知前者较大，故应由甲参加第一阶段．