微专题04 数列 数列与函数、不等式综合 讲义-2027届高三数学二轮复习

数列与函数、不等式综合

数列 · 微专题 04

2027 届高三数学二轮复习

一、本讲导航

数列是定义在正整数集上的函数：通项 是离散取值的函数值，前 项和 也是 的函数。正因为自变量只能取正整数，数列的单调性、最值与不等式问题既带有函数的性质，又必须回到整数上作判断——连续化得到的临界点要回代相邻整数，分段计数的端点要逐段核对。处理此类问题，宜先看清对象是“项”还是“和”，再判断是求值、比大小还是恒成立，最后选择作差、作商或分离参数。

· 明确自变量范围。 取正整数，最值只能在整数处取得；由 变号确定增减分界后，还要比较相邻两项。

· 明确函数形态。 形如 的计数型数列是 的阶梯函数，在相邻两个 的幂之间取值不变，宜先定区间再计数。

· 明确不等式类型。 恒成立问题分离参数后化为数列最值；比较大小用作差或作商；解不等式要写出整数解并验证边界。

· 明确边界的取法。 最值若在某个正整数处取到，参数可取等号；若最值只是极限、取不到，则参数只能取严格不等号。

下文以一道由等比数列派生的计数问题为例，说明“定通项、定分段、求和”的过程，并将其迁移至多项式函数、恒成立与递推整数解三类问题。

二、真题入场

已知公比大于 的等比数列 满足 ，．

（1）求 的通项公式；

（2）记 为 在区间 中的项的个数，求数列 的前 项和．

三、命题拆解

本题条件分为三层：等比条件确定通项； 的定义把“项的个数”化为 的阶梯函数；前 项和需要按 的取值分段累计。三层依次衔接，前一层的结果是后一层的入口。

 

定通项 → 定 的取值区间 → 逐段计数 → 求和

解题时需注意以下四点：

· 第一，等比中项给出 。 与 联立，解出 与 ；公比大于 决定 ，，不可颠倒。

· 第二， 是“不超过 的项数”。 ，因为 ，不能误认为 。

· 第三， 的区间两端都取到。 区间为 ；最后一段止于 ，不足一整段，段长为 。

· 第四， 的前 项和是 的函数值之和。 它不是 的前 项和，二者的指标含义不同。

四、一题多解

解法一 · 按 m 的取值分段（通法）

第 1 步 设公比为 ，由 得 ；由 得 ，即 ，整理得 ．因 ，故 ，，．

第 2 步 当且仅当 且 ，即 ．

第 3 步 在 到 中， 有 个， 有 个， 有 个， 有 个， 有 个， 有 个．

第 4 步 对应 ，在 到 中有 个．

适用信号 计数型数列先写出取同一值的区间，再数区间内的整数个数；运算代价是分段求和；适用边界是分界点恰为 的幂，最后一段可能不完整．

解法二 · 交换求和次序（按项的贡献）

第 1 步 同解法一得 ．因 ，故只有 会被计入某个 ．

第 2 步 固定 ，它被计入 当且仅当 ，这样的 在 到 中共有 个．

第 3 步 于是把“对 求和”改为“对 计数”，得

第 4 步 两种数法结果一致，说明“按 分类”与“按 计数”是对同一和式的两种分组方式．

适用信号 当外层指标范围很大、内层项数很少时，交换求和次序可把上百项化为几项；适用边界是先确定哪些项会被计入，再数每个项被计入的次数．