专题03 等比数列（专项训练10大题型）高二数学人教A版选择性必修第二册

专题03 等比数列 （题型突破·举一反三） 题型一：等比数列的定义与通项公式 题型二：等比数列的实际应用 题型三：等比数列的基本性质 题型四：等比数列前 n 项和公式与性质 题型五：等比数列的范围与最值 题型六：数列公共项问题 题型七：等比数列插项构造 题型八：等比数列奇偶项问题 题型九：等比数列的判定与证明 题型十：等差与等比数列综合应用 一、等比数列的公式 （1）等比数列的通项公式 设等比数列的首项为，公比为，则它的通项公式． 推广形式： （2）等比数列的前n项和公式 等比数列的公比为，其前项和为 二、等比数列的性质 1、数列仍是公比为的等比数列； 2、数列（为常数）为等比数列；特别地，当时，即是公比为的等比数列； 3、若数列是公比为的等比数列，则数列是公比为的等比数列； 4、在等比数列中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即为 等比数列，公比为． 5、对称性：若，则；若，则． 6、前n项和的常用性质 ①． ②，…构成公比为的等比数列(). 7、与的性质 等比数列中，所有奇数项之和与所有偶数项之和具有的性质，设公比为． （1）若共有项，则；（2）若共有项，． 题型01 等比数列的定义与通项公式 【典例1】（2026·高二·福建莆田·阶段检测）“四个非零实数、、、依次成等比数列”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-1】已知项数相同的等比数列，，公比分别为，给出下列数列：①；②；③；④；⑤．其中一定是等比数列的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-2】（2026·高二·湖南岳阳·期末）已知数列是公差为的等差数列，若，，依次构成公比为的等比数列，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2026·高二·北京·期末）已知等比数列满足，，则等于（   ） A． B． C． D． 题型02 等比数列的实际应用 【典例2】（2026·高二·湖南株洲·期末）十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，记为第一次操作；再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；……，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段，操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”．若使余下的各区间长度之和小于，则操作的次数的最小值为（     ）（参考数据：，，，） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式2-1】（2026·高二·广东江门·阶段检测）某人2011年1月1日到银行存入一年期存款a元，若按年利率为x，并按复利计算，到2016年1月1日可取回款的数额是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2026·高二·黑龙江哈尔滨·期中）某人现存入银行10000元定期存款，若以年利率的复利计算（复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息），则5年后本利和是（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【变式2-3】（2026·高二·四川达州·期中）某牧场今年年初牛的存栏数为，预计以后每年存栏数的增长率为，则牧场从今年起开始计算，第年年初计划存栏数为（   ） A． B． C． D． 题型03 等比数列的基本性质 【典例3】（2026·高一·四川泸州·期中）在等比数列中，，则的值为（    ） A．48 B．72 C．144 D．192 【变式3-1】（2026·高二·江苏连云港·阶段检测）在等比数列中，是方程的两根，则等于（    ） A．6 B．2 C．2或6 D．－2 【变式3-2】（2026·高二·四川南充·期末）等比数列的各项均为正数，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2026·高二·四川泸州·期中）已知数列为正项等比数列，，是方程的两个实数根，则（   ） A． B． C．4 D． 题型04 等比数列前 n 项和公式与性质 【典例4】（2026·高二·福建龙岩·阶段检测）设是等比数列的前项和，若 ， ，则（    ） A．21 B．28 C．49 D．56 【变式4-1】（2026·高二·贵州贵阳·阶段检测）已知等比数列的首项为，其前项和为，若且，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2026·高二·安徽宿州·期末）已知各项均为负数的等比数列的前项和为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2026·高二·黑龙江黑河·期末）已知等比数列的前项和为，且，，则（    ） A．12或-15 B．15或-12 C．15 D．12 题型05 等比数列的范围与最值 【典例5】（多选题）（2026·高二·陕西西安·期末）已知等差数列 与公比为 2 的等比数列 满足 ， ，且 ，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（多选题）（2026·高二·河南南阳·期中）已知等差数列的公差，数列为正项等比数列，且，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【变式5-2】（多选题）（2026·高二·四川绵阳·阶段检测）在等比数列中，公比为，其前项积为，并且满足 ， ， ，则以下结论正确的是（    ） A． B． C．的值是中最大的 D．使成立的最大自然数等于197 【变式5-3】（多选题）（2026·高三·辽宁大连·期中）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．的值是中最大的 D．使成立的最大自然数等于178 题型06 数列公共项问题 【典例6】（2026·高三·山东烟台·阶段检测）已知数列的前项和，将数列与数列的公共项从小到大依次排列得到数列，为数列的前项和，则________． 【变式6-1】（2026·高三·广东珠海·阶段检测）将数列与的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前10项和为________ 【变式6-2】（2026·云南·模拟预测）已知等差数列的前项和为，且．若，由和的公共项构成数列，则的第9项是的第___________项． 【变式6-3】（2026·吉林长春·模拟预测）设为数列的前n项和，且，数列的通项公式为，将数列与的公共项按它们在原来数列中的先后顺序排成一个新数列数列的通项公式为__________． 题型07 等比数列插项构造 【典例7】（2026·高二·湖北恩施·阶段检测）已知数列满足，在和之间插入个1，构成新的数列，则数列的前20项的和为__________. 【变式7-1】（2026·高二·江苏南京·期末）为等比数列的前项和，且，． (1)求的通项公式； (2)保持的各项顺序不变，在和之间插入个1，使它们与数列中的项组成一个新的数列，记的前项和为，求． 【变式7-2】（2026·高二·广西南宁·期中）已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式; (2)保持数列中各项先后顺序不变，在与之间插入个，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记的前项和为，求的值. 【变式7-3】（2026·高二·浙江嘉兴·期末）已知数列满足，且． (1)证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)在数列的任意相邻两项与（）之间，插入k个相同的数，组成一个新的数列，记数列的前n项和为，求． 题型08 等比数列奇偶项问题 【典例8】（2026·高二·重庆渝中·期末）已知数列的前项和为，且 ，数列满足. (1)求和的通项公式； (2)若满足，求的前项和. 【变式8-1】（2026·高二·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知数列满足，． (1)证明：求，的值，并证明数列为等比数列； (2)设，求数列的前项和． 【变式8-2】（2026·广东佛山·模拟预测）已知数列满足：，，设． (1)求，，的值； (2)判断数列的单调性并说明理由； (3)求数列的前项和． 【变式8-3】（2026·高二·广东佛山·阶段检测）已知等差数列的前项和为，数列是等比数列，. (1)求数列和的通项公式； (2)若，设数列的前项和为，求； (3)求. 题型09 等比数列的判定与证明 【典例9】（2026·高三·黑龙江辽宁·开学考试）在数列中，，，． (1)证明：是等比数列； (2)求数列的通项公式． 【变式9-1】（2026·高三·山东日照·开学考试）已知数列满足，，． (1)求证：是等比数列； (2)求数列的通项公式； 【变式9-2】（2026·高二·辽宁葫芦岛·期末）已知数列满足，，设. (1)求，的值； (2)证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式. 【变式9-3】（2026·高二·河南南阳·期中）在数列和中，，，. (1)证明：是递增数列. (2)证明：是等比数列，是等差数列. 题型10 等差与等比数列综合应用 【典例10】（2026·高二·江苏苏州·阶段检测）已知数列满足：，，． (1)求，，的值； (2)求证：为等比数列，并求其通项公式； (3)求的和． 【变式10-1】（2026·高二·江苏连云港·阶段检测）已知数列 的前 项和是 ，且 . (1)求数列 的通项公式； (2)设 ，证明 . 【变式10-2】（2026·高二·江苏连云港·阶段检测）已知数列 满足 ，且 . (1)求证:数列 是等差数列； (2)求数列 的通项公式； (3)求数列 的前 项和 . 【变式10-3】（2026·高二·江苏苏州·阶段检测）已知数列的前n项和为，且，，． (1)求数列的通项公式； (2)令，数列的前n项和为，是否存在正整数m，，使得，，成等差数列？若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由； (3)记，证明：． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题03等比数列参考答案 题型01比数列的定义与通项公式 典例精析 【典例1】【答案】A 【解析】充分性验证： 若非零实数a、b、c、d依次成等比数列，不妨设该等比数列的公比为9， 则b=ag,c=ag,d=ag, 所以ad=aag3=adq3,bc=agag2=adq,因此ad=bc, 故“四个非零实数a、b、c、d依次成等比数列”→“ad=bc”; 必要性验证： 若ad=bc,当a=b=1,c=d=2，,则此四数无法形成等比数列， 故“四个非零实数a、b、C、d依次成等比数列”牛“ad=bc”. 因此，“四个非零实数a、b、c、d依次成等比数列”是“ad=bc”的充分不必要条件. 举一反三 【变式1-1】【答案】C 【解析】①中，3a 3=4(常数)，所以数列3a,}是等比数列： 2 1 ②中，24 (常数)，所以数列「2)是等比数列： a a 3234 ③中，不妨设a.=21,则数列{3}为3,3,3，，因为3≠，所以数列3”}不一定是等比数列： ④中，数列的项可能为0，故不一定是等比数列； ⑤中， 203驰=44《常数)，所以数列{24,3动，}是等比数列. 2a3b 故①②⑤是等比数列. 【变式1-2】【答案】C 1/20 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【解析】由题得，(a,+3)=(a+1(a+5),a,=a+2d,a,=a+4d, 所以(a+2d+3}=(a+1)(a+4d+5), 整理得（d+1)=0→d=-1. 所以4+3E4+2d+3=4-2+3=4+1,则9日+。2+ =1 所以d+g=-1+1=0 【变式1-3】【答案】A aq2-a1=8 a=1 【解折】因为4-4=8'4，-4=24，即ag-4g=24,解得1 g=3 题型02等比数列的实际应用 典例精析 【典例2】【答案】C 【解析】记S表示第n次操作后余下的各区间长度之和， 1 2 由于第一次操作去掉的线段长为3第二次操作去掉的线段长为3，…，第n次操作去掉的线段长度为 2 30, 因此=1-{是 332 3n 2 1- 3 则由意)八 而3 ≈0.1317， ≈0.0878，所以的最小值为6. 举一反三 2/20 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【变式2-1】【答案】C 【解析】从2011年1月1日到2016年1月1日共经过5年 按复利计算，1年后本息和为1+x),2年后本息和为a(1+x',所以5年后本息和为(1+x)°. 【变式2-2】【答案】A 【解析】由题意可知：5年后本利和是10000×(1+1.3%)°=10000×1.0133元. 【变式2-3】【答案】B 【解析】根据题意可得牧场从今年起开始计算，第3年年初计划存栏数为2000×(1+5%)}=2205， 题型03等比数列的基本性质 典例精析 【典例3】【答案】D 【解析】数列{an}是等比数列，则a,a,a=a=3,a64,4=G=24, a。=8,故44o81=4。=24×8=192 而aad 故选：D E举-反三 【变式3-1】【答案】A 【解析】4，a8是方程x2-6x+4=0的两根， 根据韦达定理4+4s=6,a2·48=4,所以a0,a8>0,ao=a9>0 a4416+a0=a2a8+Va2a8=4+2=6 【变式3-2】【答案】C 【解析】由题意得，a44。+a=aG+a=12,得4，=3或-4（舍）， 则l0g3a+log3a2+log3a+…+log34,=log3(a42.a,）=log3a=9log3a,=9 【变式3-3】【答案】B 【解析】因为a,41为方程x2-6x+8=0的两根，所以4,41=8， 3/20 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 又因4为4,41的等比中项，所以a,2=a41=8, 因a>0,故a,=22 题型04等比数列前n项和公式与性质 典例精析 【典例4】【答案】C 【解析】设等比数列{an}的公比为9，则a,+a+a=a93+a93+a93=9(a+a,+a)=14, 又S=a+a+a=7,代入解得g3=2, 则S,=(a+a+a)+(a4+a+a)+(a,+a+a)=(a+a,+a)1+g+g)=71+2+4)=49 举反 【变式4-1】【答案】B 【解析】设等比数列{an}的公比为9,9≠0， 由a-a,=-21得4-ag3=a(1-9）=a(1-9)1+9+92）=-21(1) 由S=a+a,+a=a(1+g+q2）=21(2), 将式(2)代入式(1)得，21(1-9)=-21，解得9=2， 将9=2代入式(2)得，74=21，解得4=3， 所以3=3×0-，2-302-). 1-2 【变式4-2】【答案】B 【解析】设等比数列{a}的公比为q,易知q>0, S3=a1+a2+43=a(1+g+q),代入a=-16,S3=-28, 得-161+9+9)=-28，化简得492+4g-3=0, 解得9=方政9=子（合士）， 4/20 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 所以 S= a1-9) 1 1 1-9 1 2 2 【变式4-3】【答案】B 【解析】因为等比数列{a}的前n项和为Sn,且S,=3,S5=63, 。a0-g）-3 S, 1-9 所以 ,且 一g)·两式相除得 S5= S5_1-g5 9≠1 1-q S,1-q3 =1+g3+g0=21 解得9=-5或9=4， 40g=s0+9)=30+).枚3，-2或5 1-g 题型05等比数列的范围与最值 三典例精析 【典例5】【答案】ABD 【解析】设等差数列{an}的公差为d, 由4=b,a,=b,解得d=36,a=-6, 4,=a,+d=-b+3h,=2b=-2a,选项A正确： 由4>4，知d>0,则>0，所以4<0<b,选项B正确： 4=5h,b=4h,则4>6，选项C错误； a4=11b,b=16b,则a<b,选项D正确 举一反三 【变式5-1】【答案】BCD 【解析】设正项等比数列b}的公比为9(9>0)， 5/20 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 a=b 面8b得：a+8d=bg=a4”d=8，又0g 8 对于A,6-么=4+21-4g2=4+4(g- 4 2-4g2-4(g-4g2+3), 设f(9)=q-4g2+3(g>0),f(q)=8g-8g=8q(g-1, 则当0<9<1时，f'(g)<0:当9>1时，f"(g)>0: ∴f(9)在(0,1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增，∴f(9）≥f()=1-4+3=0, 又9≠1,4，-6，>0，即a,>b,A错误： 对于8a-6=4+相-aa-a+ag-引g-2对+刘-号g->0, a>b,B正确： 对于C,由a>a得：4>a+8d,d<0, 即4-<0，又4=6>0：0<9<1 8 ..ao-bo =a+9d-ag?=a+ a+at-）-4g-go4--, 8 设8(9)=9g-8g-1(0<9<),则8(9)=72g-72g=72g(1-9)>0, “g(9)在(0，)上单调递增，∴g(9)<g()=9-8-1=0, .ao-b0<0,即a0<b0,C正确： 对于D,由4<4得：a<a+8d,d>0, 20,又4=有>0g≥ra6-8时-4-)： 8 设h(9)=9g-8g°-1(q>1),则h(9)=72g(1-9)<0, h(g)在(，+∞)上单调递减，h(g)<h()=9-8-1=0, .a0-b0<0,即a0<b0,D正确， 故选：BCD. 【变式5-2】【答案】AB 【解析】因为等比数列{a}中，a,a>1,所以a,与4m同号，所以q>0: 6/20 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 09-1 又am不0 →与am一个大于1，一个小于1，再有a>1,所以a>1,am<1 所以数列{a}是各项均为正数的递减的等比数列，所以0<q<1,故A正确： 因为0<4<1，所以a,ao1-1=4w-1<0,故B正确； 因为To0=Tg~a0<T9,故C错误； 因为8=(aa8)-(aam小(a,am）=(aam”>1, T9=(aa)(42as(a,ao)小4m=a0<1>1,所以使T,>1成立的最大自然数n等于198故D错误： 故选：AB 【变式5-3】【答案】AD 【解析】由aa>1,则g”>1,所以q(ag)>1, 又4>1，则9>0， 又(a9-l0(a0-l)<0,则ag>1,且a0<1 所以0<g<1,故A正确： a94g1=a0 又0<a<1,则0<a,a1<1故B错误： 由T0=T940,而0<<1，则T<Tw,故C错误： 又7w=a4…as=(aa8a2a7）…(a)a0)=(ag*a0)89>1, 而I=444w=(a4wa,as)(ag41)a0=d”<1,故D正确。 故选：AD, 题型06数列公共项问题 三典例精析 【典例6】【答案】(n-1)22+4 【解析】己知数列{an}的前n项和S,=n2+n, 当n=1时，4=S=12+1=2: 7/20 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 当m≥2时，a,=S,-S=(r+川-[（n-+(n-月=2n,当m=1时也满足4=2x1=2, 因此数列{a}的通项公式为a。=2n, 则数列{a}是偶数数列：2,4,6,8,10,12,14,16，…，数列{2}为1,2,4,816，， 因此数列{a}和数列{2}的公共项为2,48,16，…，即数列{，}的通项公式为b,=2, 则数列{a,bn}的通项公式为a,bn=2n2”=n-2, 则Tn=1×2+2×23+3×24+…+n-2,2Tn=23+2×24+3×25++n-22 两武相减得-=2+2++2-n2g_40-2）-n-202=0-川小2：-4. 1-2 故7，=(n-1)22+4. 三举一反三 【变式6-1】【答案】4046/21-2 【解析】因为数列a}是由{2”}和2m的公共项从小到大排列得到， 所以数列an}的前10项为2,2,2，…，2， 即{a}是以2为首项，以2为公比的等比数列 所以数列a}的前10项和为 2+2+2°++20=-20-2)=2-2=4046. 1-2 故答案为：4046 【变式6-2】【答案】257 【解析】设等差数列{a}的公差为d, 有号-8-=2，即4-4=2， 由题意，当n=2时，有2-1 2 所以d=a2-4=4,又a=1, 所以an=1+4(n-1)=4n-3. 设ak=bm,得4k-3=2m+l,k=2m-2+l,m≥2，m∈N,k∈N, 则，：59,17，…，所以c.=21+1(n∈N),9=210+1,则4k-3=20+1,得k=257, 8/20 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 所以{c}的第9项是{a}的第257项 故答案为：257. 【变式6-3】【答案】dn=32m 【解析】由S=a,-0aeN),可得4=S-a-)。 解得4=3】 当n≥2时，8=8-及=6-)-a0。 即an=3a1, 可得数列{}是首项和公比均为3的等比数列， 所以0n=3”, 设a:=3是{.}的第m项，则4m+3=3(k,m∈N）, 因为01=3*1=3×3=3×(4m+3)=4(3m+2)+1, 所以a不是{}中的项， 因为a42=32=9×3=9×(4m+3)=4(9m+6)+3, 所以4+2是亿，}中的项， 所以d=a,4=a,d=a,,dn=a 所以dn=32(neN) 故答案为：d。=32m1(neN)! 题型07等比数列插项构造 典例精析 【典例7】【答案】77 【解析】在a,a1之间插入n个1，构成数列b}:a,山，4，l,山，a,ll,l,a4…,而a。=2”, 则数列中不超过a的数的个数为n++2++m-训=n+,》-)+m. 2 2 9/20 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 当n5时.26+)=15，当n=6时，26+0=21， 所以3=a+a,+…+a+20-列x1=20-22+15=7. 1-2 故答案为：77 上举一反 【变式7-1】【解析】(1)设等比数列{a}的公比为q, S3=3a=14 若公比g=1则1S。=64=126,显然4无解，故g1 S3= -）-14 1-9 所以 S6= 0-g）-126 1-9 1-q126 两式相除可得i-g=14,则1+g=9,解得g=2所以a=2: 所以a=a9=2”； (2)设原数列有k项时，插入的1的个数如下： 在4与a2间有1个，在4与凸间有2个，…，在a-1与ak间有k-1个， 令+飞_=45，解得名)（负值已舍去）· 2 2 所以{b,}的前45项包含{a}的前9项及36个1， 所以T5=2+22+…+29+1x36 2-2）+36=1058. 1-2 【变式7-2】【解析】(1)S,=5"+3,当n=1时，4=S=5+3=8: 当n≥2时，a.=。-S1=5”+3-(5+3列=4-5，又4=8，不满足a,=4.51: 8,n=1 故a,=45,n22 (2)保持数列{a,}中各项先后顺序不变，在am与a1之间插入m个1，则新数列也n}的前88项为： 8,,4×5,1,1,a×52,1,,14×531,里，，，4×54，卫，，，1，，4×5,1,1,1，，l,里，4×56， 1,1,11,11,1,4×57,11,11,,l,11,4×58,11,11,,…,4×5 10120 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 T,,T,1,1,T,1T,,1, ,5-5"） 故。=8+0+2+3++10+1)+10+4×5+52++5)=8+10+1四+10+4× 2 1-5 即7=84+52-5=52+79 【变式7-3】【解析】(1)则2"”a.=2+(n-1)=n+1, 所以4，=n+1 2” at8是+++ 2n 234 则2 2+2 2+…+”n+1 2 2n+, 2m-1 所以2 2,1,1,1,,1n+1 4 29+… =1+ n+1_3n+3 2+2+2 2” 2n* 1 222, 所以Sn=3-n+3 2” (3)数列6，}中在a,之前共有(k-)+1+2+…+k-1)2+k-2 2 项，所以a:=b, 当k=13时，a3=b1,当k=14时，44=b5,所以 To0=(a+a2+…+a3)+(-1P+22-32+42--112+122-13x9) =S3+(1+2+3+…+12-13×9) 25-39=-18433 3、1 512· 题型08等此数列奇偶项问题 三典例精析 【典例8】【解析】(1)已知数列{a}的前n项和S。=2a-2(neN), 当n=1时，4=S=2a-2,解得4=2， 当n≥2时，a,=Sn-Sn1,即a.=(2an-2)-(2a1-2),即an=2an1, 11/20 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 所以数列{a}是以2为首项，2为公比的等比数列，故a。=2”, 所以bn=log2a,=log22”=n: [n,n为奇数 (2)由(1)可得cm= 2”,n为偶数' 所以数列{c}奇数项是以1为首项，2为公差的等差数列， 偶数项是以4为首项，4为公比的等比数列， 数列{cn}的前2n项，包含n个奇数项，和n个偶数项， 所以.=x1+-×2+4-4-+4”4 2 1-4 3 举一反 【变式8-1】【解析】(1)a=0,4=4, 证明：当n=1时，可得4=log24=log21=0」 当n=2时，可得4=202=22=4， 因为a1=2,2=2%2=2an1=4an1,(n≥），a=1, =4,a20 所以an 所以数列{a}为首项为1，公比为4的等比数列. (2)由(1)得41=4"，(n2≥)， 则an=log242m1=log24"-1=2n-2,(n≥1)， 所以4-，_42-2）=a-)4, 2 2 所以7n=0×4+1×4+…+(n-1)x4, 则47n=0×42+1×43+…+(n-1)×41, 所队-+4f-r-。-智g6-0-普 1-4 12120 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 8an+12,n为奇数 【变式8-2】【解析】(1)因为 4-2 ,n为偶数 2 所以4=8+12=16+12=28,4=号-2 =14, 22 a4=8a+12=8×14+12=112+12=124,a= 2_124-62. 22 a6=8a+12=8×62+12=496+12=508 又bn=an+4 所以6=4+4=28+4=32，b,=a4+4=124+4=128,4=a,+4=508+4=512. (2②)因为6=an+4=8an1+12+4=8×2+16=4a.+4=4的， 2 且6=32 所以{b}是以32为首项，4为公比的等比数列 因为4=32>0，公比9=4>1， 所以数列凸}为单调递增数列 (3)由(2)可知，b,=an+4=32×41=2+3,所以an=324-4, 所以a+a,++an=(32.4°-4）+(32.4-4）+…+3241-4)=32(40+4+…+4-4n _321-49)4n-32.4-32-4n 1-4 3 由4.=8a01+1234=0.12.32-41-4-2 8 8=4"-2’ 所以a+a++a1=(4-2）+(4-2++(4-2）=4+4+…+4”-2m1-4 40-4）-2m44-4-2. 3 所以a+a2+a3+a+…+a2m-1+a2n=(a+a++a2ml)+(a2+a4+…+a2n) （32.4-32-4n =12.4"-6n-12 【变式8-3】【解析】(1)设等差数列{@，}的公差为d,等比数列亿.}的公比为9(g≠0)， a=1,b=1,b2+S2=6,a5-2b2=a3, 9+1+1+d=6 1+4d-24-1+2d 13120 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 d=2, 解得1q=2, ∴an=2n-1,bn=2" (2)T2n=G+C2+…+C2m+C2n =(G+G3+…+C2n)+(G2++Cn) =-2(a+a+…+an)+(6+b,+…+b) =-2(1+3+…+2n-）+(2°+2+22+…+2-） =-2n2+2”-1 (3)由(2)可知Tm=-2n2+2”-1 ，为数.期=-份+2-1-+21 若n为奇数，若n=1,Tn=-2a=-2 -2-1 、h2 13 2-n+22 -n+22 3 n为奇数 综上，T,= 2 2 n2 +22-1,n为偶数 2 题型09等比数列的判定与证明 三典例精析 【典例9】【解析】(1)证明：因为an+2+2an=3a1,所以an+2-a1=2(aml-an), 又a-4=3≠0，所以a+-an≠0， an2-antl=2 所以an-an 所以{a-a}是以3为首项，2为公比的等比数列. 14120 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)由(1)得0-0.=3-21， 所以4-a=3.2°，4-4=3.2，a4-4=322,,a。-a=32m2(n22), 以上名式左右，8a-4-30+2+2+232-0小。 所以a=32-2(n22), 又4=1，符合上式，故a,=32-2 举一反主 【变式9-1】【解析】(1)因为a=2an+8a(n≥2)， 所以有01+2a.=2an+8a1+2an=4an+8an1=4(an+2an)(n≥2)， 又4+24=4+2×4=12， a+2a.=4n22）, 所以an+2a 所以数列{a+2a}是以12为首项，4为公比的等比数列： (2)由(1)得，0+20，=12.4=3.4“， 所以an1=-2an+3.4”, 学式两边同除g…得学器-异+ 令h=朵，则bm=- 3 -b+ 4 号-》又41-3分 则数列么}是首项为号，公比为)的等比数列， 以。- 所以a（ a0=+(g-少 15120 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2(n+2) 【变式9-2】【解析】(1)由条件可得an= n+1a. 将n=1代入得，4=30，而a=1,所以42=3 从万A=告分， =1 b,-2+1 (2)由条件可得%=24 n+2n+1,即b1=2b, 又b=2,所以{6，}是首项为2，公比为2的等比数列. 于是，bn=5×2=2-2 2 又6=年1所以n 0=2-2 解得a,=(n+)22. 【变式9-3】【解析】(1) +20+1）-6,+2-l+2, 2 当为偶数时， -)”-0少+2=2+2=1>0， 2 2 当为奇数时， -+2-2+2-=3>0, 2 2 则b+2(n+l)>b.+2n,所以{.+2m}是递增数列： （2)由腿您得6.3+=2，么3() 2 21, a2ban+dam-ban 22mt+2n-1 由ah,+a1-h,=2+n-1得an4n+an2么n1=2a2+2n+1-1' 2an+an1=22+2n+1 则a+a2=22+2n+1' 两式相减得a2=22m+2a,得42-22=2(4n-20）, 得4n-22”=2"-(42-22）, 16120 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 因为4，-22=0，所以an-22”=0,得an=22", 则41=2t1+2n+1-2an=2n+1, 有4=22=4,4=2×1+1=3， 2=4,a4ns-4m=2 则 所以{2m}是首项为4=4，公比为4的等比数列， {a}是首项为4，=3，公差为2的等差数列 题型10等差与等比数列综合应用 三典例精析 0.5an+n,n为正奇数 【典例10】【解析】(1)由g=1a= an-2n,n为正偶数？ 1 可得4=1+5a=1+ 22,4=4-4=-5 13 (2)证明： =24+(2m-小-2-7[0-2(2n-2]+2m-3--4n+4+2n-3=a-2). 6=an-2=1d 即6。=2b,又6=a-2=0.5a+1-2=-0.5=-1 2 所以数列也，}为公比是)，首项是一2的等比数列： =: (3)由(2)可得4.=2- 17120 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 举一反三 【变式10-1】【解析】(1)因为3S,+a,=3, 所以3Sn+a=3(n≥2)， 所以3a,+a-a1=0,即a.=4(n≥2). 又当n1时+4=3：所以4=， 所以数列{a}是以4为首项，4为公比的等比数列， 2)自（山得a=3x9,又38.+a,=3aeN) 所以8=1-周=1-份。 所以6=e.-小=i(得=-a+. 11 即b,b1(n+1(n+2)n+1n+2, 所x-Grg》422 1 因为n∈N,所以n+2>0,所以T,<2 【变式10-2】【解析】(1) 因%a=2a+2,即受受+分，又因为号-1， 所以受是以首项为1，公差为)的等差数列， (2自得，受=1+a-)=”生 2,所以an=(n+1)2-1. (3)已知5，=Σa+2kk+2· 令I,=a,=22°+3-2+…+n+)2,则20=2-2+3-2+…+n-2+n+1）-2”, k-1 18120 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 两藏，有-1=2+2+242-+02=2202）-+2=m2,所以工=m2 1-2 又为42)号》日1中号2 2n+1n+22n+1n+2: 所以Sn=n2”+ 311 2n+1n+2 【变式10-3】【解析】(1)己知2S,=(n+l)a,当n≥2时，2S=nan1,两式相减得： n dn=n 2a,=(n+1)a,-m1整理得(n-1)a=na,即an-1' 放0=422…2=223”=2. 44an112n-1 n=l时，a=2符合此式， 故an=2n 的品n西-北 则0-片+日)-n 若M,Mm,Mn成等差数列，则2Mn=M2+Mn, 220片00化的离理将品 5-m 由m,n为正数，且2<m<n,得5-m>0,即m<5,结合m>2: 当m=3时，n=12-2 5-3 5,满足2<3<5 _16-2=14,满足2<4<14 当m=4时，n=5-4 故存在两组解，m=3,n=5与m=4,n=14 (3)由an=2n得cn=(N2),-1=(N2)2m-1=2”-1. 对k≥1,2-1≥2，k=1时取等号，两边平方得(2-1)2≥24， 22 故cG(2*-02≤4=22- 则222=21+42=404 2 19120 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3 故后+后4，命得正 2.22 20/20 专题03 等比数列 （题型突破·举一反三） 题型一：等比数列的定义与通项公式 题型二：等比数列的实际应用 题型三：等比数列的基本性质 题型四：等比数列前 n 项和公式与性质 题型五：等比数列的范围与最值 题型六：数列公共项问题 题型七：等比数列插项构造 题型八：等比数列奇偶项问题 题型九：等比数列的判定与证明 题型十：等差与等比数列综合应用 一、等比数列的公式 （1）等比数列的通项公式 设等比数列的首项为，公比为，则它的通项公式． 推广形式： （2）等比数列的前n项和公式 等比数列的公比为，其前项和为 二、等比数列的性质 1、数列仍是公比为的等比数列； 2、数列（为常数）为等比数列；特别地，当时，即是公比为的等比数列； 3、若数列是公比为的等比数列，则数列是公比为的等比数列； 4、在等比数列中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即为 等比数列，公比为． 5、对称性：若，则；若，则． 6、前n项和的常用性质 ①． ②，…构成公比为的等比数列(). 7、与的性质 等比数列中，所有奇数项之和与所有偶数项之和具有的性质，设公比为． （1）若共有项，则；（2）若共有项，． 题型01 等比数列的定义与通项公式 【典例1】（2026·高二·福建莆田·阶段检测）“四个非零实数、、、依次成等比数列”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】充分性验证： 若非零实数、、、依次成等比数列，不妨设该等比数列的公比为， 则，，， 所以，，因此， 故“四个非零实数、、、依次成等比数列”“”； 必要性验证： 若，当，，则此四数无法形成等比数列， 故“四个非零实数、、、依次成等比数列”“”. 因此，“四个非零实数、、、依次成等比数列”是“”的充分不必要条件. 【变式1-1】已知项数相同的等比数列，，公比分别为，给出下列数列：①；②；③；④；⑤．其中一定是等比数列的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】①中，（常数），所以数列是等比数列； ②中，（常数），所以数列是等比数列； ③中，不妨设，则数列为，因为，所以数列不一定是等比数列； ④中，数列的项可能为0，故不一定是等比数列； ⑤中，（常数），所以数列是等比数列． 故①②⑤是等比数列． 【变式1-2】（2026·高二·湖南岳阳·期末）已知数列是公差为的等差数列，若，，依次构成公比为的等比数列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题得，，， 所以， 整理得， 所以，则， 所以． 【变式1-3】（2026·高二·北京·期末）已知等比数列满足，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，，即，解得 . 题型02 等比数列的实际应用 【典例2】（2026·高二·湖南株洲·期末）十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，记为第一次操作；再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；……，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段，操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”．若使余下的各区间长度之和小于，则操作的次数的最小值为（     ）（参考数据：，，，） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【解析】记表示第次操作后余下的各区间长度之和， 由于第一次操作去掉的线段长为，第二次操作去掉的线段长为，，第次操作去掉的线段长度为， 因此， 则由题意得， 而，，所以的最小值为6． 【变式2-1】（2026·高二·广东江门·阶段检测）某人2011年1月1日到银行存入一年期存款a元，若按年利率为x，并按复利计算，到2016年1月1日可取回款的数额是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】从2011年1月1日到2016年1月1日共经过5年． 按复利计算，1年后本息和为，2年后本息和为，所以5年后本息和为． 【变式2-2】（2026·高二·黑龙江哈尔滨·期中）某人现存入银行10000元定期存款，若以年利率的复利计算（复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息），则5年后本利和是（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】A 【解析】由题意可知：5年后本利和是元. 【变式2-3】（2026·高二·四川达州·期中）某牧场今年年初牛的存栏数为，预计以后每年存栏数的增长率为，则牧场从今年起开始计算，第年年初计划存栏数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意可得牧场从今年起开始计算，第年年初计划存栏数为. 题型03 等比数列的基本性质 【典例3】（2026·高一·四川泸州·期中）在等比数列中，，则的值为（    ） A．48 B．72 C．144 D．192 【答案】D 【解析】数列是等比数列，则，， 而，故． 故选：D 【变式3-1】（2026·高二·江苏连云港·阶段检测）在等比数列中，是方程的两根，则等于（    ） A．6 B．2 C．2或6 D．－2 【答案】A 【解析】是方程的两根， 根据韦达定理，所以 【变式3-2】（2026·高二·四川南充·期末）等比数列的各项均为正数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得，，得或（舍）， 则. 【变式3-3】（2026·高二·四川泸州·期中）已知数列为正项等比数列，，是方程的两个实数根，则（   ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【解析】因为，为方程的两根，所以， 又因为，的等比中项，所以， 因，故. 题型04 等比数列前 n 项和公式与性质 【典例4】（2026·高二·福建龙岩·阶段检测）设是等比数列的前项和，若 ， ，则（    ） A．21 B．28 C．49 D．56 【答案】C 【解析】设等比数列的公比为，则， 又，代入解得， 则 . 【变式4-1】（2026·高二·贵州贵阳·阶段检测）已知等比数列的首项为，其前项和为，若且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设等比数列的公比为，， 由得（1） 由（2）， 将式（2）代入式（1）得，，解得， 将代入式（2）得，，解得， 所以. 【变式4-2】（2026·高二·安徽宿州·期末）已知各项均为负数的等比数列的前项和为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设等比数列的公比为，易知， ，代入，， 得 ，化简得， 解得或（舍去）， 所以 . 【变式4-3】（2026·高二·黑龙江黑河·期末）已知等比数列的前项和为，且，，则（    ） A．12或-15 B．15或-12 C．15 D．12 【答案】B 【解析】因为等比数列的前项和为，且，， 所以，且，两式相除得， 解得或， ，故或. 题型05 等比数列的范围与最值 【典例5】（多选题）（2026·高二·陕西西安·期末）已知等差数列 与公比为 2 的等比数列 满足 ， ，且 ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】设等差数列的公差为， 由，，解得，， ，选项正确； 由，知，则，所以，选项正确； ，，则，选项错误； ，，则，选项正确. 【变式5-1】（多选题）（2026·高二·河南南阳·期中）已知等差数列的公差，数列为正项等比数列，且，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【解析】设正项等比数列的公比为， 由得：，，又，； 对于A，， 设，， 则当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增，， 又，，即，A错误； 对于B，， ，B正确； 对于C，由得：，， 即，又，， ， 设，则， 在上单调递增，， ，即，C正确； 对于D，由得：，， 即，又，，； 设，则， 在上单调递减，， ，即，D正确. 故选：BCD. 【变式5-2】（多选题）（2026·高二·四川绵阳·阶段检测）在等比数列中，公比为，其前项积为，并且满足 ， ， ，则以下结论正确的是（    ） A． B． C．的值是中最大的 D．使成立的最大自然数等于197 【答案】AB 【解析】因为等比数列中，，所以与同号，所以； 又与一个大于1，一个小于1，再有，所以，. 所以数列是各项均为正数的递减的等比数列，所以，故A正确； 因为，所以，故B正确； 因为，故C错误； 因为， ，所以使成立的最大自然数等于198.故错误. 故选：AB 【变式5-3】（多选题）（2026·高三·辽宁大连·期中）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．的值是中最大的 D．使成立的最大自然数等于178 【答案】AD 【解析】由，则，所以， 又，则， 又，则，且． 所以，故A正确； 又，则，故B错误； 由，而，则，故C错误； 又， 而，故D正确． 故选：AD． 题型06 数列公共项问题 【典例6】（2026·高三·山东烟台·阶段检测）已知数列的前项和，将数列与数列的公共项从小到大依次排列得到数列，为数列的前项和，则________． 【答案】 【解析】已知数列的前项和， 当时，； 当时，，当时也满足， 因此数列的通项公式为， 则数列是偶数数列：，数列为， 因此数列和数列的公共项为，即数列的通项公式为， 则数列的通项公式为， 则，， 两式相减得， 故. 【变式6-1】（2026·高三·广东珠海·阶段检测）将数列与的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前10项和为________ 【答案】4046/ 【解析】因为数列是由和的公共项从小到大排列得到， 所以数列的前10项为， 即是以2为首项，以2为公比的等比数列. 所以数列的前10项和为 . 故答案为：4046 【变式6-2】（2026·云南·模拟预测）已知等差数列的前项和为，且．若，由和的公共项构成数列，则的第9项是的第___________项． 【答案】257 【解析】设等差数列的公差为， 由题意，当时，有，即， 所以，又， 所以， 设，得， 则，所以，则，得， 所以的第9项是的第257项． 故答案为：257. 【变式6-3】（2026·吉林长春·模拟预测）设为数列的前n项和，且，数列的通项公式为，将数列与的公共项按它们在原来数列中的先后顺序排成一个新数列数列的通项公式为__________． 【答案】 【解析】由，可得， 解得， 当时，， 即， 可得数列是首项和公比均为3的等比数列， 所以， 设是的第m项，则， 因为， 所以不是中的项， 因为， 所以是中的项， 所以 所以. 故答案为：. 题型07 等比数列插项构造 【典例7】（2026·高二·湖北恩施·阶段检测）已知数列满足，在和之间插入个1，构成新的数列，则数列的前20项的和为__________. 【答案】77 【解析】在之间插入个1，构成数列，而， 则数列中不超过的数的个数为， 当时，，当时，， 所以. 故答案为： 【变式7-1】（2026·高二·江苏南京·期末）为等比数列的前项和，且，． (1)求的通项公式； (2)保持的各项顺序不变，在和之间插入个1，使它们与数列中的项组成一个新的数列，记的前项和为，求． 【解析】（1）设等比数列的公比为， 若公比，则，显然无解，故； 所以， 两式相除可得，则，解得，所以， 所以； （2）设原数列有项时，插入的的个数如下： 在与间有个，在与间有个，…，在与间有个， 令，解得（负值已舍去）， 所以的前项包含的前项及个， 所以. 【变式7-2】（2026·高二·广西南宁·期中）已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式; (2)保持数列中各项先后顺序不变，在与之间插入个，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记的前项和为，求的值. 【解析】（1），当时，； 当时，，又，不满足； 故. （2）保持数列中各项先后顺序不变，在与之间插入个，则新数列的前项为： 故 即. 【变式7-3】（2026·高二·浙江嘉兴·期末）已知数列满足，且． (1)证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)在数列的任意相邻两项与（）之间，插入k个相同的数，组成一个新的数列，记数列的前n项和为，求． 【解析】（1）则， 所以． （2）由， 则， 所以， 所以． （3）数列中在之前共有项，所以， 当时，，当时，，所以 ． 题型08 等比数列奇偶项问题 【典例8】（2026·高二·重庆渝中·期末）已知数列的前项和为，且 ，数列满足. (1)求和的通项公式； (2)若满足，求的前项和. 【解析】（1）已知数列的前项和， 当时，，解得， 当时，，即，即， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，故， 所以； （2）由（1）可得， 所以数列奇数项是以为首项，为公差的等差数列， 偶数项是以为首项，为公比的等比数列， 数列的前项，包含个奇数项，和个偶数项， 所以. 【变式8-1】（2026·高二·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知数列满足，． (1)证明：求，的值，并证明数列为等比数列； (2)设，求数列的前项和． 【解析】（1），， 证明：当时，可得， 当时，可得， 因为，，， 所以，， 所以数列为首项为，公比为的等比数列． （2）由（1）得，， 则，， 所以 ， 所以， 则， 所以， 即． 【变式8-2】（2026·广东佛山·模拟预测）已知数列满足：，，设． (1)求，，的值； (2)判断数列的单调性并说明理由； (3)求数列的前项和． 【解析】（1）因为，， 所以，， ，， . 又， 所以，，. （2）因为， 且. 所以是以32为首项，4为公比的等比数列. 因为，公比， 所以数列为单调递增数列. （3）由（2）可知，，所以， 所以. 由， 所以. 所以. 【变式8-3】（2026·高二·广东佛山·阶段检测）已知等差数列的前项和为，数列是等比数列，. (1)求数列和的通项公式； (2)若，设数列的前项和为，求； (3)求. 【解析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， ， 解得 ，. （2） （3）由（2）可知 若为偶数，则 若为奇数，若 若，则 综上，. 题型09 等比数列的判定与证明 【典例9】（2026·高三·黑龙江辽宁·开学考试）在数列中，，，． (1)证明：是等比数列； (2)求数列的通项公式． 【解析】（1）证明：因为，所以， 又，所以， 所以， 所以是以3为首项，2为公比的等比数列． （2）由（1）得， 所以，，，…，， 以上各式左右相加，得， 所以， 又，符合上式，故． 【变式9-1】（2026·高三·山东日照·开学考试）已知数列满足，，． (1)求证：是等比数列； (2)求数列的通项公式； 【解析】（1）因为, 所以有, 又, 所以, 所以数列是以12为首项，4为公比的等比数列. （2）由（1）得，， 所以， 等式两边同除，得， 令，则， 所以，又， 则数列是首项为，公比为的等比数列， 所以， 所以， 则. 【变式9-2】（2026·高二·辽宁葫芦岛·期末）已知数列满足，，设. (1)求，的值； (2)证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式. 【解析】（1）由条件可得． 将代入得，，而，所以． 从而， ． （2）由条件可得，即， 又，所以是首项为，公比为2的等比数列． 于是，， 又，所以， 解得． 【变式9-3】（2026·高二·河南南阳·期中）在数列和中，，，. (1)证明：是递增数列. (2)证明：是等比数列，是等差数列. 【解析】（1） ， 当为偶数时，， 当为奇数时，， 则，所以是递增数列； （2）由题意得，， 由，得， 则， 两式相减得，得， 得， 因为，所以，得， 则， 有，， 则，， 所以是首项为，公比为4的等比数列， 是首项为，公差为2的等差数列. 题型10 等差与等比数列综合应用 【典例10】（2026·高二·江苏苏州·阶段检测）已知数列满足：，，． (1)求，，的值； (2)求证：为等比数列，并求其通项公式； (3)求的和． 【解析】（1）由，， 可得，，. （2）证明： ， 即，又， 所以数列为公比是，首项是的等比数列； 故； （3）由（2）可得， 所以． 【变式10-1】（2026·高二·江苏连云港·阶段检测）已知数列 的前 项和是 ，且 . (1)求数列 的通项公式； (2)设 ，证明 . 【解析】（1）因为， 所以， 所以，即． 又当时，，所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以． （2）由（1）得，又 ， 所以， 所以， 即， 所以． 因为，所以，所以. 【变式10-2】（2026·高二·江苏连云港·阶段检测）已知数列 满足 ，且 . (1)求证:数列 是等差数列； (2)求数列 的通项公式； (3)求数列 的前 项和 . 【解析】（1） 因为，即，又因为， 所以是以首项为，公差为的等差数列. （2）由（1）得， ，所以. （3）已知 ， 令 ，则， 两式相减，得，所以， 又因为， 所以. 【变式10-3】（2026·高二·江苏苏州·阶段检测）已知数列的前n项和为，且，，． (1)求数列的通项公式； (2)令，数列的前n项和为，是否存在正整数m，，使得，，成等差数列？若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由； (3)记，证明：． 【解析】（1）已知，当时，，两式相减得： ，整理得，即， 故， 时，符合此式， 故． （2）， 则， 若，，成等差数列，则， 故，化简整理得， 由为正数，且，得，即，结合： 当时，，满足； 当时，，满足； 故存在两组解，与． （3）由得， 对，，时取等号，两边平方得， 故， 则， 故，命题得证． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $