微专题02 数列 奇偶项与分段递推讲义-2027届高三数学二轮复习

奇偶项与分段递推

数列 · 微专题 02

2027 届高三数学二轮复习

一、本讲导航

递推式中出现 ，或递推关系按 的奇偶分成两式时，相邻两项之间的关系并不统一。此类问题的共同实质，是把一个递推式拆成两个子列问题：先按 的奇偶写出两条递推式，再通过代入消去中间项，得到相隔一项的关系，从而把奇数项与偶数项分别化为等差或等比数列。解题时不宜先对原式求和，也不宜直接猜测通项，而应先完成拆分与转化。

· 明确分段方式。 看清递推式中 的奇偶对应哪一项的下标，代入时逐条对应，两条式子不可混用。

· 明确子列类型。 判断奇数项、偶数项各自成等差还是等比，并分别确定首项与公差、公比。

· 明确求和策略。 项数为偶数时优先并项，项数不定时按奇偶分组，最后核对项数与末项。

下文以一道由分段递推给出的数列问题为例，说明上述过程，并将其迁移至分段通项、含 的递推与隔项成等比等情形。

二、真题入场

已知数列 满足 ，且当 为奇数时 ，当 为偶数时 ．

（1）记 ，写出 ，，并求 的通项公式；

（2）求 的前 项和．

三、命题拆解

本题的递推式按 的奇偶分成两条，相邻两项之差随下标变化，直接求和无法进行。条件可分为三层：两条递推式给出相邻项之差， 的定义抽取偶数项，前 项和需要按对分组。三层依次处理后，问题化为两个等差数列。

 

按奇偶拆式 → 隔项作差 → 偶子列通项 → 分组求和

解题时需注意以下四点：

· 第一，代入前先看 的奇偶。 为奇数时加 ，为偶数时加 ，两条式子不可混用。

· 第二， 与 之间隔着一项。 ，须借下标 为奇数这一条递推式过渡。

· 第三，组的首项与组数要对准。 ，前 项共 组，不可按 项或 项计数。

· 第四，并项求和须先证组和成等差。 只凭前几组的数据下结论，不能作为证明。

四、一题多解

解法一 · 隔项作差（通法）

第 1 步 由 及 为奇数得 ，故 ；由 为偶数得 ，再由 为奇数得 ，故 ．

第 2 步 一般地，取 （奇数）得 ；取 （偶数）得 ．

第 3 步 两式消去 ，得 ，故 是首项为 、公差为 的等差数列，．

第 4 步 于是 ，即 ．

第 5 步 前 项按对分组：，故 ．

适用信号 递推式按奇偶分段、目标为某一子列的通项时，令下标取 与 消去中间项最为直接；运算代价是一次代入；适用边界是两条式子中的中间项为同一项．

解法二 · 列举归纳（先猜后证）

第 1 步 依次算得 ，，，，，．

第 2 步 观察得 ，，即 ．

第 3 步 验证： 时两式均成立；若 ，则 ；若 ，则 ．由数学归纳法，两式对一切正整数 成立．

第 4 步 将相邻两项并作一组：，组和构成首项为 、公差为 的等差数列．

第 5 步 故 ．

适用信号 递推式较简单、前几项规律明显时，可先列举再归纳；运算代价小；适用边界是规律必须给出归纳证明，仅凭前几项不能作为结论．

 

五、三级变式链

变式 1（换情境）· 分段通项与和的不等式

已知等差数列 ，数列 满足：当 为奇数时 ，当 为偶数时 ．记 ， 分别为 ， 的前 项和，且 ，．

（1）求 的通项公式；

（2）证明：当 时，．

变式意图 将分段递推换为分段通项：递推关系不再按奇偶分段，而是通项本身按奇偶取值；求和时须先写出两段的表达式，再分奇偶讨论项数．