微专题03 解析几何 弦长、面积与目标函数讲义-2027届高三数学二轮复习

弦长、面积与目标函数

解析几何 · 微专题 03

2027 届高三数学二轮复习

一、本讲导航

弦长、面积与目标函数是解析几何解答题的常见落点。题目给出定弦、定点或定面积时，运算的主体往往不是求交点，而是把几何量写成含参数的代数式，再对代数式求值、求范围或求最值。具体可从以下三个方面入手。

· 明确底与高。 三角形面积以定弦为底时，高由点到直线的距离给出；以动弦为底时，底与高同时含参数，宜先选定一个主变量。

· 明确目标形式。 面积定值对应方程，面积最值与弦长最值对应函数；先判断目标类型，再决定是解方程还是求最值。

· 明确参数范围。 联立后的判别式、交点所在象限、直线与曲线的位置关系都会给出参数范围；求最值时须在范围内取等。

下文以一道面积定值问题为例，说明设线与平移两条路径，并将其迁移至面积最值、弦长求解与垂直条件下的最值问题。

二、真题入场

已知 和 为椭圆 上两点．

（1）求 的离心率；

（2）若过 的直线 交 于另一点 ，且 的面积为 ，求 的方程．

三、命题拆解

本题条件可分为三层：椭圆由两点确定；面积条件只约束点 到定弦 的距离；直线 由 两点确定。三层依次推进，不宜一开始就设斜率联立。

 

定椭圆 → 定底边 → 定高 → 定点 → 定直线

解题时需注意以下四点：

· 第一，先由两点定椭圆。 给出 ，再代入 求 ，不必先设焦点位置。

· 第二，面积条件给出的是距离。 中 已知，故 唯一确定，点 的位置由平行线给出。

· 第三，平行线有两条。 其中一条可能整个位于椭圆之外，须用判别式或点到中心的距离排除。

· 第四，斜率不存在的情形单独检验。 直接设 会漏掉 ，应先算该情形的面积。

四、一题多解

解法一 · 设线联立（通法）

第 1 步 由 得 ；代入 得 ，故 ，，．

第 2 步 当 的斜率不存在时，，，，点 到 的距离为 ，面积为 ，不合题意．故设 ，记 ，代入 得 ．因 是方程的一根，故另一根 满足 ．

第 3 步 ；点 到 的距离 ．

第 4 步 由 得 ，即 ．当 时，， 或 ；当 时，，判别式小于零．

第 5 步 故 或 ．

适用信号 题干给出定点与面积定值时，设线联立可把面积写成斜率的方程；运算代价是一次联立与一次含绝对值的方程；适用边界是需先排除竖直线，并检验所得直线确与曲线相交．

解法二 · 平行线定高（简捷解）

第 1 步 同解法一得 ．，直线 ．

第 2 步 由 得 ．

第 3 步 设点 所在的直线为 ，由 得 或 ．

第 4 步 当 时，，代入椭圆得 ， 或 ，故 或 ．当 时，原点到该直线的距离 大于椭圆上点到中心的最远距离 ，直线与椭圆无交点．

第 5 步 直线 的方程为 或 ．

适用信号 三角形一边为定弦、面积给定时，先算高再平移底边；运算代价是一次平行线距离与一次可因式分解的联立；适用边界是两条平行线中可能有一条与曲线无交点，须逐一检验．