角平分线在圆锥曲线中的应用 讲义-2026届高三数学二轮专题
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摘要：
该高中数学讲义聚焦圆锥曲线中角平分线应用这一高考核心考点，涵盖椭圆、双曲线、抛物线三大曲线，按定义性质、解法策略、题型分类的逻辑架构，通过考点梳理、方法归纳、真题演练环节，帮助学生构建解题框架，突破综合应用难点。
资料以数学眼光洞察几何与代数联系，创新融合角平分线定理、光学性质等解题策略，如利用椭圆法线平分内角性质结合距离公式求离心率，培养学生数学思维。设置分层例题与注意事项，保障复习效果，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。
内容正文：
角平分线在圆锥曲线中的应用
一、角平分线的定义与性质
1. 定义
从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.
2. 基本性质
性质
内容
角平分线定理
角平分线上的点到角的两边距离相等
角平分线分对边成比例
在三角形中，角的平分线分对边所得的两条线段与这个角的两边对应成比例：
到角公式
若直线 的斜率分别为 ，则 到 的角 满足
二、圆锥曲线中角平分线的常用解法
1. 利用角平分线定理（边长比例）
在焦点三角形 中，若PQ平分 且交 于点 Q，则：
结合圆锥曲线的定义（椭圆：；双曲线：），可建立方程求解离心率或坐标.
2. 利用点到直线的距离相等
若点P在角平分线上，则P到角两边所在直线的距离相等：
适用于求角平分线方程或确定角平分线上点的坐标.
3. 利用斜率关系
(1) 角平分线与边的关系：若一条直线平分两条已知直线的夹角，则它的斜率可通过到角公式或夹角公式求出.
(2) 互为相反数：在抛物线或椭圆中，若角平分线垂直于x轴（即平行于y轴），则角两边所在直线的斜率互为相反数：.
4. 利用光学性质
(1) 椭圆：从一焦点发出的光线经椭圆反射后经过另一焦点，且反射点处的切线与法线（即角平分线）垂直.即椭圆在点P处的切线平分 的外角，法线平分内角 .
(2) 双曲线：从一焦点发出的光线经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过另一焦点，且反射点处的切线平分 .
(3) 抛物线：从焦点发出的光线经抛物线反射后平行于对称轴，反射点处的切线平分焦点与反射点连线与对称轴之间的夹角.
5. 利用三角形内切圆/旁切圆性质
角平分线是三角形内切圆或旁切圆的圆心所在直线，可结合面积法、等面积法求解距离或半径.
三、经典解法示例
题型一：已知角平分线求离心率
在焦点三角形中，利用角平分线定理结合圆锥曲线定义，列出方程求解a, c的关系.
解题步骤：
1． 设 ，，由定义得 （椭圆取和，双曲线取差）；
2． 由角平分线定理得 ；
3． 结合已知条件（如向量关系、坐标条件）建立方程；
4． 联立解得 .
典型例题：
1.椭圆
1-1．（2025·四川成都·三模）古希腊数学家在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆上的点反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，且在点处的切线垂直于法线（即的平分线）.已知椭圆的焦距为，坐标原点到点处切线的距离为，且，则椭圆的长轴为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．16
【答案】C
【分析】作出辅助线，根据光学性质，得到点处切线与直线均为，求出点到的距离，结合椭圆的定义得到原点到点处切线的距离，得到方程，求出，，由余弦定理，，得到，结合焦距为即可求解.
【详解】如图，设点处的切线为为的平分线，交轴于点，则，
过点，分别作，垂足分别为，过点作于点.
设，则.因为，所以，
所以.因为为的中点，
所以由梯形的中位线定理，
得，
所以.因为，所以，所以.因为，
所以在中由余弦定理，
得，
即，所以，即.又因为，
所以，即椭圆的长轴为8.
故选：C.
1-2．（25-26高二上·山东·阶段检测）数学家在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆上的P点反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，且在P点处的切线垂直于法线（即的平分线）．已知椭圆，坐标原点O到点P处切线l的距离为，且，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】作出辅助线，根据光学性质，得到点处切线与直线所成的角均为，求出点到l的距离，结合椭圆的定义得到原点到切线l的距离，得到方程，求出，由余弦定理，得到，求出离心率.
【详解】设点P处切线为l，
如图，是的平分线，则，设，则．
根据椭圆的光学性质，点P处切线l与直线所成的角均为，
点到切线l的距离分别为，．
为的中点，
∴由梯形中位线性质得，原点O到点P处切线l的距离为，
，故．又，
由余弦定理，得，
，即，故，
椭圆C的离心率．
故选：C．
1-3．（2022·全国·模拟预测）已知分别是椭圆的左、右焦点，过点作x轴的垂线与椭圆C在第一象限的交点为P，若的平分线经过椭圆C的下顶点，则椭圆C的离心率的平方为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将代入椭圆方程，求出，求出，然后得到PB的直线方程求出T的坐标，根据面积比进行转化即可得出答案.
【详解】
设，将代入椭圆方程，易得，
则．
记椭圆C的下顶点为，则的斜率，
∴直线的方程为，
令得直线与x轴的交点为，
则，
又，
，即，
，得（舍去负值），
．
故选：D.
1-4．（2025·福建福州·三模）设椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，为的平分线与轴的交点.若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】解法一：不妨设点位于第一象限，设，，根据题意得出关于、的方程组，解出这两个量的值，利用角平分线定理分析得出，结合三角形的面积公式可求出的值；
解法二：不妨设点位于第一象限，设，，根据题意得出关于、的方程组，解出这两个量的值，由结合三角形的面积公式可求出的值.
【详解】依题意，，，
解法一：不妨设点位于第一象限，设，，则①，且.
因为，所以，所以②.
由①②解得：，.
因为平分，由角平分线定理可得，故，
所以，即，
故，所以.
解法二：不妨设点位于第一象限，设，，则①，且.
因为，所以，所以②.
由①②解得：，.
由，得，
所以.
故选：B.
1-5．（20-21高二上·山东济南·期中）已知，是椭圆的左，右焦点，动点在椭圆上，的平分线与轴交于点，则的可能取值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【解析】由椭圆方程求得焦点坐标，再由得，分别写出直线和的方程，由M到两直线的距离相等列式，整理可得m关于的关系式，求得m的取值范围，即可得出结果.
【详解】由椭圆方程可得，
由可得，
则直线的方程为，即，
直线的方程为，即，
在的平分线上，
①，
，
，
则①式可化为，即，
又，，
结合选项可得m的可能取值为1，0，.
故选：ACD.
【点睛】本题考查椭圆的几何性质，考查直线与椭圆的位置关系的应用，解题的关键是利用角平分线上的点到两直线距离相等列式求出m关于的关系式，得出m的范围求解.
1-6．（23-24高二上·山西吕梁·期末）已知是椭圆的左、右焦点，直线与椭圆相交于两点，的平分线交于点，且，则椭圆的离心率为______.
答案/
【分析】根据椭圆的对称性，角平分线性质可得，结合椭圆定义可求，利用余弦定理列出关于的方程，由此可求离心率.
【详解】 连接、，根据椭圆的对称性可知四边形为平行四边形，
所以，
根据角平分线定理得：，
所以，又
，又，
又在中，由余弦定理得：
，所以.
故答案为：.
1-7．（2022·河南洛阳·三模）已知椭圆的左､右焦点分别为，，过且垂直于轴的直线与椭圆在第一象限的交点为，的平分线与轴交于点，若四边形的面积为，则椭圆的离心率___________.
答案/
【分析】如图，设与轴的交点为，连接，利用平面几何知识结合焦点三角形性质可求四边形为，从而可求离心率.
【详解】如图，设与轴的交点为，连接，
因为平行于轴，故为的中点，且，
故，又，故，
因为，故，
所以，
故四边形为：
，
故即离心率为，
故答案为：
2双曲线
2-1．（2026·山西太原·二模）设分别是双曲线的左､右焦点，是该双曲线右支上一点，的平分线交轴于点，令，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据角平分线的性质结合双曲线定义可得，.方法一：设，利用正弦定理可得，结合三角恒等变换可得，结合余弦定理运算求解；方法二：分析可得，作的平分线，交于点，可得，，，进而可得结果.
【详解】因为为的平分线，且，，，
则，即.
由双曲线定义可得，即，解得，.
方法一：设，
由正弦定理得，即，
在中，因为，则，
可得，
把代入得，
且，则，可得，即，
由得，即，
把代入得，
化简得，，
在中，由余弦定理得，
整理可得，解得或（舍去），
方法二：因为，
则或，
即或，
又因为是的内角，则，
可得，则，
作的平分线，交于点，
则，是等腰三角形，
可得，，，
且，可得，
所以.
2-2．（20-21高二上·黑龙江哈尔滨·期中）双曲线的离心率为，左、右焦点分别为，为双曲线右支上一点，的平分线为，点关于的对称点为，，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可得是线段的中垂线，且点在的延长线上，由双曲线的定义可得，从而可得答案.
【详解】由的平分线为，点关于的对称点为，
可得是线段的中垂线，且点在的延长线上.
则,
则，由离心率为，得，故，
故选：B
2-3．（2023·四川德阳·模拟预测）已知、为双曲线的两个焦点，过点作直线与双曲线的一支交于两点，、的平分线分别交双曲线虚轴所在直线于两点，为双曲线中心，若，实轴长，成等比数列，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】A
【分析】结合题意得，进而得，再根据等比中项得，进而代换求解即可得答案.
【详解】解：设双曲线的焦距为，
如图，由题知，即，
所以，，
所以，，，
所以，
所以，即，
因为，实轴长，成等比数列，
所以，即，
所以，即，
所以，离心率为.
故选：A
2-4．（2020·河北保定·二模）已知、分别为双曲线的左、右焦点，过作轴的垂线交双曲线于、两点，若的平分线过点，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】作出图形，设，可得，根据角平分线定理可得，可得出与的等量关系，再利用勾股定理可得出、的关系式，进而可求得双曲线的离心率.
【详解】设，可得，如下图所示：
由于的平分线过点，则，
即，，，
在中，由勾股定理可得，即，
，因此，椭圆的离心率为.
故选：D.
【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，考查了利用双曲线的定义求解焦点三角形问题，考查计算能力，属于中等题.
2-5．（2020·福建·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别、，过的直线交双曲线右支于，两点.的平分线交于，若，则双曲线的离心率为
A． B．2 C． D．
【答案】A
【分析】首先取中点，连接，，利用平面向量加法的几何意义得到轴，，再根据勾股定理列出等式，计算离心率即可.
【详解】取中点，连接，，如图所示：
由，可知四边形为平行四边形.
又∵为的平分线，∴四边形为菱形.
∵，∴为中点，
∵，∴为中点，
由双曲线的对称性可知：轴，点在轴上.
∴，
由双曲线定义得：，
所以，
∴，即，
整理得，所以.
故选：A
【点睛】本题主要考查双曲线离心率的求法，同时考查了平面向量加法的几何意义，属于中档题.
2-6．（19-20高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，为双曲线的右支上一点，且，与轴交于点，若是的平分线，则双曲线的离心率
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】先利用角平分线及得到三角形相似，进而得到，再根据角平分线定理也可得到，列方程即可求出离心率．
【详解】如图：
由题意得：，所以，
又，所以，
又是的平分线，所以，
所以，所以，
即，所以，
由角平分线定理知，，则，
所以，所以，
故．
故选：C．
【点睛】本题关键是利用角平分线定理得到，考查了学生计算能力，分析能力，是中档题．
2-7．（24-25高二上·贵州遵义·期末）设，是双曲线的左、右焦点，过的直线交双曲线右支于，两点，若的平分线垂直于，且交轴于点，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【分析】根据角平分线性质可得，，结合双曲线定义可得，，利用余弦定理列式求解即可.
【详解】因为为的平分线，且，，，
则，即，
由双曲线定义可得，即，解得，
又因为的平分线垂直于，则，
可得，，
在中，由余弦定理可得，
在中，由余弦定理可得，
整理可得，所以双曲线的离心率为.
故选：D.
2-8．（2023·山西·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，P是双曲线E上一点，，的平分线与x轴交于点Q，，则双曲线E的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】B
【分析】根据题意分析可得，利用正弦定理结合角平分线可得，再根据双曲线的定义结合通径分析运算即可.
【详解】∵，则，可得，
分别在中，由正弦定理可得：
∵平分，可得，即，
且，
故，则，
所以，
又∵，则，
所以，整理得，
故，得，即，
所以.
故选：B.
【点睛】本题考查双曲线的性质，考查逻辑推理与数学运算的核心素养.
方法定睛：1.双曲线离心率(离心率范围)的求法
求双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求的值．
2.焦点三角形的作用
在焦点三角形中，可以将双曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来．
2-9．（2021·河北衡水·模拟预测）已知双曲线的右焦点为F，O为坐标原点，P为双曲线右支上异于右顶点的一点，若的平分线垂直于x轴，则双曲线C的离心率的取值范围是_________.
答案
【分析】根据的平分线垂直于x轴得到，由此求得也即双曲线离心率的取值范围.
【详解】由题意可知，为等腰三角形，.
设的平分线与x轴交于点H，则点H为线段的中点，
所以.因为P为双曲线C右支上异于右顶点的点，
所以，即，故双曲线C的离心率e的取值范围是.
故答案为：.
2-10．（2022高二上·全国·专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别，，过的直线交双曲线右支于，两点．的平分线交于，若，则双曲线的离心率为________．
答案
【分析】取的中点，连接，，根据，结合平行四边形的性质可得为菱形，再根据菱形的性质，结合双曲线的定义求解即可
【详解】如图，取的中点，连接，，
由，可知四边形为平行四边形，
又为∠的平分线，四边形为菱形．
因为，为的中点，
因为，为的中点，则．
由双曲线的对称性可知，轴，
，即，
解得：．
故答案为：
2-11．（2020·安徽合肥·模拟预测）已知，分别为双曲线的左右焦点，点A为双曲线C上一点，的平分线AM交x轴于点，则___________．
答案
【分析】本题先求出，，再求出，，最后建立方程，求解即可.
【详解】在中，，，
由角平分线性质得，
设，，
由双曲线定义得：，，，
在和中，，由余弦定理得：
，解得：．
故答案为：
【点睛】本题考查正余弦定理、双曲线的定义与几何性质，是基础题.
2-12．（21-22高三上·辽宁营口·期末）已知，是双曲线的左右焦点，P是双曲线右支上一点，且，的平分线交x轴于A ，满足，则双曲线C的离心率为______．
答案
【分析】根据给定条件探讨出，再结合双曲线定义及余弦定理计算作答.
【详解】令双曲线的半焦距为c，由知，，
因P是双曲线右支上一点，且，的平分线交x轴于A，
则，
而，则，又，
中，由余弦定理得：，
即，解得，
所以双曲线C的离心率.
故答案为：
2-13．（2025高二·全国·专题练习）已知离心率为2的双曲线的左、右焦点分别为，，直线与双曲线在第一象限的交点为，的平分线与交于点，若，则的值为______．
答案
【分析】根据给定条件，利用角平分线定理可得，再利用双曲线定义，结合余弦定理列式求解.
【详解】由，得，
由是的平分线，得，则，
由双曲线的离心率为2，得，直线的倾斜角为，则，
设，则，，
由余弦定理得，化简得，
所以．
故答案为：
2-14．（2024·全国·模拟预测）已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为，第一象限的点为双曲线上一点，若的平分线与轴交于点，且．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过作直线的垂线，垂足为，若四边形的面积为，的面积为，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）分别求出直线，的方程，由已知得点到直线的距离相等，化简可得，结合已知可得结果；
（2）延长，与的延长线交于点，可得，由角平分线的性质可得，从而可得，即，利用m的取值范围可得结果.
【详解】（1）设，，则直线的方程为，
即，
同理可得直线的方程为．
由为的平分线可得点到直线的距离相等，
即．
由可得，
故，
同理可得，
易知，，，
所以，故，得．
由双曲线的离心率为可得，故，则，
所以双曲线的标准方程为．
（2）延长，与的延长线交于点，因为则，
故，所以，
由角平分线的性质可得，
故，又，
得．
由（1）可得，且，故，
所以，
即的取值范围为．
【点睛】关键点点睛：本题关键点是延长，与的延长线交于点，得，从而，借助角平分线的性质可得，从而得。转化为利用m的取值范围可得结果.
3抛物线
3-1．（25-26高三上·河南·阶段检测）已知为坐标原点，抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点为抛物线上任意一点，的平分线与轴的交点为，则实数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出抛物线的焦点坐标，设点P，利用抛物线的定义，结合角平分线性质定理列式建立的关系，再求的取值范围即得其最大值.
【详解】抛物线的焦点F，准线方程为，过点作垂直于准线，为垂足，
由抛物线的定义得，记的平分线与轴交于，，
由角平分线定理，得，则，
当时，，
当时，，
因此，解得，则，
所以实数的最大值为.
故选：B
题型二：角平分线与对称性
若角平分线平行于y轴（或垂直于x轴），则角的两边所在直线斜率互为相反数.在抛物线中，常用来证明直线斜率为定值.
解题步骤：
1. 设两直线方程，斜率分别为 ；
2. 由角平分线条件得 ；
3. 联立曲线方程，利用韦达定理表示 ；
4. 代入化简，得到定值结论.
典型例题：
1椭圆
1-1．（23-24高二上·江西抚州·期中）已知斜率为的直线l与椭圆交于A，B两点，线段AB中点M纵坐标为，点在椭圆上，若的平分线交线段AB于点N，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据中点弦可利用点差法得，进而联立直线与椭圆的方程求解，即可根据两点求解斜率，结合角平分线的性质可判断方程为，即可求解.
【详解】设，，，其中
，两式作差整理可得：，
解得： ，
则直线方程为，即，将其代入椭圆方程整理得：
，解得或，
故，
直线斜率不存在，方程为
故选：D
1-2．（23-24高二上·广东河源·期末）若点既在直线上，又在椭圆上，的左、右焦点分别为，，且的平分线与垂直，则的长轴长为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】B
【分析】过点、分别作、垂直直线于点、，由的平分线与垂直可得，即可得与相似，结合点到直线的距离可得相似比，从而可求出、，结合椭圆定义即可得长轴长.
【详解】过点、分别作、垂直直线于点、，
作的平分线与轴交于，
由，故、，
则，，
由且为的平分线，故，
故，
又、，故与相似，
故，
由，令，则，
故直线与轴交于点，故，
，故，
由，
故，，
故，，
由椭圆定义可知，，故，
即的长轴长为.
故选：B.
【点睛】关键点睛：本题关键在于作出、垂直直线于点、，再将的平分线与垂直这个条件转化为，从而得到相似三角形，结合点到直线距离公式及得到、的值.
1-3．（24-25高二上·陕西榆林·期中）已知椭圆：（）过的三个顶点，，，当直线垂直于轴时，直线过椭圆的一个焦点.
(1)求椭圆的方程；
(2)若的平分线垂直于轴，求证：直线的斜率为定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由题意得，解得，，即可得到椭圆方程；
（2）设直线的方程为，联立直线方程和椭圆方程，求得的横坐标，同理求得的横坐标，进一步求得、的纵坐标的差，代入斜率公式得结果.
【详解】（1）由题意，，则有，解得，，
所以，椭圆的方程为.
（2）设直线的斜率为，由题意知，直线的斜率为，
设，，
直线的方程为，即，
联立方程组，消去得，
因为，为直线与椭圆的交点，
所以，把换成得：，
所以，，
所以直线的斜率，
故直线的斜率为定值.
【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法，考查了直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，属中档题.
1-4．（24-25高三上·广东·期末）已知椭圆的左，右焦点分别为，下顶点为A，离心率，是椭圆上的动点，且当时，.
(1)求椭圆的方程；
(2)若的平分线经过点，
①证明：直线恒过定点；
②求面积的最大值.
【答案】(1)；
(2)①证明见解析；②.
【分析】（1）由离心率可得，然后由可得椭圆方程；
（2）①设，由角平分线性质可得，
然后设的方程为，由韦达定理结合可得
，据此可得答案；②由①结合韦达定理可得面积表达式，
，然后由基本不等式可得答案.
【详解】（1）因为离心率，所以，
所以，解得，
所以椭圆的方程为；
（2）由的平分线经过点，得到的斜率都存在且不相等，点A的坐标为，设，
点的坐标为，所以，化简得到
由已知得直线的不平行于轴，设的方程为，
联立方程组，得①
，
由，得到，
所以，
得，
根据韦达定理得，
化简得，即或.
又当时，直线经过点A，不符合题意，
所以，直线经过定点，
②将代入方程①得，
由，解得.
.
则，
当且仅当，即时取等号，
所以面积的最大值为.
【点睛】关键点睛：对于角平分线，常见的处理方式为利用斜率，或类似于本题将角平分线条件转化为角平分线距离到角两边距离相等.
1-5．（21-22高二上·广东·期中）已知椭圆E的两个焦点的坐标分别是，点在椭圆上．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)求的平分线所在直线l的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意可知，再由椭圆的定义求出，由关系求出，即可求解；
（2）由角平分线定理结合直线方程的点斜式即可求解
【详解】（1）由题意，设椭圆的方程为，
则，，
所以，
所以椭圆E的标准方程为；
（2）设的平分线所在直线l与轴相交于点，
因为，，
是角平分线，
所以，即，
解得，
所以角平分线所在直线的斜率为，
所以的平分线所在直线l的方程为，即
1-6．（17-18高三上·山西吕梁·开学考试）已知椭圆经过点，的四个顶点构成的四边形面积为.
(1)求椭圆的方程；
(2)在椭圆上是否存在相异两点，使其满足:①直线与直线的斜率互为相反数；②线段的中点在轴上，若存在，求出的平分线与椭圆相交所得弦的弦长；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)；
(2)存在，弦长为3.
【分析】（1）由椭圆几何意义得，根据A在椭圆上，列方程组求椭圆参数，即可得方程；
（2）先设直线的方程，与椭圆方程联立解出E点横坐标，根据直线与直线的斜率互为相反数，可推出F点横坐标，再根据线段的中点在轴上，解出直线的斜率，最后根据几何性质得的角平分线方程为，即可得结论.
【详解】（1）由已知得，解得，则椭圆的方程.
（2）设直线为，代入得.(*)
设，，且是方程(*)的根，
∴，用代替上式中的得：，
∵的中点在轴上，
∴，解得，
因此满足条件的，存在，此时的角平分线方程为，与椭圆相交弦长为.
1-7．（2025·江苏南通·模拟预测）已知椭圆以双曲线的实轴为长轴，且过点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线与双曲线交于两点，与椭圆交于两点，直线平分线段平分线段.
（i）求的值；
（ii）求直线与椭圆的交点构成的四边形面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)（i）；（ii）
【分析】（1）根据题意可设椭圆的标准方程为，代入点的坐标求得即可；
（2）(i)利用点差法求解；（ii）根据（i）的结论，将面积表示出来，利用基本不等式求得面积最大值，进而得到其取值范围.
【详解】（1）由，可得其顶点为，
则可设椭圆的标准方程为，
把点代入，得到，
所以椭圆的标准方程为；
（2）(i)设.
则，即，
所以，同理可得，
所以.
(ii)
直线 和 与椭圆 的交点分别为两组对称点（关于原点对称），构成一个平行四边形（原点是对角线交点，对角线互相平分）
由①知，，所以.
如图设交椭圆于，交椭圆于，.
联立，解得，同理得.
所以四边形面积
，
又，当或时等号成立，
所以：，
所以，
因此，面积范围为：.
1-8．（2010·河南开封·一模）如图所示，已知、、是椭圆上三点，其中点的坐标为，过椭圆的中心，且，.
(1)求点的坐标及椭圆的方程；
(2)若椭圆上存在两点、，使得的平分线总垂直于轴，试判断向量与是否共线，并给出证明．
【答案】(1)点，椭圆的方程为
(2)，理由见解析
【分析】（1）分析可知为等腰直角三角形，结合点的坐标可求得点的坐标，将点的坐标代入椭圆的方程，求出的值，可得出椭圆的标准方程；
（2）求出直线的斜率，设直线的方程为，可知，将直线的方程与椭圆的方程联立，求出点的坐标，同理可得出点的坐标，求出直线的斜率，即可得出结论.
【详解】（1）解：易知为的中点，因为，，则，
所以，为等腰直角三角形，则，直线的方程为，
所以，，则，即点，
易知，将点的坐标代入椭圆的方程可得，可得，
因此，椭圆的方程为.
（2）解：易知点，所以直线的斜率为，
设点、，设直线的方程为，
若，则、中必有一点与重合，不合乎题意，所以，，
联立可得，
，可得，解得，
由韦达定理可得，则，
则，
故点，
易知直线的斜率为，同理可得点，
所以，直线的斜率为，故.
【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
1-9．（24-25高二上·山西太原·期末）椭圆有很好的光学性质.如图，从椭圆C的一个焦点发出的光线，被椭圆上点P反射后，反射光线经过另一个焦点，且椭圆在点P处的切线l与的平分线l＇（即法线）垂直.已知椭圆C的中心为坐标原点O，左、右顶点分别为A，B，焦点为，.由发出的光线经椭圆C两次反射后回到所经过的路程为8c.过点作直线l的垂线，垂足为D，.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)当点P，A，B不共线时，设内切圆的圆心为，求实数n的取值范围；
(3)过点的直线与椭圆C交于M，N两点（均与A，B不重合），直线AM交直线于点G，证明：B，N，G三点共线.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）延长交的延长线于点Q，易得，即可求解椭圆方程；
（2）设（），根据三角形面积公式可得，根据椭圆的范围即可求解；
（3）设直线MN的方程为，，，求出，的坐标，即可证明.
【详解】（1）由题意设椭圆C的方程（），则，∴.
如图所示，延长交的延长线于点Q，由直线l＇平分，且，∴.
∵，∴.
∵，∴，
∴，
∴，，，
∴椭圆C的方程为.
（2）由题意设（），由得，
由的面积，
∴，∴，
∴，且，
∴实数n的取值范围为.
（3）由（1）得，，，设直线MN的方程为，
设，，直线BN与直线交于点E，如图所示.
直线AM的方程为，令，则，∴，
直线BN的方程为，令，则，∴，
由得，
∴，，
∵，
∴，
∴点G与E重合，
∴B，N，G三点共线.
【点睛】方法点睛：椭圆与直线的综合应用的解题通法为联立方程组、消元、利用韦达定理得到直线与椭圆交点坐标满足的关系式，再结合题中已知条件求解即可.
2双曲线
2-1．（2017·湖北·一模）双曲线离心率为，左右焦点分别为,为双曲线右支上一点，的平分线为，点关于的对称点为,，则双曲线方程为
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为的平分线为，故点关于的对称点为必在的延长线上，且，由于，故，即，由双曲线的定义可得，则，又，故，应选【答案】B．
点睛：解答本题的关键在于搞清楚点关于的对称点为在的延长线上这一实事，进而借助对称性及双曲线的定义巧妙地求出双曲线中的，进而借助离心率求出，使得问题巧妙获解．
2-2．（2017·江西鹰潭·二模）双曲线离心率为，左右焦点分别为为双曲线右支上一点，的平分线为，点关于的对称点为,，则双曲线方程为
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题可得：是线段的中垂线，则,则a=1，由离心率为，得c=，故，所以选C
18．（22-23高二上·山西运城·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为、，且，点是双曲线第一象限内的动点，的平分线交轴于点，垂直于交于，则以下结论正确的是（ ）
A．当点到渐近线的距离为时，该双曲线的离心率为
B．当时，点的坐标为
C．当时，三角形的面积
D．若，则双曲线的渐近线方程为
【答案】AB
【分析】利用点到直线的距离公式求出的值，可求得双曲线的离心率，可判断A选项；利用角平分线的性质求出点的坐标，可判断B选项；利用双曲线的定义、勾股定理以及三角形的面积公式可判断C选项；利用双曲线的定义求出的值，进而可求得的值，可得出双曲线的渐近线方程，可判断D选项.
【详解】对于A选项，双曲线的渐近线方程为，即，
点到渐近线的距离为，且，故，
所以，，此时，双曲线的离心率为，A对；
对于B选项，若，由双曲线的定义可得，
，则，
设点，由可得，解得，即点，B对；
对于C选项，当时，由题意可得，
所以，，可得，
此时，，C错；
对于D选项，设直线交直线于点，如下图所示：
由已知，，，
所以，为等腰三角形，且，为的中点，
又因为为的中点，则，
且，故，则，
此时，双曲线的渐近线方程为，D错.
故选：AB.
2-3．（2024·重庆·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线M上，且．
(1)求双曲线M的方程；
(2)记的平分线所在的直线为直线l，证明：双曲线M上存在相异两点关于直线l对称，并求出（E为的中点）的值．
【答案】(1)
(2)证明见解析，
【分析】（1）设，根据题意结合距离公式可得，将代入方程即可得，，即可得方程；
（2）设点，结合角平分线的性质可得直线l的方程为，利用点差法可得点E的坐标为，即可得直线的方程，联立方程，结合韦达定理分析证明.
【详解】（1）设，其中．
由，得，
移项，得，
两边平方，整理得，解得（负值舍去），
故，即，则．
将代入上式中，整理得，解得（舍去）或，则．
所以双曲线M的方程为.
（2）因为直线的方程为，直线的方程为，即．
设点在直线l上，由角平分线的性质可得P到的距离等于P到的距离，
即，化简得或．
由题意，易知直线l的斜率小于0，所以不满足题意，
所以直线l的方程为．
假设双曲线M上存在相异两点关于直线l对称，则，所以．
设，则．
因为点E在直线l上，所以①．
因为点在双曲线上，所以，
两式相减得，化简得，
即，即②．
联立①②式，得，所以点E的坐标为．
所以直线的方程为，即．
与双曲线方程联立，消去y得，
因为，
所以双线M上存在相异两点关于直线l对称，且．
故．
又，所以.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
3抛物线
3-1．（2023·全国·模拟预测）已知抛物线，焦点为，点为抛物线上的动点，且点，点，的平分线与轴交于点，则（ ）
A．设点是线段的中点，则点的轨迹方程为
B．的最小值为4
C．抛物线过点的切线方程为或
D．若，则的取值范围
【答案】ABD
【分析】对于A，利用中点坐标及抛物线方程求解判断；对于B，过点作准线于点，利用抛物线的定义求解判断；对于C，联立直线方程和抛物线方程由求解判断；对于D，利用角平分线的性质结合二次函数的性质求解判断.
【详解】解：抛物线的焦点为．
对于A，设点的坐标为，则点的坐标为．
将其代入，得，整理得，
所以点的轨迹方程为，故A正确．
对于B，如图，
过点作准线于点，
则由抛物线的定义可知，则，
当，，三点共线时，取得最小值4，故B正确．
对于C，设过点的切线方程为．
由消去并化简，得，
所以，解得，
所以抛物线过点得切线方程为或，故C错误．
对于D，设点．由角平分线的性质，得，
则．
当时，；
当时，，由（当且仅当时取等号），
得，从而．综上，，故D正确．
故选：ABD．
3-2．（2022·四川宜宾·模拟预测）已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过的两直线交抛物线于，，且的平分线平行于y轴，试判断的面积是否有最大值？若有，求出最大值；若没有，说明理由.
【答案】(1)
(2)的面积有最大值，最大值为
【分析】（1）由抛物线的焦半径公式及抛物线上的一点坐标，列出方程组即可求解；
（2）由的平分线平行于y轴，可以推出，整理可得出直线的斜率，设出直线的方程，表示出到的距离，以及的长度，即可表示出，最后结合函数的性质即可求出的最值.
【详解】（1）因为为抛物线上一点，所以.因为，
所以，即，解得，所以抛物线C的标准方程为.
（2）由（1）得，.设，.
因为的平分线平行于y轴，所以，得，
即，整理得，
则设直线，即，
点M到直线的距离为：
，
令，由，不妨设，则，
得，所以.
当时，令，则，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以的最大值为，
即的最大值为.
综上可知，的面积有最大值，最大值为.
【点睛】本题考查圆锥曲线中的面积问题，结合函数性质求出最值.
3-3．（18-19高三下·河北衡水·阶段检测）已知点是抛物线的焦点，若点在抛物线上，且以点为圆心，长为半径的圆与直线相切.
（1）求抛物线的方程；
（2）过点作直线，分别交抛物线于点，，若的平分线与轴平行，试探究：直线的斜率是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由.
答案（1）；（2）定值-2
【分析】（1）根据题意，解方程得到答案.
（2）设，，直线，，联立方程得到，，计算，得到证明.
【详解】（1）根据题意，得解得，.∴抛物线的方程为.
（2），由的平分线与轴平行，可知直线，的斜率都存在，且不等于零，两斜率互为相反数.
设，，直线，.
由得，已知此方程的一个根为4，
∴，∴.同理，∴，.
∴，
∴.∴直线的斜率为定值.
【点睛】本题考查了抛物线方程，定值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.
3-4．（2018·安徽芜湖·一模）已知抛物线的焦点为，准线为，在抛物线上任取一点，过作的垂线，垂足为.
（1）若，求的值；
（2）除外，的平分线与抛物线是否有其他的公共点，并说明理由.
【答案】(1)；(2)答案见解析.
【详解】试题分析：（1）根据抛物线定义求A点坐标，得E点坐标，再根据向量数量积求的值；（2）设，根据得的平分线所在直线就是边上的高所在的直线.根据点斜式得的平分线所在的直线方程，再与抛物线联立，解方程组可得只有一解.
试题解析：（1），∴，即由抛物线的对称性，不防取
∵，∴，，
∴
（2）设，∵，，.
由知的平分线所在直线就是边上的高所在的直线.
∴的平分线所在的直线方程为.
由，消得.
∵，方程化为，即
即的平分线与只有一个公共点，除以外没有其他公共点.
题型三：利用光学性质求切线或距离
已知椭圆的光学性质：法线平分内角 ，切线垂直于法线.可借助此性质求切线方程或点到切线的距离.
解题步骤：
1. 设出切点坐标 ；
2. 利用焦点到切线的距离关系构造方程；
3. 结合椭圆方程求解参数.
典型例题：
1椭圆
1-1．（2025高二上·全国·专题练习）已知点为椭圆上任一点，为椭圆的两焦点，求证：椭圆在点处的切线与的平分线垂直．
答案证明见解析
【分析】由题意可得椭圆在点处的切线方程为，可是得其斜率为，从而得切线的垂线的斜率：
方法一：利用夹角公式进行证明；
方法二：利用焦半径公式进行证明即可.
【详解】证明：设椭圆方程为，椭圆上一点．
在中，两边对求导，
得，
所以，
代入
则有，
所以在点处的切线方程为，
整理得，
即，其斜率为，
则切线的垂线的斜率，
解法一（夹角公式）：，，由夹角公式可得：
．
．
即有，知直线是的平分线．
解法二（焦半径公式）：易求得方程为，
当时，，
根据焦半径公式，，
，
，
所以，
故根据角平分线判定定理可得直线是的平分线．
2双曲线
2-1．（2025高二上·全国·专题练习）已知点为双曲线上任一点，为双曲线的两焦点，求证双曲线在点处的切线与的平分线重合．
答案证明见解析
【分析】设出双曲线方程，利用双曲线上某点的切线方程计算出切线与轴的交点坐标，再利用焦半径公式与角平分线判定定理证明.
【详解】设双曲线方程为，双曲线上一点，
双曲线在点处的切线方程为，当时，，
根据焦半径公式，，
，，，
故根据角平分线判定定理可得直线是的平分线．
3抛物线
3-1．（2017·广东广州·一模）已知点在抛物线（）上，该抛物线的焦点为，过点作该抛物线准线的垂线，垂足为，则的平分线所在的直线方程为
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】将坐标代入抛物线方程，解得，故抛物线方程为，准线方程为，故，由于，故的角平分线即等腰三角形的高，中点坐标为，结合由直线方程两点式有，即.
四、注意事项
1． 角平分线的方向：分清是内角平分线还是外角平分线，不同情形下比例关系不同.
2． 焦点三角形的边角关系：余弦定理、正弦定理常与角平分线结合使用.
3． 多解情况：离心率求解时注意舍去不符合题意的解（如离心率范围：椭圆0<e<1，双曲线e>1）.
4． 几何转化：遇到角平分线条件时，优先考虑转化为边长比例或距离相等，其次是斜率关系.
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角平分线在圆锥曲线中的应用
一、角平分线的定义与性质
1. 定义
从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.
2. 基本性质
性质
内容
角平分线定理
角平分线上的点到角的两边距离相等
角平分线分对边成比例
在三角形中，角的平分线分对边所得的两条线段与这个角的两边对应成比例：
到角公式
若直线 的斜率分别为 ，则 到 的角 满足
二、圆锥曲线中角平分线的常用解法
1. 利用角平分线定理（边长比例）
在焦点三角形 中，若PQ平分 且交 于点 Q，则：
结合圆锥曲线的定义（椭圆：；双曲线：），可建立方程求解离心率或坐标.
2. 利用点到直线的距离相等
若点P在角平分线上，则P到角两边所在直线的距离相等：
适用于求角平分线方程或确定角平分线上点的坐标.
3. 利用斜率关系
(1) 角平分线与边的关系：若一条直线平分两条已知直线的夹角，则它的斜率可通过到角公式或夹角公式求出.
(2) 互为相反数：在抛物线或椭圆中，若角平分线垂直于x轴（即平行于y轴），则角两边所在直线的斜率互为相反数：.
4. 利用光学性质
(1) 椭圆：从一焦点发出的光线经椭圆反射后经过另一焦点，且反射点处的切线与法线（即角平分线）垂直.即椭圆在点P处的切线平分 的外角，法线平分内角 .
(2) 双曲线：从一焦点发出的光线经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过另一焦点，且反射点处的切线平分 .
(3) 抛物线：从焦点发出的光线经抛物线反射后平行于对称轴，反射点处的切线平分焦点与反射点连线与对称轴之间的夹角.
5. 利用三角形内切圆/旁切圆性质
角平分线是三角形内切圆或旁切圆的圆心所在直线，可结合面积法、等面积法求解距离或半径.
三、经典解法示例
题型一：已知角平分线求离心率
在焦点三角形中，利用角平分线定理结合圆锥曲线定义，列出方程求解a, c的关系.
解题步骤：
1． 设 ，，由定义得 （椭圆取和，双曲线取差）；
2． 由角平分线定理得 ；
3． 结合已知条件（如向量关系、坐标条件）建立方程；
4． 联立解得 .
典型例题：
1.椭圆
1-1．（2025·四川成都·三模）古希腊数学家在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆上的点反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，且在点处的切线垂直于法线（即的平分线）.已知椭圆的焦距为，坐标原点到点处切线的距离为，且，则椭圆的长轴为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．16
1-2．（25-26高二上·山东·阶段检测）数学家在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆上的P点反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，且在P点处的切线垂直于法线（即的平分线）．已知椭圆，坐标原点O到点P处切线l的距离为，且，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
1-3．（2022·全国·模拟预测）已知分别是椭圆的左、右焦点，过点作x轴的垂线与椭圆C在第一象限的交点为P，若的平分线经过椭圆C的下顶点，则椭圆C的离心率的平方为（ ）
A． B． C． D．
1-4．（2025·福建福州·三模）设椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，为的平分线与轴的交点.若，则（ ）
A． B． C． D．
1-5．（20-21高二上·山东济南·期中）已知，是椭圆的左，右焦点，动点在椭圆上，的平分线与轴交于点，则的可能取值为（ ）
A． B． C． D．
1-6．（23-24高二上·山西吕梁·期末）已知是椭圆的左、右焦点，直线与椭圆相交于两点，的平分线交于点，且，则椭圆的离心率为______.
1-7．（2022·河南洛阳·三模）已知椭圆的左､右焦点分别为，，过且垂直于轴的直线与椭圆在第一象限的交点为，的平分线与轴交于点，若四边形的面积为，则椭圆的离心率___________.
2双曲线
2-1．（2026·山西太原·二模）设分别是双曲线的左､右焦点，是该双曲线右支上一点，的平分线交轴于点，令，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2-2．（20-21高二上·黑龙江哈尔滨·期中）双曲线的离心率为，左、右焦点分别为，为双曲线右支上一点，的平分线为，点关于的对称点为，，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
2-3．（2023·四川德阳·模拟预测）已知、为双曲线的两个焦点，过点作直线与双曲线的一支交于两点，、的平分线分别交双曲线虚轴所在直线于两点，为双曲线中心，若，实轴长，成等比数列，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．3
2-4．（2020·河北保定·二模）已知、分别为双曲线的左、右焦点，过作轴的垂线交双曲线于、两点，若的平分线过点，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2-5．（2020·福建·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别、，过的直线交双曲线右支于，两点.的平分线交于，若，则双曲线的离心率为
A． B．2 C． D．
2-6．（19-20高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，为双曲线的右支上一点，且，与轴交于点，若是的平分线，则双曲线的离心率
A． B． C． D．
2-7．（24-25高二上·贵州遵义·期末）设，是双曲线的左、右焦点，过的直线交双曲线右支于，两点，若的平分线垂直于，且交轴于点，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
2-8．（2023·山西·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，P是双曲线E上一点，，的平分线与x轴交于点Q，，则双曲线E的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
2-9．（2021·河北衡水·模拟预测）已知双曲线的右焦点为F，O为坐标原点，P为双曲线右支上异于右顶点的一点，若的平分线垂直于x轴，则双曲线C的离心率的取值范围是_________.
2-10．（2022高二上·全国·专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别，，过的直线交双曲线右支于，两点．的平分线交于，若，则双曲线的离心率为________．
2-11．（2020·安徽合肥·模拟预测）已知，分别为双曲线的左右焦点，点A为双曲线C上一点，的平分线AM交x轴于点，则___________．
2-12．（21-22高三上·辽宁营口·期末）已知，是双曲线的左右焦点，P是双曲线右支上一点，且，的平分线交x轴于A ，满足，则双曲线C的离心率为______．
2-13．（2025高二·全国·专题练习）已知离心率为2的双曲线的左、右焦点分别为，，直线与双曲线在第一象限的交点为，的平分线与交于点，若，则的值为______．
2-14．（2024·全国·模拟预测）已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为，第一象限的点为双曲线上一点，若的平分线与轴交于点，且．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过作直线的垂线，垂足为，若四边形的面积为，的面积为，求的取值范围．
3抛物线
3-1．（25-26高三上·河南·阶段检测）已知为坐标原点，抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点为抛物线上任意一点，的平分线与轴的交点为，则实数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
题型二：角平分线与对称性
若角平分线平行于y轴（或垂直于x轴），则角的两边所在直线斜率互为相反数.在抛物线中，常用来证明直线斜率为定值.
解题步骤：
1. 设两直线方程，斜率分别为 ；
2. 由角平分线条件得 ；
3. 联立曲线方程，利用韦达定理表示 ；
4. 代入化简，得到定值结论.
典型例题：
1椭圆
1-1．（23-24高二上·江西抚州·期中）已知斜率为的直线l与椭圆交于A，B两点，线段AB中点M纵坐标为，点在椭圆上，若的平分线交线段AB于点N，则的值为（ ）
A． B． C． D．
1-2．（23-24高二上·广东河源·期末）若点既在直线上，又在椭圆上，的左、右焦点分别为，，且的平分线与垂直，则的长轴长为（ ）
A． B． C．或 D．或
1-3．（24-25高二上·陕西榆林·期中）已知椭圆：（）过的三个顶点，，，当直线垂直于轴时，直线过椭圆的一个焦点.
(1)求椭圆的方程；
(2)若的平分线垂直于轴，求证：直线的斜率为定值.
1-4．（24-25高三上·广东·期末）已知椭圆的左，右焦点分别为，下顶点为A，离心率，是椭圆上的动点，且当时，.
(1)求椭圆的方程；
(2)若的平分线经过点，
①证明：直线恒过定点；
②求面积的最大值.
1-5．（21-22高二上·广东·期中）已知椭圆E的两个焦点的坐标分别是，点在椭圆上．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)求的平分线所在直线l的方程．
1-6．（17-18高三上·山西吕梁·开学考试）已知椭圆经过点，的四个顶点构成的四边形面积为.
(1)求椭圆的方程；
(2)在椭圆上是否存在相异两点，使其满足:①直线与直线的斜率互为相反数；②线段的中点在轴上，若存在，求出的平分线与椭圆相交所得弦的弦长；若不存在，请说明理由.
1-7．（2025·江苏南通·模拟预测）已知椭圆以双曲线的实轴为长轴，且过点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线与双曲线交于两点，与椭圆交于两点，直线平分线段平分线段.
（i）求的值；
（ii）求直线与椭圆的交点构成的四边形面积的取值范围.
1-8．（2010·河南开封·一模）如图所示，已知、、是椭圆上三点，其中点的坐标为，过椭圆的中心，且，.
(1)求点的坐标及椭圆的方程；
(2)若椭圆上存在两点、，使得的平分线总垂直于轴，试判断向量与是否共线，并给出证明．
1-9．（24-25高二上·山西太原·期末）椭圆有很好的光学性质.如图，从椭圆C的一个焦点发出的光线，被椭圆上点P反射后，反射光线经过另一个焦点，且椭圆在点P处的切线l与的平分线l＇（即法线）垂直.已知椭圆C的中心为坐标原点O，左、右顶点分别为A，B，焦点为，.由发出的光线经椭圆C两次反射后回到所经过的路程为8c.过点作直线l的垂线，垂足为D，.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)当点P，A，B不共线时，设内切圆的圆心为，求实数n的取值范围；
(3)过点的直线与椭圆C交于M，N两点（均与A，B不重合），直线AM交直线于点G，证明：B，N，G三点共线.
2双曲线
2-1．（2017·湖北·一模）双曲线离心率为，左右焦点分别为,为双曲线右支上一点，的平分线为，点关于的对称点为,，则双曲线方程为
A． B． C． D．
18．（22-23高二上·山西运城·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为、，且，点是双曲线第一象限内的动点，的平分线交轴于点，垂直于交于，则以下结论正确的是（ ）
A．当点到渐近线的距离为时，该双曲线的离心率为
B．当时，点的坐标为
C．当时，三角形的面积
D．若，则双曲线的渐近线方程为
2-3．（2024·重庆·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线M上，且．
(1)求双曲线M的方程；
(2)记的平分线所在的直线为直线l，证明：双曲线M上存在相异两点关于直线l对称，并求出（E为的中点）的值．
3抛物线
3-1．（2023·全国·模拟预测）已知抛物线，焦点为，点为抛物线上的动点，且点，点，的平分线与轴交于点，则（ ）
A．设点是线段的中点，则点的轨迹方程为
B．的最小值为4
C．抛物线过点的切线方程为或
D．若，则的取值范围
3-2．（2022·四川宜宾·模拟预测）已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过的两直线交抛物线于，，且的平分线平行于y轴，试判断的面积是否有最大值？若有，求出最大值；若没有，说明理由.
3-3．（18-19高三下·河北衡水·阶段检测）已知点是抛物线的焦点，若点在抛物线上，且以点为圆心，长为半径的圆与直线相切.
（1）求抛物线的方程；
（2）过点作直线，分别交抛物线于点，，若的平分线与轴平行，试探究：直线的斜率是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由.
3-4．（2018·安徽芜湖·一模）已知抛物线的焦点为，准线为，在抛物线上任取一点，过作的垂线，垂足为.
（1）若，求的值；
（2）除外，的平分线与抛物线是否有其他的公共点，并说明理由.
题型三：利用光学性质求切线或距离
已知椭圆的光学性质：法线平分内角 ，切线垂直于法线.可借助此性质求切线方程或点到切线的距离.
解题步骤：
1. 设出切点坐标 ；
2. 利用焦点到切线的距离关系构造方程；
3. 结合椭圆方程求解参数.
典型例题：
1椭圆
1-1．（2025高二上·全国·专题练习）已知点为椭圆上任一点，为椭圆的两焦点，求证：椭圆在点处的切线与的平分线垂直．
2双曲线
2-1．（2025高二上·全国·专题练习）已知点为双曲线上任一点，为双曲线的两焦点，求证双曲线在点处的切线与的平分线重合．
3抛物线
3-1．（2017·广东广州·一模）已知点在抛物线（）上，该抛物线的焦点为，过点作该抛物线准线的垂线，垂足为，则的平分线所在的直线方程为
A． B．
C． D．
四、注意事项
1． 角平分线的方向：分清是内角平分线还是外角平分线，不同情形下比例关系不同.
2． 焦点三角形的边角关系：余弦定理、正弦定理常与角平分线结合使用.
3． 多解情况：离心率求解时注意舍去不符合题意的解（如离心率范围：椭圆0<e<1，双曲线e>1）.
4． 几何转化：遇到角平分线条件时，优先考虑转化为边长比例或距离相等，其次是斜率关系.
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