专题01 数列求通项（数列前n项和Sn法、数列前n项积Tn法）专题训练-2027届高三数学二轮复习

专题01 数列求通项（法、法）(典型题型归类训练) 目录 一、必备秘籍 1 二、典型题型 2 题型一：法：角度1：用，得到 2 已知和的关系，求通项 2 题型二：法：角度2：将题意中的用替换 3 题型三：法：角度3：已知等式中左侧含有： 3 题型四：法：角度1：已知和的关系 4 题型五：法：角度2：已知和的关系 4 三、数列求通项（法、法）专项训练 5 一、必备秘籍 1对于数列，前项和记为； ①；② 1- ②： 法归类 角度1：已知与的关系；或与的关系 用，得到 例子：已知，求 角度2：已知与的关系；或与的关系 替换题目中的 例子：已知； 已知 角度3：已知等式中左侧含有： 作差法（类似） 例子：已知求 2对于数列，前项积记为； ①；② ①②： 法归类 角度1：已知和的关系 角度1：用，得到 例子：的前项之积. 角度2：已知和的关系 角度1：用替换题目中 例子：已知数列的前n项积为，且. 二、典型题型 题型一：法：角度1：用，得到 已知和的关系，求通项 核心公式 通用步骤 1、令，代入关系式求出 2、写出时的式子 3、（1）-（2），利用，消去得到，的递推式 4、化简递推，求通项；最后检验是否满足得到的表达式 ①满足：直接写成一个式子 ②不满足：写成分段式 【典例1】（26-27高二上·全国·课后作业）已知数列的前项和满足，且，则的通项公式为________． 【典例2】（25-26高二下·河南南阳·阶段检测）记为数列的前n项和，已知，且，则____ 【变式1】（25-26高二下·河南驻马店·期末）数列的前项和记为，，当时，，则的通项公式为____________． 【变式2】（25-26高一下·上海静安·期末）已知正项数列，其前项和为，且( )．则数列的通项公式为 ______． 【变式3】（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期中）数列的前项和为，，，则______. 题型二：法：角度2：将题意中的用替换 【典例1】（2026·湖北十堰·模拟预测）已知数列的前n项和为，，且对任意正整数，都有，则________． 【典例2】（25-26高二下·四川巴中·期中）已知数列的前项和为，则__________． 【变式1】（25-26高二下·辽宁·阶段检测）已知数列的各项均为正数，其前项和为，且满足，则______． 【变式2】（2026高二下·全国·专题练习）设是数列的前项和，且，，则________，________ 【变式3】（25-26高二上·河北保定·期末）设是数列的前项和，且，则__________. 题型三：法：角度3：已知等式中左侧含有： 【典例1】（25-26高二下·山东潍坊·开学考试）已知数列满足＋…＋＝，则数列的通项公式为______. 【典例2】（25-26高一下·上海·期中）已知数列满足：（为正整数），则______. 【变式1】（25-26高二上·天津南开·阶段检测）数列满足，数列的前项和为___________． 【变式2】（24-25高二下·广东深圳·期末）已知数列满足，则______． 【变式3】（25-26高二上·福建厦门·期末）数列满足，则______；记为的前n项和，若关于n的方程有解，则正整数的所有取值为______． 题型四：法：角度1：已知和的关系 【典例1】（25-26高三上·安徽合肥·期末）若数列的前项积，则的最大值与最小值之和为（    ） A． B． C．2 D． 【典例2】（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期中）记为数列的前项积，且，则___________； 【变式1】（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知数列的前项积，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二下·山东潍坊·期末）若数列的前项积，则的最大值与最小值的和为（    ） A． B． C．2 D．3 题型五：法：角度2：已知和的关系 【典例1】（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）记为数列的前项之积，已知，则（     ） A． B． C． D． 【典例2】（2025·福建厦门·三模）设为数列的前项积，若，其中常数，则_______（结果用表示）；若数列为等差数列，则_______． 【变式1】（2026·山东泰安·模拟预测）记为数列的前项积，已知，则___________． 【变式2】（25-26高二上·湖北黄冈·阶段检测）记为数列的前项之积，已知，则______. 【变式3】（2026·浙江绍兴·三模）记为正项数列的前项积，已知，则_________；_________． 三、数列求通项（法、法）专项训练 一、单选题 1．（26-27高二上·江苏苏州·阶段检测）已知数列满足，若数列是递减数列，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·广东深圳·期末）设数列满足，则的前50项和为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·江苏·模拟预测）设数列的前项和为，若，则数列前项的极差和方差分别为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·陕西咸阳·二模）已知数列的前n项和为，且满足，，则使得不等式成立的实数k的最大值为（   ） A． B． C．1 D． 5．（25-26高二下·重庆·期中）等比数列的前项和为，若，则实数（     ） A．1 B．2 C．3 D．6 6．（25-26高三·全国·一轮复习）已知正项数列的前项和为，且，则（    ） A．4053 B．4051 C．4055 D．4048 7．（25-26高三·全国·一轮复习）已知为数列的前项和，，，则（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高三·全国·一轮复习）已知数列的前项和为，若，则等于（   ） A． B． C． D．2026 9．（2026高三·全国·专题练习）已知正项数列的前项和为，且，则（   ） A．4047 B．4044 C．4042 D．4045 10．（25-26高二下·辽宁沈阳·期中）若数列的前n项和为，则（    ） A． B．3n C． D． 11．（25-26高三上·福建·阶段检测）已知等比数列的首项，，记为数列的前项积，则当时正整数的最大值为（   ） A．10 B．11 C．12 D．13 12．（25-26高三上·山西运城·期中）设为数列的前项积，已知，则（    ） A． B． C． D． 13．（25-26高二上·江苏南京·阶段检测）设为数列的前项积，已知，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 14．（25-26高二上·北京·期末）已知数列的前项和，则__________． 15．（26-27高二上·全国·课后作业）已知数列的前项和满足，且，则的通项公式为________． 16．（26-27高二上·全国·课后作业）等比数列的前项和，则数列的通项公式为______． 17．（25-26高二下·山东潍坊·开学考试）已知数列满足＋…＋＝，则数列的通项公式为______. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 数列求通项（法、法）(典型题型归类训练) 目录 一、必备秘籍 1 二、典型题型 2 题型一：法：角度1：用，得到 2 已知和的关系，求通项 2 题型二：法：角度2：将题意中的用替换 5 题型三：法：角度3：已知等式中左侧含有： 7 题型四：法：角度1：已知和的关系 10 题型五：法：角度2：已知和的关系 12 三、数列求通项（法、法）专项训练 15 一、必备秘籍 1对于数列，前项和记为； ①；② 1- ②： 法归类 角度1：已知与的关系；或与的关系 用，得到 例子：已知，求 角度2：已知与的关系；或与的关系 替换题目中的 例子：已知； 已知 角度3：已知等式中左侧含有： 作差法（类似） 例子：已知求 2对于数列，前项积记为； ①；② ①②： 法归类 角度1：已知和的关系 角度1：用，得到 例子：的前项之积. 角度2：已知和的关系 角度1：用替换题目中 例子：已知数列的前n项积为，且. 二、典型题型 题型一：法：角度1：用，得到 已知和的关系，求通项 核心公式 通用步骤 1、令，代入关系式求出 2、写出时的式子 3、（1）-（2），利用，消去得到，的递推式 4、化简递推，求通项；最后检验是否满足得到的表达式 ①满足：直接写成一个式子 ②不满足：写成分段式 【典例1】（26-27高二上·全国·课后作业）已知数列的前项和满足，且，则的通项公式为________． 【答案】 【详解】因为， 所以． 当时，， 由此得． 因为，所以． 所以是首项为1，公差为2的等差数列， 所以． 【典例2】（25-26高二下·河南南阳·阶段检测）记为数列的前n项和，已知，且，则____ 【答案】 【分析】先利用和的关系将已知等式转为的递推式，求出的通项公式后再写出的通项公式. 【详解】因为，所以整理得， 又，所以是以为公比的等比数列， 其通项公式为，所以，， 从而时， 因为不满足上式，所以. 【变式1】（25-26高二下·河南驻马店·期末）数列的前项和记为，，当时，，则的通项公式为____________． 【答案】 【详解】当时，，所以，解得， 当时，由，得， 两式相减得， 所以，所以， 所以， 又，所以， 所以是以3为常数的常数数列， 所以，所以. 【变式2】（25-26高一下·上海静安·期末）已知正项数列，其前项和为，且( )．则数列的通项公式为 ______． 【答案】 【详解】当时，，因此， 则，则， 同时，当时，， 因此， 所以， 而因为，所以， 即， 所以是首项，公差的等差数列， 因此， 当时，满足条件， 因此数列的通项公式为. 【变式3】（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期中）数列的前项和为，，，则______. 【答案】 【分析】先通过将换为得到新等式，再与原式作差并结合化简，最后根据等差数列定义求出通项公式. 【详解】已知，当时，将换为得： 两式作差可得： ， 又因为，所以， 整理得：， 因为时，两边约去得： ，即是首项、公差的等差数列， 由等差数列通项公式可得： ， 当时也满足，故. 题型二：法：角度2：将题意中的用替换 【典例1】（2026·湖北十堰·模拟预测）已知数列的前n项和为，，且对任意正整数，都有，则________． 【答案】/ 【分析】根据已知得是等差数列，求得的通项公式，再利用即可求得的通项公式，进而求得的值． 【详解】由题设，且，则， 所以，两边同时除以，得，且， 所以是1为首项，为公差的等差数列， 所以，则， 根据且，可得， 所以. 【典例2】（25-26高二下·四川巴中·期中）已知数列的前项和为，则__________． 【答案】 【分析】先根据已知条件推导出数列的通项公式，再求出，最后根据求出. 【详解】已知，且， 所以，两边同除以， 则，整理得：， 由得，故是首项为，公差为的等差数列， 因此：， 当时，， 所以. 【变式1】（25-26高二下·辽宁·阶段检测）已知数列的各项均为正数，其前项和为，且满足，则______． 【答案】 【分析】利用数列前项和与第项的关系变形已知等式，再利用等差数列定义求出的通项公式即得. 【详解】在正项数列中，， 当时，，即，解得， 当时，由，得， 整理得，因此数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 即，而，则，所以. 【变式2】（2026高二下·全国·专题练习）设是数列的前项和，且，，则________，________ 【答案】 【分析】由，可得，即，根据等差数列的定义及通项公式求出，从而求得. 【详解】是数列的前项和，且，， 令，则，，解得． 又，整理得（常数）， 即（常数）， 故数列是以为首项，为公差的等差数列． 所以，故． 【变式3】（25-26高二上·河北保定·期末）设是数列的前项和，且，则__________. 【答案】/ 【分析】先根据再化简得出，即可求出通项公式再计算即可求值. 【详解】因为，左右同时乘以， 则，又因为， 所以是以1为首项以1为公差的等差数列， 所以，所以， 所以. 故答案为：. 题型三：法：角度3：已知等式中左侧含有： 【典例1】（25-26高二下·山东潍坊·开学考试）已知数列满足＋…＋＝，则数列的通项公式为______. 【答案】 【分析】利用的关系计算通项公式即可. 【详解】因为数列满足＋…＋＝①， 所以＋…＋＝②，且， ①减②可得＝，即， 显然时满足， 综上. 【典例2】（25-26高一下·上海·期中）已知数列满足：（为正整数），则______. 【答案】 【详解】当时，， ， 当时，， 两式相减得，可得， 代入，得 故时不满足此式， 所以 【变式1】（25-26高二上·天津南开·阶段检测）数列满足，数列的前项和为___________． 【答案】 【分析】根据给定的递推公式，借助求出通项公式，再利用等比数列前项和公式求解即得. 【详解】数列中，， 当时，， 两式相减得，解得， 而，即，满足上式，因此， 所以数列的前项和为. 故答案为： 【变式2】（24-25高二下·广东深圳·期末）已知数列满足，则______． 【答案】 【分析】根据可求. 【详解】时，，与原式相减得 ，则， 经检验，时也成立， 故，即． 故答案为：. 【变式3】（25-26高二上·福建厦门·期末）数列满足，则______；记为的前n项和，若关于n的方程有解，则正整数的所有取值为______． 【答案】 7和9 【分析】根据数列的通项与前项和的关系求数列的通项公式；根据等差数列的求和公式，可以把问题转化成为整数的讨论. 【详解】解法一：由，得．① 当时，，所以． 当时，有．② ①－②得，即． 因为符合，所以，． 因为，所以 显然为10的约数， 时，；时，；时，. 综上，正整数的所有取值为7和9． 解法二：由．① 当时，有，②，所以．③ ①－③得，即．又，故．下同解法一． 故答案为：；7和9 题型四：法：角度1：已知和的关系 【典例1】（25-26高三上·安徽合肥·期末）若数列的前项积，则的最大值与最小值之和为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】由题可得，利用数列的增减性可得最值，即求. 【详解】∵数列的前项积， 当时，， 当时，，， 时也适合上式， ∴， ∴当时，数列单调递减，且，当时，数列单调递减，且， 故的最大值为，最小值为， ∴的最大值与最小值之和为2. 故选：C. 【典例2】（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期中）记为数列的前项积，且，则___________； 【答案】 【分析】先根据累加法求出的通项公式，再根据与的关系求出的通项公式，最后计算. 【详解】，，将上述式子累加可得， 又，. 时，. 不符合通项公式，. . 【变式1】（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知数列的前项积，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由前n项积，求出通项，得解. 【详解】，，又， ，. . 故选：C. 【变式2】（25-26高二下·山东潍坊·期末）若数列的前项积，则的最大值与最小值的和为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】由题可得，利用数列的增减性可得最值. 【详解】∵数列的前项积， 当时，， 当时，， ， 时也适合上式， ∴， ∴当时，数列单调递减，且， 当时，数列单调递减，且， 故的最大值为，最小值为， ∴的最大值与最小值之和为2. 故选：C. 题型五：法：角度2：已知和的关系 【典例1】（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）记为数列的前项之积，已知，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由得，进而得，即是公差为2的等差数列，利用等差数列的通项公式即可得，进而得，即可求解. 【详解】因为，所以，所以， 所以，所以是公差2的等差数列， 因为，所以，所以， 所以，所以. 故选：C. 【典例2】（2025·福建厦门·三模）设为数列的前项积，若，其中常数，则_______（结果用表示）；若数列为等差数列，则_______． 【答案】 1或2 【分析】由已知递推关系分别令，，即可求解，然后结合等差数列的性质即可求解，并检验. 【详解】因为为数列的前项积，， 时，， 当时，，即， 时，， 则， 若数列 为等差数列，则， 所以， 整理得，， 解得或． 检验：当时，，则时，，则，即 ， 故为以为首项，1为公差的等差数列； 当时，,则时，，则， 故，得， 即 ，又，故为常数列，即,易知其为等差数列. 故答案为：；1或2． 【点睛】关键点点睛：本题考查数列递推关系求通项，关键是特值思想求值并证明. 【变式1】（2026·山东泰安·模拟预测）记为数列的前项积，已知，则___________． 【答案】/ 【分析】根据和等差数列定义，结合题设条件可证得数列为等差数列，由等差数列通项公式可求得结果. 【详解】当时，，； 当且时，，， 数列是以为首项，为公差的等差数列， . 【变式2】（25-26高二上·湖北黄冈·阶段检测）记为数列的前项之积，已知，则______. 【答案】 【分析】分析可知数列是首项为3，公差为2的等差数列，结合等差数列通项公式运算求解. 【详解】因为， 当时，可得，解得； 当时，可得，整理可得， 可知数列是首项为3，公差为2的等差数列， 则，即， 所以. 故答案为：. 【变式3】（2026·浙江绍兴·三模）记为正项数列的前项积，已知，则_________；_________． 【答案】 2 2025 【分析】由数列的前项积，利用赋值法令可求得，将表达式化简可得数列是等差数列，即可求得. 【详解】根据题意令，可知，又数列的各项均为正，即； 解得； 由可得， 即，可得； 所以数列是以为首项，公差为的等差数列； 因此， 所以. 故答案为：2；2025. 三、数列求通项（法、法）专项训练 一、单选题 1．（26-27高二上·江苏苏州·阶段检测）已知数列满足，若数列是递减数列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件形式设，则原式变形后为其前项和，利用，即可求得的通项公式，验证首项后根据是递减数列，即可求解. 【详解】已知：， 两边除以：， 令，则.当，， ， ， 代入原式：，代入通项，满足. ，是首项，公差的等差数列. 数列递减，即. 2．（25-26高二下·广东深圳·期末）设数列满足，则的前50项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据的关系作差结合分类讨论计算通项公式，再根据等差数列求和公式计算即可. 【详解】因为，当时，； 当时，；， 所以，即，；当时，不满足； 所以，则时，的前项和为. 所以. 3．（2026·江苏·模拟预测）设数列的前项和为，若，则数列前项的极差和方差分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由递推关系求出数列的通项公式，再利用极差和方差的公式求解. 【详解】由题意知①； 当时，②； ①-②得：，化简得：. 当时，，解得. 所以数列是首项为，公比为的等比数列，且. 数列的项为：，前项中，和各出现了1013次， 所以数列前项的极差为； 数列前项的平均数：， 方差：, 综上，数列前项的极差为2，方差为1. 4．（2026·陕西咸阳·二模）已知数列的前n项和为，且满足，，则使得不等式成立的实数k的最大值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】根据和与的关系，结合等比数列性质，即可求解得到数列本身的通项，表示，代入到原不等式中，通过比较即可求解. 【详解】因为，，因此当时，， 所以两式相减得，，所以，， 当时，，满足递推关系，所以的递推公式为， 则为首项为，公比为的等比数列，通项公式为， 因此， 代入得，，化简得， 设，则上式等价于， 所以，， 当时，，，单调递增，当时，，，单调递减， ，，当时，，所以，因此的最小值为， 即，因此的最大值为， 故选择B选项. 5．（25-26高二下·重庆·期中）等比数列的前项和为，若，则实数（     ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】D 【分析】求出，根据与的关系求出数列通项，满足数列通项即可解得实数，验证满足等比数列即可. 【详解】当时，， 当时，. 依题意，时也应该满足，则，解得. 当时，，，满足为等比数列，所以. 6．（25-26高三·全国·一轮复习）已知正项数列的前项和为，且，则（    ） A．4053 B．4051 C．4055 D．4048 【答案】A 【分析】根据给定的递推公式，结合，求出数列的通项公式，从而得解. 【详解】当时，，解得， 当时，， 作差得， 整理得， 因为，所以，所以， 是首项为1，公差为2的等差数列，则， 故． 7．（25-26高三·全国·一轮复习）已知为数列的前项和，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由条件可得，再由与的关系可得，进而可得，从而可得所求和. 【详解】当时，，因为，所以. 当时，由，得， 两式相减可得，即. 因为，所以，又，所以. 因此数列是公差为0，首项为的等差数列， 可得，所以. 8．（25-26高三·全国·一轮复习）已知数列的前项和为，若，则等于（   ） A． B． C． D．2026 【答案】A 【详解】因为，即． 当时，，即； 当时，， 所以，即． 又，所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，即， 所以． 9．（2026高三·全国·专题练习）已知正项数列的前项和为，且，则（   ） A．4047 B．4044 C．4042 D．4045 【答案】A 【分析】由求解可以得到为等差数列，将代入即可. 【详解】①， ∴当时，②， ①-②可得， ， ，，， ∴当时，，解得， 是首项为1，公差为2的等差数列，则， 于是有． 10．（25-26高二下·辽宁沈阳·期中）若数列的前n项和为，则（    ） A． B．3n C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得， 则，化简得， 则，即， 因为，解得， 所以是以为首项，以为公比的等比数列， 所以，即. 11．（25-26高三上·福建·阶段检测）已知等比数列的首项，，记为数列的前项积，则当时正整数的最大值为（   ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】A 【分析】首先求出公比，即可求出通项公式，得到的特征，从而求出，即可得解. 【详解】设等比数列的公比为，则，所以， 又，，所以， ， 当时，当时，所以当时， 所以当时正整数的最大值为. 故选：A 12．（25-26高三上·山西运城·期中）设为数列的前项积，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，则可将化为，结合等差数列定义可得是等差数列，求出首项后即可得其通项公式，再利用计算即可得. 【详解】由为数列的前项积，则， 则由，可得当时，有， 又当时，，则，即，则， 则数列是以为首项，为公差的等差数列， 则，则， 故. 故选：D. 13．（25-26高二上·江苏南京·阶段检测）设为数列的前项积，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，结合已知可推出当时，，从而求得，利用即可求得答案. 【详解】由为数列的前项积，则， 则由，可得当时，有， 又当时，，则由可得， 即，则， 则数列是以为首项，为公差的等差数列， 则，则， 故. 二、填空题 14．（25-26高二上·北京·期末）已知数列的前项和，则__________． 【答案】 【详解】当时，； 当时，， 又时，， 所以. 15．（26-27高二上·全国·课后作业）已知数列的前项和满足，且，则的通项公式为________． 【答案】 【详解】因为， 所以． 当时，， 由此得． 因为，所以． 所以是首项为1，公差为2的等差数列， 所以． 16．（26-27高二上·全国·课后作业）等比数列的前项和，则数列的通项公式为______． 【答案】 【详解】因为等比数列的前项和，所以当时，，得， 当时，，得， 所以公比，，所以． 17．（25-26高二下·山东潍坊·开学考试）已知数列满足＋…＋＝，则数列的通项公式为______. 【答案】 【分析】利用的关系计算通项公式即可. 【详解】因为数列满足＋…＋＝①， 所以＋…＋＝②，且， ①减②可得＝，即， 显然时满足， 综上. 学科网（北京）股份有限公司 $