专题01 三角函数的图象与性质（专题训练）-2027届高三数学二轮复习

专题01 三角函数求法 (典型题型归类训练) 一、必备秘籍 必备公式 辅助角公式 ，（其中）； 求解析式 求法 方法一：代数法 方法二：读图法表示平衡位置；表示振幅 求法 方法一：图中读出周期，利用求解； 方法二：若无法读出周期，使用特殊点代入解析式但需注意根据具体题意取舍答案. 求法 方法一：将最高（低）点代入求解； 方法二：若无最高（低）点，可使用其他特殊点代入求解；但需注意根据具体题意取舍答案. 二、典型题型 【典例1】（2026·宁夏·一模）函数的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位长度后得到的函数的解析式为________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据最值可得，代入点可得，代入点结合函数周期性可得，即可得函数的解析式，结合函数图象变换运算求解. 【详解】由图可知：，则， 因为函数的图象过点，则，即， 且，则，可得， 又因为函数的图象过点，则，即， 设函数的最小正周期为，则，即， 且，则，解得， 则，可得，解得，所以. 将的图象向左平移个单位长度后得到的函数的解析式为. 【典例2】（25-26高一下·上海·阶段检测）已知函数的一段图象如图所示，若将图象向左平移个单位长度后得到的函数为奇函数，则___________． 【答案】 【分析】由图可得解析式，再利用三角函数性质计算即可得解. 【详解】由图可得，，则，故， ，解得， 由，故，则， 由将图象向左平移个单位长度后得到的函数为奇函数， 则，解得. 【变式1】（2026高三·全国·专题练习）函数（其中，，）的图象如图所示，若将函数的图象上的各点的横坐标伸长为原来的3倍（纵坐标不变）得到函数的图象，则 ______. 【答案】 【分析】根据振幅求得，利用图象过点及的范围求得，利用图象过点求得，可得，进而利用三角函数图象变换法则得，最后利用两角和的正弦公式求解即可. 【详解】由图象易知，，图象过点，即，， 因为，所以， 又图象过点且该点位于单调递增区间，即， 所以，所以， 又，，所以，所以， 所以函数的解析式为， 将函数的图象上的各点的横坐标伸长为原来的3倍（纵坐标不变）得到函数的图象， 则可得， 故， 故答案为： 【变式2】（25-26高三上·黑龙江佳木斯·期中）若函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，得到函数的图象，若在上恰有3个零点，则的取值范围为_____．    【答案】 【分析】先根据图象里的最值求出A，根据周期求出，根据最大值点或最小值点求出，从而确定的解析式，根据函数图象变换求出的解析式，最后结合图象及在上恰有3个零点即可求出m的范围． 【详解】记的最小正周期为，由题图可得， ∴， ∴， 又，∴， ∴． 将的图象向右平移个单位长度后得到的图象， 再将的图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，故． 当时，． ∵在上恰有3个零点，如图：    则，解得， 故答案为：． 【变式3】（25-26高三上·湖南长沙·开学考试）已知函数的部分图象如图所示，其中，若的图象向右平移个单位长度后关于原点对称，则______．    【答案】 【分析】首先求得，可得，再由函数平移变换法则、三角函数性质可得，结合即可求解. 【详解】设的最小正周期为，依题意得，则， 所以，所以， 则将的图象向右平移个单位长度得到的图象对应解析式为， 因为平移后的图象关于原点对称，所以， 因为，所以，则． 故答案为：. 三、专项训练 一、单选题 1．（26-27高三上·海南海口·阶段检测）已知函数，（，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（     ） A． B．将的图象向右平移个单位，再将所有点的横坐标变为原来2倍，得到的图象，则 C．的对称中心为， D．若，且，则 【答案】C 【分析】根据函数图象确定相关参数，可求出函数解析式，判断A；利用正弦函数图象平移、伸缩变换可判断B；根据正弦函数的对称性可判断C；对于D，根据正弦函数图象的对称性结合已知图象得到，代入求值，即可判断. 【详解】已知函数. 由图知，，故， 又过点，且该点在函数增区间上，故， 所以，又，则， 则，故A错误； 将的图象向右平移个单位， 可得的图象， 再将所有点的横坐标变为原来2倍，可得的图象， 即，故B错误； 令，则， 即对称中心为，故C正确； 因为，且， 根据正弦函数图象的对称性结合已知图象，可知， 则，则，故D错误. 2．（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）如图为函数的的部分图象， 且点在图象上，则的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由图中相邻最高点A、B的横坐标距离确定周期，结合点确定，再利用正弦函数的单调区间求的递增区间． 【详解】A、B是相邻最高点，故函数周期为从而 由点在图象上，得 又，所以． 因此． 因为系数，当时，正弦函数单调递增． 解得 故A符合. 3．（26-27高三上·福建厦门·阶段检测）函数 的部分图象如图所示，则下列说法错误的是（ ） A． B．函数图象上的所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数的图象 C．点是函数的图象的一个对称中心 D．函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象关于轴对称 【答案】C 【分析】对于A由图观察出周期，即可得到，用五点法代入点，可求出，再用诱导公式转换即可判断；对于B利用伸缩变换即可判断；对于C代入检验此点是不是零点，即可判断；对于D判断平移后的函数是否为偶函数，即可判断. 【详解】对于A，由图可知：，， 用五点法代入点，可得，即， 不妨取，， 因为，故A正确； 对于B，函数图象上的所有点的横坐标缩短为原来的可得的图象，故B正确； 对于C，因为， 所以点不是函数的图象的一个对称中心，故C错误； 对于D，向右平移后的函数， 又，为偶函数，故D正确． 4．（2026·山东济南·模拟预测）函数的部分图象如图所示．将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则（     ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】先根据函数的图象求出函数的解析式，然后再根据平移得到，最后求出的值. 【详解】由函数图像可得，，则， 由，此时， 由，得到， 所以，即， 因为，所以时，， 所以， 将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象， 则， 所以. 5．（26-27高三上·天津北辰·阶段检测）已知函数（，）的部分图象如图，则（ ） A． B．函数的图象关于轴对称 C．函数在上单调递减 D．函数在有3个极值点 【答案】B 【分析】根据图象解出函数的解析式，利用正弦型函数性质求解. 【详解】A:由图可知的周期为：，又，所以； 由，即，且，所以； 由，所以，所以，故A错误； B：由A的分析知， 因为为偶函数，故B正确； C：由，得，故在上单调递增，故C错误； D：因为，，，， 所以函数在有4个极值点，故D错误. 6．（25-26高一下·辽宁葫芦岛·期末）已知函数的部分图象如图所示，将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角函数的图象求出函数的解析式，再利用三角函数图象变换可得出函数的解析式. 【详解】由图可知，函数的最小正周期满足，所以最小正周期， 故，此时； 将最低点代入可得，即， 所以，可得. 又，所以，所以； 将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍， 由三角函数图象伸缩变换的规律可得． 7．（25-26高二上·湖北十堰·开学考试）函数（）的部分图象如图所示，给出以下说法：①②点是函数的图象的一个对称中心③函数图象上的所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数的图象④函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象关于y轴对称．其中正确说法的个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】首先根据函数的图像得到函数的解析式，再根据正弦函数的性质以及图像平移规律、奇偶性求解即可. 【详解】由图可知，两个相邻零点为和，故半个周期，所以，故， 因此. 因为点在图像上，故，解得，取得， 即. ①.，故①正确. ②.，因此该点不是对称中心，故②错误. ③.将横坐标缩短为原来的，得到，故③正确. ④.向右平移个单位，则， 是偶函数，图象关于轴对称，故④正确. 8．（25-26高二下·河北保定·期末）已知函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若在区间上恰有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图象求出的解析式，结合图象的平移变换可得的解析式，继而结合在区间上恰有两个零点，列出相应不等式，即可求得答案. 【详解】由图可知，，函数的最小正周期满足， 可得，则，则， 又因为，可得， 因为，则，所以，可得， 所以． 将的图象向右平移个单位长度，得到函数， 当时，， 又在区间上恰有两个零点， 所以，解得，即的取值范围是． 9．（25-26高二下·江苏常州·期中）函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B．的增区间是 C．函数的图象向左平移个单位后得到的是一个奇函数的图象 D．图象的一个对称中心是 【答案】D 【分析】根据函数图像易得，从而可得出，再将点代入求得，从而得到函数的解析式，再根据正弦函数的性质逐一判断即可得出答案. 【详解】由图像可得，，， ，将点代入可得， 又，，所以函数， 令，解得，， 故函数的单调递增区间为，，故B错误； 由，A错误； ， 故是对称中心，故D正确； 将函数的图像向左平移个单位，得到，该函数为偶函数，故C错误. 10．（2026·天津北辰·三模）函数的部分图象如图所示，则（   ） A．的单调递增区间是 B．函数的图象向左平移个单位后得到的是一个奇函数的图象 C．图象的对称中心是 D．图象的一条对称轴方程是 【答案】D 【分析】根据函数图像易得，从而可得出，再将点代入求得，从而得到函数的解析式，再根据正弦函数的性质逐一判断即可得出答案. 【详解】由图像可得，，， ，将点代入可得， 又，，所以函数， 令，解得，， 故函数的增区间为，，故A错误； 由，所以是函数的一条对称轴，故D正确； 令，解得，所以函数的对称中心为，，故C错误； 将函数的图像向左平移个单位，得到，该函数为偶函数，故B错误. 二、填空题 11．（25-26高三上·天津·期中）已知函数（，，），若函数的图象向左平移个单位长度后得到的函数的部分图象如图所示，则下列说法： ①是函数的一条对称轴； ②函数在区间的值域为； ③不等式的解集为（）； ④若在有两个极值点，则， 其中正确的有______.（填序号） 【答案】①③ 【分析】由函数图象求得平移后的函数解析式，从而求得函数，然后求出函数的对称轴判断①，由区间求出函数值域判断②，由函数图象解不等式得到解集判断③，通过三角函数的最大值和最小值点得到函数的极值点，然后判断④. 【详解】令平移后的函数为， 由图可知，， ∴，则， 又∵当时，令，即， ∴，则. 令，则为函数的对称轴， 令，则，①正确； 时，，∴，②错误； ，即，则， 即，③正确； 令，即，则， 令，即，则， 即在右边的极值点依次是， 若在有两个极值点，则，④错误. 故答案为：①③ 12．（25-26高三上·天津南开·阶段检测）已知函数的部分图象如图所示，若将函数的图象向右平移个单位后所得曲线关于轴对称，则的最小值为______. 【答案】 【分析】根据图象特征，结合五点法作图列式求出和，再根据图象的平移变换，以及图象的对称性即可求解. 【详解】由，可得，又点及附近点从左到右是上升的，则， 由，点及附近点从左到右是下降的，且上升、下降的两段图象相邻，得， 联立解得，，而，于是，， 若将函数的图象向右平移个单位后，得到， 则，而，因此， 所以当时，取得最小值为. 故答案为：. 13．（25-26高一下·四川内江·阶段检测）已知函数的部分图象如图所示，其中，，若将的图象向右平移个单位长度后关于轴对称，则______． 【答案】 【分析】根据图象确定函数的最小正周期，再结合对称轴及点坐标可得参数值. 【详解】由图象及，， 可知，及， 又，则， 由函数的图象向右平移个单位长度后关于轴对称， 可知函数的图象关于直线轴对称， 根据图像可知当时，函数取得最小值， 即，， 则，， 则， 又函数过点， 则， 解得， 故答案为：. 14．（25-26高一下·湖南永州·开学考试）已知函数的部分图象如图所示，则正确的有______． ①的最小正周期为 ②当时，的值域为 ③将函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象 ④将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称 【答案】①④ 【分析】由图象及三角函数的性质可得函数的解析式，进而判断出所给命题的真假． 【详解】对于①：由图可知：，故①正确； 由，知， 因为，所以，所以，即，， 又因为，所以， 所以函数为； 对于②：当时，，所以，故②错误； 对于③，由题意得到的图象，故③错误； 对于④：由题意得到的图象， 因为当时，，可得到的图象关于点对称，故④正确． 故选：①④． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 三角函数求法 (典型题型归类训练) 一、必备秘籍 必备公式 辅助角公式 ，（其中）； 求解析式 求法 方法一：代数法 方法二：读图法表示平衡位置；表示振幅 求法 方法一：图中读出周期，利用求解； 方法二：若无法读出周期，使用特殊点代入解析式但需注意根据具体题意取舍答案. 求法 方法一：将最高（低）点代入求解； 方法二：若无最高（低）点，可使用其他特殊点代入求解；但需注意根据具体题意取舍答案. 二、典型题型 【典例1】（2026·宁夏·一模）函数的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位长度后得到的函数的解析式为________． 【典例2】（25-26高一下·上海·阶段检测）已知函数的一段图象如图所示，若将图象向左平移个单位长度后得到的函数为奇函数，则___________． 【变式1】（2026高三·全国·专题练习）函数（其中，，）的图象如图所示，若将函数的图象上的各点的横坐标伸长为原来的3倍（纵坐标不变）得到函数的图象，则 ______. 【变式2】（25-26高三上·黑龙江佳木斯·期中）若函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，得到函数的图象，若在上恰有3个零点，则的取值范围为_____．    【变式3】（25-26高三上·湖南长沙·开学考试）已知函数的部分图象如图所示，其中，若的图象向右平移个单位长度后关于原点对称，则______．    三、专项训练 一、单选题 1．（26-27高三上·海南海口·阶段检测）已知函数，（，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（     ） A． B．将的图象向右平移个单位，再将所有点的横坐标变为原来2倍，得到的图象，则 C．的对称中心为， D．若，且，则 2．（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）如图为函数的的部分图象， 且点在图象上，则的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 3．（26-27高三上·福建厦门·阶段检测）函数 的部分图象如图所示，则下列说法错误的是（ ） A． B．函数图象上的所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数的图象 C．点是函数的图象的一个对称中心 D．函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象关于轴对称 4．（2026·山东济南·模拟预测）函数的部分图象如图所示．将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则（     ） A． B． C．1 D． 5．（26-27高三上·天津北辰·阶段检测）已知函数（，）的部分图象如图，则（ ） A． B．函数的图象关于轴对称 C．函数在上单调递减 D．函数在有3个极值点 6．（25-26高一下·辽宁葫芦岛·期末）已知函数的部分图象如图所示，将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，则（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·湖北十堰·开学考试）函数（）的部分图象如图所示，给出以下说法：①②点是函数的图象的一个对称中心③函数图象上的所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数的图象④函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象关于y轴对称．其中正确说法的个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（25-26高二下·河北保定·期末）已知函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若在区间上恰有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高二下·江苏常州·期中）函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B．的增区间是 C．函数的图象向左平移个单位后得到的是一个奇函数的图象 D．图象的一个对称中心是 10．（2026·天津北辰·三模）函数的部分图象如图所示，则（   ） A．的单调递增区间是 B．函数的图象向左平移个单位后得到的是一个奇函数的图象 C．图象的对称中心是 D．图象的一条对称轴方程是 二、填空题 11．（25-26高三上·天津·期中）已知函数（，，），若函数的图象向左平移个单位长度后得到的函数的部分图象如图所示，则下列说法： ①是函数的一条对称轴； ②函数在区间的值域为； ③不等式的解集为（）； ④若在有两个极值点，则， 其中正确的有______.（填序号） 12．（25-26高三上·天津南开·阶段检测）已知函数的部分图象如图所示，若将函数的图象向右平移个单位后所得曲线关于轴对称，则的最小值为______. 13．（25-26高一下·四川内江·阶段检测）已知函数的部分图象如图所示，其中，，若将的图象向右平移个单位长度后关于轴对称，则______． 14．（25-26高一下·湖南永州·开学考试）已知函数的部分图象如图所示，则正确的有______． ①的最小正周期为 ②当时，的值域为 ③将函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象 ④将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称 学科网（北京）股份有限公司 $