期中复习：整式加减中的化简求值问题、无关型问题、新定义问题专项训练-2026-2027学年北师大版七年级数学上册

期中复习：整式加减中的化简求值问题、无关型问题、新定义问题专项训练 期中复习：整式加减中的化简求值问题、无关型问题、新定义问题专项训练 考点目录 整式加减中的化简求值问题 整式加减中的无关型问题 整式加减中的新定义问题 考点一 整式加减中的化简求值问题 例1．（25-26七年级上·吉林长春·期中）先化简，再求值：，其中，． 例2．（25-26七年级上·四川成都·期中）先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中，． 例3．（25-26七年级下·江苏南京·开学考试）先化简，再求值：．其中． 变式1．（25-26七年级上·江苏南京·期末）先化简，再求值：，其中，． 变式2．（25-26七年级上·福建泉州·期末）先化简，再求值：，其中，． 变式3．（25-26七年级上·陕西汉中·期末）先化简，再求值：，其中，． 考点二 整式加减中的无关型问题 例1．（25-26七年级上·安徽芜湖·期末）已知代数式：． (1)当时，求的值； (2)若的值与的取值无关，求的值． 例2．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）已知，． (1)求的值； (2)若a为字母，b为常数，且的值与字母a的取值无关，求常数b的值． 例3．（25-26七年级上·福建漳州·期末）定义新运算：．例如：． (1)计算的值； (2)已知，试说明的值与的取值无关． 变式1．（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）已知两个整式A和B，，． (1)化简：； (2)当b为何值时，的值与a的取值无关． 变式2．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）设，． (1)当时，求的值． (2)当时，若代数式的值与y的取值无关，求实数a，b满足的条件． 变式3．（25-26七年级上·湖南长沙·期末）已知，． (1)求； (2)当时，求的值： (3)若的值与的取值无关，求的值． 考点三 整式加减中的新定义问题 例1．（25-26七年级上·广东深圳·阶段检测）已知有理数 a，b 满足 ，定义新运算 “⊙”：对于任意有理数 m，n，都有 . (1)先化简运算式 ，再将 a，b 的值代入，计算 的结果； (2)若整式，整式 ，求当 时， 的值． 例2．（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）定义：若一个多项式的各项系数之和为7的整数倍，则称这个多项式为“标准多项式”．例如：多项式的系数和为，所以多项式是“标准多项式”．请根据这个定义解答下列问题： (1)在下列多项式中，属于“标准多项式”的是______；（填写序号） ①；②；③． (2)若多项式是关于x，y的“标准多项式”（其中m、n均为整数），则多项式也是关于x，y的“标准多多项式”吗？若是，请说明理由；若不是，请举出反例． (3)已知，，，且（其中m，，t均为整数），请证明多项式也是关于x，y的“标准多项式”． 例3．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）定义：对于两个含字母x的一元多项式，当x任取一个数时，如果这两个多项式的值都是相等的，那么就称这两个一元多项式是恒等的．如果两个多项式恒等，那么将这两个多项式分别合并同类项之后，其系数一定对应相等． 已知关于x的多项式与多项式是恒等的． (1) ； (2)若数，数，则数m与数n是互为相反数吗？为什么？ 变式1．（25-26七年级上·福建漳州·期中）定义：若，则称a与b是关于6的实验数． (1)2与______是关于6的实验数：代数式______与是关于6的实验数． (2)若，，判断a与b是否是关于6的实验数，说明理由． (3)若c与d是关于6的实验数，且，求d的值． 变式2．（25-26七年级上·福建福州·期中）定义：对任意两个数、，按规则扩充得到一个新数，称所得的新数为“如意数”． (1)若，，直接写出，的“如意数”______； (2)若，，直接写出，的“如意数”______（用含的式子表示）； (3)试比较（2）中与的大小． 变式3．（25-26七年级上·河南鹤壁·期末）定义：若，则称与是关于2的“平衡数”． (1)5与___________是关于2的“平衡数”，与___________是关于2的“平衡数”；（用含的代数式表示） (2)若，判断与是否是关于2的“平衡数”，并说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $期中复习：整式加减中的化简求值问题、无关型问题、新定义问题专项训练 期中复习：整式加减中的化简求值问题、无关型问题、新定义问题专项训练 考点目录 整式加减中的化简求值问题 整式加减中的无关型问题 整式加减中的新定义问题 考点一 整式加减中的化简求值问题 例1．（25-26七年级上·吉林长春·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【详解】解： ， 当，时， 原式． 例2．（25-26七年级上·四川成都·期中）先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中，． 【答案】(1)；； (2)； 【详解】（1）解： ， ； 当时，原式； （2）解：， ； 当，时，原式． 例3．（25-26七年级下·江苏南京·开学考试）先化简，再求值：．其中． 【答案】； 【详解】解：， 当时，原式． 变式1．（25-26七年级上·江苏南京·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】；6 【分析】先去小括号，再去中括号，然后合并同类项，再把a，b的值代入化简后的式子进行计算，即可求解． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 变式2．（25-26七年级上·福建泉州·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】先去括号，再合并同类项，得，然后把，代入计算即可． 【详解】解：原式       ， 当，时， 原式． 变式3．（25-26七年级上·陕西汉中·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】化简为，值为 【分析】本题考查了整式的加减的化简求值，先利用去括号法则去括号，再合并同类项，最后把值代入代数式中求解即可． 【详解】解：原式． 当，时，原式． 考点二 整式加减中的无关型问题 例1．（25-26七年级上·安徽芜湖·期末）已知代数式：． (1)当时，求的值； (2)若的值与的取值无关，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减，绝对值非负性和偶次方非负性，整式加减中的无关型问题，掌握知识点的应用是解题的关键． （1）根据绝对值非负性和偶次方非负性求出，的值，再由整式的加减计算法则化简，然后代入求解即可； （2）根据（1）所求得到，根据的值与的取值无关，即含的项的系数为进行求解即可． 【详解】（1）解：因为， 所以， 解得． 又因为， 所以 ， 当时， ； （2）解：由（1）知， 又的值与的取值无关， ，解得． 例2．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）已知，． (1)求的值； (2)若a为字母，b为常数，且的值与字母a的取值无关，求常数b的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减． （1）将，代入计算即可； （2）根据（1）中结果结合的值与字母a的取值无关计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：由（1）得， ∵的值与字母的取值无关， ∴， 解得． 例3．（25-26七年级上·福建漳州·期末）定义新运算：．例如：． (1)计算的值； (2)已知，试说明的值与的取值无关． 【答案】(1)； (2)的值为常数，与的取值无关． 【分析】本题考查新定义运算的应用以及整式的加减运算． （1）直接根据新运算的定义，将对应数值代入公式计算即可； （2）先利用新运算定义将两个等式展开，得到关于、、的方程，再通过消元法消去，推导出为固定常数，从而说明其与无关． 【详解】（1）解：； （2）解：， ①； ， ②； 将①②得：， 整理化简得：； 的值为常数，与的取值无关． 变式1．（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）已知两个整式A和B，，． (1)化简：； (2)当b为何值时，的值与a的取值无关． 【答案】(1) (2)当时，的值与的取值无关 【分析】本题主要考查了整式加减运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）根据多项式加法法则进行计算即可； （2）根据多项式减法法则进行化简得，当时，的值与a的取值无关，求出结果即可． 【详解】（1）解： （2） 当时，即， 所以当时，的值与的取值无关． 变式2．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）设，． (1)当时，求的值． (2)当时，若代数式的值与y的取值无关，求实数a，b满足的条件． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减—化简求值，整式的加减—无关题型，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据整式的加减运算法则，先计算出，再整体代入计算即可得出结果； （2）先求出代数式，再根据代数式的值与y的取值无关，得出． 【详解】（1）解： ， 当时， 原式 ； （2）解： ， 由于代数式的值与y的取值无关，且， 所以． 变式3．（25-26七年级上·湖南长沙·期末）已知，． (1)求； (2)当时，求的值： (3)若的值与的取值无关，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了整式的加减—化简求值，整式的加减—无关题型，熟练掌握去括号和合并同类项的运算法则是解此题的关键． （1）将，代入中，先去括号，再合并同类项即可得出结果； （2）将化简后的进行变形，整体代入计算即可得出结果； （3）先表示出，再结合的值与的取值无关，计算即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解：当时， ； （3）解： ， 若的值与的取值无关，则 ． 考点三 整式加减中的新定义问题 例1．（25-26七年级上·广东深圳·阶段检测）已知有理数 a，b 满足 ，定义新运算 “⊙”：对于任意有理数 m，n，都有 . (1)先化简运算式 ，再将 a，b 的值代入，计算 的结果； (2)若整式，整式 ，求当 时， 的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了整式的加减-化简求值，有理数的混合运算，理解新定义，熟练掌握有理数的加减运算法则，有理数的混合运算法则是解题的关键． （1）根据整式的加减化简，根据绝对值与偶次幂的非负性求得，，再代入，即可求解； （2）先根据，化简，再计算，最后将代入化简结果进行计算即可求解． 【详解】（1）化简 ， 由， ∴，， 得，， ； （2）由，，， ， ， ， 代入得：． 例2．（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）定义：若一个多项式的各项系数之和为7的整数倍，则称这个多项式为“标准多项式”．例如：多项式的系数和为，所以多项式是“标准多项式”．请根据这个定义解答下列问题： (1)在下列多项式中，属于“标准多项式”的是______；（填写序号） ①；②；③． (2)若多项式是关于x，y的“标准多项式”（其中m、n均为整数），则多项式也是关于x，y的“标准多多项式”吗？若是，请说明理由；若不是，请举出反例． (3)已知，，，且（其中m，，t均为整数），请证明多项式也是关于x，y的“标准多项式”． 【答案】(1)①③ (2) 解：是，理由如下： 多项式是关于，的“标准多项式”， 为的整数倍， 设（为整数，）， 则， 多项式的系数和为， ， ， 是的整数倍，即是的整数倍， 多项式是关于，的“标准多项式”（其中，均为整数），则多项式也是关于，的“标准多项式”； (3) 证明：∵，，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴多项式为， 多项式的系数和为， ∴多项式也是关于x，y的“标准多项式”． 【分析】本题考查了新定义“标准多项式”，整式的加减运算，理解定义是解题的关键． （1）根据“标准多项式”的定义求解即可； （2）根据多项式是关于，的“标准多项式”，可设（为整数，），则，多项式的系数和为，得到，即可求解； （3）先根据整式加减预算法则求出，再结合“标准多项式”的定义证明即可． 【详解】（1）解：①多项式的系数和为， 该多项式是“标准多项式”， ②多项式的系数和为，不是的整数倍， 该多项式不是“标准多项式”， ③多项式的系数和为， 该多项式是“标准多项式”， 故答案为：①③； （2）略 （3）略 例3．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）定义：对于两个含字母x的一元多项式，当x任取一个数时，如果这两个多项式的值都是相等的，那么就称这两个一元多项式是恒等的．如果两个多项式恒等，那么将这两个多项式分别合并同类项之后，其系数一定对应相等． 已知关于x的多项式与多项式是恒等的． (1) ； (2)若数，数，则数m与数n是互为相反数吗？为什么？ 【答案】(1)3； (2) 解：数m与数n互为相反数，理由如下： 由（1）得，即， ∵数，数， ∴ ， ∴数m与数n互为相反数． 【分析】本题考查了整式的加减运算，化简求值，熟练掌握整式的加减运算法则是解题的关键． （1）根据两个多项式恒等时，那么将这两个多项式分别合并同类项之后，其系数一定对应相等，则得到a，d的值； （2）由（1）得，计算，得到，即可判断数m与数n互为相反数． 【详解】（1）解：关于x的多项式与多项式是恒等， ∴，，， 故答案为：3，； （2）略 变式1．（25-26七年级上·福建漳州·期中）定义：若，则称a与b是关于6的实验数． (1)2与______是关于6的实验数：代数式______与是关于6的实验数． (2)若，，判断a与b是否是关于6的实验数，说明理由． (3)若c与d是关于6的实验数，且，求d的值． 【答案】(1)4；； (2) a与b是关于6的实验数，理由： ， ∴a与b是关于6的实验数； (3) 【分析】本题考查整式的加减应用，理解题意，正确列出式子计算是解题的关键． （1）根据题中给出的定义计算即可； （2）计算的值，如果和等于6，则a与b是关于6的实验数，否则不是； （3）由题意得出，把c的值代入计算即可求出d的值． 【详解】（1）解：， ∴2与4是关于6的实验数； ， ∴与是关于6的实验数， 故答案为：4；； （2）略 （3）解：∵c与d是关于6的实验数，且 ∴， ． 变式2．（25-26七年级上·福建福州·期中）定义：对任意两个数、，按规则扩充得到一个新数，称所得的新数为“如意数”． (1)若，，直接写出，的“如意数”______； (2)若，，直接写出，的“如意数”______（用含的式子表示）； (3)试比较（2）中与的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了新定义的理解以及整数、整式的计算；解题的关键是理解新定义． （1）根据“如意数”将，代入即可求出结果； （2）根据“如意数”将，，代入即可求出， （3）通过计算得到，即可比较大小． 【详解】（1）解：将，代入得： 故答案为：； （2）解：将，代入， ， 故答案为：； （3）解：， ． 变式3．（25-26七年级上·河南鹤壁·期末）定义：若，则称与是关于2的“平衡数”． (1)5与___________是关于2的“平衡数”，与___________是关于2的“平衡数”；（用含的代数式表示） (2)若，判断与是否是关于2的“平衡数”，并说明理由． 【答案】(1)； (2) 与 是关于 2 的平衡数， 理由如下： ∵ ， ∴a与b是关于2的平衡数． 【分析】此题考查了新定义，整式的加减，解题的关键是能根据题目定义列式并计算． （1）根据关于2的平衡数的定义列式计算即可； （2）通过计算的计算结果即可进行判断． 【详解】（1）解：∵， ∴， 由题意得，， ； 故答案为：； （2）略 2 学科网（北京）股份有限公司 $