期中复习 整式的加减运算、整式加减的应用、带有字母的绝对值化简问题 专项训练 2026-2027学年北师大版七年级数学上册

期中复习：整式的加减运算、整式加减的应用、带有字母的绝对值化简问题专项训练 期中复习：整式的加减运算、整式加减的应用、带有字母的绝对值化简问题专项训练 考点目录 整式的加减运算 整式加减的应用 带有字母的绝对值化简问题 考点一 整式的加减运算 例1．（26-27七年级上·北京海淀·阶段检测）化简下列各式： (1)； (2) 例2．（26-27七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）计算： (1)； (2)． 例3．（26-27七年级上·江苏泰州·阶段检测）化简下列各式： (1)； (2)． 变式1．（26-27七年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段检测）已知，． (1)求； (2)当，时，求的值． 变式2．（26-27七年级上·江苏盐城·阶段检测）化简： (1)； (2)． 变式3．（26-27七年级上·重庆沙坪坝·阶段检测）化简： (1)； (2)． 考点二 整式加减的应用 例1．（26-27七年级上·湖北恩施·阶段检测）利川莼菜是国家地理标志产品．某蔬菜合作社去年莼菜产量为千克，今年改良品种后，产量比去年的2倍还多300千克． (1)用含的代数式表示今年的产量； (2)当时，求今年的产量； (3)若去年的产量增加100千克，今年的产量将增加多少千克？ 例2．（26-27七年级上·吉林长春·阶段检测）初中数学中，在图形与几何领域有推理或证明的内容，在数与代数领域也有推理或证明．例如，对于任意的一个三位数，把三个数位上的数字相加，如果和能被3整除，那么这个三位数就能被3整除，如312，465，522等． (1)设是一个三位数，若可以被3整除，试说明这个数可以被3整除．请将下面的验证过程补充完整： ，显然________能被3整除，因此，如果可以被3整除，那么就能被3整除． (2)设是一个四位数，若可以被9整除，试说明这个数可以被9整除． 例3．（26-27七年级上·吉林长春·阶段检测）为贯彻落实教育部提出的五育并举，发展学生的劳动教育，七（1）班计划在培植园内规划一块长方形菜地．已知培植园有一面足够长的墙可以利用，班级准备用长度为的篱笆围成长方形菜地．同学们设计了以下两种方案： 方案一：如图1，利用墙体作为菜地的一条长边，左右两侧各用长的篱笆围成宽，在平行于墙的另一边开一个宽的小门（门不需要篱笆）．此方案围成的长方形菜地面积为； 方案二：如图2，利用墙体作为菜地的一条长边，在左右两侧各开一个宽的小门（门不需要篱笆），左右两侧各用长的篱笆围成宽，用剩余篱笆围成平行于墙的另一边．此方案围成的长方形菜地面积为． (1)图1中长方形的边长度为______m；图2中长方形的边长度为______m；（用含a的代数式表示） (2)分别求出方案一和方案二中菜地的面积 和（用含 a 的代数式表示），并求出的值； (3)已知培植园内可利用的墙长实际上只有，若班级用长度的篱笆按上述两种方案围菜地，请通过计算判断方案一和方案二是否都能成功实施? (4)七（1）班的同学们在计算过程中发现，的值与a无关．请判断这个发现是否正确，并说明理由． 变式1．（26-27七年级上·重庆沙坪坝·阶段检测）为鼓励居民节约用水，某市实行阶梯水价制度，居民用水阶梯水价标准如下： 阶梯 年用水量（每户） 综合水价（元/） 第一档 不超过的部分 第二档 超过但不超过的部分 第三档 超过的部分 (1)小明家2023年共用水，应支付水费________元（用含的式子表示）；若该年度小明家支付水费元，则________； (2)在（1）的条件下，小明家2024年和2025年共用水，其中2024年用水量为（，且为整数），求小明家2024年和2025年支付的总水费（用含的式子表示）． 变式2．（26-27七年级上·陕西西安·阶段检测）某体育用品商店出售的乒乓球拍和乒乓球进价、售价如下表： 进价 售价 乒乓球拍 30元副 元副 乒乓球 1元个 元个 今年“五一”期间该商店开展让利促销活动，提供两种不同的促销方案： 方案一：买一副乒乓球拍送2个乒乓球； 方案二：每购买100个乒乓球赠送1副乒乓球拍． 某乒乓球队打算购买15副乒乓球拍，120个乒乓球． (1)按方案一购买要花多少钱？若按方案二购买需要多少钱？（结果用含，的式子表示） (2)当，时，请你为该乒乓球队设计一个更省钱的购买方案，计算并说明理由． 变式3．（26-27七年级上·广西南宁·阶段检测）如图，幸福小区有一块长为，宽为的长方形空地，物业计划在这片空地上修建一个三角形和一个四分之一圆的花坛，其余部分种上草坪（阴影部分）．已知三角形花坛的底边长为， (1)根据图中的信息，用含的代数式表示下列图形的面积： ①三角形花坛的面积为___________ ②四分之一圆花坛的面积为___________；（结果保留π） (2)用含的代数式表示草坪的面积；（结果保留π） (3)若种植草坪每平方米的费用为50元，当时，物业种植完这块草坪一共需要多少元？（π取3） 考点三 带有字母的绝对值化简问题 例1．（26-27七年级上·广东佛山·阶段检测）有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，且． (1)用“”“”“”填空： _________0， ________0， ________0． (2)化简：． 例2．（26-27七年级上·广东广州·阶段检测）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数a，b，c满足，求的值． 【解决问题】解：由题意，得a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①a，b，c都是正数，即，则； ②当a，b，c中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，则． 综上所述，的值为3或． 请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)已知a，b是不为0的有理数，当时，的值是___________； (2)已知a，b，c是有理数，当时，求的值； (3)，且，求的值； 【提升】 (4)是否存在有理数，，使得？若存在，求出，的值，若不存在，说明理由． 变式1．（26-27七年级上·海南·阶段检测）已知数在数轴上的位置如图所示． (1)计算： 0； 0； 0； 0； (2)化简：； (3)化简：． 变式2．（26-27七年级上·江苏镇江·阶段检测）华罗庚先生说；“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”． 【知识储备】 点、在数轴上分别表示有理数、，则、两点之间的距离可表示为． 【初步运用】 (1)式子在数轴上的意义是______ (2)已知数轴上某个点表示的数为． ①若，则______； ②若，则______； 【深入探究】 (3)如图，数轴上每相邻两点之间的距离为1个单位长度，点A、B、C表示的数分别为a、b、c． ①=______； ②若，则点C表示的数为______； (4)已知，则的最大值为______ 2 学科网（北京）股份有限公司 $期中复习：整式的加减运算、整式加减的应用、带有字母的绝对值化简问题专项训练 期中复习：整式的加减运算、整式加减的应用、带有字母的绝对值化简问题专项训练 考点目录 整式的加减运算 整式加减的应用 带有字母的绝对值化简问题 考点一 整式的加减运算 例1．（26-27七年级上·北京海淀·阶段检测）化简下列各式： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式. 例2．（26-27七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 例3．（26-27七年级上·江苏泰州·阶段检测）化简下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】先去括号（括号前是“−”号，去括号后各项都变号），再合并同类项． 【详解】（1）解： （2）解： 变式1．（26-27七年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段检测）已知，． (1)求； (2)当，时，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：∵，， ∴ 变式2．（26-27七年级上·江苏盐城·阶段检测）化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）按照合并同类项法则，系数相加，字母和字母的指数不变进行化简． （2）先去括号，注意括号前面是负号时括号内各项变号，再找出同类项合并化简． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 变式3．（26-27七年级上·重庆沙坪坝·阶段检测）化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 考点二 整式加减的应用 例1．（26-27七年级上·湖北恩施·阶段检测）利川莼菜是国家地理标志产品．某蔬菜合作社去年莼菜产量为千克，今年改良品种后，产量比去年的2倍还多300千克． (1)用含的代数式表示今年的产量； (2)当时，求今年的产量； (3)若去年的产量增加100千克，今年的产量将增加多少千克？ 【答案】(1)千克 (2)千克 (3)今年的产量将增加200千克 【分析】（1）根据题意，去年产量为千克，先表示出去年产量的2倍，再加300，列出代数式； （2）把代入（1）得到的代数式，计算求值； （3）先表示出去年产量增加100千克后对应的今年产量，再减去原来今年的产量，求出增加的量． 【详解】（1）解：由题意可得，今年的产量为千克． （2）解：当时，（千克）． 答：今年的产量为千克． （3）解：若去年的产量增加100千克，则去年的产量为千克， 今年产量为（千克）， （千克） 答：今年的产量将增加200千克． 例2．（26-27七年级上·吉林长春·阶段检测）初中数学中，在图形与几何领域有推理或证明的内容，在数与代数领域也有推理或证明．例如，对于任意的一个三位数，把三个数位上的数字相加，如果和能被3整除，那么这个三位数就能被3整除，如312，465，522等． (1)设是一个三位数，若可以被3整除，试说明这个数可以被3整除．请将下面的验证过程补充完整： ，显然________能被3整除，因此，如果可以被3整除，那么就能被3整除． (2)设是一个四位数，若可以被9整除，试说明这个数可以被9整除． 【答案】(1)；； (2) 显然能被9整除， 因此，如果可以被9整除，那么就能被9整除． 【分析】（1）根据整式加减法则，进行填空即可； （2）仿照（1）中的证明方法，进行作答即可． 【详解】（1）解：，显然能被3整除，因此，如果可以被3整除，那么就能被3整除． （2）略 例3．（26-27七年级上·吉林长春·阶段检测）为贯彻落实教育部提出的五育并举，发展学生的劳动教育，七（1）班计划在培植园内规划一块长方形菜地．已知培植园有一面足够长的墙可以利用，班级准备用长度为的篱笆围成长方形菜地．同学们设计了以下两种方案： 方案一：如图1，利用墙体作为菜地的一条长边，左右两侧各用长的篱笆围成宽，在平行于墙的另一边开一个宽的小门（门不需要篱笆）．此方案围成的长方形菜地面积为； 方案二：如图2，利用墙体作为菜地的一条长边，在左右两侧各开一个宽的小门（门不需要篱笆），左右两侧各用长的篱笆围成宽，用剩余篱笆围成平行于墙的另一边．此方案围成的长方形菜地面积为． (1)图1中长方形的边长度为______m；图2中长方形的边长度为______m；（用含a的代数式表示） (2)分别求出方案一和方案二中菜地的面积 和（用含 a 的代数式表示），并求出的值； (3)已知培植园内可利用的墙长实际上只有，若班级用长度的篱笆按上述两种方案围菜地，请通过计算判断方案一和方案二是否都能成功实施? (4)七（1）班的同学们在计算过程中发现，的值与a无关．请判断这个发现是否正确，并说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)方案一：墙不够长，不能实施；方案二：可以实施 (4)该发现正确，理由： ， 结果等于常数60，不含字母，与无关，该发现正确 【详解】（1）解：方案一：两侧宽各，小门； 方案二：两侧小门各，两侧宽各；； （2）解： ，； （3）解：，墙长最大， 方案一：，，墙不够长，不能实施； 方案二：，，可以实施； （4）略 变式1．（26-27七年级上·重庆沙坪坝·阶段检测）为鼓励居民节约用水，某市实行阶梯水价制度，居民用水阶梯水价标准如下： 阶梯 年用水量（每户） 综合水价（元/） 第一档 不超过的部分 第二档 超过但不超过的部分 第三档 超过的部分 (1)小明家2023年共用水，应支付水费________元（用含的式子表示）；若该年度小明家支付水费元，则________； (2)在（1）的条件下，小明家2024年和2025年共用水，其中2024年用水量为（，且为整数），求小明家2024年和2025年支付的总水费（用含的式子表示）． 【答案】(1)；； (2)当时，总水费为元； 当时，总水费为元． 【分析】（1）超过但不超过，根据前两档计费标准计算，当水费为元时，代入即可求解； （2）根据条件可判断年用水量超过，先计算年水费，再对分和两种情况分别计算年水费． 【详解】（1）解：； ， 解得； （2）解：， ， 故年的用水量超过， 年的水费为 当时，年的水费为元， 总水费为； 当时， 年的水费为， 总水费为； 故当时，小明家2024年和2025年支付的总水费为元； 当时，小明家2024年和2025年支付的总水费为元． 变式2．（26-27七年级上·陕西西安·阶段检测）某体育用品商店出售的乒乓球拍和乒乓球进价、售价如下表： 进价 售价 乒乓球拍 30元副 元副 乒乓球 1元个 元个 今年“五一”期间该商店开展让利促销活动，提供两种不同的促销方案： 方案一：买一副乒乓球拍送2个乒乓球； 方案二：每购买100个乒乓球赠送1副乒乓球拍． 某乒乓球队打算购买15副乒乓球拍，120个乒乓球． (1)按方案一购买要花多少钱？若按方案二购买需要多少钱？（结果用含，的式子表示） (2)当，时，请你为该乒乓球队设计一个更省钱的购买方案，计算并说明理由． 【答案】(1)方案一花费元，方案二花费元； (2)解：设计更省钱方案如下：先用方案二购买100个乒乓球（获赠1副球拍），再用方案一购买14副乒乓球拍（获赠28个乒乓球），理由如下： 当，时， 方案一费用：（元）， 方案二费用：（元）． 设计的方案费用为：（元）， ， 设计的方案更省钱，需花费610元． 【分析】（1）总费用球拍费用球的费用，分别用售价乘以数量即可； （2）根据规则设计更省钱方案：先用方案二购买100个乒乓球（获赠1副球拍），再用方案一购买14副乒乓球拍（获赠28个乒乓球），计算所设计方案的费用和方案一、二的费用，并比较即可． 【详解】（1）解：方案一： 买一副球拍送个球，买15副球拍送（个）球，还需购买乒乓球：（个）， 所需费用： 元； 方案二：每购买100个球赠送副球拍，买120个球可赠送副球拍，还需购买球拍：（副）， 所需费用： 元； （2）略 变式3．（26-27七年级上·广西南宁·阶段检测）如图，幸福小区有一块长为，宽为的长方形空地，物业计划在这片空地上修建一个三角形和一个四分之一圆的花坛，其余部分种上草坪（阴影部分）．已知三角形花坛的底边长为， (1)根据图中的信息，用含的代数式表示下列图形的面积： ①三角形花坛的面积为___________ ②四分之一圆花坛的面积为___________；（结果保留π） (2)用含的代数式表示草坪的面积；（结果保留π） (3)若种植草坪每平方米的费用为50元，当时，物业种植完这块草坪一共需要多少元？（π取3） 【答案】(1)①；②． (2) (3)1050元 【分析】（1）①直接利用三角形的面积公式求解即可；②根据圆的面积公式结合已知条件即可解答； （2）用长方形的面积减去三角形的面积和一个四分之一圆的面积即可； （3）将代入（2）所得的代数式求得面积，然后求费用即可． 【详解】（1）解：①由题意可知：三角形的面积为； ②由题意可知：四分之一圆花坛的面积为． （2）解：草坪的面积为． （3）解：当时，草坪面积为， 物业种植完这块草坪的费用为：元． 考点三 带有字母的绝对值化简问题 例1．（26-27七年级上·广东佛山·阶段检测）有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，且． (1)用“”“”“”填空： _________0， ________0， ________0． (2)化简：． 【答案】(1)；； (2) 【分析】（1）根据数轴上右边的点表示的数比左边的点表示的数大可以解答本题； （2）根据数轴可以将题目中式子的绝对值去掉，然后化简即可解答本题． 【详解】（1）解：根据数轴可知：，， ∴，，． （2）解：由（1）可知：，，， ∴， ∴ ． 例2．（26-27七年级上·广东广州·阶段检测）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数a，b，c满足，求的值． 【解决问题】解：由题意，得a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①a，b，c都是正数，即，则； ②当a，b，c中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，则． 综上所述，的值为3或． 请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)已知a，b是不为0的有理数，当时，的值是___________； (2)已知a，b，c是有理数，当时，求的值； (3)，且，求的值； 【提升】 (4)是否存在有理数，，使得？若存在，求出，的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)的值为或 (3) (4)存在，满足条件的有理数,为：且为任意有理数，或且为任意有理数 【分析】（1）由推出,异号，代入式子计算； （2）根据确定负数个数为奇数，分1个负数和3个负数两类计算； （3）由且，得三个数为一正两负或两正一负，分类计算求和； （4）根据有理数乘积为0的性质，分两个因式分别为0的情况分类讨论． 【详解】（1）解：∵，是不为的有理数，， ∴，即,异号， 不妨设，， 则； （2）解：∵， ∴，，中负数的个数为奇数，即1个负数或3个负数， ①当，，时， ； ②当，，中有1个负数，2个正数时，不妨设，，， 则， 综上所述，的值为或； （3）解：∵，， ∴,,不可能全为正数或全为负数，即只能是一正两负或两正一负， ①当,,中有两正一负时，不妨设，，， 则， ，故， ∴原式； ②当,,中有一正两负时，不妨设，，， 则， ， 故， ∴原式， 综上所述，原式的值为； （4）解：存在有理数,满足条件， ∵两个有理数的乘积为，则至少其中一个因数为， ∴分两种情况讨论： ①当时，， 此时为任意有理数，等式均成立； ②当时，， 此时为任意有理数，等式均成立， 综上所述，满足条件的，为：且为任意有理数或且为任意有理数． 变式1．（26-27七年级上·海南·阶段检测）已知数在数轴上的位置如图所示． (1)计算： 0； 0； 0； 0； (2)化简：； (3)化简：． 【答案】(1)；；； (2) (3) 【分析】（1）根据数轴可判断的取值范围，进而即可求解； （2）根据取值范围去绝对值，合并同类项即可求解； （3）化简求值即可． 【详解】（1）解：根据数轴可知， 则：；；；； （2）解：； （3）解：由数轴可知，，， ∴． 变式2．（26-27七年级上·江苏镇江·阶段检测）华罗庚先生说；“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”． 【知识储备】 点、在数轴上分别表示有理数、，则、两点之间的距离可表示为． 【初步运用】 (1)式子在数轴上的意义是______ (2)已知数轴上某个点表示的数为． ①若，则______； ②若，则______； 【深入探究】 (3)如图，数轴上每相邻两点之间的距离为1个单位长度，点A、B、C表示的数分别为a、b、c． ①=______； ②若，则点C表示的数为______； (4)已知，则的最大值为______ 【答案】(1)与之间的距离 (2)①或② (3)①6 ② (4)9 【分析】（1）根据绝对值的意义即可求出答案． （2）根据绝对值的性质即可求出答案． （3）①根据数轴判断的大小，从而确定绝对值里数的正负性，利用绝对值性质化简即可，结合数轴即可确定最终答案②由数轴判断之间关系，将数量关系代入，将其转化为关于的绝对值，利用绝对值性质即可求出的值，再结合数轴可知即可求出的值． （4）利用两点之间的距离推出和，结合二者乘积是15，即可确定和，从而去判定的取值范围，进而确定最大值． 【详解】（1）解：， 在数轴上表示的意义是与之间的距离． （2）解：①， 或， 或． ②， ，或（舍去）， ， ． （3）解：①由数轴可知， ，， ． 到的距离是6， ． ②由数轴可知，， ， ， 或， 或（不符合数轴位置，舍去）， 由数轴可知， ． （4）解：设， ， 的最小值为， ． 设， 的最小值为， ． ，时，，则，与相矛盾； ，时，，则，与相矛盾； ，． ，， ，， 的最大值为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $