精品解析：江苏连云港市和安中学2026-2027学年九年级上学期第一次学情自测数学试卷

2026~2027学年度第一学期阶段质量监测（一） 九年级数学试题 （本卷满分150分，共6页，考试时间100分钟） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 一元二次方程的一次项系数、常数项分别是（ ） A. 2、 B. 2、3 C. 1、 D. 、3 2. 已知点在反比例函数的图象上，则k的值是（ ） A. 3 B. C. 12 D. 3. 用配方法解一元二次方程，以下变形正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 某公司算力芯片今年月份的产值为千万元，预计月份的产值将增至千万元．设该公司、两个月份产值的月均增长率为x，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知蓄电池的电压为定值，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示，下列说法错误的是（ ） A. 这个反比例函数解析式是 B. 蓄电池的电压是 C. 当时， D. 当时， 6. 若，互为相反数，则函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象是（ ） A. B. C. D. 7. 已知点，，，三点都在反比例函数的图象上，则下列关系正确的是(　　) A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，过点且垂直于x轴的直线l与反比例函数的图像交于点，将直线l绕点逆时针旋转45°，所得的直线经过第一、二、四象限，则的取值范围是（ ） A. 或 B. 且 C. 或 D. 或 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，本大题共24分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 一元二次方程的解为________． 10. 已知，是方程的两个根，则_______． 11. 若反比例函数图象的一支在第三象限，则k的取值范围是________ ． 12. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是___________ 13. 如图，在一块长，宽为的矩形空地内修建三条宽度相等的小路，其余部分种植花草．若花草的种植面积为，则小路宽为______． 14. 如图，一块砖的三个面的面积之比为．已知压强的计算公式为，其中p是压强，F是压力，S是受力面积．如果三个面分别向下在地上，地面所受压强分别为，那么的大小关系为________________（用“<”连接）． 15. 已知反比例函数，当时，的取值范围是______． 16. 如图，点在轴正半轴上，点的坐标为，点在第一象限，若反比例函数的图像经过点，，平分．当最小时，的值为_____________． 三、解答题（本大题共10小题，共102分．请在答题卡上指定区域内作答．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解方程： （1）（直接开平方法） （2）（配方法） （3）（公式法） （4）（因式分解法） 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程总有实数根； （2）若方程的一个实数根是，求另一个实数根和的值． 19. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根． （1）求实数m的取值范围； （2）若是该方程的两个根，且满足，求m的值． 20. 如图所示，在中，厘米，厘米，，点P从点A开始沿边向点B以1厘米秒的速度移动（到达点B即停止运动），点Q从B点开始沿边向点C以2厘米秒的速度移动（到达点C即停止运动），如果P、Q分别从A、B同时出发，经过几秒，的面积等于100平方厘米? 21. 任务型学习： 【项目主题】 探究新款迷你无人机校园营销方案 【项目实施】 阶段一：销售增长趋势分析 任务1：从线上旗舰店调研数据可知，2025年11月该款迷你无人机的销量为1125架，2026年1月份该款迷你无人机的销量为1620架，若2025年12月与2026年1月这两个月该款迷你无人机销量的月平均增长率相同，求该款迷你无人机销量的月平均增长率． 阶段二：校园促销方案设计 任务2：调查发现该旗舰店迷你无人机的进价为每架60元且售价定为每架100元时，每天能销售20架，且售价每降低1元，每天可多销售2架．若需要尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，则每架迷你无人机的售价应降低多少元？ 【项目成果】 科技实践小组以线上旗舰店的数据为参考设计出最佳校园营销方案． （1）解决任务1． （2）解决任务2． 22. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图象交于点、点，与轴交于点． （1）求的值以及反比例函数的表达式； （2）连接，，求的面积； （3）直接写出关于的不等式的解集． 23. 某水果生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种水果，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间之间的函数关系，其中线段、表示恒温系统开启后阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段． 请根据图中信息解答下列问题： （1）这个恒温系统设定的恒定温度为多少； （2）求全天的温度与时间之间的函数关系式； （3）若大棚内的温度低于时，蔬菜会受到伤害，问：这天内恒温系统最多可以关闭多少小时，才能避免水果生长受到影响？ 24. 在函数学习中，我们经历了“根据函数表达式画函数图象——利用函数图象研究函数性质——利用函数图象和性质解决问题”的过程，我们可以借鉴这种方法探究函数的图象和性质． （1）根据题意，列表如下： … … … … 表格中的值为________； （2）在所给的平面直角坐标系中描点、连线，画出函数的图象； （3）观察函数图象，回答下列问题： ①当时，随的增大而________； ②函数的图象关于点________中心对称；（填点的坐标） ③函数的图象是由的图象向________平移________个单位长度得到的； （4）函数的图象可由函数的图象平移得到，想象函数的图象，直接写出当时，的取值范围是________． 25. 阅读材料，并解决问题． 【文化欣赏】 三国时期的数学家赵爽所著的《勾股圆方图注》中记载了一种图解一元二次方程的方法．以解方程为例：将原方程整理可得：，可视为一个矩形的面积为35，构造如图1所示的图形，此时大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加中间小正方形的面积的和．所以，由此得原方程的一个正根为． 【类比迁移】 （1）小颖根据以上解法解方程，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为，即（ ）； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程 ，解得原方程的一个正根为 ； 【拓展应用】 （2）一般地，对于形如（，）的一元二次方程可以构造图2来解．已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，请用上面的方法求此方程的正根； 【思维提升】 （3）小明用此方法解关于的方程，其中，他以和作为矩形的两邻边构造出如图2同样的图形，已知小正方形的面积为4，则的值为_________． 26. 为迎接校园艺术节，某班级计划制作一个面积为的矩形宣传展板（如图1）．展板一边固定在墙上（墙足够长），另外三边用装饰木条围边，木条总长度为米． 【问题提出】 同学们提出：若米，能否制作出符合要求的矩形宣传展板？ 【问题探究】 小明的分析方法：设米，米． 由展板面积知，则可视为反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；由木条总长知，则可视为一次函数的图象在第一象限内点的坐标． 同时满足这两个条件的就是两个函数的交点坐标． 如图2，双曲线与直线的交点坐标为和 ，因此，木条总长10m时，能制作出两种不同尺寸的矩形宣传展板，其尺寸可以是：或______m，______m． （1）根据小明的分析思路，完成上面的填空． 【类比探究】 （2）若米，能否制作出符合要求的矩形宣传展板？请仿照小明的方法，在图2中画出一次函数的图象，并说明理由． 【问题延伸】 （3）小颖从以上探究中发现“能否围成矩形宣传展板问题”可以转化为“双曲线与直线在第一象限内交点的存在问题”．若矩形宣传展板只能制作出一种尺寸，请求出此时木条总长的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026~2027学年度第一学期阶段质量监测（一） 九年级数学试题 （本卷满分150分，共6页，考试时间100分钟） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 一元二次方程的一次项系数、常数项分别是（ ） A. 2、 B. 2、3 C. 1、 D. 、3 【答案】D 【解析】 【分析】一元二次方程的一般形式为，其中为一次项系数，为常数项，对应题目方程即可得到结果． 【详解】解：一元二次方程的一次项系数、常数项分别是、． 2. 已知点在反比例函数的图象上，则k的值是（ ） A. 3 B. C. 12 D. 【答案】D 【解析】 【分析】将点代入函数求解即可． 【详解】将点代入函数得，， ∴ 故选：D 【点睛】此题考查了求反比例函数的关系式，解题的关键是掌握求函数关系式的方法． 3. 用配方法解一元二次方程，以下变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】按照配方法的步骤，先移项，再在等式两边加上一次项系数一半的平方，将左边整理为完全平方式即可得到正确结果． 【详解】解：∵ ， 移项，得 ， ∵ 一次项系数为，其一半的平方为， ∴ 等式两边同时加，得 ， 整理得 ． 4. 某公司算力芯片今年月份的产值为千万元，预计月份的产值将增至千万元．设该公司、两个月份产值的月均增长率为x，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】月均增长率指每月产值在上月基础上增长，从6月到8月经过2次增长，据此推导8月产值表达式列方程． 【详解】解：∵6月份产值为千万元，月均增长率为． ∴7月份产值为千万元． ∴8月份产值为千万元． ∵8月份产值预计为千万元． ∴列方程得． 5. 已知蓄电池的电压为定值，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示，下列说法错误的是（ ） A. 这个反比例函数解析式是 B. 蓄电池的电压是 C. 当时， D. 当时， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式．根据函数图象可设，再将代入即可得出函数关系式，从而解决问题． 【详解】解：设， ∵图象过， ∴，故选项B正确，不符合题意， ∴，故选项A正确，不符合题意； 当时，，选项C错误，符合题意； 根据函数图象可得当时，，选项D正确，不符合题意； 故选：C． 6. 若，互为相反数，则函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，以及相反数的定义，解题的关键是掌握它们的性质． 根据题意得，当时，函数的图象过第一、二、三象限，反比例函数图象在第一、三象限；当时，函数的图象过第二、三、四象限，反比例函数图象在第二、四象限，据此选择即可． 【详解】解：∵，互为相反数， ∴， 当时，函数的图象过第一、二、三象限，反比例函数图象在第一、三象限，无此选项； 当时，函数的图象过第二、三、四象限，反比例函数图象在第二、四象限，选项D符合． 故选：D． 7. 已知点，，，三点都在反比例函数的图象上，则下列关系正确的是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由非负数的性质可得，再由反比例函数的性质可得，，由此即可得． 【详解】∵， ∴是第三象限内的点，，是第一象限内的点，且反比例函数在第一象限内y随着x的增大而减小， ∴，， ∴． 故选C． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练运用反比例函数的性质是解决问题的关键． 8. 如图，在平面直角坐标系中，过点且垂直于x轴的直线l与反比例函数的图像交于点，将直线l绕点逆时针旋转45°，所得的直线经过第一、二、四象限，则的取值范围是（ ） A. 或 B. 且 C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点，一次函数的解析式，关键是要分两种情况讨论． 当在原点右侧时，点坐标为，设旋转后的直线的解析式为：，得到，求出；当在原点左侧时，设旋转后的直线的解析式为：，，求出，即可得到的取值范围． 【详解】解：当在原点右侧时，点坐标为， 直线绕点逆时针旋转， 所得的直线与直线平行， 设这条直线的解析式为：， 这条直线经过第一、二、四象限， ， 在直线上， ， ， ， ， ； 当在原点左侧时， 设这条直线的解析式为：， 同理：， ， ， ， ， ． 的取值范围是或． 故选：C． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，本大题共24分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 一元二次方程的解为________． 【答案】， 【解析】 【分析】移项，因式分解即可得到答案． 【详解】解：原方程变形得， ， 即， ∴原方程的解为：，， 故答案为，． 【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是选择适当的方法求解． 10. 已知，是方程的两个根，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】对于一元二次方程，若是它的两个根，则，，据此求解即可． 【详解】解：方程中，，， ∵，是方程的两个根 ∴， ∴． 11. 若反比例函数图象的一支在第三象限，则k的取值范围是________ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质可知，当反比例函数比例系数大于时，图象位于第一、三象限，据此列不等式求解即可． 【详解】解：反比例函数图象的一支在第三象限， ， 解得． 12. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是___________ 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式．解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到，即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：且， 故答案为：且． 13. 如图，在一块长，宽为的矩形空地内修建三条宽度相等的小路，其余部分种植花草．若花草的种植面积为，则小路宽为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键，根据题意设小路宽为，则种植花草部分的面积等同于长，宽的矩形的面积，根据花草的种植面积为，即可得出关系于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 【详解】解：设小路宽为，则种植花草部分的面积等同于长，宽的矩形的面积， 依题意得：， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去） 故答案为：2． 14. 如图，一块砖的三个面的面积之比为．已知压强的计算公式为，其中p是压强，F是压力，S是受力面积．如果三个面分别向下在地上，地面所受压强分别为，那么的大小关系为________________（用“<”连接）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，正确把握反比例函数的性质是解题的关键． 根据反比例函数的性质解答即可． 【详解】解：∵，， ∴随的增大而减小， ∵，，三个面的面积比是， ∴，，的大小关系是：， 故答案为：. 15. 已知反比例函数，当时，的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数图象的性质，当，时，y随x的增大而减小，由此可求出y的取值范围． 【详解】解：在中，当时，， ∵， ∴当时，y随x增大而减小， ∴当时，， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是反比例函数及其图象的性质，利用其性质求因变量的取值范围，掌握其在对应象限的增减性是考查的重点． 16. 如图，点在轴正半轴上，点的坐标为，点在第一象限，若反比例函数的图像经过点，，平分．当最小时，的值为_____________． 【答案】8 【解析】 【分析】如图，过点C作轴于点D，延长交x轴于点E，首先求出，证明，得到，然后证明，得到，求出点C的纵坐标是4，点C在第一象限内的直线上运动，然后求出，代入求解即可． 【详解】解：如图，过点C作轴于点D，延长交x轴于点E， ∵点的坐标为， ∴ ∵平分 ∴ 又∵， ∴ ∴ ∵轴 ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴，即 ∵轴 ∴点C的纵坐标是4， ∴点C在第一象限内的直线上运动， 当轴时，最小，如图， ∴ ∵平分 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴将代入得， 解得． 三、解答题（本大题共10小题，共102分．请在答题卡上指定区域内作答．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解方程： （1）（直接开平方法） （2）（配方法） （3）（公式法） （4）（因式分解法） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【小问1详解】 解：， ， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：， ， ， ∴， ∴， 解得； 【小问3详解】 解：， ∵， ∴， ∴， 解得； 【小问4详解】 解：， ， ， 整理得，即或， 解得． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程总有实数根； （2）若方程的一个实数根是，求另一个实数根和的值． 【答案】（1）证明：在一元二次方程中，，，， ， ∵无论取何值，，即，∴无论取何值，方程总有实数根； （2）的值为，方程的另一个实数根为． 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式证明即可； （2）将代入求出的值，再利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵方程的一个实数根是， ∴， 解得：， ∴一元二次方程， ∴， 解得：，， ∴方程的另一个实数根为． 19. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根． （1）求实数m的取值范围； （2）若是该方程的两个根，且满足，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程有两个实数根的条件，利用判别式列不等式求解m的取值范围； （2）利用根与系数的关系将转化为含m的代数式，结合已知等式列方程求解，再根据（1）中m的范围取舍结果． 【小问1详解】 解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：∵，是该方程的两个根， ∴由根与系数的关系得：，， ∵， 且， ∴， 整理得， 解得，， 由（1）知， ∴不符合题意，舍去， ∴． 20. 如图所示，在中，厘米，厘米，，点P从点A开始沿边向点B以1厘米秒的速度移动（到达点B即停止运动），点Q从B点开始沿边向点C以2厘米秒的速度移动（到达点C即停止运动），如果P、Q分别从A、B同时出发，经过几秒，的面积等于100平方厘米? 【答案】经过秒或秒，的面积等于100平方厘米 【解析】 【分析】设运动时间为t秒，根据题意和三角形面积公式进行分类讨论求解即可． 【详解】解：设运动时间为t秒， 当时，依题意，得 解得，（不合题意，舍去）； 当时，依题意，得 解得． ∴经过秒或秒，的面积等于100平方厘米． 21. 任务型学习： 【项目主题】 探究新款迷你无人机校园营销方案 【项目实施】 阶段一：销售增长趋势分析 任务1：从线上旗舰店调研数据可知，2025年11月该款迷你无人机的销量为1125架，2026年1月份该款迷你无人机的销量为1620架，若2025年12月与2026年1月这两个月该款迷你无人机销量的月平均增长率相同，求该款迷你无人机销量的月平均增长率． 阶段二：校园促销方案设计 任务2：调查发现该旗舰店迷你无人机的进价为每架60元且售价定为每架100元时，每天能销售20架，且售价每降低1元，每天可多销售2架．若需要尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，则每架迷你无人机的售价应降低多少元？ 【项目成果】 科技实践小组以线上旗舰店的数据为参考设计出最佳校园营销方案． （1）解决任务1． （2）解决任务2． 【答案】（1） （2）每架迷你无人机的售价应降低20元 【解析】 【分析】（1）设该款迷你无人机的月平均增长率为，根据题意列出方程，进而求解即可； （2）设每架迷你无人机降价元，则每天能销售架，根据题意列出方程，进而解方程，结合满足条件可得答案． 【小问1详解】 解：设该款迷你无人机的月平均增长率为， 由题意得， 解得，（不合题意，舍去）． 答：该款迷你无人机的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设每架迷你无人机降价元，则每天能销售架， 由题意得， 整理得， 解得，． ∵需要尽量减少库存， ． 答：每架迷你无人机的售价应降低20元． 22. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图象交于点、点，与轴交于点． （1）求的值以及反比例函数的表达式； （2）连接，，求的面积； （3）直接写出关于的不等式的解集． 【答案】（1）的值为，反比例函数的表达式为 （2）的面积为 （3）或 【解析】 【分析】（1）将点、点代入，即可求出、的值，得出结果； （2）过点作轴，过点作轴，延长、交于点，通过即可得出结果； （3）根据函数图象可得出结果． 【小问1详解】 解：∵点、点在函数的图象上， ∴，解得， 故的值为，反比例函数的表达式为． 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∴、点， 过点作轴，过点作轴，延长、交于点,如下图所示： ∵点、点， ∴，，，， 且， ∴． 【小问3详解】 解：观察图象，在的范围内， 若， 即反比例函数的图像应在一次函数图象上方， 故或． 23. 某水果生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种水果，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间之间的函数关系，其中线段、表示恒温系统开启后阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段． 请根据图中信息解答下列问题： （1）这个恒温系统设定的恒定温度为多少； （2）求全天的温度与时间之间的函数关系式； （3）若大棚内的温度低于时，蔬菜会受到伤害，问：这天内恒温系统最多可以关闭多少小时，才能避免水果生长受到影响？ 【答案】（1）20摄氏度 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据图象设一次函数解析式为，根据图象可求得函数解析式．进而可求出恒定温度； （2）根据图象可知整个图象由三部分组成：一次函数、反比例函数、恒温，根据题意设函数解析式，利用待定系数法即可求出函数解析式； （3）根据各时间段的函数解析式算出时的值，用24小时减去这些时间即可． 本题考查反比例函数的应用，掌握一次函数、反比例函数和常函数解析式，注意临界点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 解：设直线的函数解析式为：， 根据题意，可得， 解得， 直线， 当时，， 恒定温度为：； 【小问2详解】 由（1）可知：一次函数解析式为， 根据图象可知：， 设小时内函数解析式为：， 根据题意，可得方程：， ， 函数解析式为：， 小时函数解析式为：； 【小问3详解】 解：当时，， ， 故最多关闭． 24. 在函数学习中，我们经历了“根据函数表达式画函数图象——利用函数图象研究函数性质——利用函数图象和性质解决问题”的过程，我们可以借鉴这种方法探究函数的图象和性质． （1）根据题意，列表如下： … … … … 表格中的值为________； （2）在所给的平面直角坐标系中描点、连线，画出函数的图象； （3）观察函数图象，回答下列问题： ①当时，随的增大而________； ②函数的图象关于点________中心对称；（填点的坐标） ③函数的图象是由的图象向________平移________个单位长度得到的； （4）函数的图象可由函数的图象平移得到，想象函数的图象，直接写出当时，的取值范围是________． 【答案】（1） （2）函数图象如图： （3）①减小；②；③右，1 （4）或 【解析】 【分析】（1）把代入即可得出m的值； （2）利用连线画出函数图象即可； （3）观察图象即可解答； （4）根据图象即可解答． 【小问1详解】 解：把代入，得， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ①当时，y随x的增大而减小； ②图象关于点中心对称； ③函数的图象是由的图象向右平移1个单位长度得到的； 【小问4详解】 的图象可由函数的图象向左平移2个单位得到， 当或时，． 25. 阅读材料，并解决问题． 【文化欣赏】 三国时期的数学家赵爽所著的《勾股圆方图注》中记载了一种图解一元二次方程的方法．以解方程为例：将原方程整理可得：，可视为一个矩形的面积为35，构造如图1所示的图形，此时大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加中间小正方形的面积的和．所以，由此得原方程的一个正根为． 【类比迁移】 （1）小颖根据以上解法解方程，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为，即（ ）； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程 ，解得原方程的一个正根为 ； 【拓展应用】 （2）一般地，对于形如（，）的一元二次方程可以构造图2来解．已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，请用上面的方法求此方程的正根； 【思维提升】 （3）小明用此方法解关于的方程，其中，他以和作为矩形的两邻边构造出如图2同样的图形，已知小正方形的面积为4，则的值为_________． 【答案】（1）；； （2）此方程的正根为1 （3）6 【解析】 【分析】（1）与题干思路一致，画出图形更容易得解； （2）先因式分解变形得，再根据题干条件分析，，求出的值，求解即可； （3）先画出图形，根据小正方形的面积为4，得到①，根据大正方形的面积可得新的方程：，则②，解方程即可． 【小问1详解】 解：， 第一步：将原方程变为，即； 第二步：如图，利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程：； 解得原方程的一个正根为； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴四个小矩形的面积各为b，大正方形的面积是，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即， ∵图②是由4个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4， ∴，， 解得：，（舍去负值）， 当时，， ∴， 解得， ∴方程的一个正根为1； 【小问3详解】 解：如图，利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形， ∵小正方形的面积为4，， ∴，①， ∵， ∴根据大正方形的面积可得新的方程：， ∴②， ②①得， 解得， 将代入①得， 解得． 26. 为迎接校园艺术节，某班级计划制作一个面积为的矩形宣传展板（如图1）．展板一边固定在墙上（墙足够长），另外三边用装饰木条围边，木条总长度为米． 【问题提出】 同学们提出：若米，能否制作出符合要求的矩形宣传展板？ 【问题探究】 小明的分析方法：设米，米． 由展板面积知，则可视为反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；由木条总长知，则可视为一次函数的图象在第一象限内点的坐标． 同时满足这两个条件的就是两个函数的交点坐标． 如图2，双曲线与直线的交点坐标为和 ，因此，木条总长10m时，能制作出两种不同尺寸的矩形宣传展板，其尺寸可以是：或______m，______m． （1）根据小明的分析思路，完成上面的填空． 【类比探究】 （2）若米，能否制作出符合要求的矩形宣传展板？请仿照小明的方法，在图2中画出一次函数的图象，并说明理由． 【问题延伸】 （3）小颖从以上探究中发现“能否围成矩形宣传展板问题”可以转化为“双曲线与直线在第一象限内交点的存在问题”．若矩形宣传展板只能制作出一种尺寸，请求出此时木条总长的值． 【答案】（1）；4；2； （2）不能围出； 当米时，直线的解析式为， 当时，；当时，； 描点，， 直线的图象，如图中所示： 与函数图象没有交点， 不能围出面积为的矩形． （3）的值为8． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用题，一次函数和二次函数图象的交点问题． （1）观察图象或联立解方程组得到另一个交点坐标为； （2）观察图象得到与函数图象没有交点，所以不能围出； （3）联立得，整理得，利用根的判别式求解即可． 【详解】解：（1）将反比例函数与直线联立得 ， ， ， ，， 另一个交点坐标为， 为，为， ，． 故答案为：；4；2； （2）略 （3）令， 整理得，， 一次函数与反比例函数的图象有唯一交点， ， ， ． 即一次函数与反比例函数的图象有唯一交点时，的值为8． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $