精品解析：江苏镇江市索普初级中学2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

2026—2027学年第一学期九年级第一次限时作业数学学科 一、选择题（每小题3分，共27分） 1. 下列是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 3. 小明准备完成题目：解一元二次方程．若“□”表示一个数字，且方程有实数根，则“□”的值可能为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 4. 对于反比例函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象经过点 B. 图象位于第二、四象限 C. 当时，随的增大而减小 D. 当时，随的增大而增大 5. 下列说法正确的是（ ） A. 圆中最长的弦只有一条 B. 半圆不是弧 C. 长度相等的两段弧是等弧 D. 圆上各点到圆心的距离相等 6. 已知的半径为，圆心到直线的距离为，则直线与的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 不能确定 7. 在用求根公式求一元二次方程的根时，琪琪正确代入了、、得到，则她求解的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 8. 若点，，（）在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 设反比例函数（k为常数，）．已知当时，y的最大值为，则当时，y的最大值为（ ）． A. 3 B. 2 C. 1 D. 二、填空题（每小题2分，共18分） 10. 方程的根是___________． 11. 已知反比例函数（为常数，），在每个象限内的值随的增大而增大，则的取值范围是__________． 12. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）成反比例函数关系，它的图象如图所示．当电流从6A增加到10A时，电阻小了______． 13. 如图，的直径，弦于点，若，则的长为______． 14. 如图，是⊙的弦，且，若，则的度数为_____． 15. 如图，是的外接圆，若，则的值为_______． 16. 如图，是内接四边形的一个外角，若，那么的度数为_______． 17. 根据尺规作图的痕迹，可以判定点为外心的是______． A.B.C.D. 18. 若关于的一元二次方程有一个根为2027，则一元二次方程必有一个根为______． 三、解答题（共8小题，共75分） 19. 解方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 20. 关于x的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根． （2）已知方程的两个实数根分别为，，且，求k的值． 21. 某商店在销售中发现：某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存．经市场调查发现：如果每件童装每降价1元，那么平均每天就可多售出2件． （1）如果每件童装降价4元，那么平均每天就可多售出______件； （2）要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？ 22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y＝的图象交于A（3，﹣2）、B（﹣2，n）两点，与x轴交于点C． （1）求k2，n的值； （2）请直接写出不等式k1x+b＞的解集； （3）将x轴下方的图象沿x轴翻折，点A落在点A′处，连接A'B、A'C，求△A'BC的面积． 23. 已知：如图所示，AB，CD是的弦，OC，OD分别交AB于点E，F，且，求证：. 24. 图1是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升，加热到时，停止加热，水温开始下降，此时水温是通电时间的反比例函数．若在水温为时开始加热，水温与通电时间之间的函数关系如图2所示． （1）将水从加热到需要________； （2）在水温下降的过程中，求水温关于通电时间的函数表达式； （3）加热一次，水温不低于的时间有多长？ 25. （1）如图1，请只用无刻度直尺找出的外心点；并直接写出其外接圆半径 　　； （2）如图2，请用直尺和圆规将图中的弧补成圆；并标记圆心． 26. 如图，是的弦，，． （1）该圆的半径长为______；面积的最大值为______； （2）如图，若点在弓形内部，证明：． （3）如图，在平面直角坐标系的第一象限内有一点，坐标为，过点作轴，轴，垂足分别为、，若点在线段上滑动（点可以与点、重合），发现使得的位置有两个，则的取值范围为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年第一学期九年级第一次限时作业数学学科 一、选择题（每小题3分，共27分） 1. 下列是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程满足：①整式方程；②只含有一个未知数；③未知数最高次数是2；④二次项系数不为0，逐项判断即可． 【详解】A：含有x，y两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； B：满足全部条件，是一元二次方程； C：没有说明，当时不是二次方程，不符合题意； D：是多项式，不是等式，不是方程，不符合题意． 2. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将常数项移至等号右侧，再给等式两边加上一次项系数一半的平方，即可配方变形． 【详解】解： ． 3. 小明准备完成题目：解一元二次方程．若“□”表示一个数字，且方程有实数根，则“□”的值可能为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．设“□”表示的数为，根据题意得出，求解即可得到答案． 【详解】解：设“□”表示的数为， 方程有实数根， ， 解得：， “□”的值可能为4， 故选：A． 4. 对于反比例函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象经过点 B. 图象位于第二、四象限 C. 当时，随的增大而减小 D. 当时，随的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质，结合点的坐标验证、图象象限分布、函数增减性逐一判断选项即可． 【详解】解：∵ 当时，， ∴A错误； ∵ ， ∴ 反比例函数图象位于第一、三象限， ∴B错误； ∵ ，当 时，函数图象在第三象限， ∴ 随的增大而减小， ∴正确； ∵ ，当时，函数图象在第一象限， ∴ 随的增大而减小，不是增大， ∴错误． 5. 下列说法正确的是（ ） A. 圆中最长的弦只有一条 B. 半圆不是弧 C. 长度相等的两段弧是等弧 D. 圆上各点到圆心的距离相等 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、圆中最长的弦为直径，而直径有无数条，原说法错误； B、半圆是弧，原说法错误； C、长度相等的两段弧不一定是等弧，原说法错误； D、圆上各点到圆心的距离相等，原说法正确． 6. 已知的半径为，圆心到直线的距离为，则直线与的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，若圆心到直线的距离为d，圆的半径为，则当时，直线与圆的位置关系为相离；当时，直线与圆的位置关系为相切；当时，直线与圆的位置关系为相交，据此可得答案． 【详解】解：∵圆心到直线的距离为，的半径为，且， ∴直线与的位置关系是相离， 故选：A． 7. 在用求根公式求一元二次方程的根时，琪琪正确代入了、、得到，则她求解的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵一元二次方程求根公式为，且代入后得， ∴，解得， ，解得， 对比根号内的项，得 ， 将代入，得， ∴原方程为． 8. 若点，，（）在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：将点A，B，C的横坐标分别代入，得，，． ∵， ∴，， ∴． 9. 设反比例函数（k为常数，）．已知当时，y的最大值为，则当时，y的最大值为（ ）． A. 3 B. 2 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用反比例函数的性质判断k的符号，再根据给定x区间的y最大值求出k的值，最后结合反比例函数性质求出目标区间y的最大值． 【详解】解：当时，y的最大值为， ，， ， 对于反比例函数，当时，每个象限内y随x的增大而减小， 在区间，x取最小值时y取得最大值， 将代入，得，即反比例函数为， 在区间中，x取最小值2时y取最大值． 二、填空题（每小题2分，共18分） 10. 方程的根是___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用直接开平方法求解． 【详解】解：开平方得， 即． 11. 已知反比例函数（为常数，），在每个象限内的值随的增大而增大，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数的增减性，可得反比例函数的比例系数小于0，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵反比例函数（为常数，），在每个象限内的值随的增大而增大， ∴， 解得． 12. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）成反比例函数关系，它的图象如图所示．当电流从6A增加到10A时，电阻小了______． 【答案】2.4 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据题意得到反比例函数解析式是解题的关键. 根据题意，由待定系数法求出反比例函数解析式，再根据反比例函数的性质进行计算即可得到答案． 【详解】解：设， 把代入得：， 反比例函数的解析式为， 当时，， 当时，， 当电流I从增加到时，电阻R减小了 故答案为2.4． 13. 如图，的直径，弦于点，若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接构造直角三角形，根据直径求出半径，利用勾股定理计算的长； 【详解】解：连接， ∵是的直径，， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴． 14. 如图，是⊙的弦，且，若，则的度数为_____． 【答案】 ##48度 【解析】 【分析】根据同圆中相等的弦所对弧相等，且相等的弧所对的圆心角相等，得出，利用角的和差关系推出，再结合等腰三角形的性质及三角形内角和定理求解． 【详解】解：∵， ∴弧与弧相等， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 15. 如图，是的外接圆，若，则的值为_______． 【答案】 ##70度 【解析】 【分析】连接，根据圆周角定理结合等边对等角，进行求解即可. 【详解】解：连接， ∵是的外接圆，， ∴，， ∴. 16. 如图，是内接四边形的一个外角，若，那么的度数为_______． 【答案】 ##164度 【解析】 【分析】利用圆内接四边形的外角等于内对角求出的度数，再根据圆周角定理求出的度数.  【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ∴，， ∵是内接四边形的一个外角，， ∴， ∴， ∴.  17. 根据尺规作图的痕迹，可以判定点为外心的是______． A.B.C.D. 【答案】A 【解析】 【分析】三角形的外心是三边垂直平分线的交点，根据尺规作图痕迹判断各选项所作直线是否为边的垂直平分线． 【详解】解：三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点， 点应为两边垂直平分线的交点， 观察各选项作图痕迹可知： A选项中，分别作了边、边的垂直平分线，交点为外心，符合题意； B选项中，作了边的垂直平分线和的角平分线，不符合题意； C选项中，作了、的角平分线，交点为内心，不符合题意； D选项中，作了边的垂直平分线和的角平分线，不符合题意． 18. 若关于的一元二次方程有一个根为2027，则一元二次方程必有一个根为______． 【答案】 【解析】 【分析】观察两个方程的结构，通过换元将待求方程转化为与已知方程形式一致的方程，结合已知方程的根求解待求方程的根． 【详解】解：将待求方程移项，得， 设，则上述方程可化为， ∵关于的一元二次方程有一个根为2027， ∴方程有一个根为，即， 解得． 三、解答题（共8小题，共75分） 19. 解方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）， （2）， （3）， （4） 【解析】 【分析】（1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可； （3）利用公式法解一元二次方程即可； （4）将方程整理可得，再求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴或， ∴，； 【小问3详解】 解：∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴，； 【小问4详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴． 20. 关于x的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根． （2）已知方程的两个实数根分别为，，且，求k的值． 【答案】（1） 证明：∵原方程为， ∴ ， ∴方程有两个不相等的实数根． （2） 的值为或 【解析】 【分析】（1）计算方程的根的判别式，判断判别式的符号即可证明结论； （2）根据根与系数的关系得到两根和与两根积，结合的条件，得到关于的一元二次方程，求解即可得到的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵方程的两个实数根为，  ∴，，  ∵， ∴， ∴， ∴，  代入得：， 整理得， 解得或． 21. 某商店在销售中发现：某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存．经市场调查发现：如果每件童装每降价1元，那么平均每天就可多售出2件． （1）如果每件童装降价4元，那么平均每天就可多售出______件； （2）要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？ 【答案】（1）8 （2）每件童装应降价元． 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键． （1）根据每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件，即可得到结果； （2）设每件童装应降价x元，根据题意列出方程，求出方程的解得到x的值，即可得到结果． 【小问1详解】 解：根据题意得：（件）， 则平均每天就可多售出8件； 故答案为：8； 【小问2详解】 解：设每件童装应降价元， 根据题意得：， 整理得：，即， 解得：或， 根据题意得到扩大销售量，增加盈利，减少库存，故舍去， ∴每件童装应降价元． 22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y＝的图象交于A（3，﹣2）、B（﹣2，n）两点，与x轴交于点C． （1）求k2，n的值； （2）请直接写出不等式k1x+b＞的解集； （3）将x轴下方的图象沿x轴翻折，点A落在点A′处，连接A'B、A'C，求△A'BC的面积． 【答案】（1）k2＝﹣6，n＝3；（2）x＜﹣2或0＜x＜3；（3）△A'BC的面积为6． 【解析】 【分析】（1）将A点坐标代入y＝求得k2，然后代入B（−2，n）即可求得n； （2）用函数的观点将不等式问题转化为函数图象问题； （3）求出对称点坐标，根据S△A'BC＝S△A'AB-S△A'AC即可求面积． 【详解】（1）将A（3，﹣2）代入y＝，得k2＝﹣6． ∴y＝﹣， 将（﹣2，n）代入y＝﹣，求得n＝3． ∴k2＝﹣6，n＝3； （2）根据函数图象可知：不等式k1x+b＞的解集为x＜﹣2或0＜x＜3； （3）如图，将A（3，﹣2），B（﹣2，3）代入y＝k1x+b，得k1＝﹣1，b＝1， ∴一次函数的关系式为y＝﹣x+1， 与x轴交于点C（1，0） ∴图象沿x轴翻折后，得A′（3，2）， S△A'BC＝S△A'AB-S△A'AC＝（3+2）×4﹣×4×（3﹣1）＝6 ∴△A'BC的面积为6． 【点睛】本题是一次函数和反比例函数综合题，使用的待定系数法，考查用函数的观点解决不等式问题． 23. 已知：如图所示，AB，CD是的弦，OC，OD分别交AB于点E，F，且，求证：. 【答案】 证明：如图，过点O作于点M. ， . 同理，. . . 【解析】 【分析】过点O作于点M.由等腰三角形的性质可证，，从而可得，然后根据相等的圆心角所对的弧相等即可求得结论. 【详解】略 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对的其余各组量都分别相等.也考查了等腰三角形三线合一的性质. 24. 图1是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升，加热到时，停止加热，水温开始下降，此时水温是通电时间的反比例函数．若在水温为时开始加热，水温与通电时间之间的函数关系如图2所示． （1）将水从加热到需要________； （2）在水温下降的过程中，求水温关于通电时间的函数表达式； （3）加热一次，水温不低于的时间有多长？ 【答案】（1）5 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由时间=温差÷升温速度，求出加热至时间； （2）由（1）得当时，，因为降温过程为反比例函数，所以将代入中，求出，最后写出解析式； （3）分升温、降温两段，分别算出两段水温不低于时对应的起止时间，整理得，最后求总时长． 【小问1详解】 解：升温总温差：， 用时：； 【小问2详解】 由（1）得停止加热点坐标为， ∵降温时，水温是通电时间的反比例函数， ∴设降温过程中，即时，水温关于通电时间的函数表达式为， 把代入中得：， 解得：， ∴在水温下降的过程中，水温关于通电时间的函数表达式为； 【小问3详解】 在升温段，即时， ∵水温从升到时所用时间为， ∴当时，水温不低于， 在降温段，即时， ∵当时，， ∴当时，水温不低于， 综上所述：当时，水温不低于， ∴水温不低于的时长为． 【点睛】升温阶段和降温阶段共用分界点是解题关键，把“温度不低于”转化为函数取值范围，分段求解自变量取值,再计算时长，是函数应用题常用方法． 25. （1）如图1，请只用无刻度直尺找出的外心点；并直接写出其外接圆半径 　　； （2）如图2，请用直尺和圆规将图中的弧补成圆；并标记圆心． 【答案】（1）如图（1）所示，点即为所求；； （2）如图（2）所示：即为所求． 【解析】 【分析】（1）根据三角形的外心是三边垂直平分线的交点作出点； （2）在弧上任取三点，，，连接，，分别作弦，的垂直平分线，两垂直平分线的交点即为圆心，于是得到结论． 【详解】（1）外接圆半径； （2）略 【点睛】本题考查了三角形外接圆与外心，勾股定理，正确地作出图形是解题的关键． 26. 如图，是的弦，，． （1）该圆的半径长为______；面积的最大值为______； （2）如图，若点在弓形内部，证明：． （3）如图，在平面直角坐标系的第一象限内有一点，坐标为，过点作轴，轴，垂足分别为、，若点在线段上滑动（点可以与点、重合），发现使得的位置有两个，则的取值范围为______． 【答案】（1）； （2） 证明：如图，延长，交圆于点，连接， ∵， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）①由圆周角定理可得，可证是等边三角形，即可求解；②由题意可得当点到距离最大时，的面积最大，即可求解；（2）由同弧所对圆周角相等可得，由三角形的外角的性质可得结论；（3）以为边作等腰直角三角形，以点为圆心，为半径作圆，可得当点在上方的圆上时，分别求出点在圆上和线段与圆相切时，的值，即可求解． 【小问1详解】 解：①令圆心为，连接， ∴ 即是等边三角形，； ②当点到的距离最大时，的面积最大，如图1，过点作的垂线，垂足为，延长，交圆于， ∴， ∴ ∴， ∴的最大面积为：； 故答案为：；； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图2，以为斜边作等腰直角三角形，以点为圆心，为半径作圆，连接， ∴， ∴， ∴， 当点在上方的圆上时，， ∵轴，轴， ∴四边形是矩形， 当点或点在圆上时， ∵， ∴三点共线， ∴， ∴， ∴， 当与圆相切时，点与切点重合，存在一个点使得，此时到的距离为， ∴，即：， ∴． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，等边三角形的判定和性质，圆的有关知识，解题关键是理解题意，正确寻找点的运动轨迹． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $