精品解析：江苏盐城市盐都区联考2026年秋学期第一次质量抽测九年级数学试题

2026年秋学期第一次质量抽测 九年级数学试题 满分：150分 考试时间：120分钟 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 3. 反比例函数的图象经过点，则的值为（ ） A. 5 B. C. 6 D. 4. 反比例函数y＝（m为常数），在每个象限内，y随x的增大而减小，则m取值范围是（ ） A. m＞0 B. m＞2 C. m＜0 D. m＜2 5. 下列条件中，可以确定一个圆的是（ ） A. 以点为圆心 B. 以为半径 C. 以点为圆心，为半径 D. 经过已知点 6. 下列叙述不正确的是（ ） A. 矩形的四个顶点在同一个圆上 B. 直角三角形的三个顶点在同一个圆上 C. 三角形的三个顶点在同一个圆上 D. 菱形的四个顶点在同一个圆上 7. 用配方法解一元二次方程，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 对于反比例函数，下列说法正确的是（ ） A. 图像经过点 B. 图像在第一、三象限 C. 当时，随的增大而减小 D. 当时，随的增大而增大 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 一元二次方程x2=9的解是_____________． 10. 已知反比例函数 的图象经过点，，则__________． 11. 已知的半径为，点到圆心的距离为，若点在圆内，通过画图，观察可以得出的取值范围是__________． 12. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是_____． 13. 已知反比例函数 ，当时，y的取值范围是__________． 14. 一元二次方程的一个根为a，则的值是________ 15. 某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降到80元，设平均每次降价的百分率为x，则可列方程：___________． 16. 如图，的半径为5，是的弦，若，则弦的长度为__________． 三、解答题（本大题共11小题，共102分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解下列一元二次方程： （1） （2） 18. 已知反比例函数的图象经过点，求该函数的表达式，并判断点是否在这个函数的图象上． 19. 已知关于x的方程有实数根，求a的取值范围 20. 已知反比例函数的图象在第二、四象限，求的取值范围，并比较当，时，对应的函数值和的大小． 21. 如图，是的直径，是上一点，为延长线上一点，连接与交于点，且，若，求的度数． 22. 在如图所示的方格纸中存在，其中，点，，均在格点上． （1）用直尺作出的外接圆圆心． （2）若方格纸中每个小正方形的边长为1，求外接圆半径的长． 23. 某商店销售一种成本为每件40元的商品，据市场调查分析，若按每件50元销售，一个月能售出500件；若销售单价每涨1元，月销售量就减少10件．当月销售利润为8000元时，在有利于顾客的情况下，销售单价应定为多少元． 24. 某科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过一片烂泥湿地，已知人和木板对湿地地面的压力合计为，木板面积为，人和木板对地面的压强为． （1）求p与S的函数表达式； （2）当木板面积为时，压强是多少？ （3）如果要求压强不超过，木板面积至少要多大？ 25. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）设方程的两个实数根分别为，且满足，求的值． 26. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点和点，其中，过点作轴于点，过点作轴于点，交于点，连接． （1）求反比例函数的解析式； （2）若的面积为6，求点B的坐标及直线的解析式； （3）随着点B的变化四边形的形状也在变化，在变化过程中，四边形能变为菱形吗？，如果能，请求出B点坐标．如果不能，请说明理由． 27. 我们定义：若关于的一元二次方程（）满足，则称该方程为友好方程．请根据此定义，回答下列问题： （1）请写出一个你认为正确的友好方程，并求出它的根； （2）若关于的一元二次方程是友好方程，求的值，并判断方程根的情况； （3）若友好方程有两个相等的实数根，求，的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋学期第一次质量抽测 九年级数学试题 满分：150分 考试时间：120分钟 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：一元二次方程需满足三个条件：是整式方程，只含一个未知数，未知数的最高次数为2， A. 中未知数最高次数为1，不符合要求； B. 中含有2个未知数，不符合要求； C. 同时满足三个条件，符合要求； D. 是分式方程，不是整式方程，不符合要求． 2. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根． 【详解】解：∵对于一元二次方程，，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 3. 反比例函数的图象经过点，则的值为（ ） A. 5 B. C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：将点代入，得． 4. 反比例函数y＝（m为常数），在每个象限内，y随x的增大而减小，则m取值范围是（ ） A. m＞0 B. m＞2 C. m＜0 D. m＜2 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质可得m﹣2＞0，进一步即可求出答案． 【详解】解：∵反比例函数y＝（m为常数），在每个象限内，y随x的增大而减小， ∴m﹣2＞0，解得：m＞2． 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，属于基础题型，熟练掌握反比例函数的性质是关键． 5. 下列条件中，可以确定一个圆的是（ ） A. 以点为圆心 B. 以为半径 C. 以点为圆心，为半径 D. 经过已知点 【答案】C 【解析】 【分析】确定一个圆需同时明确圆心和半径两个必要条件． 【详解】解：A仅给出圆心、B仅给出半径，均不能确定一个圆． C同时给出圆心和半径，可以确定一个圆． D仅给出经过的点，圆心与半径均不确定，不能确定一个圆． 6. 下列叙述不正确的是（ ） A. 矩形的四个顶点在同一个圆上 B. 直角三角形的三个顶点在同一个圆上 C. 三角形的三个顶点在同一个圆上 D. 菱形的四个顶点在同一个圆上 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵ 不在同一条直线上的三个点确定一个圆， ∴任意三角形的三个顶点共圆, ∴ B、C正确； ∵矩形的四个角都是直角， ∴矩形的对角互补， ∴矩形的四个顶点在同一个圆上， ∴A正确； ∵菱形对角相等，一般菱形的对角和不为, ∴菱形的四个顶点不一定共圆， ∴D错误． 7. 用配方法解一元二次方程，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解： 移项，得， 配方，得， 即. 8. 对于反比例函数，下列说法正确的是（ ） A. 图像经过点 B. 图像在第一、三象限 C. 当时，随的增大而减小 D. 当时，随的增大而增大 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵反比例函数为， ． ∴图象位于第二、四象限，选项B错误． 将代入解析式，得， ∴图象不经过点，选项A错误． 当时，随的增大而增大，选项C错误． 当时，随的增大而增大，选项D正确． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 一元二次方程x2=9的解是_____________． 【答案】x=±3 【解析】 【分析】试题分析：利用直接开平方法即可进行求解. 考点：解一元二次方程 【详解】x2=9,解得：x=±3 10. 已知反比例函数 的图象经过点，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】将已知点代入反比例函数解析式求出常数，再将第二个点代入确定后的解析式计算的值． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴将，代入解析式，得， ∴该反比例函数的解析式为 ∵点在该函数图象上， ∴将，代入解析式，得． 11. 已知的半径为，点到圆心的距离为，若点在圆内，通过画图，观察可以得出的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】已知半径为，点在圆内，结合点到圆心距离的非负性，根据点与圆的位置关系判定规则推导的取值范围 【详解】解：∵点到圆心的距离为非负值，即，点在圆内的判定条件是点到圆心的距离小于圆的半径，的半径为， ∴点到圆心的距离满足， ∴综合可得的取值范围是． 12. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是_____． 【答案】1 【解析】 【分析】当一元二次方程有两个相等的实数根时，根的判别式，代入对应系数计算即可求出的值． 【详解】解：对于一元二次方程，可得，，， 因为方程有两个相等的实数根，所以， 代入系数得， 化简得， 解得． 13. 已知反比例函数 ，当时，y的取值范围是__________． 【答案】2<y<6 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质可以求得y的取值范围，从而解答本题． 【详解】∵反比例函数， ∴在一、三象限内，y随x的增大而减小， ∴当1＜x＜3时，y的取值范围是2＜y＜6， 故答案为：2<y<6． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是明确题意，求出相应的y的取值范围，利用反比例函数的性质解答． 14. 一元二次方程的一个根为a，则的值是________ 【答案】4 【解析】 【分析】根据方程根的定义得到a满足的等式，将所求代数式变形为可整体代入的结构，无需计算方程的具体根即可完成求值． 【详解】解：∵ a是一元二次方程的根， ∴ 把代入方程可得， 移项整理得， ∴． 15. 某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降到80元，设平均每次降价的百分率为x，则可列方程：___________． 【答案】125（1-x）2=80 【解析】 【分析】等量关系为：原价×（1-下降率）2=80，把相关数值代入即可． 【详解】解：第一次降价后的价格为125（1-x）， 第二次降价后的价格为125（1-x）（1-x）=125（1-x）2， 则列的方程为125（1-x）2=80， 故答案为：125（1-x）2=80． 【点睛】本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b． 16. 如图，的半径为5，是的弦，若，则弦的长度为__________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作，垂足为，由垂径定理可得，，根据含30度角的直角三角形的性质得出，再根据勾股定理计算出，即可得解． 【详解】解：过点作，垂足为， ∵，， ∴，， ∴，， ∴． 三、解答题（本大题共11小题，共102分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解下列一元二次方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：， ， ， 或， ∴，； 【小问2详解】 解：， ， ∴， ， ∴，． 18. 已知反比例函数的图象经过点，求该函数的表达式，并判断点是否在这个函数的图象上． 【答案】该反比例函数的表达式为；点在这个函数的图象上. 【解析】 【分析】直接把点坐标代入求出即可；根据反比例函数图象上点的坐标特征进行判断． 【详解】解：把代入得．所以反比例函数解析式为；因为，所以点在函数图象上． 19. 已知关于x的方程有实数根，求a的取值范围 【答案】a的取值范围是． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．分类讨论：当，即，方程化为，有解；当，即，根据的意义得，即，解不等式得a的范围． 【详解】解：依题意，当，即， 方程化为， 解得； 当，即，且， 即， 解得， 则且， 综上所述：a的取值范围是． 20. 已知反比例函数的图象在第二、四象限，求的取值范围，并比较当，时，对应的函数值和的大小． 【答案】， 【解析】 【分析】由反比例函数的性质可得，求解即可得的取值范围，由反比例函数的图象可得当时，随的增大而增大，结合即可得解． 【详解】解：由反比例函数的图象在第二、四象限， 得， 解得， 由反比例函数的图象可得当时，随的增大而增大， ， ． 21. 如图，是的直径，是上一点，为延长线上一点，连接与交于点，且，若，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】连接，利用等腰三角形的性质得到，以及三角形外角的性质求出，结合即可求解． 【详解】解：如图，连接， ，，， ， ， 是的外角， ， ， ， ， ． 22. 在如图所示的方格纸中存在，其中，点，，均在格点上． （1）用直尺作出的外接圆圆心． （2）若方格纸中每个小正方形的边长为1，求外接圆半径的长． 【答案】（1） 如图所示，点即为所求． （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形外接圆的圆心，三角形外接圆的圆心是三条边垂直平分线的交点，作两条边的垂直平分线，交点就是外接圆的圆心． （1）三角形外接圆的圆心是三条边垂直平分线的交点，作两条边的垂直平分线，交点就是外接圆的圆心． （2）连接计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接． ． 故外接圆半径的长为． 23. 某商店销售一种成本为每件40元的商品，据市场调查分析，若按每件50元销售，一个月能售出500件；若销售单价每涨1元，月销售量就减少10件．当月销售利润为8000元时，在有利于顾客的情况下，销售单价应定为多少元． 【答案】 销售单价应定为60元. 【解析】 【分析】根据月利润单件利润月销售量的等量关系列一元二次方程求解，结合有利于顾客的条件选取较低的销售单价. 【详解】解：设销售单价上涨了元，则单件利润为元，月销售量为件， 由题意得 ， 解得，， ∵要有利于顾客，需销售单价尽可能低， ∴， ∴销售单价为（元）. 答：销售单价应定为60元. 24. 某科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过一片烂泥湿地，已知人和木板对湿地地面的压力合计为，木板面积为，人和木板对地面的压强为． （1）求p与S的函数表达式； （2）当木板面积为时，压强是多少？ （3）如果要求压强不超过，木板面积至少要多大？ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据，其中F是压力，即可求解； （2）把代入（1）中解析式，即可求解； （3）根据题意可得该函数图象在第一象限内，且p随S的增大而减小，再求出当时，S的值，即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意得：p与S的函数表达式为； 【小问2详解】 解：当时，， 即压强是； 【小问3详解】 解：∵， ∴该函数图象在第一象限内，且p随S的增大而减小， 当时，，此时， ∴当时，， 即要求压强不超过，木板面积至少要． 25. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）设方程的两个实数根分别为，且满足，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式解答即可； （2）根据一元二次方程根和系数的关系可得，由完全平方公式可得，再代入计算，即可求解． 【小问1详解】 解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴，即， 解得：； 【小问2详解】 解：∵方程的两个实数根分别为， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， ∵， ∴． 26. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点和点，其中，过点作轴于点，过点作轴于点，交于点，连接． （1）求反比例函数的解析式； （2）若的面积为6，求点B的坐标及直线的解析式； （3）随着点B的变化四边形的形状也在变化，在变化过程中，四边形能变为菱形吗？，如果能，请求出B点坐标．如果不能，请说明理由． 【答案】（1） （2）； （3）四边形能变为菱形，此时点B的坐标为 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据题意可得，根据点A和点B的坐标可推出，，再根据三角形的面积公式建立方程求解即可； （3）根据题意可得，根据点A和点B的坐标可推出，根据菱形的对角线互相平分建立方程求出m、n的值即可得到结论． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：∵轴，轴， ∴，即， ∵，， ∴，， ∴， ∵的面积为6， ∴， ∴， ∴， ∵点B在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 设直线的解析式为， 则， ∴， ∴直线的解析式为； 【小问3详解】 解：∵轴，轴， ∴，即， ∵，， ∴，，， ∴，， 当四边形是菱形时，则， ∴， ∴， 此时，即点B在反比例函数的图象上， ∴四边形能变为菱形，此时点B的坐标为． 27. 我们定义：若关于的一元二次方程（）满足，则称该方程为友好方程．请根据此定义，回答下列问题： （1）请写出一个你认为正确的友好方程，并求出它的根； （2）若关于的一元二次方程是友好方程，求的值，并判断方程根的情况； （3）若友好方程有两个相等的实数根，求，的值． 【答案】（1）友好方程为，它的根为．（答案不唯一） （2）的值为或，方程有两个不相等的实数根． （3），． 【解析】 【分析】（1）根据友好方程定义，自主选取满足条件的构造一元二次方程，再解方程求出根． （2）利用友好方程的条件，把方程各项系数代入，列方程求出；再将代回原方程，计算判别式，根据判别式符号判断根的情况． （3）先由友好方程定义得到，列出第一个等式；再结合方程有两个相等实数根，得到判别式，列出第二个等式，联立两个等式求解，同时注意一元二次方程二次项系数不为0． 【小问1详解】 解：取方程， ∵， ∴是友好方程， ， ， ∴． 【小问2详解】 解： ，， 当时，，此时方程有两个不相等的实数根； 当时，，此时方程有两个不相等的实数根； 综上，的值为1或2，方程有两个不相等的实数根． 【小问3详解】 解：∵友好方程有两个相等的实数根， ， 解得， ∴ 把代入上式得， ， ∴， ∴， 当时，，符合题意． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $