期中复习：坐标系中的轴对称问题、坐标系中的动点问题专项训练-2026-2027学年北师大版八年级数学上册

期中复习：坐标系中的轴对称问题、坐标系中的动点问题专项训练 期中复习：坐标系中的轴对称问题、坐标系中的动点问题专项训练 考点目录 坐标系中的轴对称问题 坐标系中的动点问题 考点一 坐标系中的轴对称问题 例1．（25-26八年级上·广东东莞·期中）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点、、均在格点上． (1)画出关于y轴对称的； (2)分别写出点，，的坐标； 例2．（25-26八年级上·广西南宁·期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中，的三个顶点的坐标分别为． (1)画出与关于轴对称的； (2)写出点的坐标； (3)直接写出的面积． 例3．（25-26八年级上·福建厦门·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线l经过点，且平行于x轴．给出如下定义：点先关于x轴对称得点，再将关于直线l对称得到点，则称点是P关于x轴和直线l的双反射点． (1)已知点， ①若点，则P关于x轴和直线l的双反射点的坐标是________； ②若点，其中，点Q关于x轴和直线l的双反射点，求线段的长度． (2)若点，，是否存在点，使得点A关于x轴和直线l的双反射点，满足，．若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 变式1．（25-26八年级上·陕西安康·期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，． (1)在图中作出关于轴对称的（点的对应点分别为点）； (2)在（1）的条件下，求的面积． 变式2．（26-27八年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，． (1)在图中画出关于y轴对称的，并写出和的坐标． (2)在x轴上作出一点P，使最小．（保留作图痕迹，不要求写作法） 变式3．（25-26八年级上·广东佛山·阶段检测）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）的顶点B，C的坐标分别为，． (1)请你在正方形网格中建立平面直角坐标系； (2)写出点A的坐标，并作出关于y轴对称的，然后写出点，，的坐标； (3)荣荣在（2）中作图时发现规律：如果将（2）中作轴对称的图形记作第1次操作（变换），那么从开始顺次沿y轴、x轴进行循环往复的轴对称变换，则原来的点A经过第2029次变换后所得的点的坐标是______．（请直接写出坐标） 考点二 坐标系中的动点问题 例1．（26-27八年级上·广东清远·阶段检测）在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是，点C坐标满足，连接． (1)C点的坐标为 ，四边形的面积为 ； (2)点D是x轴上一个动点，当的面积为10时，求点D的坐标． 例2．（26-27八年级上·天津南开·阶段检测）如图，在长方形中，为平面直角坐标系的原点，点的坐标为，点的坐标为且，满足，点在第一象限内，点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动． (1)则_______；_______；点的坐标为_______． (2)在移动过程中，当点移动6秒时，求的面积； (3)在（2）的条件下，轴和轴上是否存在点，使的面积与的面积相等，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 例3．（25-26八年级上·重庆沙坪坝·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，且满足：，连接． (1)如图1，点的坐标为_____，点的坐标为_____． (2)如图2，若点在轴上，当时，求点的坐标； (3)如图3，对于正方形，连接，将正方形分割成两个直角三角形，称这两个直角三角形为“半正方形”，故和分别是以，为直角的“半正方形”．若点在坐标平面内，且，将轴向下平移2个单位得到直线，在直线上是否存在点，使得以点为顶点的三角形是以为直角的“半正方形”，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 变式1．（25-26八年级上·云南文山·期中）在平面直角坐标系中，已知点，，，且满足，线段交轴于点，点是轴正半轴上的一点． (1)求出点，的坐标； (2)如图2，若，，，分别平分，，求（用含的代数式表示）； (3)如图3，轴上是否存在一点，使得的面积和的面积相等？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 变式2．（25-26八年级上·吉林四平·期中）如图，在长方形中，为平面直角坐标系的原点，点的坐标为，点的坐标为，且a、b满足，点在第一象限内． (1)________，________，点的坐标为________； (2)若点D、E分别为、的中点，连接、、，请求出三角形的面积； (3)点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线运动（即沿着长方形的边运动一周）． ①在点运动的过程中，当三角形的面积为一个定值时，的取值范围是________； ②在点运动的过程中，是否存在点，使，若存在，请直接写出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 变式3．（25-26八年级上·福建龙岩·期中）操作与探究 【问题情景】 数学课上，数学老师以平面直角坐标系中的运动问题作为研究方向，提出如下问题： 如图，点在第二象限，轴交轴于点，点在轴负半轴上，，连，点为线段上的一个动点，点为线段上的一个动点． (1)【问题初探】 ①点的坐标为________； ②若，则四边形的面积为________； (2)【深入研究】如图1，动点从点出发向点移动，速度为每秒4个单位长度，同时动点从点出发向点移动，速度为每秒2个单位长度．运动要求：当其中一个动点到达终点时，另一个动点也同时停止运动．设运动时间为秒，连接．在运动的过程中，当线段恰好把四边形的面积分成相等的两部分时，求时间的值； (3)【拓展提升】如图2，连接交于点，连接，若（2）中的动点和动点速度保持不变，，求点的横坐标． 2 学科网（北京）股份有限公司 $期中复习：坐标系中的轴对称问题、坐标系中的动点问题专项训练 期中复习：坐标系中的轴对称问题、坐标系中的动点问题专项训练 考点目录 坐标系中的轴对称问题 坐标系中的动点问题 考点一 坐标系中的轴对称问题 例1．（25-26八年级上·广东东莞·期中）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点、、均在格点上． (1)画出关于y轴对称的； (2)分别写出点，，的坐标； 【答案】(1)关于y轴对称的如图所示： (2)，，C₁（1, -1） 【详解】（1）略 （2）解：根据轴对称的点的坐标规律：横坐标变相反数，纵坐标不变． ∴ 关于轴对称，关于轴对称，关于轴对称． 例2．（25-26八年级上·广西南宁·期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中，的三个顶点的坐标分别为． (1)画出与关于轴对称的； (2)写出点的坐标； (3)直接写出的面积． 【答案】(1) (2) (3)6 【分析】（1）先找出关于轴对称的点，确定对称的点在直角坐标系位置，描点，连线即可． （2）利用关于轴对称，横坐标不变，纵坐标变成原数的相反数即可求出的坐标． （3）观察图形，准确找出的底和高及对应的长度，利用面积公式即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可知，关于轴对称得到， 坐标关于轴对称，不变横坐标，纵坐标变为原数的相反数， ， ． （3）解：观察图可知，，到的距离为3， ． 例3．（25-26八年级上·福建厦门·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线l经过点，且平行于x轴．给出如下定义：点先关于x轴对称得点，再将关于直线l对称得到点，则称点是P关于x轴和直线l的双反射点． (1)已知点， ①若点，则P关于x轴和直线l的双反射点的坐标是________； ②若点，其中，点Q关于x轴和直线l的双反射点，求线段的长度． (2)若点，，是否存在点，使得点A关于x轴和直线l的双反射点，满足，．若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①；② (2)， 【分析】（1）根据二次反射点的定义直接得出答案； （2）根据二次反射点的定义得出，则可得出答案； （3）先根据新定义确定在轴上，结合等腰直角三角形，构造“一线三垂直”模型，证明两个直角三角形全等，把相等线段转化为含，的等式，利用绝对值进行分类讨论求解，最后结合图形取舍符号，得到点坐标． 【详解】（1）解：①∵， ∴点关于x轴对称点的坐标为， ∵关于直线对称的点， ∴关于轴和直线的二次反射点的坐标； ②∵点的坐标是，其中， ∴点关于x轴对称点的坐标为， ∴关于直线对称的点， ∴； （2）由题意，与关于轴对称， ∴， 直线，设点关于直线的对称点为， ∵对称轴平行于轴， ∴对称点横坐标不变，即，且， 解得 ，因此可得的坐标为 ，， 是等腰直角三角形，， 过点作轴于点，过点作轴于点， ， ， ， 在和中： ，， 由得：，， ∵，，， ，，， ， ； ① 当时，解得， 此时，即， 由，得， ； ② 当时，解得， 此时，即， 由，结合图形位置， ，得， ． 【点睛】本题考查了轴对称的性质、新定义 “双反射点”、等腰直角三角形以及一线三垂直全等模型，解题关键是准确理解双反射点的变换规则，依托等腰直角三角形构造全等，将几何条件转化为线段等量关系进行求解． 变式1．（25-26八年级上·陕西安康·期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，． (1)在图中作出关于轴对称的（点的对应点分别为点）； (2)在（1）的条件下，求的面积． 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）因为关于y轴对称的点纵坐标不变、横坐标互为相反数，所以先根据该坐标变换规律求出的坐标，再在坐标系中描出对应点，顺次连接三点即可得到． （2）因为和全等，面积相等，所以可以通过割补法，用包含的矩形面积减去周围三个直角三角形的面积计算． 【详解】（1）解：∵， ∴关于轴对称的对应点坐标：，，， 在坐标系中描出这三个点，再依次连接、、，即可得到． （2）解：把三角形放在一个能完全包裹它的矩形内， 该矩形横向占3个单位、纵向占4个单位，面积为； 再减去矩形内三个多余直角三角形的面积： 左上角直角三角形面积： 左下角直角三角形面积： 右侧直角三角形面积： ， ∴的面积． ∴的面积为4． 变式2．（26-27八年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，． (1)在图中画出关于y轴对称的，并写出和的坐标． (2)在x轴上作出一点P，使最小．（保留作图痕迹，不要求写作法） 【答案】(1)解：，，关于y轴的对称点分别是，画图如下： 则即为所求，． (2)解：根据题意，作图如下： 则点P即为所求． 【分析】（1）根据纵坐标不变，横坐标变为相反数，确定变换后的坐标，，画图即可． （2）根据轴对称的性质，作图即可． 【详解】（1）解：略． （2）解：略． 变式3．（25-26八年级上·广东佛山·阶段检测）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）的顶点B，C的坐标分别为，． (1)请你在正方形网格中建立平面直角坐标系； (2)写出点A的坐标，并作出关于y轴对称的，然后写出点，，的坐标； (3)荣荣在（2）中作图时发现规律：如果将（2）中作轴对称的图形记作第1次操作（变换），那么从开始顺次沿y轴、x轴进行循环往复的轴对称变换，则原来的点A经过第2029次变换后所得的点的坐标是______．（请直接写出坐标） 【答案】(1)建立的平面直角坐标系如图所示． (2)． 如上图，即为所求，此时，，． (3) 【分析】（1）根据B，C两点坐标作出平面直角坐标系即可； （2）根据作出的平面直角坐标系，写出点A的坐标，即可分别作出A，B，C的对应点，，； （3）先求出变换前4次的对应点的坐标，得到4次一个循环，从而2029次变换后所得的坐标与相同，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得，． 画图见答案， 此时，， （3）解：第1次变换后得到点A的对应点为； 第2次变换后得到，点A的对应点为； 第3次变换后得到点A的对应点为； 第4次变换后得到点A的对应点为； …… 由此发现，变换4次为一个循环． ， 第2029次变换后所得的点的坐标与点的坐标相同，即． 考点二 坐标系中的动点问题 例1．（26-27八年级上·广东清远·阶段检测）在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是，点C坐标满足，连接． (1)C点的坐标为 ，四边形的面积为 ； (2)点D是x轴上一个动点，当的面积为10时，求点D的坐标． 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）先根据非负数的性质求出C点的坐标，再分别计算出，，最后根据即可得出结果； （2）设，当在的左边时，；当在的右边时，，据此分别得出面积的表达式，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵且，， ∴，， ∴，， ∴C点的坐标为， ∵， ∴， ∴，， ∴． （2）解：设， 当在的左边时，， ∴， 解得：， ∴此时为， 当在的右边时，， ∴，解得：， ∴此时为， 综上：点D的坐标为或． 例2．（26-27八年级上·天津南开·阶段检测）如图，在长方形中，为平面直角坐标系的原点，点的坐标为，点的坐标为且，满足，点在第一象限内，点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动． (1)则_______；_______；点的坐标为_______． (2)在移动过程中，当点移动6秒时，求的面积； (3)在（2）的条件下，轴和轴上是否存在点，使的面积与的面积相等，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)存在，或或或 【分析】（）根据非负数的性质可求出的值，进而根据长方形的性质可得出点的坐标； （）由题意可得，即得，再根据三角形面积公式计算即可求解； （）分两种情况，根据三角形面积公式列出方程解答即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∵四边形是长方形， ∴轴，轴， ∴； （2）解：当点移动6秒时，移动的路程为， ∴即， ∴， ∴； （3）解：存在． ①当点在轴上时，设，则， ∵的面积与的面积相等， ∴， 解得， ∴或； ②当点在轴上时，设，则， ∵的面积与的面积相等， ∴， 解得， ∴或； 综上，存在或或或，使的面积与的面积相等． 例3．（25-26八年级上·重庆沙坪坝·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，且满足：，连接． (1)如图1，点的坐标为_____，点的坐标为_____． (2)如图2，若点在轴上，当时，求点的坐标； (3)如图3，对于正方形，连接，将正方形分割成两个直角三角形，称这两个直角三角形为“半正方形”，故和分别是以，为直角的“半正方形”．若点在坐标平面内，且，将轴向下平移2个单位得到直线，在直线上是否存在点，使得以点为顶点的三角形是以为直角的“半正方形”，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】（1）根据非负数的性质求得的值，即可求解； （2）设的坐标为，过点作轴于点，分两种情况讨论，当在点上方时，即，；当时，，分别解方程，即可求解； （3）过点分别作的垂线，垂足分别为，证明得出，，则或，根据建立方程解方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵，且满足：， ∴ ∴ ∴ （2）解：∵点在轴上， 设的坐标为 ∵ ∴， ∴ ∴ 如图，过点作轴于点， ∴ ∴ ∴ 显然，当点在之间时，，不合题意， 分两种情况讨论： ①如图，当在点上方时，即 ∴ 解得： ∴ ②当时，如图 ∴ 解得： ∴ 综上所述，或 （3）如图，过作直线， 过点分别作的垂线，垂足分别为， ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵将轴向下平移2个单位得到直线， ∴， 设，则， ∴ ∴ ∴，， ∴，即或即 ∵，， 当时， 如图，共线，连接 ∴ 当时，即 解得： ∴ 当时， 解得： ∴ 即或 当时，如图，过点作于点，则， 当时，即时 ∴ ∴，解得： ∴ 当时，即时 如图，延长交轴于点 ∴，， ∴ ∴ 解得： ∴ 综上所述，或 变式1．（25-26八年级上·云南文山·期中）在平面直角坐标系中，已知点，，，且满足，线段交轴于点，点是轴正半轴上的一点． (1)求出点，的坐标； (2)如图2，若，，，分别平分，，求（用含的代数式表示）； (3)如图3，轴上是否存在一点，使得的面积和的面积相等？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，点的坐标为或 【分析】（1）由非负数的性质计算即可得出结果； （2）过点作，则，从而可得，，结合角平分线的定义求出，，即可得出结果； （3）连接，先求出点的坐标为，设点的坐标为，则，再结合三角形面积公式计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴，； （2）解：如图2所示，过点作， ∵， ∴， ，， ∵， ∴， ，分别平分，，， ∴，， ∴，， ∴； （3）解：存在，如图3所示，连接， ，， ，， ， ， 解得， 点的坐标为， 设点的坐标为， ， ， ， 解得或 综上所述，点的坐标为或． 变式2．（25-26八年级上·吉林四平·期中）如图，在长方形中，为平面直角坐标系的原点，点的坐标为，点的坐标为，且a、b满足，点在第一象限内． (1)________，________，点的坐标为________； (2)若点D、E分别为、的中点，连接、、，请求出三角形的面积； (3)点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线运动（即沿着长方形的边运动一周）． ①在点运动的过程中，当三角形的面积为一个定值时，的取值范围是________； ②在点运动的过程中，是否存在点，使，若存在，请直接写出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)4；6； (2)9 (3)①；②存在，点的坐标为或或或 【分析】（1）根据非负数的性质：算术平方根和绝对值都是非负数，和为0则各项均为0，即可算出，的值，再根据矩形的性质求出的长即可； （2）由中点坐标分别求出、的坐标，再用割补法表示三角形的面积，即长方形面积减去周围三个直角三角形的面积即可； （3）①分别计算运算过程中三角形的面积，面积等于常数则为定值；②分别计算运算过程中三角形的面积，面积等于4计算即可． 【详解】（1）∵ ，， ∴， 解得， ∴, ∴ ∵四边形 为长方形， ∴ ∴； （2）是中点， ∴； ∵是中点， ∴， ∴ ， ，，， ∴； （3）点速度为2单位/秒，一周总路程为，总时间， ∵四边形 为长方形， ∴， ① 分四段讨论： 当在上时，，即，此时共线，未形成三角形； 当在上：即， ∴，随变化，不是定值； 当在上：，即， ∴为定值； 当在上：，即， ∴，随变化，不是定值； ∴的范围为：； ②分四种情况讨论， 当在上时，，即，此时，高， ∴， ∵， ∴， 解得，满足 ∴坐标为； 当在上：即，， 总路程为，，， ∴坐标为， ∴， ∵， ∴， 解得，满足， ∴坐标为； 当在上：，即， ∵，总路程为， ∴，， ∴坐标为，， ∴ ， ∵， ∴， 解得，满足 ∴坐标为； 当在上：，即， 在轴上，总路程为，， ∴坐标为， ∴ ， ∵， ∴， 解得，满足 ∴坐标为； 综上所述，坐标为： 、、、． 【点睛】本题主要考查二次根式和绝对值的非负性，平面直角坐标系中点的坐标，中点坐标公式，三角形面积的计算，长方形的性质，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键． 变式3．（25-26八年级上·福建龙岩·期中）操作与探究 【问题情景】 数学课上，数学老师以平面直角坐标系中的运动问题作为研究方向，提出如下问题： 如图，点在第二象限，轴交轴于点，点在轴负半轴上，，连，点为线段上的一个动点，点为线段上的一个动点． (1)【问题初探】 ①点的坐标为________； ②若，则四边形的面积为________； (2)【深入研究】如图1，动点从点出发向点移动，速度为每秒4个单位长度，同时动点从点出发向点移动，速度为每秒2个单位长度．运动要求：当其中一个动点到达终点时，另一个动点也同时停止运动．设运动时间为秒，连接．在运动的过程中，当线段恰好把四边形的面积分成相等的两部分时，求时间的值； (3)【拓展提升】如图2，连接交于点，连接，若（2）中的动点和动点速度保持不变，，求点的横坐标． 【答案】(1)①；②480 (2) (3) 【分析】（1）①由题意可得，即得，即可求解；②由题意得，即得，再根据四边形的面积为解答即可求解； （2）由题意得，，，，即得，根据四边形与四边形面积相等列方程，解方程即可； （3）连接，设点到轴的距离为，可得，即得，进而得到，解方程即可求解； 【详解】（1）解：①∵点在第二象限，轴交y轴于点B， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵点A在x轴负半轴上， ∴点A坐标， ②∵， ∴， ∴， ∴四边形的面积为：． （2）解：由题意得，，，，， ∴， ∵恰好平分四边形的面积，　 ∴四边形的面积四边形的面积， ， 解得． （3）解：设点D到y轴的距离为， ∵， ，　 ∴，　　 ∴，　 即， ∴， 即点D的横坐标是．　 2 学科网（北京）股份有限公司 $