2026～2027学年沪教版（五四制）七年级上册期中压轴专项训练

七年级上学期 数学期中 六类压轴题型归类复习 沪教版（五四制）· 整式与因式分解 共 6 类题型 · 55 道例题（含完整解析） 目 录 题型一 整体代入求值　（10 题） P3 对应考点：整体思想 · 代数式求值 · 幂的运算逆用 题型二 换元技巧　（7 题） P10 对应考点：换元法 · 高次降次 · 设元求值 题型三 规律探究　（10 题） P17 对应考点：数字/图形/算式规律 · 用含 n 的式子表示 题型四 配方法　（8 题） P29 对应考点：配方求最值 · 添项构造完全平方 · 非负性 题型五 代数与几何结合　（10 题） P37 对应考点：面积法验证乘法公式 · 剪拼 · 卡片拼图 题型六 材料阅读与新定义　（10 题） P48 对应考点：阅读理解 · 新定义 · 双十字/待定系数/苏菲·热门 题型一 整体代入求值 【方法点拨】把某个式子（或式子中的一块）看成一个整体，直接整体代入、整体变形，不必求出每个字母。常用套路：① 已知 x²+x=3，求 x²+x+5；② 由 a+b、ab 求 a²+b²=(a+b)²−2ab；③ 由 x+1/x 求 x²+1/x²=(x+1/x)²−2；④ 幂的运算逆用：a^m·a^n=a^(m+n)、(a^m)^n=a^(mn)，把指数拆成已知量的和与倍。 1．若，则的值是（    ） A．7 B．8 C．10 D．13 【答案】B 【分析】本题主要考查了求代数式的值，将代数式进行适当的变形是正确求值的关键，整体代入是常用的方法．将变形为后，再整体代入计算即可． 【详解】解：， ． 故选：B． 2．已知代数式的值为7，则的值为 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查了代数式的求值，掌握整体代入法是解题的关键． 根据已知条件将要求代数式变形，然后整体代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：10． 3．当时，代数式；当时，代数式的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了代数式求值，熟练掌握求代数式值中的整体思想是解答本题的关键．把代入中，得到，再把代入中，计算得到答案． 【详解】解：根据题意得： 当时，代数式的值为， ， ∴， ， 当时，代数式的值为： ． 故选：C． 4．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是求解代数式的值，熟练的利用整体代入法求解代数式的值是解本题的关键．由，可得，，再整体代入求解代数式的值即可． 【详解】解：， ，， ， 故答案为：． 5．（24-25七年级上·上海宝山·期中）“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．在数学中，常常用这样的方法把复杂的问题转化为简单问题．如：若代数式，可得，则代数式 【灵活运用】若，，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减，代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 原式变形后，把已知等式代入计算即可求出值． 【详解】解：∵，， ∴ ． 6．（2025七年级上·上海嘉定·专题练习）我们知道，，类似的，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．请尝试： (1)把看成一个整体，合并的结果是______； (2)已知，求的值； (3)已知，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3)8 【分析】本题考查了整式的加减化简求值． （1）把看成一个整体，合并同类项即可； （2）把看成一个整体代入求值即可； （3）由，将代入求值即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解： ， ， ； （3）解：， ∴ ． 7．（24-25七年级上·上海长宁·期中）整体思想是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，把某些式子或图形看成一个整体，进行整体处理．它作为一种思想方法在数学学习中有广泛的应用，因为一些问题按常规不容易求出某一个（或多个）未知量时，根据题目的结构特征，把某一组数或某一个代数式看作一个整体，找出整体与局部的联系，从而找到解决问题的新途径．例如，求的值，我们将作为一个整体代入，则原式． 【尝试应用】 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)如果，求的值； (2)当时，代数式的值为，当时，求代数式的值；（用含的代数式表示） 【答案】(1)17 (2) 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，掌握整式的加减的计算法则，理解题意根据题目要求用整体思想解题是关键． （1）将原式化简为，再整体代入即可求解； （2）当时，代数式整理得，当时，原式整理得，再整体代入即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：当时，代数式的值为， ∴， ∴， ∴当时， ． 8．已知：，则 ； 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式变形求值，积的乘方逆运算等知识点，熟练掌握各知识点是解题的关键． 先将原式分解为，然后再由完全平方公式变形为，最后再代入求值即可． 【详解】解：， 故答案为：． 9．已知：，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了运用公式法分解因式、解二元一次方程序组、求代数式的值．首先把拆成和两项，可以得到，然后用完全平方公式分解因式得到，根据平方的非负性可以得到二元一次方程组解方程组可以求出，然后代入求值即可． 【详解】解：， ， ， ，， 解方程组， 得：， ． 故答案为： ． 10．已知，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式的求值，根据已知条件得到，再把代数式变形得到，然后利用整体代入的方法计算即可求解，利用整体代入是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， ， 故答案为：． 题型二 换元技巧 【方法点拨】把重复出现的一整块式子设为新字母（t、A…），把高次、复杂式降为二次或一次式来处理，最后必须「换回原字母」。注意三点：① 换元后写清 t 的范围（若需要拆开讨论）；② 分解完一定要代回原字母再化简；③ 常见于 (x²−3x)² 型、x⁴ 型、以及「设 x−2007=t」这类整体求值题。 1．（25-26七年级上·上海宝山·阶段检测）因式分解： 【答案】 【知识点】十字相乘法、完全平方公式分解因式 【分析】本题主要考查换元法、十字相乘法和完全平方公式，利用换元法进行化简是解题的关键． 首先将用t进行表示并结合十字相乘法进行化简，化简结束后将再代入并结合完全平方公式进行化简即可． 【详解】解：令，则， ∴． 2．（22-23七年级上·上海杨浦·期末）分解因式：． 【答案】 【知识点】十字相乘法 【分析】本题考查了因式分解．设，原式可分解得，再利用十字相乘法继续分解即可． 【详解】解：设， 则原式 ， ∴ ． 3．（24-25七年级上·上海普陀·阶段检测）因式分解：． 【答案】 【知识点】十字相乘法 【分析】本题主要考查了十字相乘法分解因式，直接利用十字相乘法分解因式得出答案 【详解】解： ． 4．（23-24八年级上·上海徐汇·阶段检测）因式分解： 【答案】， 【知识点】十字相乘法、平方差公式分解因式 【分析】本题考查的是十字相乘法因式分解，掌握十字相乘法、平方差公式因式分解是解题的关键．先利用十字相乘法因式分解，在利用平方差公式进行因式分解． 【详解】解： ， 5．问题发现：若满足，求的值． 小明在解决该问题中，采用了以下解法： 解：设， 则， 所以 请根据小明的解法解决下列问题． （1）若满足，求的值； （2）若满足，求的值； （3）拓展延伸：如上图，正方形边长为，，，分别以、为边长作正方形和，四边形和是长方形，且长方形的面积是10，求图中阴影部分的面积．（结果必须是一个具体数值） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，完全平方公式的变形求值： （1）根据例题的解题思路，进行计算即可解答； （2）根据例题的解题思路，进行计算即可解答； （3）根据题意可得：四边形是正方形，然后设，，则，，从而可得，，最后根据完全平方公式进行计算，即可解答． 【小问1详解】 解：设， ∴， ∴ ； 【小问2详解】 解：设， ∴，， ∴ ； 【小问3详解】 解：设，， 正方形的边长为，，， ，， ， 长方形面积为10， ， ， 正方形的面积 ， 四边形（阴影部分）的面积为． 6．（25-26八年级上·江西南昌·阶段检测）阅读理解：对于一些次数较高或者是比较复杂的式子进行因式分解时，换元法是一种常用的方法， 下面是某同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：设 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 回答下列问题： (1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的______________（填代号）． A．提取公因式    B．平方差公式    C．两数和的完全平方公式    D．两数差的完全平方公式 (2)按照“因式分解，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止”的要求，该多项式分解因式的最后结果为________________． (3)请你模仿以上方法对多项式进行因式分解． (4)证明：若为正整数，则代数式的值一定是某个整数的平方． 【答案】(1)C (2) (3) (4) 解： ， 令， 原式 ， ∵为正整数， ∴为正整数， ∴代数式的值一定是某个整数的平方． 【知识点】因式分解的应用、完全平方公式分解因式 【分析】本题考查的是因式分解，解题关键是要能理解例题的分解方法并能进行模仿，要注意分解要彻底． （1）从解题步骤可以看出该同学第二步到第三步运用了两数和的完全平方公式； （2）对第四步的结果括号里的部分用完全平方公式分解，再用幂的乘方计算即可； （3）模仿例题设，对其进行换元后去括号，整理成多项式，再进行分解，分解后将A换回，再分解彻底即可． （4）先整理原式，再令，整理原式，因为为正整数，得为正整数，即代数式的值一定是某个整数的平方． 【详解】（1）解：观察做题过程，得该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式， 故选：C； （2）解：， 故答案为：； （3）解：设． ． （4）略 7．（2023秋•普陀区校级期中）分解因式：． 【分析】把看成一个整体，先利用十字相乘法，再利用十字相乘法和完全平方公式分解． 【解答】解： ． 【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的十字相乘法和完全平方公式是解决本题的关键． 题型三 规律探究 【方法点拨】先算前 3～4 个特例，再找「每一项与序号 n 的关系」，用含 n 的式子表示，最后验证或求和。三个观察角度：数字类看相邻两项的差（等差/平方/乘方）；图形类看「每多摆一个增加几根/几块」；算式类看结构（平方差、完全平方、连续整数和、杨辉三角系数）。 1．（2024-2025学年七年级上上海市宝山区期中）（1）填空： 第一行：________； 第二行：________； 第三行：________； 第四行：________． （2）找出规律，写出第n行的等式：________； （3）请说明第行等式成立的理由． 【详解】解：（1）第一行：； 第二行：； 第三行：； 第四行：； 故答案为：1；25；121；361； （2）第n行的等式是：， 故答案为：； （3）证明：∵ ∴ 2．（2024-—2025学年七年级上上海市松江区期中）我们知道：． 类似的有：①；②；…… (1)验证上述②式成立； (2)再写出一个类似的等式； (3)计算：（结果用含3的幂表示）． 【详解】（1）解： ， 成立． （2）解：； （3）解：∵， ． 3．（2024-2025学年七年级上上海市闵行区19校联考期中）阅读材料一：可以展开成一个有规律的多项式： 阅读材料二：杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把二项式系数图形化．下面我们依次对展开式的各项系数进一步研究发现，当取正整数时可以单独列成表中的形式，表中每个数等于它上方两数之和．例如，在三角形中第二行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数． (1)多项式的展开式是一个______次______项式，各项系数和是______； (2)写出的展开式：______；观察的展开式，各项系数和是______； (3)猜想多项式（取正整数）的展开式的各项系数之和（结果用含字母的代数式表示）； (4)利用材料中的规律计算：． 【详解】（1）解：由题意可得： ， 故多项式的展开式是一个五次六项式， 各项系数和为：， 故答案为：五，六，32； （2）解：由题意可得：， 各项系数和为：， 故答案为：，64； （3）解：的展开式的各项系数之和， 的展开式的各项系数之和， 的展开式的各项系数之和， 的展开式的各项系数之和， 的展开式的各项系数之和， 的展开式的各项系数之和 ， 取正整数）的展开式的各项系数之和是； （4）解：把，代入得： ， ∴， ∴． 4．（25-26七年级上·上海静安·阶段练习）观察下列各等式，并回答问题（是正整数）： ；；；；． (1)填空：______； (2)计算：______； (3)计算：______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查规律探究以及分数的裂项相消法，解题的关键是总结出规律． （1）观察所给等式各部分的变化，发现规律即可解决问题； （2）结合（1）中发现的规律进行计算即可； （3）先将原式中的各项进行变形，使其能利用前面发现的规律进行计算，再通过拆分、抵消等方法得出结果． 【详解】（1）解：由题中给出的规律可得：； （2）解： ； （3）解： ． 5．（25-26七年级上·上海闵行·阶段练习）探究题： 观察下列等式： ， ， ， …… (1)猜想第个等式； (2)利用你的猜想计算：． 【答案】(1) (2)440 【分析】本题考查了数字的变化规律，解题的关键是通过观察已知等式，找出规律并利用规律进行计算． （1）通过观察已知的、、时的等式，分析左右两边的规律，从而猜想出第个等式． （2）利用（1）中猜想的等式，将原式中每一项展开，通过相互抵消的方式简化计算，最终求出结果． 【详解】（1）观察给出的等式： 当时，； 当时，； 当时，． 可以发现，对于第个等式，左边是与的乘积，即． 右边是乘以两个式子的差，第一个式子是、、的乘积，即；第二个式子是、、的乘积，即． 所以，猜想第个等式为：． （2）解： ． 6．（25-26七年级上·上海宝山·阶段练习）【情景创设】 是一组有规律的数，我们如何求这些连续数的和呢？ 【探索活动】 （1）根据规律第6个数是 ，是第 个数； （2）我们知道：，那么： 用含有n的式子表示你发现的规律     【方法属示】 ． 这种方法叫“裂项相消”，构造只有符号不同的中间项，将其全部消掉． 【实践应用】 （3）根据上面获得的经验完成下面的计算： 【答案】（1），11；（2）；（3） 【分析】本题考查数字变化的规律，能根据题意发现第n个数为及巧妙利用裂项相消法是解题的关键． （1）观察所给数列，发现它们的分子都是1，分母是两个连续整数的积，据此可解决问题． （2）根据题中所给示例即可解决问题． （3）将所给算式中的每一项进行裂项，再利用裂项相消法进行计算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴第6个数是， ， ∴是第11个数； （2）观察所给式子的等号左右两边的数字，可得到如下规律：； （3） ． 7．（24-25七年级上·上海闵行·期中）（1）小明同学用长度相同的小棒按如图所示的规律拼摆图形，第个图形需要__________根小棒； （2）小颖同学给出一种新的拼摆方式，按照小颖的方式拼摆第个图形所需小棒的根数为．请你画图表示小颖的拼摆方式． 【答案】（1）；（2）见解析 【分析】本题考查了图形类规律问题，能正确找出规律是解题的关键； （1）根据图形可得每增加一层就增加5根小棒，据此即可解答； （2）根据题意作答即可． 【详解】解：（1）第一个图形需要7根小棒， 第二个图形需要根小棒， 第三个图形需要根小棒， … 则第n个图形需要根小棒， 故答案为：； （2）摆法如图（答案不唯一）所示： 8．（2025七年级上·上海虹口·专题练习）用小棒摆正方形，列表如下： 正方形个数 摆成的图形 小棒的根数 1    4 2    7 3    10 4    13 …… …… …… (1)每多摆1个正方形，就增加　　　根小棒． (2)摆20个正方形需要多少根小棒？ 【答案】(1)3 (2)61根 【分析】本题考查了图形类规律探索，根据图形找出一般规律是解题关键； （1）仔细观察表中的数据，需要小棒的根数随着个数而增加，且每次都是增加3根，所以，每增加一个正方形，就增加3根小棒，据此可解． （2）根据表格找出规律，然后代入求值即可． 【详解】（1）由列表可知，摆1个小正方形需要4根小棒；摆2个小正方形需要根小棒；摆3个小正方形需要根小棒；摆4个小正方形需要根小棒…… 所以，每多摆1个正方形，就增加3根小棒． 故答案为：3． （2）根据表格，可以得出： 1个正方形需要4根小棒； 2个正方形需要7根小棒，； 3个正方形需要10根小棒，； …… 由此，可得规律：每增加一个正方形，就会增加3根小棒，则摆n个正方形需要根小棒，n为正整数． 当时 （根） 答：摆20个正方形需要61根小棒． 9．（24-25七年级上·上海静安·期中）观察下列算式： ，，，，…… (1)通过观察上述4组算式得到的规律是 ； (2)请证明你得到的规律． (3)利用上面的规律计算． 【答案】(1)乘积的末两位是21，前面的数字是十位数字与十位数字加1的乘积 (2)见解析 (3)15621 【分析】本题考查规律型—数字的变换类，列代数式，整式的乘法运算，解题的关键是找出规律． （1）观察所给式子，不难发现乘积的末两位是21，前面的数字是十位数字与十位数字加1的乘积． （2）设数字为，，然后相乘根据整式的乘法计算即可证明． （3）根据（2）中的规律计算即可． 【详解】（1）解：， ，乘积的末两位是21，前面的数字是：， ，乘积的末两位是21，前面的数字是：， ，乘积的末两位是21，前面的数字是：， 则上述4组算式得到的规律是：乘积的末两位是21，前面的数字是十位数字与十位数字加1的乘积． （2）证明：设数字为，， 则(． （3）解： 10．（24-25七年级上·上海闵行·期中）观察下列各等式： 第1个： 第2个： 第3个： … (1)这些等式反映出多项式乘法的某种运算规律，请利用规律填空：若n为大于1的正整数，则_____； (2)利用（1）的猜想计算： （n为大于1的正整数）； (3)拓展与应用：计算 （n为大于1的正整数）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查多项式乘法的规律探究，观察等式发现规律是解题关键． （1）利用题中已知等式的规律得出该等式的结果为a、b两数n次幂的差； （2）将原式变形为，再利用所得规律计算可得； （3）将原式变形为，再利用所得规律计算可得． 【详解】（1）解：若为大于1的正整数，则根据这些等式的运算规律可得：， 故答案为：； （2） （3） ． 题型四 配方法 【方法点拨】把 ax²+bx+c 配成 a(x+m)²+n，利用「平方非负」求最值、证非负、比较大小；或「添上一项再减去同一项」构造完全平方，从而完成因式分解。核心公式：x²+bx=(x+b/2)²−b²/4；a²+b²=(a±b)²∓2ab；a²+b²+c²−ab−bc−ca=½[(a−b)²+(b−c)²+(c−a)²]≥0。 1．（23-24七年级下·浙江金华·期末）将多项式变形为的形式，这样的方法叫做配方法．利用配方法和非负数的性质可以求出多项式的最大（小）值．例如：， ， ，当时，多项式有最小值． 已知，为实数，多项式展开后的一次项系数为，多项式展开后的一次项系数为，且，均为正整数，则当时，的最大值为______． 【答案】3 【知识点】计算多项式乘多项式、完全平方公式分解因式 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，非负数的性质，多项式乘以多项式，根据题意得出，，进而根据，可得，然后得出，根据配方法，即可求解． 【详解】解：∵ ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴当时，的最大值为， 故答案为：3． 2．（24-25七年级上·上海崇明·期中）阅读材料：“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，如我们把看成一个整体，则． 【尝试应用】 （1）已知，，，求的值； 【拓展探索】 （2）把一个大正方形和四个相同的小正方形按图①、②两种方式摆放，已知，，请观察图形，求图②中的阴影部分面积． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了整式的加减，求代数式的值，整体思想的运用是解答本题的关键． （1）由题意得，，把，代入整理可得答案； （2）先求出大小正方形的边长与小正方形的边长，然后用大正方形的面积减去小正方形的面积即可． 【详解】解：（1）∵， ，， 把，，代入，得 ； ； （2）观察图形可知：大正方形的边长为，小正方形的边长为， ∵， ∴． 3．（25-26七年级上·上海静安·阶段练习）阅读材料，并解答问题． 例题：求多项式的最小值． 解：， ，， 多项式的最小值是． (1)请写出例题解答过程中因式分解运用的公式是________； 当取最小值时，______，______． (2)求多项式的最大值． 【答案】(1)完全平方公式，， (2)16 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式以及完全平方数的非负性是解题的关键． （1）观察例题分解过程，确定用到的公式，再根据完全平方数的非负性求出、的值； （2）通过配方法将多项式转化为含有完全平方的形式，再根据完全平方数的非负性求最大值． 【详解】（1）解：过程中使用了完全平方公式． 故答案为：完全平方公式． 原式， 当，时，式子取到最小值， 此时，，，； （2）解：原式 ， ，， ， 即所求最大值为，当且仅当时取到最大值． 4．（25-26七年级上·上海·期中）已知，求的值． 【答案】 【知识点】完全平方公式分解因式 【分析】本题考查了完全平方公式因式分解；通过完成平方将方程转化为平方和为零的形式，从而求出和的值． 【详解】解：， ∴， 化简得 ， 所以 且 ， 解得 ， ， 因此 ． 5．【阅读材料】19世纪的法国数学家苏菲·热门给出了一种分解因式的方法：他抓住了该式只有两项，而且属于平方和的形式，要使用公式法就必须添一项，随即将此项减去，即可得，人们为了纪念苏菲·热门给出的这一解法，就把它叫做“热门定理”． 【知识应用】（1）利用“热门定理”把分解因式． 【知识迁移】热门定理的本质是构造完全平方，用的是“添项”的方法，对于超过两项的多项式，也可以采取“添项”的方法，先添项再减去这项，构造完全平方进行分解．例如对于二次三项式，可以先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有，像这样的方法统称为“配方法”． （2）请利用“配方法”分解因式： ①； ②． 【答案】（1）；（2）①，② 【分析】本题主要考查了分解因式： （1）把式子加上，再减去，再仿照题意分解因式即可； （2）①把式子加上9，再减去9，再仿照题意分解因式即可； ②把式子加上，再减去，再仿照题意分解因式即可． 【详解】解：（1） ． （2）①原式 ． ②原式 ． 6．（2022秋•嘉定区校级期中）阅读下列文字，解决问题． 先阅读下列解题过程，然后完成后面的题目． 分解因式： 解： 以上解法中，在的中间加上一项，使得三项组成一个完全平方式，为了使这个式子的值保持与的值保持不变，必须减去同样的一项．这样利用添项的方法，将原代数式中的部分（或全部）变形为完全平方的形式，这种方法叫做配方法． 按照这个思路，试把多项式分解因式． 【分析】把原式中的第二项的系数1变为，化简后三项结合构成完全平方式，剩下的一项写出完全平方式，然后再利用平方差公式即可分解因式． 【解答】解： ． 【点评】此题考查学生阅读新方法并灵活运用新方法的能力，考查了分组分解法进行分解因式，是一道中档题．本题的思路是添项构成完全平方式． 7．（2023秋•商水县期中）对于某些二次三项式可以采用“配方法”来分解因式，阅读下列材料：例如：把分解因式，我们可以这样进行： （加上，再减去 （运用完全平方公式） （运用平方差公式） （化简） 运用此方法解决下列问题： （1）把分解因式． （2）已知：，求多项式的值． 【分析】（1）根据例题先加上，再减去，运用完全平方公式和平方差公式分解，最后化简即可； （2）根据例题进行配方，由一个数的平方是一个非负数即可求得、的值，代入多项式计算即可． 【解答】解：（1） ； （2） ， ， ， 且， 且， 解得：，， ， 将，代入多项式得： ． 【点评】本题考查了整式的混合运算—化简求值，因式分解，熟练掌握公式法，分组分解法进行因式分解，理解题意是解题的关键． 8．（2022秋•嘉定区校级期中）阅读下列文字，解决问题． 先阅读下列解题过程，然后完成后面的题目． 分解因式：x4+4 解：x4+4＝x4+4x2+4﹣4x2＝（x2+2）2﹣4x2 ＝（x2+2x+2）（x2﹣2x+2） 以上解法中，在x4+4的中间加上一项，使得三项组成一个完全平方式，为了使这个式子的值保持与x4+4的值保持不变，必须减去同样的一项．这样利用添项的方法，将原代数式中的部分（或全部）变形为完全平方的形式，这种方法叫做配方法． 按照这个思路，试把整式x4+3x2y2+4y4分解因式． 【分析】把原式中的第二项的系数1变为4﹣1，化简后三项结合构成完全平方式，剩下的一项写出完全平方式，然后再利用平方差公式即可分解因式． 【解答】解：x4+3x2y2+4y4 ＝x4+4x2y2+4y4﹣x2y2 ＝（x2+2y2）2﹣x2y2 ＝（x2+2y2+xy）（x2+2y2﹣xy）． 【点评】此题考查学生阅读新方法并灵活运用新方法的能力，考查了分组分解法进行分解因式，是一道中档题．本题的思路是添项构成完全平方式. 题型五 代数与几何结合 【方法点拨】同一块图形的面积用两种方式表示，就能得到恒等式（乘法公式、因式分解）。解题三步：① 在图上标出关键线段 a+b、a−b、a−2b；② 分别写出「整体算」和「分割算」的面积；③ 令两式相等后化简。剪拼题要盯住「剪掉的部分」与「重合的部分」，卡片拼图题要盯住「张数 = 系数」。 1．两个正方形如图放置，其中B、C、E在同一条直线上，小正方形的边长为6，连、、，则图中阴影部分的面积为（　  　） A．3 B．6 C．12 D．18 【答案】D 【分析】本题主要考查不规则图形的面积，设大正方形的边长为，根据面积相等列出代数式化简即可． 【详解】解：设大正方形的边长为，则 图中阴影部分的面积为 ， 故选：D． 2．把四张形状完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为cm，宽为cm）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图②中两块阴影部分的周长和是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的加减，根据长方形的周长公式分别列出表示两个阴影周长的代数式，再利用整式加减的运算法则进行计算即可．先设小长方形卡片的长为a，宽为b，再结合图形得出上面的阴影周长和下面的阴影周长，再把它们加起来即可求出答案． 【详解】解：设小长方形卡片的长为a，宽为b， ∴，， ∴ ， 又∵， ∴， 即图②中两块阴影部分的周长和是． 故选：B． 3．如图，三个边长分别为，，的正方形并排放置，记阴影部分的面积为，则下列关于的说法正确的是（   ） A．的值与的取值无关 B．的值与的取值无关 C．的值与的取值无关 D．的值与，，的取值均有关 【答案】A 【分析】本题考查了整式的混合运算，割补法求阴影部分的面积，三角形的面积等．先将图形补充为一个大长方形，根据阴影部分的面积大长方形的面积空白部分的三个三角形的面积，列出代数式，结合整式的混合运算化简，即可求解． 【详解】解：如图，将图形补充为一个大长方形， 则 ， 即的值与的取值无关． 故选：A． 4．如图，将边长为a的正方形剪去一个边长为b的小正方形后，剩余部分拼成梯形，验证的公式是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，用代数式分别表示出大正方形减小正方形的面积，以及梯形的面积，即可求解． 【详解】解：边长为a的正方形剪去一个边长为b的小正方形后，剩余部分的面积为：， 梯形的面积为：， 可得， 故选B． 5．现有如图所示的卡片若干张，其中A型、B型为正方形卡片，C型为长方形卡片，若要用这三种类型卡片拼成一个长为，宽为的大长方形，则需要C型卡片的张数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】本题主要考查了整式乘整式，解题关键是根据题意求出大正方形的面积．先根据长方形的面积公式求出大长方形的面积，然后根据整式乘法法则计算结果进行判断即可． 【详解】解：大长方形的面积为：， 1张A型卡片的面积是，1张B型卡片的面积是，1张C型卡片的面积是，所以要拼成一个长为，宽为的大长方形，需要A型卡片3张，B型卡片2张，C型卡片7张． 故选：D． 6．如图，用4个相同的长方形与1个小正方形镶嵌成的正方形图案，已知这个正方形图案的面积为49，小正方形的面积为9，我们用x、y表示小长方形的两边长（）．请观察图案，指出以下关系式中不正确的个数有（   ） ①；②；③；④；⑤． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式、平方差公式与几何图形，解题的关键是熟练掌握各知识点并灵活运用． 先得到大正方形边长为，小正方形边长为，即可得到，；再由四个长方形面积与一个小正方形面积之和等于大正方形面积得到，即可判断③；再由和判断④⑤． 【详解】解：∵大正方形图案的面积为49，小正方形的面积为9， ∴大正方形边长为，小正方形边长为， ∴，， 故①②正确； ∵四个长方形面积与一个小正方形面积之和等于大正方形面积， ∴， ∴， 故③正确； ∴， 故④正确； ∴， 故⑤正确， ∴不正确的有0个， 故选：A． 7．如图，正方形分割成四个长方形、、、，它们的面积分别为、、、（其中，），请用含有、的代数式表示正方形的边长 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，根据求出正方形的面积，进而求出其边长即可． 【详解】解：由题意得， ∴正方形的边长为， 故答案为：． 8．如图1，有A，B，C三种不同型号的卡片若干，其中 A型是边长为 a的正方形，B型是长为 b，宽为 a 的长方形，C型是边长为 b的正方形． (1)若选取相应型号和数量的卡片拼出（或镶嵌）了一个符合某乘法公式的图形（如图2），则这个乘法公式是 ； (2)请你选取相应型号和数量的卡片，拼出（或镶嵌）一个符合等式的长方形； (3)现有 A 型卡片1张，B型卡片4张，C型卡片5张，从这10张卡片中拿掉一个卡片，余下的卡片全用上，能拼出（或镶嵌）一个长方形（或正方形）的有多少种拼法？ 请你通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)需要1张A型卡片，3张B型卡片，2张C型卡片 (3)共有两种拼法：①用4张B型卡片，5张C型卡片拼成长为，宽为b的长方形；②用1张A型卡片，4张B型卡片，4张C型卡拼成边长为的正方形 【分析】（1）由图2可得正方形的边长为，从而可得乘法公式为； （2）因为，所以需要1张A型卡片，3张B型卡片，2张C型卡片，拼成长为，宽为的长方形，作图即可解答； （3）分类三种情况讨论：拿走1张A型卡片，或1张B型卡片，或1张C型卡片，求出剩下的卡片的面积之和，然后在实数范围内因式分解，即可得到拼成的长方形． 【详解】（1）解：图（2）是边长为的正方形，面积为， 由其拼接图形可知：用了1张A型卡片，2张B型卡片，1张C型卡片，面积也可表示为， ∴可得乘法公式为：． 故答案为： （2）解：∵， ∴需要1张A型卡片，3张B型卡片，2张C型卡片，拼成长为，宽为的长方形，如图所示． （3）解：拿掉一个卡片，有三种情况： ①若拿掉1张A型卡片，则剩下卡片的面积之和为， ∵， ∴用4张B型卡片，5张C型卡片拼成长为，宽为b的长方形； ②若拿掉1张B型卡片，则剩下卡片的面积之和为， ∵在实数范围内无法因数分解， ∴用1张A型卡片，3张B型卡片，5张C型卡片无法拼出长方形； ③若拿掉1张C型卡片，则剩下卡片的面积之和为， ∵， ∴用1张A型卡片，4张B型卡片，4张C型卡拼成边长为的正方形． 综上所述，共有两种拼法： ①用4张B型卡片，5张C型卡片拼成长为，宽为b的长方形； ②用1张A型卡片，4张B型卡片，4张C型卡拼成边长为的正方形． 9．（24-25七年级上·上海宝山·期中）如图，是边长为a的正方形剪掉一个边长为b的小正方形． (1)请你用虚线将图形分割后再拼成一个长方形，画出图形．原来图形的面积为_________，拼成的长方形面积为______，根据两者的面积关系可以得到等式________． (2)利用你发现的等式求的值． 【答案】(1)画图见解析，；； (2) 【分析】本题考查了平方差公式的几何意义及逆用平方差公式进行简便运算，熟练掌握平方差公式是解题的关键． （1）分别计算原图形（大正方形面积减小正方形面积）和拼成长方形的面积，根据面积相等得平方差等式； （2）将每个逆用平方差公式分解为，展开后通过中间项约分计算结果即可． 【详解】（1）解：用虚线将图形分割后拼成的长方形如图所示： 原来图形的面积大正方形面积小正方形面积； 拼成的长方形的长为、宽为，故面积； ∵拼接前后面积不变， ∴等式为 故答案为：；；； （2）解：由（1）得平方差公式，逆用公式得 则原式 ， 答：该式的值为． 10．（25-26七年级上·上海宝山·阶段练习）如图，现在有A（边长为a的正方形）、B（长、宽分别为a、b的长方形）、C（边长为b的正方形）三种型号的瓷砖若干块，想在面积为的地面上无空隙、无重叠的拼接． (1)需要A瓷砖_______块，B瓷砖_______块，C瓷砖_______块． (2)试在网格图中画出示意图． 【答案】(1)2，7，3 (2)见详解 【分析】本题是考查的是多项式乘法与图形面积，熟练掌握多项式乘法法则是解决本题的关键． （1）根据多项式乘法计算，再根据三种型号的瓷砖的面积即可解答． （2）根据（1）中结论和题意画图即可． 【详解】（1）解：， 根据题意三种型号的瓷砖的面积分别为， 故需要A瓷砖2块，B瓷砖7块，C瓷砖3块， 故答案为：2，7，3； （2）解：如图． 题型六 材料阅读与新定义 【方法点拨】先读懂材料给的「新方法 / 新定义」，再照它的步骤做。三个动作：① 把材料里的操作规则抄成短句；② 把题目条件翻译成符合规则的形式；③ 照规则算完，最后回到原问题作答。常见类型：双十字相乘、待定系数法、苏菲·热门（添项配方）、两位数速算、创新数（平方差表示）、奇偶项系数法。 1．一个正整数如果能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“创新数”，例如，故27，63都是“创新数”，下列各数中，一定是“创新数”的有 （填序号） ①1；②54；③16 【答案】③ 【分析】本题主要考查乘方，平方差公式的计算，二元一次方程组的运用，理解“创新数”的概念及计算是解题的关键． 根据“创新数”的概念及计算逐一判定即可求解． 【详解】解：①设是两个正整数的平方差， ∵， ∴， 解得，不符合题意， ∴1不是“创新数”； ②同理，设是两个正整数的平方差， ∵， ∴，，， 解得，，，不符合题意， ∴54不是“创新数”； ③设是两个正整数的平方差， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴16是“创新数”； 故答案为：③． 2．南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将下表称为“杨辉三角”．则展开式中所有项的系数和是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数字类规律变化问题，由数列可得展开式中所有项的系数和是，据此解答即可求解，掌握数字的变化规律是解题的关键． 【详解】解：当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为， , ∴展开式中所有项的系数和是， ∴展开式中所有项的系数和是， 故选：． 3．阅读材料一：可以展开成一个有规律的整式： ； ； ； ； 阅读材料二：杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把二项式系数图形化．下面我们依次对展开式的各项系数进一步研究发现，当取正整数时可以单独列成表中的形式，表中每个数等于它上方两数之和．例如，在三角形中第二行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数． (1)整式的展开式是一个 次 项式，各项系数和是 ； (2)写出的展开式： ；观察的展开式，各项系数和是 ； (3)利用材料中的规律计算：． 【答案】(1)五；六；32 (2)；64 (3) 【分析】本题考查数字的变化类、列代数式、整式乘整式，解答本题的关键是明确题意，发现整式系数的变化特点，求出所求式子的值． （1）根据表中的规律可以直接写出的展开式，再将各系数的和相加即可得出答案； （2）根据规律可以写出的展开式，再将各系数的和相加即可得出答案； （3）把，代入，即可解答本题． 【详解】（1）解：由题意可得：， 故整式的展开式是一个五次六项式， 各项系数和为：， 故答案为：五；六；32． （2）解：由题意可得：， 各项系数和为：， 故答案为：；64． （3）解：把，代入， 得：， ∴， ∴． 4．阅读下列材料，然后解答问题： 问题：因式分解： 解答；对于任意一元整式，其奇次项系数之和为，偶次项系数之和为，若，则，若，则，在中，因为，，所以把代入整式，得其值为0，由此确定整式中有因式．于是可设，分别求出，值，再代入，就可以把整式因式分解，这种因式分解的方法叫做“试根法”． (1)上述式子中 ， ； (2)对于一元整式，必定有（ ）； (3)请你用“试根法”分解因式：． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了因式分解与多项式乘法之间的关系： （1）利用多项式乘多项式的法则，展开后，利用恒等得到对应项的系数相同，进行求解即可； （2）求出其奇次项系数之和，偶次项系数之和，进行判断即可； （3）根据（2）所求得到是多项式的一个因式，再仿照题意利用试根法，进行因式分解． 【详解】（1）解： ， ， ， 故答案为：，； （2）解：多项式中，奇次项系数之和为，偶次项系数之和为． ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：由（2）可得是多项式的一个因式， ∴可设， ∴ ， ∴， ∴， ∴． 5．（2024--2025学年七年级上上海市静安区期中）阅读下列解题的过程． 分解因式： 解： 请按照上述解题思路完成下列因式分解： (1)； (2)． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 6．（2024-2025学年七年级上上海市宝山区期中）阅读：关于，的二次六项式如果可以分解成二个关于，的一次三项式的乘积，那么可以用一种称为双十字相乘的方法来进行因式分解，具体方法如图所示：先对进行十字相乘分解得，则原式一定可以分解成的形式，然后分别对与进行十字相乘分解，从而确定，，所以． 根据阅读，要求如下： (1)因式分解：； (2)若关于，的多项式可以分解成二个关于，的一次三项式的乘积，求k的值． 【详解】（1）解：∵式子相乘分解得：， ∴原式一定可以分解成的形式， 分别对与进行十字相乘分解，如图所示： ∴． （2）解：将进行因式分解，如图所示： 或 ∴或 ∴或， 当时，无法用十字相乘法进行因式分解； 当时，可以用十字相乘法进行因式分解， 此时原式为，对，，用十字相乘法因式分解，如图所示： ∴此时， ∴时，符合题意． 7．（2024-2025学年七年级上上海市杨浦区期中）阅读材料，完成下列问题． 材料：已知多项式有一个因式是，求的值． 解法一：设， 则：， 比较系数得：，解得：， ∴； 解法二：设（A为整式）； 由于上式为恒等式，为方便计算了取，，故． (1)已知多项式有两个因式分别是和，求和的值； (2)已知多项式除以所得的余数，比该多项式除以所得的余数少1，求的值． 【详解】（1）解：设， 令，则， 令，则， 即， 解得：； （2）解：令， ， 再令，则； 令，则； ∵多项式除以所得的余数，比该多项式除以所得的余数少1， ， ， ， ， ． 8．（2024-2025学年七年级上上海市黄浦区期中）【阅读材料】两个两位数相乘，如果这两个因数的个位数字相同，十位数字的和是10，该类乘法可以利用一种特殊的速算方法： 比如，它们乘积的前两位是，它们乘积的后两位是，所以． 又如，它们乘积的前两位是，它们乘积的后两位是，不足两位，就将9写在个位，十位上写0，所以． 该速算方法可以用我们所学的数学知识说明其合理性： 观察与归纳： (1)观察上述例子，请归纳这种速算方法，并以为例说明； 推理与解释： (2)该速算方法可以将其用字母进行表示，设其中一个因数的十位数字为a，个位数字是b，（a、b表示1~9的整数） 则该数可表示为，另一因数可表示为_______________， 用速算方法得到的结果可以表示为， 请运用所学数学知识，说明满足条件的两个因数相乘所得结果一定与速算方法所得结果相同． 探索与推广： (3)已知某宝藏的开锁密码是一个自然数，是一个正整数的平方，是另一个正整数的平方．你能凭借自己的智慧解开密码获取宝藏吗？（请简要说明你的解密过程和理由） 【详解】（1）解：这种速算方法是：将一因数的十位数字与另一个因数的十位数字加1的和相乘，所得的积作为计算结果的前两位，将两个因数的个位数字之积作为计算结果的后两位（数位不足的两位，用零补齐） 例如： （2）设其中一个因数的十位数字为，个位数字是，（、表示的整数） 则该数可表示为，另一因数可表示为， ∴ ∴满足条件的两个因数相乘所得结果一定与速算方法所得结果相同； 故答案为：；． （3）解：设， ∴ ∴ ∴ ∵是素数， ∴， ∵是正整数， ∴ 解得： ∴ 9．（25-26七年级上·上海嘉定·期中）小米在学习了因式分解之后，尝试着对多项式进行因式分解： ． 解：原式   第一步    第二步 ．   第三步 (1)小米从第一步到第二步因式分解运用的方法是___________法，第二步到第三步因式分解运用的方法是___________法，请你按照上述方法分解因式：； (2)已知的三边长满足，判断的形状并说明理由． 【答案】(1)完全平方公式和提公因式，提公因式， (2)直角三角形，见解析 【分析】本题考查了因式分解的方法． （1）先将多项式分组，再在组内利用完全平方公式和提公因式法分解，最后再整体提公因式即可求解； （2）因式分解后，结合三角形三边长为正数及已知条件，推出a、b、c的关系，从而判断三角形的形状． 【详解】（1）解：完全平方公式和提公因式，提公因式 ． （2）为直角三角形．理由如下： ， ， ， ， ， ， ， 即是直角三角形． 10．（23-24八年级上·江西赣州·阶段检测）阅读下列材料，回答问题．（1）形如型的二次三项式，有以下特点：①二次项系数是1：②常数项是两个数之积；③一次项系数是常数项的两个因数之和． 把这个二次三项式进行因式分解，可以这样来解： ． 因此，可以得． 利用上面的结论，可以直接将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式； (1)________； (2)________； (3)分解因式： (4)分解因式：； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】十字相乘法 【分析】本题主要考查了分解因式，正确理解题意是解题的关键． （1）仿照题意根据，进行分解因式即可； （2）仿照题意根据，进行分解因式即可； （3）仿照题意根据，进行分解因式即可； （4）把看做一个整体，仿照题意根据，进行分解因式即可． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解： ， 故答案为：； （3）解： ； （4）解： ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级上学期 数学期中 六类压轴题型归类复习 沪教版（五四制）· 整式与因式分解 共 6 类题型 · 55 道例题（学生版 · 不含答案） 目 录 题型一 整体代入求值　（10 题） P3 对应考点：整体思想 · 代数式求值 · 幂的运算逆用 题型二 换元技巧　（7 题） P6 对应考点：换元法 · 高次降次 · 设元求值 题型三 规律探究　（10 题） P9 对应考点：数字/图形/算式规律 · 用含 n 的式子表示 题型四 配方法　（8 题） P16 对应考点：配方求最值 · 添项构造完全平方 · 非负性 题型五 代数与几何结合　（10 题） P21 对应考点：面积法验证乘法公式 · 剪拼 · 卡片拼图 题型六 材料阅读与新定义　（10 题） P26 对应考点：阅读理解 · 新定义 · 双十字/待定系数/苏菲·热门 题型一 整体代入求值 【方法点拨】把某个式子（或式子中的一块）看成一个整体，直接整体代入、整体变形，不必求出每个字母。常用套路：① 已知 x²+x=3，求 x²+x+5；② 由 a+b、ab 求 a²+b²=(a+b)²−2ab；③ 由 x+1/x 求 x²+1/x²=(x+1/x)²−2；④ 幂的运算逆用：a^m·a^n=a^(m+n)、(a^m)^n=a^(mn)，把指数拆成已知量的和与倍。 1．若，则的值是（    ） A．7 B．8 C．10 D．13 2．已知代数式的值为7，则的值为 ． 3．当时，代数式；当时，代数式的值是（   ） A． B． C． D． 4．若，则 ． 5．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．在数学中，常常用这样的方法把复杂的问题转化为简单问题．如：若代数式，可得，则代数式 【灵活运用】若，，求的值． 6．我们知道，，类似的，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．请尝试： (1)把看成一个整体，合并的结果是______； (2)已知，求的值； (3)已知，求代数式的值． 7．整体思想是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，把某些式子或图形看成一个整体，进行整体处理．它作为一种思想方法在数学学习中有广泛的应用，因为一些问题按常规不容易求出某一个（或多个）未知量时，根据题目的结构特征，把某一组数或某一个代数式看作一个整体，找出整体与局部的联系，从而找到解决问题的新途径．例如，求的值，我们将作为一个整体代入，则原式． 【尝试应用】 仿照上面的解题方法，完成下面的问题：(1)如果，求的值； (2)当时，代数式的值为，当时，求代数式的值；（用含的代数式表示） 8．已知：，则 ； 9．已知：，则 ． 10．已知，那么 ． 题型二 换元技巧 【方法点拨】把重复出现的一整块式子设为新字母（t、A…），把高次、复杂式降为二次或一次式来处理，最后必须「换回原字母」。注意三点：① 换元后写清 t 的范围（若需要拆开讨论）；② 分解完一定要代回原字母再化简；③ 常见于 (x²−3x)² 型、x⁴ 型、以及「设 x−2007=t」这类整体求值题。 1．因式分解： 2．分解因式：． 3．因式分解：． 4．因式分解： 5．问题发现：若满足，求的值． 小明在解决该问题中，采用了以下解法： 解：设， 则， 所以 请根据小明的解法解决下列问题． （1） 若满足，求的值； （2） 若满足，求的值； （3）拓展延伸：如上图，正方形边长为，，，分别以、为边长作正方形和，四边形和是长方形，且长方形的面积是10，求图中阴影部分的面积．（结果必须是一个具体数值） 6．阅读理解：对于一些次数较高或者是比较复杂的式子进行因式分解时，换元法是一种常用的方法， 下面是某同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：设 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 回答下列问题： (1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的______________（填代号）． A．提取公因式    B．平方差公式    C．两数和的完全平方公式    D．两数差的完全平方公式 (2)按照“因式分解，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止”的要求，该多项式分解因式的最后结果为________________． (3)请你模仿以上方法对多项式进行因式分解． (4)证明：若为正整数，则代数式的值一定是某个整数的平方． 7．分解因式：． 题型三 规律探究 【方法点拨】先算前 3～4 个特例，再找「每一项与序号 n 的关系」，用含 n 的式子表示，最后验证或求和。三个观察角度：数字类看相邻两项的差（等差/平方/乘方）；图形类看「每多摆一个增加几根/几块」；算式类看结构（平方差、完全平方、连续整数和、杨辉三角系数）。 1．（1）填空： 第一行：________； 第二行：________； 第三行：________； 第四行：________． （2）找出规律，写出第n行的等式：________； （3）请说明第行等式成立的理由． 2．我们知道：． 类似的有：①；②；…… (1)验证上述②式成立； (2)再写出一个类似的等式； (3)计算：（结果用含3的幂表示）． 3．阅读材料一：可以展开成一个有规律的多项式： 阅读材料二：杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把二项式系数图形化．下面我们依次对展开式的各项系数进一步研究发现，当取正整数时可以单独列成表中的形式，表中每个数等于它上方两数之和．例如，在三角形中第二行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数． (1)多项式的展开式是一个______次______项式，各项系数和是______； (2)写出的展开式：______；观察的展开式，各项系数和是______； (3)猜想多项式（取正整数）的展开式的各项系数之和（结果用含字母的代数式表示）； (4)利用材料中的规律计算：． 4．观察下列各等式，并回答问题（是正整数）： ；；；；． (1)填空：______； (2)计算：______； (3)计算：______． 5．探究题： 观察下列等式： ， ， ， …… (1)猜想第个等式； (2)利用你的猜想计算：． 6．【情景创设】 是一组有规律的数，我们如何求这些连续数的和呢？ 【探索活动】 （1）根据规律第6个数是 ，是第 个数； （2）我们知道：，那么： 用含有n的式子表示你发现的规律     【方法属示】 ． 这种方法叫“裂项相消”，构造只有符号不同的中间项，将其全部消掉． 【实践应用】 （3）根据上面获得的经验完成下面的计算： 7．（1）小明同学用长度相同的小棒按如图所示的规律拼摆图形，第个图形需要__________根小棒； · 小颖同学给出一种新的拼摆方式，按照小颖的方式拼摆第个图形所需小棒的根数为．请你画图表示小颖的拼摆方式． 8．用小棒摆正方形，列表如下： 正方形个数 摆成的图形 小棒的根数 1    4 2    7 3    10 4    13 …… …… …… (1)每多摆1个正方形，就增加　　　根小棒． (2)摆20个正方形需要多少根小棒？ 9．观察下列算式： ，，，，…… (1)通过观察上述4组算式得到的规律是 ； (2)请证明你得到的规律． (3)利用上面的规律计算． 10．观察下列各等式： 第1个： 第2个： 第3个： … (1)这些等式反映出多项式乘法的某种运算规律，请利用规律填空：若n为大于1的正整数，则_____； (2)利用（1）的猜想计算： （n为大于1的正整数）； (3)拓展与应用：计算 （n为大于1的正整数）． 题型四 配方法 【方法点拨】把 ax²+bx+c 配成 a(x+m)²+n，利用「平方非负」求最值、证非负、比较大小；或「添上一项再减去同一项」构造完全平方，从而完成因式分解。核心公式：x²+bx=(x+b/2)²−b²/4；a²+b²=(a±b)²∓2ab；a²+b²+c²−ab−bc−ca=½[(a−b)²+(b−c)²+(c−a)²]≥0。 1．将多项式变形为的形式，这样的方法叫做配方法．利用配方法和非负数的性质可以求出多项式的最大（小）值．例如：， ， ，当时，多项式有最小值． 已知，为实数，多项式展开后的一次项系数为，多项式展开后的一次项系数为，且，均为正整数，则当时，的最大值为______． 2．阅读材料：“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，如我们把看成一个整体，则． 【尝试应用】 （1） 已知，，，求的值； （2） 【拓展探索】（2）把一个大正方形和四个相同的小正方形按图①、②两种方式摆放，已知，，请观察图形，求图②中的阴影部分面积． 3．阅读材料，并解答问题． 例题：求多项式的最小值． 解：， ，， 多项式的最小值是． (1)请写出例题解答过程中因式分解运用的公式是________； 当取最小值时，______，______． (2)求多项式的最大值． 4．已知，求的值． 5．【阅读材料】19世纪的法国数学家苏菲·热门给出了一种分解因式的方法：他抓住了该式只有两项，而且属于平方和的形式，要使用公式法就必须添一项，随即将此项减去，即可得，人们为了纪念苏菲·热门给出的这一解法，就把它叫做“热门定理”． 【知识应用】（1）利用“热门定理”把分解因式． 【知识迁移】热门定理的本质是构造完全平方，用的是“添项”的方法，对于超过两项的多项式，也可以采取“添项”的方法，先添项再减去这项，构造完全平方进行分解．例如对于二次三项式，可以先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有，像这样的方法统称为“配方法”． （2）请利用“配方法”分解因式： ①； ②． 6．阅读下列文字，解决问题． 先阅读下列解题过程，然后完成后面的题目． 分解因式： 解： 以上解法中，在的中间加上一项，使得三项组成一个完全平方式，为了使这个式子的值保持与的值保持不变，必须减去同样的一项．这样利用添项的方法，将原代数式中的部分（或全部）变形为完全平方的形式，这种方法叫做配方法． 按照这个思路，试把多项式分解因式． 7．对于某些二次三项式可以采用“配方法”来分解因式，阅读下列材料：例如：把分解因式，我们可以这样进行： （加上，再减去 （运用完全平方公式） （运用平方差公式） （化简） 运用此方法解决下列问题： （1）把分解因式． （2）已知：，求多项式的值． 8．阅读下列文字，解决问题． 先阅读下列解题过程，然后完成后面的题目． 分解因式：x4+4 解：x4+4＝x4+4x2+4﹣4x2＝（x2+2）2﹣4x2 ＝（x2+2x+2）（x2﹣2x+2） 以上解法中，在x4+4的中间加上一项，使得三项组成一个完全平方式，为了使这个式子的值保持与x4+4的值保持不变，必须减去同样的一项．这样利用添项的方法，将原代数式中的部分（或全部）变形为完全平方的形式，这种方法叫做配方法． 按照这个思路，试把整式x4+3x2y2+4y4分解因式． 题型五 代数与几何结合 【方法点拨】同一块图形的面积用两种方式表示，就能得到恒等式（乘法公式、因式分解）。解题三步：① 在图上标出关键线段 a+b、a−b、a−2b；② 分别写出「整体算」和「分割算」的面积；③ 令两式相等后化简。剪拼题要盯住「剪掉的部分」与「重合的部分」，卡片拼图题要盯住「张数 = 系数」。 1．两个正方形如图放置，其中B、C、E在同一条直线上，小正方形的边长为6，连、、，则图中阴影部分的面积为（　  　） A．3 B．6 C．12 D．18 2．把四张形状完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为cm，宽为cm）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图②中两块阴影部分的周长和是（   ）． A． B． C． D． 3．如图，三个边长分别为，，的正方形并排放置，记阴影部分的面积为，则下列关于的说法正确的是（   ） A．的值与的取值无关 B．的值与的取值无关 C．的值与的取值无关 D．的值与，，的取值均有关 4．如图，将边长为a的正方形剪去一个边长为b的小正方形后，剩余部分拼成梯形，验证的公式是（  ） A． B． C． D． 5．现有如图所示的卡片若干张，其中A型、B型为正方形卡片，C型为长方形卡片，若要用这三种类型卡片拼成一个长为，宽为的大长方形，则需要C型卡片的张数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 6．如图，用4个相同的长方形与1个小正方形镶嵌成的正方形图案，已知这个正方形图案的面积为49，小正方形的面积为9，我们用x、y表示小长方形的两边长（）．请观察图案，指出以下关系式中不正确的个数有（   ） ①；②；③；④；⑤． A．0 B．1 C．2 D．3 7．如图，正方形分割成四个长方形、、、，它们的面积分别为、、、（其中，），请用含有、的代数式表示正方形的边长 ． 8．如图1，有A，B，C三种不同型号的卡片若干，其中 A型是边长为 a的正方形，B型是长为 b，宽为 a 的长方形，C型是边长为 b的正方形． (1)若选取相应型号和数量的卡片拼出（或镶嵌）了一个符合某乘法公式的图形（如图2），则这个乘法公式是 ； (2)请你选取相应型号和数量的卡片，拼出（或镶嵌）一个符合等式的长方形； (3)现有 A 型卡片1张，B型卡片4张，C型卡片5张，从这10张卡片中拿掉一个卡片，余下的卡片全用上，能拼出（或镶嵌）一个长方形（或正方形）的有多少种拼法？ 请你通过计算说明理由． 9．如图，是边长为a的正方形剪掉一个边长为b的小正方形． (1)请你用虚线将图形分割后再拼成一个长方形，画出图形．原来图形的面积为_________，拼成的长方形面积为______，根据两者的面积关系可以得到等式________． (2)利用你发现的等式求的值． 10．如图，现在有A（边长为a的正方形）、B（长、宽分别为a、b的长方形）、C（边长为b的正方形）三种型号的瓷砖若干块，想在面积为的地面上无空隙、无重叠的拼接． (1)需要A瓷砖_______块，B瓷砖_______块，C瓷砖_______块． (2)试在网格图中画出示意图． 题型六 材料阅读与新定义 【方法点拨】先读懂材料给的「新方法 / 新定义」，再照它的步骤做。三个动作：① 把材料里的操作规则抄成短句；② 把题目条件翻译成符合规则的形式；③ 照规则算完，最后回到原问题作答。常见类型：双十字相乘、待定系数法、苏菲·热门（添项配方）、两位数速算、创新数（平方差表示）、奇偶项系数法。 1．一个正整数如果能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“创新数”，例如，故27，63都是“创新数”，下列各数中，一定是“创新数”的有 （填序号） ①1；②54；③16 2．南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将下表称为“杨辉三角”．则展开式中所有项的系数和是（　　） A． B． C． D． 3．阅读材料一：可以展开成一个有规律的整式： ； ； ； ； 阅读材料二：杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把二项式系数图形化．下面我们依次对展开式的各项系数进一步研究发现，当取正整数时可以单独列成表中的形式，表中每个数等于它上方两数之和．例如，在三角形中第二行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数． (1)整式的展开式是一个 次 项式，各项系数和是 ； (2)写出的展开式： ；观察的展开式，各项系数和是 ； (3)利用材料中的规律计算：． 4．阅读下列材料，然后解答问题： 问题：因式分解： 解答；对于任意一元整式，其奇次项系数之和为，偶次项系数之和为，若，则，若，则，在中，因为，，所以把代入整式，得其值为0，由此确定整式中有因式．于是可设，分别求出，值，再代入，就可以把整式因式分解，这种因式分解的方法叫做“试根法”． (1)上述式子中 ， ； (2)对于一元整式，必定有（ ）； (3)请你用“试根法”分解因式：． 5．阅读下列解题的过程． 分解因式： 解： 请按照上述解题思路完成下列因式分解： (1)； (2)． 6．阅读：关于，的二次六项式如果可以分解成二个关于，的一次三项式的乘积，那么可以用一种称为双十字相乘的方法来进行因式分解，具体方法如图所示：先对进行十字相乘分解得，则原式一定可以分解成的形式，然后分别对与进行十字相乘分解，从而确定，，所以． 根据阅读，要求如下： (1)因式分解：； (2)若关于，的多项式可以分解成二个关于，的一次三项式的乘积，求k的值． 7．阅读材料，完成下列问题． 材料：已知多项式有一个因式是，求的值． 解法一：设， 则：， 比较系数得：，解得：， ∴； 解法二：设（A为整式）； 由于上式为恒等式，为方便计算了取，，故． (1)已知多项式有两个因式分别是和，求和的值； (2)已知多项式除以所得的余数，比该多项式除以所得的余数少1，求的值． 8．【阅读材料】两个两位数相乘，如果这两个因数的个位数字相同，十位数字的和是10，该类乘法可以利用一种特殊的速算方法： 比如，它们乘积的前两位是，它们乘积的后两位是，所以． 又如，它们乘积的前两位是，它们乘积的后两位是，不足两位，就将9写在个位，十位上写0，所以． 该速算方法可以用我们所学的数学知识说明其合理性： 观察与归纳： (1)观察上述例子，请归纳这种速算方法，并以为例说明； 推理与解释： (2)该速算方法可以将其用字母进行表示，设其中一个因数的十位数字为a，个位数字是b，（a、b表示1~9的整数） 则该数可表示为，另一因数可表示为_______________， 用速算方法得到的结果可以表示为， 请运用所学数学知识，说明满足条件的两个因数相乘所得结果一定与速算方法所得结果相同． 探索与推广： (3)已知某宝藏的开锁密码是一个自然数，是一个正整数的平方，是另一个正整数的平方．你能凭借自己的智慧解开密码获取宝藏吗？（请简要说明你的解密过程和理由） 9．小米在学习了因式分解之后，尝试着对多项式进行因式分解： ． 解：原式   第一步    第二步 ．   第三步 (1)小米从第一步到第二步因式分解运用的方法是___________法，第二步到第三步因式分解运用的方法是___________法，请你按照上述方法分解因式：； (2)已知的三边长满足，判断的形状并说明理由． 10．阅读下列材料，回答问题．（1）形如型的二次三项式，有以下特点：①二次项系数是1：②常数项是两个数之积；③一次项系数是常数项的两个因数之和． 把这个二次三项式进行因式分解，可以这样来解： ． 因此，可以得． 利用上面的结论，可以直接将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式； (1)________； (2)________； (3)分解因式： (4)分解因式：； 学科网（北京）股份有限公司 $