专题05 期中解答压轴题汇总8种题型67题（第10～12章，期中专项训练）七年级数学上学期新教材沪教版五四制

专题05 期中解答压轴题汇总8种题型67题 （第10~12章） 题型1 整式加减的几何应用 题型2 整式乘法的几何背景（面积法推导等式） 题型3 平方差公式的几何验证与应用 题型4 完全平方公式的几何验证与配方应用 题型5 乘法公式综合 题型6 因式分解综合 题型7 整式的除法（竖式除法与余式） 题型8 新定义与规律探究 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 整式加减的几何应用（周长/面积表示与化简）（共5小题） 【模型】用含字母的代数式表示矩形/正方形拼接图形的周长或面积，再去括号、合并同类项化简，最后代入已知值求值。常与“无关型”“定值型”结合：代数式化简后不含某字母，则该字母取值不影响结果。 【步骤】① 读图列式：逐段标注边长，按周长=各边之和、面积=大矩形面积−小矩形面积（或各部分面积和）列式；② 去括号：注意括号前是负号时每一项都要变号；③ 合并同类项：只把系数相加减，字母与指数不变；④ 代入求值：先化简再代值，切勿直接代入原式。 【易错】① 去括号时漏乘或不变号，如 −(a−2b) 错写成 −a−2b；② 列式时周长漏掉某条边（特别是内部线段被误算）；③ “与x无关”类题目未化简到不含x就下结论；④ 代入负数时忘记加括号，如 x=−2 代入 x²−3x 写成 −2²−3×−2。 1.如图，四边形是一个长方形，，，，． (1)请用含，，的代数式表示图中阴影部分的面积S． (2)当，，时，求的值． 【详解】（1）解：因为，，，． 所以， ； （2）解：当，，时， ． 2．如图，某体育公园有一块长为米，宽为米的长方形运动场地．场地中间有两块运动区域，分别记作①号和②号区域．阴影部分为人行通道，两条横向通道和三条纵向通道的宽度均相等．已知①号区域的形状是正方形，边长为米，②号区域的形状是长方形． (1)当时，人行通道的宽度为 ____米；②号区域的周长 ____米； (2)求②号区域的周长（用含的代数式表示）． 【详解】（1）解：当时， 人行通道的宽度为：（米）， ②号区域的周长：（米）， 故答案为：5；190． （2）由题意得：人行通道的宽度为：， ②号区域的长与①号区域的长相同， ∵两条横向通道和三条纵向通道的宽度均相等， ∴②号区域的宽为：（米）， ∴②号区域的周长为：（米）． 3．（24-25七年级上·上海浦东新·期中）学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式的值与x的取值无关，求m的值”，通常的解题方法是：把看作字母，m看作系数，合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x的项的系数为0，即原式，所以，则． (1)若多项式的值与x的取值无关，求a值； (2)5张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设左上角的面积为，右下角的面积为，当的长变化时，发现的值始终保持不变，请求出a与b的数量关系． 【详解】（1）解： 由题意得： ； （2）解：设，则 的值与x无关， ． 4．（25-26七年级下·上海金山·期末）取长度为的相同积木，四边对齐叠放，如图1所示．沿平行于积木长边的方向水平向右推动一块积木而不触碰其他积木，在不倾倒的前提下研究积木可延伸多远．结合课本中预备知识解决下列问题． (1)先推动积木①至最远，那么积木①的最远延伸长度是________；再保持积木①、②相对位置不变，推动积木②至最远；最后保持积木①、②、③相对位置不变，推动积木③至最远．如图2，此时积木①②③组合的最远延伸长度是________．（用含的代数式表示） (2)不推动积木①，保持积木①、②相对位置不变，推动积木②至最远，那么积木①②组合的最远延伸长度是________；保持积木①、②、③相对位置不变，推动积木③至最远．如图3，此时积木①②③组合的最远延伸长度是________．（用含的代数式表示） (3)先推动积木①，使得积木①的延伸长度为；再保持积木①、②相对位置不变，推动积木②至最远，此时积木①②组合的最远延伸长度是多少？然后保持积木①、②、③相对位置不变，推动积木③至最远，此时积木①②③组合的最远延伸长度是多少？（用含的代数式表示） 【详解】（1）解：均匀积木重心在中点，上层积木最多能超出下层；多层依次外伸时，第1块相对第2块最多伸，第2块相对第3块最多伸，第3块相对第4块最多伸，…，第n块相对下一块最多伸； 只推积木①至最远：①相对②最多延伸； 再固定①②推②：①②总质量为，②相对③最多延伸， 再叠加①相对②的，总延伸； 再固定①②②推③：①②②总质量为，相对④最多延伸， 总延伸； 故答案为：；； （2）解：固定①，推②至最远：②相对③最多伸，①跟着②一起外伸，总延伸； 固定①②相对位置，三块①②③放在④上，推③至最远， 设③相对④向右伸出，支撑边界为④的右端， 各块重心坐标（以④右端为，向右为正）： ① ②同①，为， ③， 三块总重心等于（临界平衡）： ， 解得 总延伸长度（最右端超出④的总长） ． （3）解：1．积木①先延伸 (相对②超出)，再固定①②推②： 设②相对③最远可伸， 由题意得，解得， 所以①②组合总延伸：； 2．再固定①②推③：①②②总质量为，③相对下层最远可伸， 总延伸：． 5．已知矩形中，点E、F分别是、上的点，，，，且，连接、、， (1)如果和都是等腰直角三角形，求的面积； (2)延长到点M，使得，连接、，求出的面积；（结果都可用含a、b的代数式表示，并化简） (3)如果点P是线段的中点，连接、得到，求的面积并与（1）中的三角形面积相比哪个大，大多少？ 【详解】（1）解：根据和都是等腰直角三角形，可知，， 由矩形的性质可知，． ； （2）解：如图， 由题意知，， 故 ； （3）解：如果点P是线段的中点，则， 故 ， ， 因此的面积比的面积大，大． 题型2 整式乘法的几何背景（面积法推导等式）（共6小题） 【模型】用不同方法计算同一矩形的面积：整体法得 (a+b)(m+n)，分割法得 am+an+bm+bn，从而验证多项式乘多项式法则。常以“3个正方形+6个矩形拼成大长方形”的图出现，要求写出对应的代数恒等式并应用。 【步骤】① 写出大长方形的长和宽，整体面积=长×宽；② 数出各类小正方形/小长方形的个数，写出各部分面积之和；③ 由“整体=部分和”建立等式；④ 利用等式进行简便计算或求代数式的值。 【易错】① 数错小图形个数，特别是交叉重叠区域；② 长和宽写反或漏加边长；③ 得到等式后不会应用，如已知 a+b+c 与 ab+bc+ca 求 a²+b²+c² 时，想不到用 (a+b+c)² 展开式变形；④ 分割方式与等式对应关系写反。 6．（24-25七年级上·上海·期中）如图：一套房子的客厅和房间分别是边长为a米和b米的正方形，厨房和卫生间分别是正方形和长方形． (1)求厨房和卫生间的面积（用含的代数式表示）； (2)当时，求卫生间的面积． 【详解】（1）解：根据题意，厨房和卫生间分别是正方形和长方形且边长相等， 卫生间和厨房的面积为： （2）解：当时， 原式平方米． 7．（24-25七年级上·上海宝山·期中）我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如由图1可以得到．请解答下列问题： (1)写出图2中所表示的数学等式； (2)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，，求的值． 【详解】（1）解：图2的 面 积 可 表 示 为 或 ， 图2中所表示的数学等式为； （2），， ，， ， ． 8．（25-26七年级上·上海松江·期中）有足够多的长方形和正方形卡片，如下图： (1)如果选取1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张，可拼成一个长方形（不重叠无缝隙），请画出这个长方形的草图，并运用拼图前后面积之间的关系，写出这个长方形表示的等量关系． (2)小明想用类似方法解释整式乘法，那么需用1号卡片张2号卡片张，3号卡片张，那么__________． (3)如果要拼成一个大正方形，她先取1号卡片1张，再取2号卡片16张，则她还需取3号卡片__________张． 【详解】（1）)如图所示： 解：由图可知拼成的长方形的长为，宽为， ∴大长方形的面积， ∵拼成的大长方形面积为， ∴大长方形的代数意义为， （2）解：1号正方形的面积为，2号正方形的面积为，3号长方形的面积为， 故根据的结论可知，，，， 所以，， 故答案为：12； （3）解：∵， ∴需要3号卡片8张． 故答案为：8． 9．（24-25七年级上·上海黄浦·期中）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这样方法可将抽象的数学知识变得直观起来．如等式：就可以用（图1）中各长方形的面积来帮助理解，请完成下列问题： (1)写出（图2）中所表示的数学等式：____． (2)从（图3）可得____． (3)请通过画图，说明等式． 【详解】（1）解：由题意可知：； 故答案为：； （2）解：； 故答案为：； （3）证明：如图所示， 根据图形可得： 10．（24-25七年级上·上海·期中）阅读材料：在学习乘法公式时，我们知道可以通过不同方法计算几何图形面积得到一些代数恒等式，例如，通过图①中面积计算可以得到完全平方公式：． (1)仿照图①结论，根据图②，写出一个恒等式________________； (2)利用第（1）题中得到的结论，解决如下问题：若，，则________； (3)小杰用图③中张边长为的正方形，张边长为的正方形，张宽、长分别为、的长方形纸片拼出一个面积为长方形，那么________； (4)事实上，通过不同方法计算几何体的体积也可以得到类似的结论，例如图④展示的是一个边长为的正方体挖去一个小长方体得到的立体图形后重新拼成一个长方体，根据图中的变化关系，写出一个恒等式： ． 【详解】（1）解：由图2得：正方形的面积可表示为， 正方形的面积也可表示为， ， 故答案为：； （2）解：∵， ， ， ， 故答案为：16； （3）解：由题意得：， ， ， ， 故答案为：6； （4）解：∵原几何体的体积， 新几何体的体积， ， 故答案为：． 11．阅读理解下列材料： “数形结合”是一种非常重要的数学思想．在学习“整式的乘法”时，我们通过构造几何图形，用“等积法”直观地推导出了完全平方和公式：（如图1）．所谓“等积法”就是用不同的方法表示同一个图形的面积，从而得到一个等式．如图1，从整体看是一边长为的正方形，其面积为．从局部看由四部分组成，即：一个边长为的正方形，一个边长为的正方形，两个长、宽分别为，的长方形．这四部分的面积和为．因为它们表示的是同一个图形的面积，所以这两个代数式应该相等，即． 同理，图2可以得到一个等式：． 根据以上材料提供的方法，完成下列问题： (1)由图3可得等式：___________； (2)由图4可得等式：____________； (3)若，，，且，，求的值． ①为了解决这个问题，请你利用数形结合思想，仿照前面的方法在下方空白处画出相应的几何图形，通过这个几何图形得到一个含有，，的等式． ②根据你画的图形可得等式：______________； ③利用①的结论，求的值． 【详解】（1）大正方形的面积可表示为=（a+2b）2， 大正方形的面积=各个长方形的面积之和=a2+4ab+4b2， 所以（a+2b）2=a2+4ab+4b2， 故答案为：（a+2b）2=a2+4ab+4b2； （2）大长方形的面积可表示为=（2a+b）（a+2b）， 大长方形的面积=各个长方形的面积之和=2a2++5ab+2b2， 所以（2a+b）（a+2b）=2a2++5ab+2b2， 故答案为：（2a+b）（a+2b）=2a2++5ab+2b2； （3）①所画图形如下： ②正方形的面积可表示为=（a+b+c）2； 正方形的面积=各个矩形的面积之和=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca， 所以（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca． 故答案为：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca； ③∵（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca， ∴a2+b2+c2=（a+b+c）2-2（ab+bc+ca）=92-26×2=81-52=29． 题型3 平方差公式的几何验证与应用（共5小题） 【模型】边长为 a 的大正方形剪去边长为 b 的小正方形（一角），剩余部分沿虚线剪开拼成一个长为 (a+b)、宽为 (a−b) 的长方形。由面积相等得： 【步骤】① 左图阴影面积 = 大正方形面积 − 小正方形面积 = a²−b²；② 右图长方形面积 = 长×宽 = (a+b)(a−b)；③ 由面积相等得平方差公式；④ 套用公式做简便运算，如 102×98 = (100+2)(100−2) = 10000−4 = 9996。 【易错】① 判断“谁是a谁是b”出错——必须是“平方项减去平方项”，且两平方项符号相反；② 形如 −x²+y² 的题目不会提取负号后再用公式；③ 简便计算时凑错数，如 99×101 应凑成 (100−1)(100+1)；④ 几何拼题中拼后长方形的宽写成 (a−b) 还是 (b−a) 搞混（必须为正，取 a>b）。 12．（25-26七年级上·上海黄浦·阶段检测）如图1所示，有一块边长为的正方形物料，其中心是边长为的正方形空白．为避免浪费，在图1沿虚线将该物料切割成四个完全相同的图形，并将切割后的物料拼成一个平行四边形重新利用，如图2所示． (1)结合图1、图2的面积关系，你认为可以验证哪一个乘法公式？ (2)若分米，分米，求该物料的面积． 【详解】（1）解：∵图1中阴影部分的面积为；图②的面积可以表示为， ∴； （2）解：当，时， ， 即该物料的面积为28平方分米． 13．某数学兴趣小组在学习了“平方差公式”后，构造了如图9的四种图形，想用“等面积法”来验证“平方差公式”： (1)【探究】以上四种方法中能够验证“平方差公式”的有______；（填序号） (2)【应用】利用“平方差公式”计算： (3)【拓展】计算： 【详解】（1）解：图①中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是底为，高为的平行四边形，面积为， ∴，故图①可以验证平方差公式； 图②中，左图阴影部分的面积，右图阴影部分的面积可以表示为，故图②不能验证平方差公式； 图③中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是底为，高为的平行四边形，面积为， ∴，故图③可以验证平方差公式； 图④中，左图阴影部分的可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是长为，宽为的长方形，面积为， ∴，故图④不能验证平方差公式； 故答案为：①③ （2）解： ； （3）解：∵ ∴原式 ． 14．从边长为的正方形中减掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是______． A．        B．        C． (2)运用你从（1）写出的等式，完成下列各题： ①已知：，求的值； ②计算：． 【详解】（1）从边长为的正方形中减掉一个边长为的正方形（如图，然后将剩余部分拼成一个长方形（如图， 图1剩余部分的面积为，图2的面积为，二者相等，从而能验证的等式为：． 故选：B． （2）①， ， ； ②原式 15．（26-27七年级上·上海杨浦·阶段检测）初中数学的一些代数公式可以通过几何图形的面积来推导和验证． 如图①，从边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形后，将其沿虚线裁剪，然后拼成一个矩形（如图②）． (1)通过计算两个图形的面积（阴影部分的面积），可以验证的乘法公式是_______；（直接填字母） A． B． C．D． (2)小丽在计算时利用了（1）中的公式： ________．（请你将最后结果补充完整） (3)仿照以上的结论和方法，计算： 【详解】（1）解：图①中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即， 图②是长为，宽为的长方形，因此面积为， 由图①、图②中阴影部分面积相等可得，故选项B符合题意． （2）解：原式 …… ． （3）解：原式 …… ． 16．从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．    (1)上述操作能验证的等式是______；（请选择正确的一个） A． B． C． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值； ②计算：； ③计算：． 【详解】（1）解：图1中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的图2是长为，宽为的长方形，因此面积为， 所以有， 故答案为：B； （2）①，即，而， ； ②原式 ； ③原式 ． 题型4 完全平方公式的几何验证与配方应用（共17小题） 【模型】边长为 (a+b) 的大正方形，由1个边长 a 的正方形、1个边长 b 的正方形和2个长 a 宽 b 的矩形拼成，验证： 变体：(a−b)² = a²−2ab+b²。压轴常考“配方求最值”或“已知 a+b 与 ab 求 a²+b²”。 【步骤】① 由图形写出 (a+b)² = a²+2ab+b²；② 常用变形：a²+b² = (a+b)²−2ab = (a−b)²+2ab；(a−b)² = (a+b)²−4ab；③ 配方时加上再减去一次项系数一半的平方；④ 求最值：写成 (□)²+常数，由平方非负得最小值。 【易错】① 漏掉中间项的系数2，写成 (a+b)² = a²+b²（最高频错误）；② 符号错误：(a−b)² = a²−2ab+b²，不是 a²−2ab−b²；③ “完全平方式”求待定系数时漏掉正负两解，如 x²+kx+16 中 k=±8；④ 配方时加减不配对，破坏原式的值。 17.如图，教材第20页通过面积法得到完全平方公式，请你观察图形，回答下列问题： (1)写出 ，，之间的等量关系：________． (2)已知 ，，求的值； (3)如图2，将边长为a的正方形和边长为b的正方形叠放在一起，B，C，G三点在同一条直线上，连结和．若这两个正方形的边长满足，，请求出阴影部分的面积． 【详解】（1）解：观察图形可知，大正方形的边长为， ∴面积为， 这个大正方形由四部分构成，分别是： 两个边长分别为、的长方形，一个边长为的小正方形和一个边长为的小正方形， ∴这四部分的面积和为：， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为：， ， ∵，，， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为：． 18．（25-26七年级上·上海青浦·期中）现有如图1的8张大小、形状相同的直角三角形纸片，三边长分别是、、．用其中4张纸片拼成如图2的大正方形（空白部分是边长分别为和的正方形）；用另外4张纸片拼成如图3的大正方形（中间的空白部分是边长为的正方形）． (1)思考： 结论①：从整体看，整个图形的面积等于各部分面积的和．所以图2和图3的大正方形的面积都可以表示为； 结论②：图2中的大正方形的面积又可以用含、的代数式表示为：___________； 结论③：图3中的大正方形的面积又可以用含、、的代数式表示为：________； 结合结论②和结论③，可以得到等式：________________________． (2)应用：若分别以直角三角形三边为直径，向外作半圆（如图4），三个半圆的面积分别记作、、，且，求的值； (3)延伸：若分别以直角三角形三边为直径，向上作三个半圆（如图5），其中，，，求图中阴影部分的面积之和． 【详解】（1）解：图2大正方形面积等于四个直角三角形的面积加上两个正方形的面积， ∴图2面积为：； 图3大正方形的面积等于四个直角三角形的面积加上中间空白正方形的面积， ∴图3面积可表示为：； ∴， ∴ ∴结合结论②和结论③，可以得到等式； （2）解：， ， ， ， ， 解得； （3）解：由（2）可知：， ∴阴影部分面积和为：， ， ∴阴影部分面积和为：． 19．（25-26七年级上·上海·阶段检测）完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题． (1)若，求的值． (2)①若，则_________． ②若，则_________． (3)如图，点C是线段上的一点，以为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积．    【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：①∵，， ∴， ∴； ②∵，， ∴， ∴； （3）解：设，则：， ， ∴， ∴， ∴阴影部分面积． 20．观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为， 【类比探究】 （1）观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和的运算为______． 【应用】 （2）根据图②所得的公式，若，，求的值． （3）若x满足，求的值． 【拓展】 （4）如图③，某学校有一块梯形空地，于点E，，，该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草，经测量种花区域的面积和为102平方米，米，求种草区域的面积和． 【详解】解：（1）∵图②中大正方形的边长为，阴影部分两个正方形的边长分别为a，b，两个长方形的宽和长分别为a，b， 大正方形的面积为，阴影部分两个正方形的面积分别为，长方形的面积为， 又阴影部分两个正方形的面积之和大正方形的面积两个长方形的面积， ， 故答案为：； （2）由（1）的结论得：， 又， ； （3）设，则， ， ， ， 由（1）的结论得：， ， ； （4）设， 于点E，米， （平方米），（平方米），（平方米），平方米，（米）， 种花区域的面积和为102平方米， ， ， 由（1）的结论得：， ， ， 种草区域的面积和为：（平方米）， 答：种草区域的面积和为60平方米． 21．（25-26七年级上·上海松江·期中）“数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔裂分家万事休．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式． （1）如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为a和b的两个正方形，长宽分别为a和b的两个长方形，利用这个图形可以验证公式__________． 利用上述公式解决问题： 【直接应用】 （2）若，，则__________； 【类比应用】 （3）若，求的值． 【知识迁移】 （4）如图②，点在线段上，四边形、都是正方形，连接、、．若阴影部分的面积和为10，的面积为3，求的长度． 【详解】解：（1）图①从“整体上”看是边长为的正方形，因此面积为，拼成图①的四个部分的面积和为， 所以利用这个图形可以验证公式． 故答案为：． （2）， ， 当，时， ． 故答案为：32． （3），， ； （4）设正方形的边长为m，正方形的边长为n， 则，，， ，， ，， ， ， ， ，， ，即． 22．（25-26七年级上·上海·期中）阅读理解：我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式． （1）如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为和的两个正方形，长宽分别为和的两个长方形，利用这个图形可以验证公式________， 利用上述公式解决问题： 【直接应用】 （2）若，，则________； 【类比应用】 （3）若，求的值； 【知识迁移】 （4）将两个正方形，如图，摆放，若两个正方形面积之和为65，，求图中阴影部分面积和． 【详解】解：（1）图①从“整体上”看是边长为的正方形，因此面积为，拼成图①的四个部分的面积和为，所以， 所以这个图形可以验证公式：， 故答案为：； （2）， ， 故答案为：； （3） ； （4）设正方形的边长为m，正方形的边长为n，由题意可得， ，， ， ， ， ， ． 23．（25-26七年级上·上海·期中）现有若干个正方形纸片，从中任取两个大小不等的正方形如下图摆放，、、三点在一条直线上． (1)如图①，，，这两个正方形的面积之差是________．（用、的代数式表示） (2)如图②，如果大正方形和小正方形的面积之和是4，图中阴影部分的面积为1，则是_________． (3)如图③，大正方形和小正方形的面积之和是25，的长度等于7，图中阴影部分的面积是________． (4)如图④，正方形和正方形的边长分别为，如果，，求图中阴影部分面积之和是多少？ 【详解】（1）解：设正方形的边长为x，正方形的边长为y，， 根据题意得， 解得， ∴这两个正方形的面积之差是： ． （2）解：由（1）可得 ． ∵大正方形和小正方形的面积之和是4，图中阴影部分的面积为1， ∴， 解得， ∴． （3）解：设正方形的边长为x，正方形的边长为y， 根据题意得， ∴， ∴阴影部分的面积之和为． （4）解：∵，， ∴ ， ∴阴影部分的面积为： ． 24．（25-26七年级上·上海·阶段检测）【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形．把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图2）．图1中阴影部分面积可表示为：，图2中阴影部分面积可表示为，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：． 【拓展探究】图3是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个正方形． （1）根据图形可得到一个关于、、的等量关系式是______； （2）结合以上信息，灵活运用公式，解决如下问题： ①已知，，则 ． ②已知，求的值． 【知识迁移】 （3）如图5，红岭中学前不久举办了第一届“智启未来，科技筑梦”校园科技节活动，其中创意竞赛要求设计一款由两个正方形构成的光学元件模型．其中大正方形与小正方形的边长分别为a和b．已知两正方形边长之和，边长之积，且E为中点．模型中阴影部分为特殊光线吸收区域，其面积大小直接影响光学元件对光线的吸收效果，进而决定模型的光学性能．为优化设计，需精确计算图中阴影部分的面积总和，求该阴影部分面积总和． 【详解】解：（1）方法1：用大正方形面积减去四个小长方形面积列式可得：， 方法2：用小正方形的边长列式可得：； 故答案为：；； ∵方法1和方法2表示的图形面积相等， ∴； 故答案为：； （2）①∵，， ∴， ∴ ， 故答案为：24； ②∵，， ∴ ， ∴； （3）阴影部分面积和为： ， ∵，， ∴， ∴阴影部分面积和等于． 25．【知识生成】通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．例如：如图①是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．请解答下列问题： （1）观察图②，请你写出、、之间的等量关系是______； （2）根据（1）中的等量关系解决如下问题：若，，求的值； 【知识迁移】类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式； （3）根据图③，写出一个代数恒等式：_________； （4）已知，，利用上面的规律求的值． 【详解】解：（1）用两种方法表示出个长方形的面积：即大正方形面积减中间小正方形面积等于个长方形面积，可得：； 故答案为：； （2）由题（1）知：， ∵，， ； （3）根据题意得：； 故答案为：； （4）由（3）可知， 把，代入得： ． 26．（25-26七年级上·上海闵行·阶段检测）我国著名数学家华罗庚曾说：数缺形时少直觉，形缺数时难入微，数形结合思想是解决问题的有效途径．请阅读材料完成： (1)算法赏析：若满足，求的值． 解：设，则 ……请继续完成计算； (2)算法体验：若满足，求的值； (3)算法应用：如图，已知数轴上A、B、C表示的数分别是m、10、13．以为边作正方形，以为边作正方形，延长交于．若正方形与正方形面积的和为117，求长方形的面积． 【详解】（1）解：设，则， ； （2）解：设，，则，， ∴ ； （3）解：正方形的边长为，面积为，正方形的边长为，面积为， 则有， 设，，则，， 所以长方形的面积为： ， 答：长方形的面积为54． 27．（25-26七年级上·上海宝山·期中）通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式． (1)根据图①写出阴影部分的面积所得的等式：__________，并解决如下问题：若，求的值； (2)正方形、正方形如图②所示方式摆放，边长分别为x、y．若，，请求出图中阴影部分的面积； (3)类似地，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个等式．图③是由2个正方体和6个长方体拼成的一个大正方形，请写出一个等式； (4)已知，利用（3）中的恒等式求的值． 【详解】（1）解：由图1可知，大正方形面积为或， ， ， ； （2）由图可知，四边形和都是正方形， 设，，， ，又， ， ， ， ， ， ， 阴影部分的面积为8； （3）由图3得，正方体体积表示为， 也可以表示为， ， 即； （4）， 由（3）得， ， 28．（25-26七年级上·上海金山·期中）【追本溯源】“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法．利用“数形结合”的思想，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形角度解决代数问题．我们在学习“整式乘法公式”时．通过构造几何图形，用“等积法”直观地验证了平方差公式和完全平方和公式，如图和：，． 【初步应用】 （1）请你利用图2中的两个正方形画出一个几何图形来验证完全平方和公式，用字母a、b标注相关边长并简单说明你的验证思路，同时写出该数学等式______． 【拓展应用】 （2）请利用上述验证的恒等式解决如下问题： ①若、，求ab的值； ②正方形ABCD和AEFG如图3所示方式摆放，已知，，，且，求图中阴影部分的面积； 【迁移应用】 （3）类似的，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，如图4是由2个正方体和6个长方体拼成的一个大正方体，用它可以验证恒等式：，已知，，利用上述恒等式，求的值． 【详解】解：（1）整体上是保持为的正方形，因此面积为，拼成图2的四个部分的面积和为， 所以有， 故答案为：； （2）①， ， 又， ； ②如图，，，，则， ， ， 即， ， ， 解得， ， ， ， ； （3），即，而，， ， ， ，即， 29．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）我国著名数学家华罗庚曾经说过：“数缺形时少直觉，形缺数时难入微”，数形结合是数学研究的重要手段． 问题一： 当，，则__________． 问题二：如图所示，已知正方形和正方形，连接，得直角三角形，如果两个正方形的面积和为7，的长为4，则三角形的面积为____________． 问题三：如图所示，数轴上有，，三点，分别对应数字，9，11．分别以，为边构造正方形和正方形，延长交于点，若两正方形面积和为13，求长方形的面积．（写出必要解题过程） 【详解】解：问题一： ∵， ∴ ∵，， ∴ ∴ 则； 问题二：设正方形的边长，正方形的边长， ∵正方形和正方形，连接，得直角三角形，如果两个正方形的面积和为7， ∴， ∵的长为4， ∴， 结合图形，得直角三角形的面积为， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即直角三角形的面积为； 问题三：∵数轴上有，，三点，分别对应数字，9，11． ∴ ∵分别以，为边构造正方形和正方形，延长交于点， ∴正方形的面积为正方形的面积为 ∵两正方形面积和为13， ∴， 依题意，长方形的面积， 令， ∴，长方形的面积，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即长方形的面积， 30．（25-26七年级上·上海黄浦·阶段检测）如图，有A、B、C三种不同规格型号的卡片，每种卡片各有30张．其中型卡片是边长为的正方形，型卡片是长为、宽为的长方形，型卡片是边长为的正方形，其中．现在从这些卡片中取出若干张卡片（每种卡片至少取一张）无缝隙、无重叠的拼成一个长方形． (1)若取出型卡片__________张、型卡片__________张、型卡片__________张，可以拼成一个长为、宽为的长方形； (2)若取出型卡片1张、型卡片6张，请先判断需要抽取几张型卡片才能拼成长方形，再画出相应的长方形； (3)若将选取的卡片拼成一个正方形： ①若一共选取50张卡片，能否拼成一个正方形？请说明理由． ②若，请用含的代数式表示能拼成的正方形面积的最大值．请直接写出答案，不必说明理由． 【详解】（1）解：长方形的面积为． 型卡片面积为型卡片面积为型卡片面积为， 需要型卡片2张、型卡片5张、型卡片2张， 故答案为：2，5，2； （2）解：设需要张型卡片，面积为，则总面积为， 将其因式分解，， 需要5张型卡片， 如图所示： （3）解：①设选取张型卡片，张型卡片，张型卡片， 拼成的正方形边长为（为正整数）， 则面积为， ，且， 即， 50不是完全平方数，且为正整数， 不存在这样的，不能拼成一个正方形； ②当时： 型卡片面积为， 型卡片面积为， 型卡片面积为， 设拼成的正方形边长为（为正整数），则正方形面积为， 该面积可表示为张型卡片、张型卡片、张型卡片的面积和， 即（其中，且， 整理得， ， ， 由于，则， 则取最大为14的整数， 当时，，存在可行解如（满足且）， 能拼成的正方形面积的最大值为． 31．（25-26七年级上·上海闵行·期中）【阅读材料】“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法．比如：在学习“整式的乘法”时，我们通过构造几何图形，用“等积法”直观地推导了完全平方和公式：（如图1）．利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题． 【方法应用】根据以上材料提供的方法，完成下列问题： (1)由图2可得等式：_______；由图3可得等式：_______； (2)利用图3得到的结论，解决问题：若，，求的值； (3)如图4，若用其中张边长为的正方形，张边长为的正方形，张边长分别为、的长方形纸片拼出一个面积为长方形（无空隙、无重叠地拼接），则_______； (4)如图4，若有张边长为的正方形纸片，张边长分别为、的长方形纸片，张边长为的正方形纸片．从中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张．把取出的这些纸片拼成一个正方形（无空隙、无重叠地拼接），则拼成的正方形的边长最长可以为_______． (5)已知正数、、和、、，满足．试通过构造边长为的正方形，利用图形面积来说明． 【详解】（1）解：由图2可得等式， 由图3可得等式， 故答案为：，； （2），，， ； （3）， 长方形可以看成张边长为的正方形，张边长为的正方形，张边长分别为、的长方形纸片拼成的大长方形， ，，， ； 故答案为：； （4）想从中取出若干张纸片拼成一个正方形（无空隙、无重叠地拼接）， 选取的纸片的面积和必须构成完全平方式， 可以选取张边长为的正方形纸片、张边长分别为、的长方形纸片、张边长为的正方形纸片，此时围成的正方形面积为， 此时正方形的边长为； 选取张边长为的正方形纸片、张边长分别为、的长方形纸片、张边长为的正方形纸片，此时围成的正方形面积为， 此时正方形的边长为， ， 拼成的正方形的边长最长为， 故答案为：； （5）证明：如图， 构造了一个边长为的正方形，， 在正方形的个边上分别截取，，， ， ，，，， 个长方形的面积和为，大正方形的面积为， ． 32．（25-26七年级上·上海·阶段检测）数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释．如下用几个小的长方形、正方形拼成一个大的正方形，然后利用两种不同的方法计算这个大的正方形的面积，可以得到一个等式，利用这些等式也可以求一些不规则图形的面积． (1)如图1所示的大正方形，是由两个正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成的．用两种不同的方法计算图中阴影部分的面积，可以得到的数学等式________； (2)如图2，由几个面积不等的小正方形和几个小长方形拼成一个边长为的大正方形，用不同形式表示这个大正方形的面积，从中你能发现的等式可表示为________； (3)利用（2）中的结论解决以下问题：已知，，可得的值为________； (4)如图3，由两个边长分别为，的正方形拼在一起，点，，在同一直线上，连接、，若，，请利用（1）中的结论，求图3中阴影部分的面积． 【详解】（1）解：依题意得：； 故答案为：； （2）解：依题意得：； 故答案为：； （3）解：由（2）可知：， ∴， 即：， 又∵ ∴； 故答案为：21； （4）解： ． 当，时， 原式． 33．（24-25七年级上·上海虹口·期中）如图3，现有三种类型的卡片： 1号卡片：边长为的正方形卡片； 2号卡片：边长为的正方形卡片； 3号卡片：相邻两边分别为、的长方形卡片，其中． (1)填空：如图4，选取1号卡片1张、2号卡片2张、3号卡片3张，拼成一个长方形(不重叠无缝隙)．运用面积之间的关系说明图中所表示的数学等式：_____． (2)填空：小明同学想用张1号卡片，张2号卡片，张3号卡片拼出一个面积为的长方形，那么的值为_____． (3)现有1号、2号、3号卡片各5张，请你设计：从这15张卡片中取出若干张，拼成一个最大的正方形(按原纸张进行无空隙、无重叠拼接)，画出你的拼法设计，并写出这个最大的正方形的边长． (4)将某些卡片按照下列两种情形分别放入一个长方形盒子的底部，经测得盒子底部的长方形的长比宽多5． 情形一：将1张1号卡片和1张3号卡片如图5放置，两张卡片的相邻两边分别与长方形盒子底部的边贴合，纸片间有重叠，记图中阴影部分面积为； 情形二：将1张1号卡片和1张2号卡片如图6放置，两张卡片各有一边与长方形盒子底部的边贴合，纸片间有重叠，记图中阴影部分面积为． 如果，求2号卡片的边长． 【详解】（1）解：拼成的“大长方形”的长为，宽为，因此面积为，拼成“大长方形”的6个部分的面积和为， 所以有， 故答案为：； （2）解：1号卡片的面积为，2号卡片的面积为，3号卡片的面积为，所拼成的长方形面积为， 所以需要1号卡片20张，2号卡片21张，3号卡片43张， 即，，， ， 故答案为：84； （3）解：可以拼成边长为的正方形， 答：拼成最大面积的正方形边长为． （4）解：设长方形的长为，则宽为． 由题意：， ， ， ，即2号卡片的边长为． 题型5 乘法公式综合（共5小题） 34．（24-25七年级上·上海·期中）我国著名数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”可见，数形结合思想在解决数学问题，理解数学本质上发挥着重要的作用．在一节数学活动课上，老师带领同学们在拼图活动中探寻整式的乘法的奥秘． (1)情境一：如下图，甲同学将4块完全相同的等腰梯形木片拼成如下两个图形，请你用含a、b的式子分别表示图1和图2中阴影部分的面积，直接写出由此可以得到的乘法公式； (2)情境二：如图3，乙同学用4块A木片、1块B木片和若干块C木片拼成了一个正方形， ①请直接写出所拼正方形的边长（用含a、b的式子表示）：_________． ②直接写出所用C木片的数量：_________块． (3)情境三：丙同学声称自己用以上的三种木片，2块A，4块B，7块C拼出了一个面积为的长方形；丁同学认为丙同学的说法有误，至少需要从中去掉一块木片才能拼出长方形．你赞同哪位同学的说法，请求出该情况下所拼长方形的长和宽，并画出相应的图形．（要求：所画图形的长宽与图样一致，并标注每一小块的长与宽）． 【答案】(1)图中阴影部分的面积为，图中阴影部分的面积为，乘法公式为 (2)①；②4 (3)长为，宽为， 长方形如图： 【详解】（1）解：如图，设等腰梯形的高为，   ， ， 图中阴影部分的面积： ， 图中阴影部分的面积：， ， ， 故可得到的乘法公式为：； （2）解：设乙同学用4块A木片、1块B木片和m块C木片拼成了一个正方形，则该正方形的面积为， 当时，， 所拼正方形的边长为，所用木片的数量为4， 故答案为：①；②4； （3）解：赞同丁同学的说法；去掉个以后， ， 该情况下所拼长方形的长为，宽为 35．（23-24七年级上·上海松江·期中）如图，正方形是由两个长为a、宽为b长方形和两个边长分别为a、b正方形拼成的． (1)根据上图，利用正方形面积的不同表示方法，直接写出、、之间的关系式，这个关系式是 ； (2)若x满足，请利用（1）中的数量关系，求的值； (3)如图所示，正方形、长方形、长方形和正方形的面积分别为，，和，已知，，求及的值． 【详解】（1）解：依题意，大正方形面积等于两个小正方形面积加上两个长方形面积， 则； （2）解：因为（1）中的数量关系， 所以， 因为 所以， 则； （3）解：依题意，因为四边形是正方形 所以， 因为，， 所以， 则 因为，， 所以， 即； 因为， 所以 因为，且 所以，即，得或 因为和为边长， 所以舍去 则． 36．阅读材料： 已知：满足，求的值． 设，， 则，， 因此． 用上面的方法解下列问题： (1)已知：，求的值； (2)如图，已知正方形的边长为，、分别是边、上的点，、，分别以、为边作正方形． ①______，______（用含的式子表示）； ②若长方形的面积是48，试求阴影部分的面积． 【详解】（1）解：设， ∴， ∴ ； （2）解：①∵四边形是长方形、、四边形是正方形、 ， ，， 故答案为：． ②∵长方形的面积是48 ， ， 设， ∴，     ， ， 又， ， ∴阴影部分面积 即阴影部分的面积是 ． 37．（25-26七年级上·上海杨浦·期中）如图，线段长度为，在线段上截取线段，再延长至，使，，分别做正方形、正方形和正方形． (1)分别计算图中长方形和阴影部分图形的面积，可以发现一个乘法公式_________； (2)如果已知图中正方形、正方形的面积分别是7和3，计算长方形的面积； (3)分别连接、、、，如果已知正方形的面积是，正方形的面积是，用含、的代数式表示四边形的面积． 【详解】（1）解：由题意得，长方形的面积， 阴影部分图形的面积， ∴可以发现一个乘法公式为； 故答案为：； （2）解：∵正方形、正方形的面积分别是7和3， ∴，， ∴， 整理得，，即， 长方形的面积； （3）解：∵正方形的面积是，正方形的面积是， ∴，， ∴四边形的面积 ． ． 38．（25-26七年级上·上海·期中）请完成以下题目： (1)如图，在边长为a的正方形纸片上剪去一个边长为的小正方形，通过不同的方法计算图中阴影部分的面积．方法①________；方法②_______由此可以验证的乘法公式是_____． (2)类似地，在棱长为a的正方体上割去一个棱长为的小正方体（如图），通过不同的方法计算图中余下几何体的体积．方法①_______；方法②_______．由此可以得某个多项式因式分解的等式是______，并用所学过的知识说明这个等式成立． (3)结合并使用（2）得到的等式分解因式：． 【详解】（1）解：方法①： 方法②： 可以验证的乘法公式为： 证明：右边左边 ； 故答案为：；；； （2）方法①： 方法②： 可以验证的乘法公式为： 证明：右边 左边 ； 故答案为：；；； （3）解： ． 题型6 因式分解综合（共16小题） 【模型】掌握提公因式法、公式法（平方差、完全平方），压轴拓展分组分解法与十字相乘法。常见子模型： （1）分组分解法：四项式采用“二二分组”或“一三分组”。 （2）十字相乘法：x²+(p+q)x+pq = (x+p)(x+q)。 （3）整除问题：把多项式因式分解后，观察因式中是否含题目指定的因数。 （4）判断三角形形状：等式两边乘2，配方成 (a−b)²+(b−c)²+(c−a)²=0，得 a=b=c，为等边三角形。 【步骤】① 一提：先看有无公因式，有则先提；② 二套：两项考虑平方差，三项考虑完全平方或十字相乘；③ 三分组：四项考虑分组分解；④ 四检查：必须分解到每个因式都不能再分解为止。 【易错】① 分解不彻底：如 x⁴−16 分解到 (x²+4)(x²−4) 就停笔，忘了 x²−4 还能继续分解为 (x+2)(x−2)；② 分组失败：二二分组后组内无公因式，应换一三分组（如 x²−2x+1−y² = (x−1)²−y²）；③ 十字相乘时符号配错：x²−5x+6 应分解为 (x−2)(x−3)，不是 (x+2)(x+3)；④ 三角形形状题忘记两边乘2直接配方；⑤ 提公因式时漏提系数的最大公约数或漏提某项。 39．（26-27七年级上·上海·阶段检测）通过课堂的学习知道，我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：例如，，像这样先添加一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称之为配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等等，如：因为，可知当时，的最小值是．请阅读以上材料，并用配方法解决下列问题： (1)因式分解：； (2)已知为任何实数，若，，通过计算判断的大小关系． 【详解】（1）解：； （2）解， ， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴． 40．（25-26七年级上·上海·期中）对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式，这样的二次三项式称为“完全平方式”．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有： 像这样，先添上适当的项，与其他两项构成完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．请利用“配方法”解决下列问题： (1)因式分解：； (2)若，求x的值． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， 由于， 则， 解得， 因此的值为． 41．（25-26七年级上·上海徐汇·期中）阅读：分解因式． 解：原式 此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项为完全平方式，我们称这种方法为“配方法”，此题为用配方法分解因式，请体会配方法的特点，然后用配方法解决下列问题： 因式分解： (1)； (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 42．（25-26七年级上·上海崇明·期中）阅读下列解题的过程． 分解因式： 解： 以上解法中，在的中间加上一项，使得三项组成一个完全平方式，为了使这个式子的值保持与的值相等，必须减去同样的一项.请按照上述解题思路完成下列因式分解： (1)； (2)． 【详解】（1）解： ； （2）解： 43.阅读以下材料：配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式： 再例如：求代数式的最小值，．可知当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)当________时，有最小值是________； (2)根据材料内容，求代数式的最大值； (3)已知：，，求代数式的值． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，有最小值， ∵时，， ∴时，的最小值为7． （2）解：∵ ， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴代数式的最大值为； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴代数式的值为． 44．（25-26七年级上·上海普陀·期中）如果一个整数能表示成（是整数）的形式，那么称这个数为“完全数”．例如，，那么10是“完全数”．再如，（是整数），所以M也是“完全数”． (1)请你再写一个小于10的“完全数”：______； (2)请判断是整数是否是“完全数”，并说明理由； (3)已知（是整数，k是常数），如果S是“完全数”，求k的值； (4)如果整数m，n都是“完全数”，试说明：也是“完全数”． 【详解】（1）解：， 是完全数， 故答案为：（答案不唯一）； （2）是，理由如下： ， （是整数）是“完全数”； （3）解：时，S为“完全数”，理由如下： ， 对于任意整数x、y，S都是“完全数”，，也是整数， ∴，即，S是完全数； （4）证明：设，（为整数）， ， 、b、c、d是整数， ，都是整数， 是完全数． 45．（25-26七年级上·上海·期中）因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入多项式，发现能使多项式的值为0． 那么反过来，在因式分解只含有字母x的整式时，当我们发现一个数a可以使该整式的值为0，那么这个整式一定有一个因式为，进而求出其他因式，我们把这种方法称为试根法因式分解．例如因式分解，当时，原式的值为0，因此一定有因式，设， 因为 解得， 所以， 利用上述规律，回答下列问题： (1)若是多项式的一个因式，求k的值． (2)若和是多项式的两个因式，试求m、n的值，并将该多项式因式分解． (3)分解因式：． 【详解】（1）解：当时，， ∵是多项式的一个因式， ∴当时，， ∴， ∴； （2）解：∵和是多项式的两个因式， ∴当或时，， ∴或时，， ∴， 解得， ∴原多项式为； （3）解： 当时，， 当时， ∴，是多项式的一个因式， 设， ∴， ∴， ∴， ∴． 46．（25-26七年级上·上海杨浦·期中）阅读材料 我们学过因式分解，如：，这时就说和是的因式． 那么，不进行因式分解能不能判断这样的式子是不是某个整式的因式呢？ 对于整式我们分别计算： 当时，原式；当时，原式； 当我们把和分别代入，整式的值都等于0，那么和就是整式的两个因式．通过归纳发现： 如果当时，一个整式的值等于0，那么就一定是这个整式的一个因式． 反过来，如果是整式的一个因式，那么当时，这个整式的值一定等于0． 请你根据上述材料解决以下问题：已知整式， (1)请判断是否是整式的一个因式； (2)当整式的一次项系数变为时，而仍是它的一个因式．求此时的值； (3)请尝试将整式进行因式分解． 【详解】（1）解：当时， ， ∴是整式的一个因式； （2）当整式的一次项系数变为时， ， ∵是它的一个因式， ∴， 解得：； （3）， 当时， ； 当时， ； 当时， ； ∴和、就是整式的因式， ∴． 47．（25-26七年级上·上海·期中）阅读下列材料： 【材料一】在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，这种方法就是换元法． 对于． 解法一：设，则原式 ； 解法二：设，，则原式 ． 【材料二】将因式分解． 解法一：原式； 解法二：原式 对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法． 请按照上面介绍的方法解决下列问题： (1)因式分解：； (2)因式分解：； 【详解】（1）解：解法一：， 则原式， ； 解法二：设， 则原式， ； （2）设， 原式 ． 48．（25-26七年级上·上海普陀·期中）数学活动课上，老师准备了若干张如图1所示的三种卡片，A种卡片是边长为的正方形，B种卡片是长、宽分别为的长方形，C种卡片是边长为的正方形． (1)小普同学用2张A种卡片、5张B种卡片、2张C种卡片拼出了如图2所示长方形，请借助图形因式分解： ． (2)如图3，已知线段将长方形分成左右两个长方形，，． 小普同学拿了5张图1中的卡片，按图4方式，不重叠地放在长方形内，长方形中有两个部分（阴影部分）未被覆盖，设左上角的阴影部分面积为，右下角的阴影部分面积为．当时，的值始终保持不变，与应满足怎样的数量关系？ 小普同学拿了15张图1中的卡片（其中有7张B种卡片）．在不剪裁、无缝隙、不重叠的情况下，小普同学用全部卡片恰好铺满图3中的长方形，求此时长方形的边长（用含的代数式表示），并画出一种长方形内的卡片放置图． 【答案】(1) (2)； ， 作图如下图所示： 【详解】（1）图2九个部分的面积和为，整体上看是长为，宽为的长方形，因此面积为， 所以有， 故答案为：； （2）解：设， 由图4可知，，， ． 因为当的长度变化时，的值始终保持不变，即的系数为0， 所以． 设 ， 因为用了B种卡片7张，A、C种卡片共8张． 49．（25-26七年级上·上海·期中）数形结合思想是初中数学学习中很重要的一种思维方法，“数”的精确描述与“形”的直观刻画，使代数问题与几何问题相互转化．“以形释数”是利用数形结合思想解决代数问题的一种体现．做整式的乘法运算时，常利用几何直观的面积法得出结论． ［问题探究］ 探究1：如图1所示，大正方形的边长是 ，它是由两个小正方形和两个长方形组成的，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和．根据等积法，我们可以得出结论：． 探究2：请你根据探究1所使用的等积法，从图2中探究出的结果． ［结论］ (1) ________________________； ［应用结论］ (2)因式分解： ________________________； (3)已知 ， ，分别求 与的值． 【详解】（1）解：大正方形的边长是 ，它是由三个小正方形和六个长方形组成的， ∴大正方形的面积等于这九个图形的面积之和， ∴； （2）解：由（1）得， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵ ， ， ∴，    ， ∵， ∴          ． 50．（25-26七年级上·上海·期末）若一个数是一个整数的平方，则称这个数是完全平方数，类似地，多项式及称作完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式． 原式； 例如：求代数式的最小值． 原式．可知当时，有最小值，最小值是． (1)用配方法分解因式：； (2)当为何值时，代数式有最大值，并求出这个最大值． (3)求使得是完全平方数的所有整数的积(直接写出答案)． 【详解】（1）解：； （2）解：， ， 当即时，代数式有最大值，最大值为； （3）解：设(为非负整数)， 配方得：， 两边乘4得：，即， 、为整数， 和均为整数，且为的整数因数对，且， 的整数因数对为：、、、，分情况求解： ①当，两式相加得，解得； ②当，两式相加得，解得； ③当，两式相加得，解得； ④当，两式相加得，解得； 所有整数为5、2、、，它们的积为． 51．（25-26七年级上·上海普陀·期中）如图，现有三种不同型号的卡片若干张，其中型卡片是边长为的正方形，型卡片是长为、宽为的长方形，型卡片是边长为的正方形，其中请你尝试根据以下两种情况，用不同数量的三类卡片，不重叠无缝隙地拼成一个大正方形． (1)用张型正方形卡片，2张型长方形卡片和1张型正方形卡片，拼成一个大正方形，请画出大正方形的拼接示意图，并写出该大正方形的边长为______； (2)用4张型正方形卡片，12张型长方形卡片和______张型正方形卡片，可以拼成一个大正方形，此时这个大正方形的边长为______； (3)三种不同型号的卡片各有9张，从其中取若干张卡片（每种卡片至少取1张），取出的这些卡片正好能拼成一个大正方形，当所拼成的大正方形面积最大时，此时需要三类卡片共多少张？ 【详解】(1)， 大正方形的边长为， （2）解：， ， 张型正方形卡，大正方形的边长是， 故答案为：9，； （3）解：设大正方形边长为， 大正方形的面积为：（为正整数）， 三种不同型号的卡片各最多是9张： ：，：，：， 每种卡片至少取1张， 要使面积最大，需让最大因， 逐一分析m、n的可能取值：当时，，取满9张，正方形的面积最大， 代入，得， 故， 型卡片数量：， 型卡片数量：， 大正方形边长：， 总面积：， 此时三种不同型号的卡片总数为：张． 52．（25-26七年级上·上海·期中）阅读材料： 在乘法公式的学习中，我们通过用不同的方法求同一平面图形的面积验证了平方差公式和完全平方公式．这种方法称为等面积法．类似地，通过不同的方法求同一个立体图形的体积，称为等体积法．根据课堂学习的经验，解决下列问题： 在一个棱长为的正方体中挖出一个棱长为的正方体，如图（1）所示．然后切割剩余的立体图形，如图（2）所示．将之分成三部分，如图（3）所示．这三部分长方体的体积依次为、、． (1)将图（3）中三块长方体体积和因式分解：_________． (2)图（1）中立方体的体积和图（3）中三块长方体体积和相同，利用等体积法能得到等式：________． (3)利用在（2）中所得到的等式进行因式分解：_________． (4)应用：若已知，，则的值． 【详解】（1）解：分解因式：， 故答案为：； （2）解：图（1）中立方体的体积可表示为； 图（1）中立方体的体积也可表示为即； 利用等体积法，能得到公式：， 故答案为：； （3）解：； （4）解：因为，， 所以 ， 故答案为：81． 53．（24-25七年级上·上海·期中）阅读理解： 条件①：无论代数式A中的字母取什么值，A都不小于常数M；条件②：代数式A中的字母存在某个取值，使得A等于常数M；我们把同时满足上述两个条件的常数M叫做代数式A的下确界． 例如： ， ， （满足条件①） 当时，（满足条件②） 4是的下确界． 又例如： ，由于，所以，（不满足条件②）故4不是的下确界． 请根据上述材料，解答下列问题： (1)求的下确界． (2)若代数式的下确界是1，求m的值． (3)求代数式的下确界． 【详解】（1）解：， ∵， ∴（满足条件①）， 当时，（满足条件②）， ∴是的下确界； （2）解：∵代数式的下确界是1， ∴可设， ∵， ∴， ∴， 解得：， 即：； （3）解： ， ∵， ∴（满足条件①）， 当，即时，（满足条件②）， ∴6是的下确界 54．数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释．如图1，有足够多的边长为的小正方形，长为、宽为的长方形以及边长为的大正方形． 利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式，例如图2可以解释整式乘法：，也可以解释因式分解：． (1)若用4个类材料围成图3的形状，设外围大正方形的边长为，内部小正方形的边长为，观察图案，指出下列关系式中正确的是（写出所有正确结论的序号）______． ①；②；③；④；⑤． (2)若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为，在虚框中画出图形，并根据所画图形，将多项式分解因式为______． (3)若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为则的值为______．（直接写出结果） 【答案】(1)①③④⑤ (2)图形如图所示， (3)9或21或12 【详解】（1）解：由图形可得，、，故①正确， ∴，即②错误； 由图形可得，，即，即③正确； ∵、， ∴，即，即④正确； ∵，，即故⑤正确． 故答案为：①③④⑤． （2）解：． 故答案为：． （3）解：由题意可得， ①当，， ②当，， ③当，． 故答案为：9或21或12． 题型7 整式的除法（竖式除法与余式）（共5小题） 【模型】多项式除以多项式，类似整数竖式除法。被除式 = 除式 × 商式 + 余式，当余式次数低于除式次数时除法结束。常考：已知被除式和除式求商式与余式，或已知除不尽求待定字母。 【步骤】① 降幂排列：被除式与除式都按同一字母降幂排列，缺项补0；② 竖式相除：用被除式首项除以除式首项得商首项，乘去除式后相减；③ 重复：把余式与下一项拼接，继续除；④ 终止：余式次数低于除式次数时停止，写出余式。 【易错】① 缺项不补0，导致对位错误；② 每次相减时符号出错（特别是负数）；③ 余式次数判断不清，多除或少除一步；④ 求待定系数时列方程错误，应利用“余式=0”（整除）或“余式=已知常数”列等式。 55．阅读下列材料，并完成相应任务． 整式除法——列竖式 我们已经学习过多项式除以单项式，多项式除以多项式一般可用竖式计算． 例如：计算，可用竖式计算． 步骤如下： ①把被除式、除式按x降幂排列，并把所缺的项用零补齐； ②用被除式的第一项除以除式第一项2x，得到商式的第一项； ③用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），再把两式相减； ④把相减所得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续相除，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止． 被除式除式商式余式．若余式为零，说明这个多项式能被另一个多项式整除． 因为该算式的余式为0，所以可以被整除． 任务： (1)填空：______，______． (2)请按照材料中的方法，列竖式求． 【详解】（1）根据题意得， ， 故答案为：2，； （2）根据题意得， ∴． 56．阅读与思考 我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？请同学们阅读“刻苦小组”的项目实施过程，帮助他们解决项目实施过程中遇到的问题． 项目主题：竖式的方法解决多项式除以多项式． 项目实施： 任务一  搜集资料：我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的次数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数． （1）请把按的指数从大到小排列：________． 任务二  竖式计算： 如下边竖式中，13579除以112，商为121，余数为27，而如下边竖式中，多项式除以，商式为，余式为． （2）“刻苦小组”把小学的除法运算法则运用在多项式除法运算上，这里运用的数学思想是________． A．数形结合      B．类比    C．方程 任务三  学以致用 （3）请计算的商式与余式． 【详解】解：（1）由题意可得， ， ∴按x的指数从大到小排列是：； （2）由题意可得， “刻苦小组”把小学的除法运算法则运用在多项式除法运算上，运用了类比的思想， 故选B； （3）由题意可得， ∴的商式是，余式是． 57．我们把形如的整式称为关于x的一元n次多项式，记作，…等等. 将整数的带余除法类比到一元多项式，我们可类似地得到带余式的大除法，其关系式为：，其中表示被除式，表示除式，表示商式，表示余式，且的次数小于的次数. 我们来举个例子对比多项式除法和整数除法，如下左式中，除以，商为，余数为：而如下右式中，多项式除以，商式为，余式为. 请根据以上材料，解决下面的问题： (1)多项式除以，请补全下面的计算式 所以，除以所得的商式为 ，余式为 ． (2)若多项式除以所得的余式为，求的值． 【答案】(1) 如图， ，； (2)． 【详解】（1） 除以 除以 的商式为，余式为， 故答案为：，； （2）由题意设商式为， 则有：， 等式左边整理得，， ∴，， 解得，， ∴，， ∴． 58．（25-26七年级上·上海闵行·期末）材料一：整式除以整式——长除法 类比于两数相除可以用竖式运算，整式除以整式也可以用竖式运算．其步骤是： （1）把被除式和除式按同一字母降幂排列（若有缺项用零补齐）； （2）用竖式进行运算； （3）当余式的次数低于除式的次数时，运算终止，得到商式和余式． 例如，求的商式和余式，可以计算： 因此，商式是，余式是． 材料二： 对于关于x的一元整式M，其奇数次项系数之和为m，偶数次项系数之和为n． 若，则当时，M的值为0；若，则当时，M的值为0． 例如，对于一元整式，由、得，所以把代入整式，得其值为0． 由此可以确定整式有因式，于是可设．分别确定p、q的值，再代入，就可以因式分解整式，这种因式分解的方法叫作“试根法”． 阅读上述两则材料，回答问题： (1)整式除以整式，商式是______，余式是______． (2)材料二中，______，______． (3)对于一元整式，必定有当______，其值为0． (4)根据材料一和材料二，因式分解______． 【答案】(1)；0 (2)； (3) (4) 【详解】（1）解：整式除以整式的长除法如下： 因此，商式是，余式是0． 故答案为：；0； （2）解：整式除以整式的长除法如下： 因此，商式是，余式是0． 则 所以，． 故答案为：；； （3）解：对于一元整式， 由、得， 所以把代入整式，得其值为0． 故答案为：； （4）解：由（3）得，整式有因式， 整式除以整式的长除法如下： 因此，商式是，余式是0． 则， 又因为， 所以 故答案为：． 59．（25-26七年级上·上海·期中）课本上在面对整式除法的时候告诉了我们长除法的方法，根据因式分解的定义我们可以发现，如果我们知道一个整式其中的一个因式，那么通过长除法得到的余式一定是0，商式则是这个整式的另一个因式，所以现在我们也可以利用长除法帮助我们一起分解因式．下面请先阅读课本上的材料并解决下列问题． 整式除以整式——长除法 类比于两数相除可以用竖式运算，整式除以整式也可以用竖式运算．其步骤是： （1）把被除式和除式按同一字母降幂排列（若有缺项用零补齐）； （2）用竖式进行运算； （3）当余式的次数低于除式的次数时，运算终止，得到商式和余式． 例如，求的商式和余式，可以计算： 因此，商式是，余式是． (1)小明在对进行因式分解后检查答案，答案中有一个因式中的符号被墨水遮挡看不清了，请使用长除法来帮助小明判断这个因式是什么？ (2)已知整式有一个因式是，请试着运用长除法将整式进行因式分解． (3)①已知有一个因式是，请问★处的数字应该是几？ (4)②已知整式有一个因式是，求，，之间存在的关系． 【详解】(1)， 若因式为，那么用长除法操作如下： 若因式为，用长除法操作如下： 故该因式为； (2)， 用长除法操作如下： 故； （3）解：用长除法操作如下： 那么， ∴为； （4）解： 用长除法操作如下： 那么， ∴． 题型8 新定义与规律探究（贾宪三角·阅读理解）（共8小题） 【模型】课本“阅读材料”介绍贾宪三角（杨辉三角），展示 (a+b)ⁿ 展开式系数规律。压轴题给出新运算定义（如“三角⊗运算”）或数阵规律，要求迁移到整式乘法公式。 【步骤】① 精读定义：用自己的话复述新运算规则，注意左右顺序；② 代入试算：用题目给出的具体数字算一遍，验证自己理解是否正确；③ 找规律：观察贾宪三角相邻两行系数关系（下一行每个数=肩上两数之和）；④ 迁移应用：把规律推广到一般情况，用整式表达。 【易错】① 新运算左右顺序搞反，如 a⊗b 与 b⊗a 含义不同；② 规律只看表面数字，不验证相邻两项关系；③ 贾宪三角第n行对应 (a+b)ⁿ⁻¹ 的系数，行号对应错；④ 写一般式时漏项或系数写错（如 (a+b)³ = a³+3a²b+3ab²+b³）。 60．（23-24七年级上·上海奉贤·期中）阅读并填空： 我们已经学习了多项式乘以多项式，可以计算以下的式子， __________． __________．（结果按字母x降幂排列） __________．（结果按字母x降幂排列） …… 观察以上等式右边的各项系数的规律，这些系数的规律早在11世纪就已经被我国数学家贾宪发现．如图被后人称为“贾宪三角”． 利用“贾宪三角”可知：__________． “贾宪三角”中还蕴含了许多数字产生的规律，如第三斜列的数字1、3、6、10、15…也有规律，若数字1是第1个数，数字3是第2个数，那么第n个数是__________（用含n的式子表示）． 【详解】解 ：由题意知，． ． ． 利用“贾宪三角”可知：． ∵第1个数为， 第2个数为， 第3个数为， 第4个数为， 第5个数为， …… ∴可推导一般性规律为：第n个数是． 故答案为：，，，，． 61．（25-26七年级上·上海·期中）阅读材料，并解决问题． 对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（）才发现指数与对数之间的联系．我们知道，n个相同的因数a相乘记为，如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为，即． 一般地，若（且，），则n叫做以a为底b的对数，记为，即．如，则4叫做以3为底81的对数，记为，即． (1)【概念理解】计算下列各对数的值：__________，__________，__________． (2)【性质发现】 ①观察、、之间满足的关系式是__________． ②归纳：__________（，且，，）． ③请你根据同底数幂的乘法的运算性质（m，n是正整数）以及对数的含义说明上述结论． (3)【拓展延伸】 ①当且，，时，__________． ②计算：__________． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴； （2）解：①由（1）得，，， ∵， ∴； ②由①得，且 ∴（，且，，）． ③ 设，，（m，n是正整数） 则根据对数定义，, 利用同底数幂的乘法性质：， ∴, 即； （3）解：①当且，，时， 设，， 则根据对数定义，， 利用同底数幂的除法性质：， ∴， 即， ， ②， ∵， ∴， ∴． 62．（24-25七年级下·湖南郴州·期末）阅读下列素材，完成相应的任务． 平衡多项式 素材一： 定义：对于一组多项式：，，（a，b，c都是非零常数），当其中一个多项式的平方与另外两个多项式的乘积的差是一个常数m时，称这样的三个多项式是一组平衡多项式，m的值是这组平衡多项式的平衡因子． 素材二： 例如：对于多项式，，， 因为， 所以多项式，，是一组平衡多项式，其平衡因子为1． 任务一： 小明发现多项式，，是一组平衡多项式，在求其平衡因子时，列式如下：，根据他的列式求该组平衡多项式的平衡因子． 任务二： 判断多项式，，是否为一组平衡多项式，若是，求出其平衡因子；若不是，说明理由． 任务三： 若多项式，，是一组平衡多项式，求p的值． 【答案】任务一：该组平衡多项式的平衡因子为9；任务二：该组多项式是平衡多项式，其平衡因子为16；任务三：或或 【详解】解：任务一：， 答：该组平衡多项式的平衡因子为9； 任务二：， 答：该组多项式是平衡多项式，其平衡因子为16； 任务三：①当 时， ∵多项式，，（p为非零常数）是一组平衡多项式， ∴， 解得：， ②当 时， ∵多项式，，（p为非零常数）是一组平衡多项式， ∴， 解得：， ③当 时， ∵多项式，，（p为非零常数）是一组平衡多项式， ∴， 解得：， 综上，或或． 63．（24-25七年级上·上海杨浦·期中）如果．那么称为的劳格数，记为，由定义可知，和所表示的、两个量之间具有同一关系． (1)根据定义，填空：______． (2)劳格数有如下性质：，，根据运算性质。回答问题： ①______．（为正数） ②若．求、的值。 【详解】（1）解：由新定义可得，， ∴； （2）解：① ； ②∵， ∴； 由题意得， ． 64．（25-26七年级上·上海·期中）阅读材料：如果将（为非负整数）的展开式的每一项按字母的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式： ，它只有一项，系数为1； ，它有两项，系数分别为1，1； ，它有三项，系数分别为1，2，1； ，它有四项，系数分别为1，3，3，1； 将上述每个式子的各项系数排成该表． 观察该表，可以发现每一行的首末都是1，并且下一行的数比上一行多1个，中间各数都写在上一行两数的中间，且等于它们的和．按照这个规律可以将这个表继续往下写，以此确定的展开式．该表在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，因而人们把这个表叫做杨辉三角． (1)应用规律：①直接写出的展开式，___________； ②先化简，再求值：，其中． (2)杨辉三角和斐波那契数列有着密切的联系，如图，把杨辉三角左对齐排列，将同一条斜线上的数字求和，计算可得，该数列从第三项开始，每一项都等于其前两项之和，即 若，且，则的值为___________（用表示）． 【答案】(1)①，②， (2) 【详解】（1）解：①根据题意，的展开式有五项，系数分别为1，4，6，4，1， ． ② ， ∵， 原式 ． （2）解：∵，该数列从第三项开始，每一项都等于其前两项之和，即， ∴，； ，； ，； ，； 可得， 当时，成立； 假设当时成立， 当时，， ∵， ∴， 因此，当时规律也成立， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 65．阅读材料，回答问题． 材料一：因为，，所以． 材料二：求的值． 解：设①， 则②， 用②①得.， 所以，即，所以． 这种方法我们称为“错位相减法”． (1)填空：； (2)“棋盘摆米”是一个著名的数学故事：阿基米德与国王下棋，国王输了，国王问阿基米德要什么奖赏．阿基米德对国王说：“我只要在棋盘上第一格放一粒米，第二格放二粒，第三格放四粒，第四格放八粒…按这个方法放满整个棋盘就行．”国王以为要不了多少粮食，就随口答应了． ①国际象棋共有64个格子，则在第64格中应放______粒米； ②设国王输给阿基米德的总米粒数为S，求S． 【详解】（1）解：由题意得，， 故答案为：9； （2）解：①由题意得，第一格放的米粒数为； 第二格放的米粒数为； 第三格放的米粒数为； 第四格放的米粒数为； … 第n格放的米粒数为， 在第64格中应放粒米； 故答案为：； ②由题意得： ， 则， ， 即． 66．（24-25七年级上·上海·阶段检测）在我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著回的《详解九章算术》（1261年）一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，法国数学家帕斯卡于1654年才发现此三角形，比中国晚了几百年，杨辉在注释中提到，在他之前北宋数学家贾宪（1050年左右）也用过这种方法，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”或“贾宪三角”．此图揭示了”（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律： (1)补充完整的展开式，　　　． (2)的展开式中共有　　　项，所有项的系数和为　　　； (3)利用上面的规律计算：． (4)今天是星期五，过了天后是星期几？（直接写答案） 【详解】（1）解：利用“杨辉三角”或“贾宪三角”，如图所示：    ， 故答案为：； （2）解：由题意得，利用“杨辉三角”或“贾宪三角”，如图所示：    共2项，所有项系数的和为； 共3项，所有项系数的和为； 共4项，所有项系数的和为； …… ∴共项，所有项系数的和为， ∴共8项，所有项系数的和为， 故答案为：8，； （3）解：由题意可知 ， ∴可取，， 即原式； （4）解：今天是星期五，过了天后是星期六， ∵（a，b，c，d，e，为各项的系数） ∵都能被7整除， ∴除以7余1， ∴如果今天是星期五，过了天后是星期六． 67．（25-26七年级上·上海宝山·期末）【阅读理解】 如果一个正整数能表示成（是正整数）的形式，那么称这个正整数为“方差数”． 小明采用举例的方式，有序地列出了一些“方差数”，想从中寻找规律： ， ，， ，，， 小杰采用不同的方法，找到一类“方差数”，试图发现“方差数”更本质的特征： 设为正整数且，因为， 所以这样的数都是“方差数”，即所有奇数（1除外）都是“方差数”． 【尝试运用】 （1）填空：①16______“方差数”（填“是”或“不是”）； ②因为（____）（____），所以2025是“方差数”； （2）已知（是正整数且，是常数），请写出的值，使得不论取何值，都是“方差数”，并说明理由； 【深入探究】 （3）你能像小杰一样找到一类“方差数”吗？如果能，试描述你找到的这类“方差数”的特征，并说明理由； （4）请写出40到50之间的所有“方差数”（不包含40和50）． 【详解】（1）解：①， 16是“方差数”； ②因为， 所以2025是“方差数”． 故答案为：①是；②1013，1012． （2）解：当时，不论取何值，都是“方差数”，理由如下： ， 要使不论取何值，都是“方差数”， 则，即， 此时，， 是正整数且， 和都是正整数，且，满足“方差数”的定义， 当时，无论不论取何值，都是“方差数”． （3）解：能． 设为正整数且， 则， 所以这样的数都是“方差数”， 即所有4的倍数（4除外）都是“方差数”． （4）解：由题意和（3）可知，所有奇数（1除外）都是“方差数”， 所有4的倍数（4除外）都是“方差数”， 所以40到50之间（不包含40和50）的所有“方差数”是：41，43，44，45，47，48，49． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 期中解答压轴题汇总8种题型67题 （第10~12章） 题型1 整式加减的几何应用 题型2 整式乘法的几何背景（面积法推导等式） 题型3 平方差公式的几何验证与应用 题型4 完全平方公式的几何验证与配方应用 题型5 乘法公式综合 题型6 因式分解综合 题型7 整式的除法（竖式除法与余式） 题型8 新定义与规律探究 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 整式加减的几何应用（周长/面积表示与化简）（共5小题） 【模型】用含字母的代数式表示矩形/正方形拼接图形的周长或面积，再去括号、合并同类项化简，最后代入已知值求值。常与“无关型”“定值型”结合：代数式化简后不含某字母，则该字母取值不影响结果。 【步骤】① 读图列式：逐段标注边长，按周长=各边之和、面积=大矩形面积−小矩形面积（或各部分面积和）列式；② 去括号：注意括号前是负号时每一项都要变号；③ 合并同类项：只把系数相加减，字母与指数不变；④ 代入求值：先化简再代值，切勿直接代入原式。 【易错】① 去括号时漏乘或不变号，如 −(a−2b) 错写成 −a−2b；② 列式时周长漏掉某条边（特别是内部线段被误算）；③ “与x无关”类题目未化简到不含x就下结论；④ 代入负数时忘记加括号，如 x=−2 代入 x²−3x 写成 −2²−3×−2。 1.如图，四边形是一个长方形，，，，． (1)请用含，，的代数式表示图中阴影部分的面积S． (2)当，，时，求的值． 2．如图，某体育公园有一块长为米，宽为米的长方形运动场地．场地中间有两块运动区域，分别记作①号和②号区域．阴影部分为人行通道，两条横向通道和三条纵向通道的宽度均相等．已知①号区域的形状是正方形，边长为米，②号区域的形状是长方形． (1)当时，人行通道的宽度为 ____米；②号区域的周长 ____米； (2)求②号区域的周长（用含的代数式表示）． 3．（24-25七年级上·上海浦东新·期中）学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式的值与x的取值无关，求m的值”，通常的解题方法是：把看作字母，m看作系数，合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x的项的系数为0，即原式，所以，则． (1)若多项式的值与x的取值无关，求a值； (2)5张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设左上角的面积为，右下角的面积为，当的长变化时，发现的值始终保持不变，请求出a与b的数量关系． 4．（25-26七年级下·上海金山·期末）取长度为的相同积木，四边对齐叠放，如图1所示．沿平行于积木长边的方向水平向右推动一块积木而不触碰其他积木，在不倾倒的前提下研究积木可延伸多远．结合课本中预备知识解决下列问题． (1)先推动积木①至最远，那么积木①的最远延伸长度是________；再保持积木①、②相对位置不变，推动积木②至最远；最后保持积木①、②、③相对位置不变，推动积木③至最远．如图2，此时积木①②③组合的最远延伸长度是________．（用含的代数式表示） (2)不推动积木①，保持积木①、②相对位置不变，推动积木②至最远，那么积木①②组合的最远延伸长度是________；保持积木①、②、③相对位置不变，推动积木③至最远．如图3，此时积木①②③组合的最远延伸长度是________．（用含的代数式表示） (3)先推动积木①，使得积木①的延伸长度为；再保持积木①、②相对位置不变，推动积木②至最远，此时积木①②组合的最远延伸长度是多少？然后保持积木①、②、③相对位置不变，推动积木③至最远，此时积木①②③组合的最远延伸长度是多少？（用含的代数式表示） 5．已知矩形中，点E、F分别是、上的点，，，，且，连接、、， (1)如果和都是等腰直角三角形，求的面积； (2)延长到点M，使得，连接、，求出的面积；（结果都可用含a、b的代数式表示，并化简） (3)如果点P是线段的中点，连接、得到，求的面积并与（1）中的三角形面积相比哪个大，大多少？ 题型2 整式乘法的几何背景（面积法推导等式）（共6小题） 【模型】用不同方法计算同一矩形的面积：整体法得 (a+b)(m+n)，分割法得 am+an+bm+bn，从而验证多项式乘多项式法则。常以“3个正方形+6个矩形拼成大长方形”的图出现，要求写出对应的代数恒等式并应用。 【步骤】① 写出大长方形的长和宽，整体面积=长×宽；② 数出各类小正方形/小长方形的个数，写出各部分面积之和；③ 由“整体=部分和”建立等式；④ 利用等式进行简便计算或求代数式的值。 【易错】① 数错小图形个数，特别是交叉重叠区域；② 长和宽写反或漏加边长；③ 得到等式后不会应用，如已知 a+b+c 与 ab+bc+ca 求 a²+b²+c² 时，想不到用 (a+b+c)² 展开式变形；④ 分割方式与等式对应关系写反。 6．（24-25七年级上·上海·期中）如图：一套房子的客厅和房间分别是边长为a米和b米的正方形，厨房和卫生间分别是正方形和长方形． (1)求厨房和卫生间的面积（用含的代数式表示）； (2)当时，求卫生间的面积． 7．（24-25七年级上·上海宝山·期中）我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如由图1可以得到．请解答下列问题： (1)写出图2中所表示的数学等式； (2)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，，求的值． 8．（25-26七年级上·上海松江·期中）有足够多的长方形和正方形卡片，如下图： (1)如果选取1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张，可拼成一个长方形（不重叠无缝隙），请画出这个长方形的草图，并运用拼图前后面积之间的关系，写出这个长方形表示的等量关系． (2)小明想用类似方法解释整式乘法，那么需用1号卡片张2号卡片张，3号卡片张，那么__________． (3)如果要拼成一个大正方形，她先取1号卡片1张，再取2号卡片16张，则她还需取3号卡片__________张． 9．（24-25七年级上·上海黄浦·期中）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这样方法可将抽象的数学知识变得直观起来．如等式：就可以用（图1）中各长方形的面积来帮助理解，请完成下列问题： (1)写出（图2）中所表示的数学等式：____． (2)从（图3）可得____． (3)请通过画图，说明等式． 10．（24-25七年级上·上海·期中）阅读材料：在学习乘法公式时，我们知道可以通过不同方法计算几何图形面积得到一些代数恒等式，例如，通过图①中面积计算可以得到完全平方公式：． (1)仿照图①结论，根据图②，写出一个恒等式________________； (2)利用第（1）题中得到的结论，解决如下问题：若，，则________； (3)小杰用图③中张边长为的正方形，张边长为的正方形，张宽、长分别为、的长方形纸片拼出一个面积为长方形，那么________； (4)事实上，通过不同方法计算几何体的体积也可以得到类似的结论，例如图④展示的是一个边长为的正方体挖去一个小长方体得到的立体图形后重新拼成一个长方体，根据图中的变化关系，写出一个恒等式： ． 11．阅读理解下列材料： “数形结合”是一种非常重要的数学思想．在学习“整式的乘法”时，我们通过构造几何图形，用“等积法”直观地推导出了完全平方和公式：（如图1）．所谓“等积法”就是用不同的方法表示同一个图形的面积，从而得到一个等式．如图1，从整体看是一边长为的正方形，其面积为．从局部看由四部分组成，即：一个边长为的正方形，一个边长为的正方形，两个长、宽分别为，的长方形．这四部分的面积和为．因为它们表示的是同一个图形的面积，所以这两个代数式应该相等，即． 同理，图2可以得到一个等式：． 根据以上材料提供的方法，完成下列问题： (1)由图3可得等式：___________； (2)由图4可得等式：____________； (3)若，，，且，，求的值． ①为了解决这个问题，请你利用数形结合思想，仿照前面的方法在下方空白处画出相应的几何图形，通过这个几何图形得到一个含有，，的等式． ②根据你画的图形可得等式：______________； ③利用①的结论，求的值． 题型3 平方差公式的几何验证与应用（共5小题） 【模型】边长为 a 的大正方形剪去边长为 b 的小正方形（一角），剩余部分沿虚线剪开拼成一个长为 (a+b)、宽为 (a−b) 的长方形。由面积相等得： 【步骤】① 左图阴影面积 = 大正方形面积 − 小正方形面积 = a²−b²；② 右图长方形面积 = 长×宽 = (a+b)(a−b)；③ 由面积相等得平方差公式；④ 套用公式做简便运算，如 102×98 = (100+2)(100−2) = 10000−4 = 9996。 【易错】① 判断“谁是a谁是b”出错——必须是“平方项减去平方项”，且两平方项符号相反；② 形如 −x²+y² 的题目不会提取负号后再用公式；③ 简便计算时凑错数，如 99×101 应凑成 (100−1)(100+1)；④ 几何拼题中拼后长方形的宽写成 (a−b) 还是 (b−a) 搞混（必须为正，取 a>b）。 12．（25-26七年级上·上海黄浦·阶段检测）如图1所示，有一块边长为的正方形物料，其中心是边长为的正方形空白．为避免浪费，在图1沿虚线将该物料切割成四个完全相同的图形，并将切割后的物料拼成一个平行四边形重新利用，如图2所示． (1)结合图1、图2的面积关系，你认为可以验证哪一个乘法公式？ (2)若分米，分米，求该物料的面积． 13．某数学兴趣小组在学习了“平方差公式”后，构造了如图9的四种图形，想用“等面积法”来验证“平方差公式”： (1)【探究】以上四种方法中能够验证“平方差公式”的有______；（填序号） (2)【应用】利用“平方差公式”计算： (3)【拓展】计算： 14．从边长为的正方形中减掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是______． A．        B．        C． (2)运用你从（1）写出的等式，完成下列各题： ①已知：，求的值； ②计算：． 15．（26-27七年级上·上海杨浦·阶段检测）初中数学的一些代数公式可以通过几何图形的面积来推导和验证． 如图①，从边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形后，将其沿虚线裁剪，然后拼成一个矩形（如图②）． (1)通过计算两个图形的面积（阴影部分的面积），可以验证的乘法公式是_______；（直接填字母） A． B． C．D． (2)小丽在计算时利用了（1）中的公式： ________．（请你将最后结果补充完整） (3)仿照以上的结论和方法，计算： 16．从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．    (1)上述操作能验证的等式是______；（请选择正确的一个） A． B． C． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值； ②计算：； ③计算：． 题型4 完全平方公式的几何验证与配方应用（共17小题） 【模型】边长为 (a+b) 的大正方形，由1个边长 a 的正方形、1个边长 b 的正方形和2个长 a 宽 b 的矩形拼成，验证： 变体：(a−b)² = a²−2ab+b²。压轴常考“配方求最值”或“已知 a+b 与 ab 求 a²+b²”。 【步骤】① 由图形写出 (a+b)² = a²+2ab+b²；② 常用变形：a²+b² = (a+b)²−2ab = (a−b)²+2ab；(a−b)² = (a+b)²−4ab；③ 配方时加上再减去一次项系数一半的平方；④ 求最值：写成 (□)²+常数，由平方非负得最小值。 【易错】① 漏掉中间项的系数2，写成 (a+b)² = a²+b²（最高频错误）；② 符号错误：(a−b)² = a²−2ab+b²，不是 a²−2ab−b²；③ “完全平方式”求待定系数时漏掉正负两解，如 x²+kx+16 中 k=±8；④ 配方时加减不配对，破坏原式的值。 17.如图，教材第20页通过面积法得到完全平方公式，请你观察图形，回答下列问题： (1)写出 ，，之间的等量关系：________． (2)已知 ，，求的值； (3)如图2，将边长为a的正方形和边长为b的正方形叠放在一起，B，C，G三点在同一条直线上，连结和．若这两个正方形的边长满足，，请求出阴影部分的面积． 18．（25-26七年级上·上海青浦·期中）现有如图1的8张大小、形状相同的直角三角形纸片，三边长分别是、、．用其中4张纸片拼成如图2的大正方形（空白部分是边长分别为和的正方形）；用另外4张纸片拼成如图3的大正方形（中间的空白部分是边长为的正方形）． (1)思考： 结论①：从整体看，整个图形的面积等于各部分面积的和．所以图2和图3的大正方形的面积都可以表示为； 结论②：图2中的大正方形的面积又可以用含、的代数式表示为：___________； 结论③：图3中的大正方形的面积又可以用含、、的代数式表示为：________； 结合结论②和结论③，可以得到等式：________________________． (2)应用：若分别以直角三角形三边为直径，向外作半圆（如图4），三个半圆的面积分别记作、、，且，求的值； (3)延伸：若分别以直角三角形三边为直径，向上作三个半圆（如图5），其中，，，求图中阴影部分的面积之和． 19．（25-26七年级上·上海·阶段检测）完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题． (1)若，求的值． (2)①若，则_________． ②若，则_________． (3)如图，点C是线段上的一点，以为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积．    20．观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为， 【类比探究】 （1）观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和的运算为______． 【应用】 （2）根据图②所得的公式，若，，求的值． （3）若x满足，求的值． 【拓展】 （4）如图③，某学校有一块梯形空地，于点E，，，该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草，经测量种花区域的面积和为102平方米，米，求种草区域的面积和． 21．（25-26七年级上·上海松江·期中）“数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔裂分家万事休．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式． （1）如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为a和b的两个正方形，长宽分别为a和b的两个长方形，利用这个图形可以验证公式__________． 利用上述公式解决问题： 【直接应用】 （2）若，，则__________； 【类比应用】 （3）若，求的值． 【知识迁移】 （4）如图②，点在线段上，四边形、都是正方形，连接、、．若阴影部分的面积和为10，的面积为3，求的长度． 22．（25-26七年级上·上海·期中）阅读理解：我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式． （1）如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为和的两个正方形，长宽分别为和的两个长方形，利用这个图形可以验证公式________， 利用上述公式解决问题： 【直接应用】 （2）若，，则________； 【类比应用】 （3）若，求的值； 【知识迁移】 （4）将两个正方形，如图，摆放，若两个正方形面积之和为65，，求图中阴影部分面积和． 23．（25-26七年级上·上海·期中）现有若干个正方形纸片，从中任取两个大小不等的正方形如下图摆放，、、三点在一条直线上． (1)如图①，，，这两个正方形的面积之差是________．（用、的代数式表示） (2)如图②，如果大正方形和小正方形的面积之和是4，图中阴影部分的面积为1，则是_________． (3)如图③，大正方形和小正方形的面积之和是25，的长度等于7，图中阴影部分的面积是________． (4)如图④，正方形和正方形的边长分别为，如果，，求图中阴影部分面积之和是多少？ 24．（25-26七年级上·上海·阶段检测）【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形．把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图2）．图1中阴影部分面积可表示为：，图2中阴影部分面积可表示为，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：． 【拓展探究】图3是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个正方形． （1）根据图形可得到一个关于、、的等量关系式是______； （2）结合以上信息，灵活运用公式，解决如下问题： ①已知，，则 ． ②已知，求的值． 【知识迁移】 （3）如图5，红岭中学前不久举办了第一届“智启未来，科技筑梦”校园科技节活动，其中创意竞赛要求设计一款由两个正方形构成的光学元件模型．其中大正方形与小正方形的边长分别为a和b．已知两正方形边长之和，边长之积，且E为中点．模型中阴影部分为特殊光线吸收区域，其面积大小直接影响光学元件对光线的吸收效果，进而决定模型的光学性能．为优化设计，需精确计算图中阴影部分的面积总和，求该阴影部分面积总和． 25．【知识生成】通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．例如：如图①是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．请解答下列问题： （1）观察图②，请你写出、、之间的等量关系是______； （2）根据（1）中的等量关系解决如下问题：若，，求的值； 【知识迁移】类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式； （3）根据图③，写出一个代数恒等式：_________； （4）已知，，利用上面的规律求的值． 26．（25-26七年级上·上海闵行·阶段检测）我国著名数学家华罗庚曾说：数缺形时少直觉，形缺数时难入微，数形结合思想是解决问题的有效途径．请阅读材料完成： (1)算法赏析：若满足，求的值． 解：设，则 ……请继续完成计算； (2)算法体验：若满足，求的值； (3)算法应用：如图，已知数轴上A、B、C表示的数分别是m、10、13．以为边作正方形，以为边作正方形，延长交于．若正方形与正方形面积的和为117，求长方形的面积． 27．（25-26七年级上·上海宝山·期中）通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式． (1)根据图①写出阴影部分的面积所得的等式：__________，并解决如下问题：若，求的值； (2)正方形、正方形如图②所示方式摆放，边长分别为x、y．若，，请求出图中阴影部分的面积； (3)类似地，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个等式．图③是由2个正方体和6个长方体拼成的一个大正方形，请写出一个等式； (4)已知，利用（3）中的恒等式求的值． 28．（25-26七年级上·上海金山·期中）【追本溯源】“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法．利用“数形结合”的思想，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形角度解决代数问题．我们在学习“整式乘法公式”时．通过构造几何图形，用“等积法”直观地验证了平方差公式和完全平方和公式，如图和：，． 【初步应用】 （1）请你利用图2中的两个正方形画出一个几何图形来验证完全平方和公式，用字母a、b标注相关边长并简单说明你的验证思路，同时写出该数学等式______． 【拓展应用】 （2）请利用上述验证的恒等式解决如下问题： ①若、，求ab的值； ②正方形ABCD和AEFG如图3所示方式摆放，已知，，，且，求图中阴影部分的面积； 【迁移应用】 （3）类似的，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，如图4是由2个正方体和6个长方体拼成的一个大正方体，用它可以验证恒等式：，已知，，利用上述恒等式，求的值． 29．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）我国著名数学家华罗庚曾经说过：“数缺形时少直觉，形缺数时难入微”，数形结合是数学研究的重要手段． 问题一： 当，，则__________． 问题二：如图所示，已知正方形和正方形，连接，得直角三角形，如果两个正方形的面积和为7，的长为4，则三角形的面积为____________． 问题三：如图所示，数轴上有，，三点，分别对应数字，9，11．分别以，为边构造正方形和正方形，延长交于点，若两正方形面积和为13，求长方形的面积．（写出必要解题过程） 30．（25-26七年级上·上海黄浦·阶段检测）如图，有A、B、C三种不同规格型号的卡片，每种卡片各有30张．其中型卡片是边长为的正方形，型卡片是长为、宽为的长方形，型卡片是边长为的正方形，其中．现在从这些卡片中取出若干张卡片（每种卡片至少取一张）无缝隙、无重叠的拼成一个长方形． (1)若取出型卡片__________张、型卡片__________张、型卡片__________张，可以拼成一个长为、宽为的长方形； (2)若取出型卡片1张、型卡片6张，请先判断需要抽取几张型卡片才能拼成长方形，再画出相应的长方形； (3)若将选取的卡片拼成一个正方形： ①若一共选取50张卡片，能否拼成一个正方形？请说明理由． ②若，请用含的代数式表示能拼成的正方形面积的最大值．请直接写出答案，不必说明理由． 31．（25-26七年级上·上海闵行·期中）【阅读材料】“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法．比如：在学习“整式的乘法”时，我们通过构造几何图形，用“等积法”直观地推导了完全平方和公式：（如图1）．利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题． 【方法应用】根据以上材料提供的方法，完成下列问题： (1)由图2可得等式：_______；由图3可得等式：_______； (2)利用图3得到的结论，解决问题：若，，求的值； (3)如图4，若用其中张边长为的正方形，张边长为的正方形，张边长分别为、的长方形纸片拼出一个面积为长方形（无空隙、无重叠地拼接），则_______； (4)如图4，若有张边长为的正方形纸片，张边长分别为、的长方形纸片，张边长为的正方形纸片．从中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张．把取出的这些纸片拼成一个正方形（无空隙、无重叠地拼接），则拼成的正方形的边长最长可以为_______． (5)已知正数、、和、、，满足．试通过构造边长为的正方形，利用图形面积来说明． 32．（25-26七年级上·上海·阶段检测）数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释．如下用几个小的长方形、正方形拼成一个大的正方形，然后利用两种不同的方法计算这个大的正方形的面积，可以得到一个等式，利用这些等式也可以求一些不规则图形的面积． (1)如图1所示的大正方形，是由两个正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成的．用两种不同的方法计算图中阴影部分的面积，可以得到的数学等式________； (2)如图2，由几个面积不等的小正方形和几个小长方形拼成一个边长为的大正方形，用不同形式表示这个大正方形的面积，从中你能发现的等式可表示为________； (3)利用（2）中的结论解决以下问题：已知，，可得的值为________； (4)如图3，由两个边长分别为，的正方形拼在一起，点，，在同一直线上，连接、，若，，请利用（1）中的结论，求图3中阴影部分的面积． 33．（24-25七年级上·上海虹口·期中）如图3，现有三种类型的卡片： 1号卡片：边长为的正方形卡片； 2号卡片：边长为的正方形卡片； 3号卡片：相邻两边分别为、的长方形卡片，其中． (1)填空：如图4，选取1号卡片1张、2号卡片2张、3号卡片3张，拼成一个长方形(不重叠无缝隙)．运用面积之间的关系说明图中所表示的数学等式：_____． (2)填空：小明同学想用张1号卡片，张2号卡片，张3号卡片拼出一个面积为的长方形，那么的值为_____． (3)现有1号、2号、3号卡片各5张，请你设计：从这15张卡片中取出若干张，拼成一个最大的正方形(按原纸张进行无空隙、无重叠拼接)，画出你的拼法设计，并写出这个最大的正方形的边长． (4)将某些卡片按照下列两种情形分别放入一个长方形盒子的底部，经测得盒子底部的长方形的长比宽多5． 情形一：将1张1号卡片和1张3号卡片如图5放置，两张卡片的相邻两边分别与长方形盒子底部的边贴合，纸片间有重叠，记图中阴影部分面积为； 情形二：将1张1号卡片和1张2号卡片如图6放置，两张卡片各有一边与长方形盒子底部的边贴合，纸片间有重叠，记图中阴影部分面积为． 如果，求2号卡片的边长． 题型5 乘法公式综合（共5小题） 34．（24-25七年级上·上海·期中）我国著名数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”可见，数形结合思想在解决数学问题，理解数学本质上发挥着重要的作用．在一节数学活动课上，老师带领同学们在拼图活动中探寻整式的乘法的奥秘． (1)情境一：如下图，甲同学将4块完全相同的等腰梯形木片拼成如下两个图形，请你用含a、b的式子分别表示图1和图2中阴影部分的面积，直接写出由此可以得到的乘法公式； (2)情境二：如图3，乙同学用4块A木片、1块B木片和若干块C木片拼成了一个正方形， ①请直接写出所拼正方形的边长（用含a、b的式子表示）：_________． ②直接写出所用C木片的数量：_________块． (3)情境三：丙同学声称自己用以上的三种木片，2块A，4块B，7块C拼出了一个面积为的长方形；丁同学认为丙同学的说法有误，至少需要从中去掉一块木片才能拼出长方形．你赞同哪位同学的说法，请求出该情况下所拼长方形的长和宽，并画出相应的图形．（要求：所画图形的长宽与图样一致，并标注每一小块的长与宽）． 35．（23-24七年级上·上海松江·期中）如图，正方形是由两个长为a、宽为b长方形和两个边长分别为a、b正方形拼成的． (1)根据上图，利用正方形面积的不同表示方法，直接写出、、之间的关系式，这个关系式是 ； (2)若x满足，请利用（1）中的数量关系，求的值； (3)如图所示，正方形、长方形、长方形和正方形的面积分别为，，和，已知，，求及的值． 36．阅读材料： 已知：满足，求的值． 设，， 则，， 因此． 用上面的方法解下列问题： (1)已知：，求的值； (2)如图，已知正方形的边长为，、分别是边、上的点，、，分别以、为边作正方形． ①______，______（用含的式子表示）； ②若长方形的面积是48，试求阴影部分的面积． 37．（25-26七年级上·上海杨浦·期中）如图，线段长度为，在线段上截取线段，再延长至，使，，分别做正方形、正方形和正方形． (1)分别计算图中长方形和阴影部分图形的面积，可以发现一个乘法公式_________； (2)如果已知图中正方形、正方形的面积分别是7和3，计算长方形的面积； (3)分别连接、、、，如果已知正方形的面积是，正方形的面积是，用含、的代数式表示四边形的面积． 38．（25-26七年级上·上海·期中）请完成以下题目： (1)如图，在边长为a的正方形纸片上剪去一个边长为的小正方形，通过不同的方法计算图中阴影部分的面积．方法①________；方法②_______由此可以验证的乘法公式是_____． (2)类似地，在棱长为a的正方体上割去一个棱长为的小正方体（如图），通过不同的方法计算图中余下几何体的体积．方法①_______；方法②_______．由此可以得某个多项式因式分解的等式是______，并用所学过的知识说明这个等式成立． (3)结合并使用（2）得到的等式分解因式：． 题型6 因式分解综合（共16小题） 【模型】掌握提公因式法、公式法（平方差、完全平方），压轴拓展分组分解法与十字相乘法。常见子模型： （1）分组分解法：四项式采用“二二分组”或“一三分组”。 （2）十字相乘法：x²+(p+q)x+pq = (x+p)(x+q)。 （3）整除问题：把多项式因式分解后，观察因式中是否含题目指定的因数。 （4）判断三角形形状：等式两边乘2，配方成 (a−b)²+(b−c)²+(c−a)²=0，得 a=b=c，为等边三角形。 【步骤】① 一提：先看有无公因式，有则先提；② 二套：两项考虑平方差，三项考虑完全平方或十字相乘；③ 三分组：四项考虑分组分解；④ 四检查：必须分解到每个因式都不能再分解为止。 【易错】① 分解不彻底：如 x⁴−16 分解到 (x²+4)(x²−4) 就停笔，忘了 x²−4 还能继续分解为 (x+2)(x−2)；② 分组失败：二二分组后组内无公因式，应换一三分组（如 x²−2x+1−y² = (x−1)²−y²）；③ 十字相乘时符号配错：x²−5x+6 应分解为 (x−2)(x−3)，不是 (x+2)(x+3)；④ 三角形形状题忘记两边乘2直接配方；⑤ 提公因式时漏提系数的最大公约数或漏提某项。 39．（26-27七年级上·上海·阶段检测）通过课堂的学习知道，我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：例如，，像这样先添加一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称之为配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等等，如：因为，可知当时，的最小值是．请阅读以上材料，并用配方法解决下列问题： (1)因式分解：； (2)已知为任何实数，若，，通过计算判断的大小关系． 40．（25-26七年级上·上海·期中）对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式，这样的二次三项式称为“完全平方式”．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有： 像这样，先添上适当的项，与其他两项构成完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．请利用“配方法”解决下列问题： (1)因式分解：； (2)若，求x的值． 41．（25-26七年级上·上海徐汇·期中）阅读：分解因式． 解：原式 此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项为完全平方式，我们称这种方法为“配方法”，此题为用配方法分解因式，请体会配方法的特点，然后用配方法解决下列问题： 因式分解： (1)； (2) 42．（25-26七年级上·上海崇明·期中）阅读下列解题的过程． 分解因式： 解： 以上解法中，在的中间加上一项，使得三项组成一个完全平方式，为了使这个式子的值保持与的值相等，必须减去同样的一项.请按照上述解题思路完成下列因式分解： (1)； (2)． 43.阅读以下材料：配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式： 再例如：求代数式的最小值，．可知当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)当________时，有最小值是________； (2)根据材料内容，求代数式的最大值； (3)已知：，，求代数式的值． 44．（25-26七年级上·上海普陀·期中）如果一个整数能表示成（是整数）的形式，那么称这个数为“完全数”．例如，，那么10是“完全数”．再如，（是整数），所以M也是“完全数”． (1)请你再写一个小于10的“完全数”：______； (2)请判断是整数是否是“完全数”，并说明理由； (3)已知（是整数，k是常数），如果S是“完全数”，求k的值； (4)如果整数m，n都是“完全数”，试说明：也是“完全数”． 45．（25-26七年级上·上海·期中）因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入多项式，发现能使多项式的值为0． 那么反过来，在因式分解只含有字母x的整式时，当我们发现一个数a可以使该整式的值为0，那么这个整式一定有一个因式为，进而求出其他因式，我们把这种方法称为试根法因式分解．例如因式分解，当时，原式的值为0，因此一定有因式，设， 因为 解得， 所以， 利用上述规律，回答下列问题： (1)若是多项式的一个因式，求k的值． (2)若和是多项式的两个因式，试求m、n的值，并将该多项式因式分解． (3)分解因式：． 46．（25-26七年级上·上海杨浦·期中）阅读材料 我们学过因式分解，如：，这时就说和是的因式． 那么，不进行因式分解能不能判断这样的式子是不是某个整式的因式呢？ 对于整式我们分别计算： 当时，原式；当时，原式； 当我们把和分别代入，整式的值都等于0，那么和就是整式的两个因式．通过归纳发现： 如果当时，一个整式的值等于0，那么就一定是这个整式的一个因式． 反过来，如果是整式的一个因式，那么当时，这个整式的值一定等于0． 请你根据上述材料解决以下问题：已知整式， (1)请判断是否是整式的一个因式； (2)当整式的一次项系数变为时，而仍是它的一个因式．求此时的值； (3)请尝试将整式进行因式分解． 47．（25-26七年级上·上海·期中）阅读下列材料： 【材料一】在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，这种方法就是换元法． 对于． 解法一：设，则原式 ； 解法二：设，，则原式 ． 【材料二】将因式分解． 解法一：原式； 解法二：原式 对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法． 请按照上面介绍的方法解决下列问题： (1)因式分解：； (2)因式分解：； 48．（25-26七年级上·上海普陀·期中）数学活动课上，老师准备了若干张如图1所示的三种卡片，A种卡片是边长为的正方形，B种卡片是长、宽分别为的长方形，C种卡片是边长为的正方形． (1)小普同学用2张A种卡片、5张B种卡片、2张C种卡片拼出了如图2所示长方形，请借助图形因式分解： ． (2)如图3，已知线段将长方形分成左右两个长方形，，． 小普同学拿了5张图1中的卡片，按图4方式，不重叠地放在长方形内，长方形中有两个部分（阴影部分）未被覆盖，设左上角的阴影部分面积为，右下角的阴影部分面积为．当时，的值始终保持不变，与应满足怎样的数量关系？ 小普同学拿了15张图1中的卡片（其中有7张B种卡片）．在不剪裁、无缝隙、不重叠的情况下，小普同学用全部卡片恰好铺满图3中的长方形，求此时长方形的边长（用含的代数式表示），并画出一种长方形内的卡片放置图． 49．（25-26七年级上·上海·期中）数形结合思想是初中数学学习中很重要的一种思维方法，“数”的精确描述与“形”的直观刻画，使代数问题与几何问题相互转化．“以形释数”是利用数形结合思想解决代数问题的一种体现．做整式的乘法运算时，常利用几何直观的面积法得出结论． ［问题探究］ 探究1：如图1所示，大正方形的边长是 ，它是由两个小正方形和两个长方形组成的，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和．根据等积法，我们可以得出结论：． 探究2：请你根据探究1所使用的等积法，从图2中探究出的结果． ［结论］ (1) ________________________； ［应用结论］ (2)因式分解： ________________________； (3)已知 ， ，分别求 与的值． 50．（25-26七年级上·上海·期末）若一个数是一个整数的平方，则称这个数是完全平方数，类似地，多项式及称作完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式． 原式； 例如：求代数式的最小值． 原式．可知当时，有最小值，最小值是． (1)用配方法分解因式：； (2)当为何值时，代数式有最大值，并求出这个最大值． (3)求使得是完全平方数的所有整数的积(直接写出答案)． 51．（25-26七年级上·上海普陀·期中）如图，现有三种不同型号的卡片若干张，其中型卡片是边长为的正方形，型卡片是长为、宽为的长方形，型卡片是边长为的正方形，其中请你尝试根据以下两种情况，用不同数量的三类卡片，不重叠无缝隙地拼成一个大正方形． (1)用张型正方形卡片，2张型长方形卡片和1张型正方形卡片，拼成一个大正方形，请画出大正方形的拼接示意图，并写出该大正方形的边长为______； (2)用4张型正方形卡片，12张型长方形卡片和______张型正方形卡片，可以拼成一个大正方形，此时这个大正方形的边长为______； (3)三种不同型号的卡片各有9张，从其中取若干张卡片（每种卡片至少取1张），取出的这些卡片正好能拼成一个大正方形，当所拼成的大正方形面积最大时，此时需要三类卡片共多少张？ 52．（25-26七年级上·上海·期中）阅读材料： 在乘法公式的学习中，我们通过用不同的方法求同一平面图形的面积验证了平方差公式和完全平方公式．这种方法称为等面积法．类似地，通过不同的方法求同一个立体图形的体积，称为等体积法．根据课堂学习的经验，解决下列问题： 在一个棱长为的正方体中挖出一个棱长为的正方体，如图（1）所示．然后切割剩余的立体图形，如图（2）所示．将之分成三部分，如图（3）所示．这三部分长方体的体积依次为、、． (1)将图（3）中三块长方体体积和因式分解：_________． (2)图（1）中立方体的体积和图（3）中三块长方体体积和相同，利用等体积法能得到等式：________． (3)利用在（2）中所得到的等式进行因式分解：_________． (4)应用：若已知，，则的值． 53．（24-25七年级上·上海·期中）阅读理解： 条件①：无论代数式A中的字母取什么值，A都不小于常数M；条件②：代数式A中的字母存在某个取值，使得A等于常数M；我们把同时满足上述两个条件的常数M叫做代数式A的下确界． 例如： ， ， （满足条件①） 当时，（满足条件②） 4是的下确界． 又例如： ，由于，所以，（不满足条件②）故4不是的下确界． 请根据上述材料，解答下列问题： (1)求的下确界． (2)若代数式的下确界是1，求m的值． (3)求代数式的下确界． 54．数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释．如图1，有足够多的边长为的小正方形，长为、宽为的长方形以及边长为的大正方形． 利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式，例如图2可以解释整式乘法：，也可以解释因式分解：． (1)若用4个类材料围成图3的形状，设外围大正方形的边长为，内部小正方形的边长为，观察图案，指出下列关系式中正确的是（写出所有正确结论的序号）______． ①；②；③；④；⑤． (2)若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为，在虚框中画出图形，并根据所画图形，将多项式分解因式为______． (3)若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为则的值为______．（直接写出结果） 题型7 整式的除法（竖式除法与余式）（共5小题） 【模型】多项式除以多项式，类似整数竖式除法。被除式 = 除式 × 商式 + 余式，当余式次数低于除式次数时除法结束。常考：已知被除式和除式求商式与余式，或已知除不尽求待定字母。 【步骤】① 降幂排列：被除式与除式都按同一字母降幂排列，缺项补0；② 竖式相除：用被除式首项除以除式首项得商首项，乘去除式后相减；③ 重复：把余式与下一项拼接，继续除；④ 终止：余式次数低于除式次数时停止，写出余式。 【易错】① 缺项不补0，导致对位错误；② 每次相减时符号出错（特别是负数）；③ 余式次数判断不清，多除或少除一步；④ 求待定系数时列方程错误，应利用“余式=0”（整除）或“余式=已知常数”列等式。 55．阅读下列材料，并完成相应任务． 整式除法——列竖式 我们已经学习过多项式除以单项式，多项式除以多项式一般可用竖式计算． 例如：计算，可用竖式计算． 步骤如下： ①把被除式、除式按x降幂排列，并把所缺的项用零补齐； ②用被除式的第一项除以除式第一项2x，得到商式的第一项； ③用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），再把两式相减； ④把相减所得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续相除，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止． 被除式除式商式余式．若余式为零，说明这个多项式能被另一个多项式整除． 因为该算式的余式为0，所以可以被整除． 任务： (1)填空：______，______． (2)请按照材料中的方法，列竖式求． 56．阅读与思考 我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？请同学们阅读“刻苦小组”的项目实施过程，帮助他们解决项目实施过程中遇到的问题． 项目主题：竖式的方法解决多项式除以多项式． 项目实施： 任务一  搜集资料：我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的次数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数． （1）请把按的指数从大到小排列：________． 任务二  竖式计算： 如下边竖式中，13579除以112，商为121，余数为27，而如下边竖式中，多项式除以，商式为，余式为． （2）“刻苦小组”把小学的除法运算法则运用在多项式除法运算上，这里运用的数学思想是________． A．数形结合      B．类比    C．方程 任务三  学以致用 （3）请计算的商式与余式． 57．我们把形如的整式称为关于x的一元n次多项式，记作，…等等. 将整数的带余除法类比到一元多项式，我们可类似地得到带余式的大除法，其关系式为：，其中表示被除式，表示除式，表示商式，表示余式，且的次数小于的次数. 我们来举个例子对比多项式除法和整数除法，如下左式中，除以，商为，余数为：而如下右式中，多项式除以，商式为，余式为. 请根据以上材料，解决下面的问题： (1)多项式除以，请补全下面的计算式 所以，除以所得的商式为 ，余式为 ． (2)若多项式除以所得的余式为，求的值． 58．（25-26七年级上·上海闵行·期末）材料一：整式除以整式——长除法 类比于两数相除可以用竖式运算，整式除以整式也可以用竖式运算．其步骤是： （1）把被除式和除式按同一字母降幂排列（若有缺项用零补齐）； （2）用竖式进行运算； （3）当余式的次数低于除式的次数时，运算终止，得到商式和余式． 例如，求的商式和余式，可以计算： 因此，商式是，余式是． 材料二： 对于关于x的一元整式M，其奇数次项系数之和为m，偶数次项系数之和为n． 若，则当时，M的值为0；若，则当时，M的值为0． 例如，对于一元整式，由、得，所以把代入整式，得其值为0． 由此可以确定整式有因式，于是可设．分别确定p、q的值，再代入，就可以因式分解整式，这种因式分解的方法叫作“试根法”． 阅读上述两则材料，回答问题： (1)整式除以整式，商式是______，余式是______． (2)材料二中，______，______． (3)对于一元整式，必定有当______，其值为0． (4)根据材料一和材料二，因式分解______． 59．（25-26七年级上·上海·期中）课本上在面对整式除法的时候告诉了我们长除法的方法，根据因式分解的定义我们可以发现，如果我们知道一个整式其中的一个因式，那么通过长除法得到的余式一定是0，商式则是这个整式的另一个因式，所以现在我们也可以利用长除法帮助我们一起分解因式．下面请先阅读课本上的材料并解决下列问题． 整式除以整式——长除法 类比于两数相除可以用竖式运算，整式除以整式也可以用竖式运算．其步骤是： （1）把被除式和除式按同一字母降幂排列（若有缺项用零补齐）； （2）用竖式进行运算； （3）当余式的次数低于除式的次数时，运算终止，得到商式和余式． 例如，求的商式和余式，可以计算： 因此，商式是，余式是． (1)小明在对进行因式分解后检查答案，答案中有一个因式中的符号被墨水遮挡看不清了，请使用长除法来帮助小明判断这个因式是什么？ (2)已知整式有一个因式是，请试着运用长除法将整式进行因式分解． (3)①已知有一个因式是，请问★处的数字应该是几？ (4)②已知整式有一个因式是，求，，之间存在的关系． 题型8 新定义与规律探究（贾宪三角·阅读理解）（共8小题） 【模型】课本“阅读材料”介绍贾宪三角（杨辉三角），展示 (a+b)ⁿ 展开式系数规律。压轴题给出新运算定义（如“三角⊗运算”）或数阵规律，要求迁移到整式乘法公式。 【步骤】① 精读定义：用自己的话复述新运算规则，注意左右顺序；② 代入试算：用题目给出的具体数字算一遍，验证自己理解是否正确；③ 找规律：观察贾宪三角相邻两行系数关系（下一行每个数=肩上两数之和）；④ 迁移应用：把规律推广到一般情况，用整式表达。 【易错】① 新运算左右顺序搞反，如 a⊗b 与 b⊗a 含义不同；② 规律只看表面数字，不验证相邻两项关系；③ 贾宪三角第n行对应 (a+b)ⁿ⁻¹ 的系数，行号对应错；④ 写一般式时漏项或系数写错（如 (a+b)³ = a³+3a²b+3ab²+b³）。 60．（23-24七年级上·上海奉贤·期中）阅读并填空： 我们已经学习了多项式乘以多项式，可以计算以下的式子， __________． __________．（结果按字母x降幂排列） __________．（结果按字母x降幂排列） …… 观察以上等式右边的各项系数的规律，这些系数的规律早在11世纪就已经被我国数学家贾宪发现．如图被后人称为“贾宪三角”． 利用“贾宪三角”可知：__________． “贾宪三角”中还蕴含了许多数字产生的规律，如第三斜列的数字1、3、6、10、15…也有规律，若数字1是第1个数，数字3是第2个数，那么第n个数是__________（用含n的式子表示）． 61．（25-26七年级上·上海·期中）阅读材料，并解决问题． 对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（）才发现指数与对数之间的联系．我们知道，n个相同的因数a相乘记为，如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为，即． 一般地，若（且，），则n叫做以a为底b的对数，记为，即．如，则4叫做以3为底81的对数，记为，即． (1)【概念理解】计算下列各对数的值：__________，__________，__________． (2)【性质发现】 ①观察、、之间满足的关系式是__________． ②归纳：__________（，且，，）． ③请你根据同底数幂的乘法的运算性质（m，n是正整数）以及对数的含义说明上述结论． (3)【拓展延伸】 ①当且，，时，__________． ②计算：__________． 62．（24-25七年级下·湖南郴州·期末）阅读下列素材，完成相应的任务． 平衡多项式 素材一： 定义：对于一组多项式：，，（a，b，c都是非零常数），当其中一个多项式的平方与另外两个多项式的乘积的差是一个常数m时，称这样的三个多项式是一组平衡多项式，m的值是这组平衡多项式的平衡因子． 素材二： 例如：对于多项式，，， 因为， 所以多项式，，是一组平衡多项式，其平衡因子为1． 任务一： 小明发现多项式，，是一组平衡多项式，在求其平衡因子时，列式如下：，根据他的列式求该组平衡多项式的平衡因子． 任务二： 判断多项式，，是否为一组平衡多项式，若是，求出其平衡因子；若不是，说明理由． 任务三： 若多项式，，是一组平衡多项式，求p的值． 63．（24-25七年级上·上海杨浦·期中）如果．那么称为的劳格数，记为，由定义可知，和所表示的、两个量之间具有同一关系． (1)根据定义，填空：______． (2)劳格数有如下性质：，，根据运算性质。回答问题： ①______．（为正数） ②若．求、的值。 64．（25-26七年级上·上海·期中）阅读材料：如果将（为非负整数）的展开式的每一项按字母的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式： ，它只有一项，系数为1； ，它有两项，系数分别为1，1； ，它有三项，系数分别为1，2，1； ，它有四项，系数分别为1，3，3，1； 将上述每个式子的各项系数排成该表． 观察该表，可以发现每一行的首末都是1，并且下一行的数比上一行多1个，中间各数都写在上一行两数的中间，且等于它们的和．按照这个规律可以将这个表继续往下写，以此确定的展开式．该表在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，因而人们把这个表叫做杨辉三角． (1)应用规律：①直接写出的展开式，___________； ②先化简，再求值：，其中． (2)杨辉三角和斐波那契数列有着密切的联系，如图，把杨辉三角左对齐排列，将同一条斜线上的数字求和，计算可得，该数列从第三项开始，每一项都等于其前两项之和，即 若，且，则的值为___________（用表示）． 65．阅读材料，回答问题． 材料一：因为，，所以． 材料二：求的值． 解：设①， 则②， 用②①得.， 所以，即，所以． 这种方法我们称为“错位相减法”． (1)填空：； (2)“棋盘摆米”是一个著名的数学故事：阿基米德与国王下棋，国王输了，国王问阿基米德要什么奖赏．阿基米德对国王说：“我只要在棋盘上第一格放一粒米，第二格放二粒，第三格放四粒，第四格放八粒…按这个方法放满整个棋盘就行．”国王以为要不了多少粮食，就随口答应了． ①国际象棋共有64个格子，则在第64格中应放______粒米； ②设国王输给阿基米德的总米粒数为S，求S． 66．（24-25七年级上·上海·阶段检测）在我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著回的《详解九章算术》（1261年）一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，法国数学家帕斯卡于1654年才发现此三角形，比中国晚了几百年，杨辉在注释中提到，在他之前北宋数学家贾宪（1050年左右）也用过这种方法，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”或“贾宪三角”．此图揭示了”（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律： (1)补充完整的展开式，　　　． (2)的展开式中共有　　　项，所有项的系数和为　　　； (3)利用上面的规律计算：． (4)今天是星期五，过了天后是星期几？（直接写答案） 67．（25-26七年级上·上海宝山·期末）【阅读理解】 如果一个正整数能表示成（是正整数）的形式，那么称这个正整数为“方差数”． 小明采用举例的方式，有序地列出了一些“方差数”，想从中寻找规律： ， ，， ，，， 小杰采用不同的方法，找到一类“方差数”，试图发现“方差数”更本质的特征： 设为正整数且，因为， 所以这样的数都是“方差数”，即所有奇数（1除外）都是“方差数”． 【尝试运用】 （1）填空：①16______“方差数”（填“是”或“不是”）； ②因为（____）（____），所以2025是“方差数”； （2）已知（是正整数且，是常数），请写出的值，使得不论取何值，都是“方差数”，并说明理由； 【深入探究】 （3）你能像小杰一样找到一类“方差数”吗？如果能，试描述你找到的这类“方差数”的特征，并说明理由； （4）请写出40到50之间的所有“方差数”（不包含40和50）． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $