精品解析：湖南岳阳市云溪区云溪镇育红中学2026～2027学年度 九年级上学期10月学情自测数学试卷

2025~2026年度新湘教版九年级上10月份月考 数学试卷 一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分） 1. 关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的二次项系数不能等于0求解即可． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， ， ． 2. 下列各组图形中不一定是相似图形的是（ ） A. 两个等腰直角三角形 B. 两个等边三角形 C. 两个正方形 D. 两个直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似多边形，相似图形需对应角相等且对应边成比例．A、B、C中的图形因角度固定且边长比例确定，故一定相似；D中的直角三角形角度和边长比例可能不同，故不一定相似，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：A、两个等腰直角三角形，两个锐角都是度，故两个等腰直角三角形是相似图形，故该选项不符合题意； B、两个等边三角形，每个内角都是，故两个等边三角形是相似图形，故该选项不符合题意； C、两个正方形，每个正方形的四条边都相等，每个内角都是度，故两个正方形是相似图形，故该选项不符合题意； D、两个直角三角形的一个内角是，但其他两个内角不一定相等且三边不一定成比例，故两个直角三角形不一定是相似图形，故该选项符合题意； 故选：D． 3. 若两个相似三角形面积之比为，则它们的对应边上的高之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵两个相似三角形的面积之比为， ∴相似比为， ∴对应边上的高之比为． 4. 已知一元二次方程的两个根是，则二次三项式可分解为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用方程的根进行因式分解，只要把方程中二次项先提出即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根为和， ∴含有因式和， 又∵二次项系数为， ∴． 5. 如图，在中，，过点作，垂足为点，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角函数的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．利用三角函数定义逐项判断即可． 【详解】A、在中，，原结论错误，故此选项符合题意； B、在中，，原结论正确，故此选项不符合题意； C、在中，，原结论正确，故此选项不符合题意； D、在中，，原结论正确，故此选项不符合题意． 故选：A． 6. 用“尺规作图”将一个三角形分割成一个小三角形和一个四边形，则下列图形中，与不一定相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，相似三角形的判定，线段垂直平分线的性质，三角形中位线定理，能根据作图痕迹判断条件是解题的关键． 分别根据作图痕迹，依据相似三角形的判定定理，即可判断． 【详解】解：A．由作图可知，， 又∵， ∴，故本选项不符合题意； B．由作图可知，E、F分别为、中点， ∴， ∴，故本选项不符合题意； C．由作图知，、是的角平分线，不能说明，故本选项符合题意． D．由作图可知，平分，点E在的垂直平分线上， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，故本选项不符合题意； 故选：C． 7. 某商店的货架可抽象成如图所示的图形，其中（单位：），则的长度是（ ）． A. 37 B. 37.5 C. 38 D. 38.5 【答案】B 【解析】 【详解】解：， ， ，，， ， 解得． 8. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若的周长为，且点的对应点为，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了位似变换，熟练掌握位似变换的性质是解答本题的关键． 根据位似变换的性质得到与的相似比为，即可求解． 【详解】解：与是位似图形，位似中心为点，且点的对应点为， 与的相似比为， 的周长为， 的周长， 故选：A． 9. 如图，某物理兴趣小组做小车从斜面下滑的实验时，将小车沿高度为的斜面顶端向下滑，若斜面与水平面的夹角为，沿斜面下滑的时间为，则小车在斜面上下滑的平均速度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的性质，解直角三角形求出斜坡的长，再根据速度等于路程除以时间即可得到答案． 【详解】解：由题意得，斜坡的长度为， ∴小车在斜面上下滑的平均速度为， 故选：B． 10. 如图，“弦图”是由四个全等的和小正方形拼成的大正方形．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，则，根据全等三角形、正方形的性质可得，再根据勾股定理求出，最后根据正弦函数的定义求解． 【详解】解：根据题意，设，则， ，四边形是正方形， ，， ， ， ， ． 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 11. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了比例的性质，分式的求值，首先得到，然后代入求解即可． 【详解】∵ ∴ ∴． 故答案为：． 12. 一元二次方程的解为________． 【答案】 ，  【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，解此题的关键是能把一元二次方程转化成两个一元一次方程，将方程转化成两个一元一次方程求解即可． 【详解】解：， 或， ，， 故答案为： ， ． 13. 用配方法将方程化成的形式，则的值为_________． 【答案】10 【解析】 【分析】先将常数项移到等号右侧，对左侧二次三项式进行配方，凑成完全平方形式后对比给定结构，即可得到的值. 【详解】解：∵ ， ∴ 移项可得 ， ∵ 一次项系数为，其一半的平方为， ∴ 等式两边同时加上，得 ， ∴ 左侧整理为完全平方形式，即 ， 对比的形式，可得. 14. 锐角中，若，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据绝对值与平方的非负性，结合锐角三角函数的特殊值求出、的度数，再利用三角形内角和计算． 【详解】解：，，， ，， ，， 是锐角三角形，即，， 在该范围内，满足的角为，满足的角为，即，， 三角形内角和为， ． 15. 如图汉字“十”端庄稳重、舒展美观．横竖笔画交点C恰好是线段的黄金分割点（），若，则的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据黄金分割的定义，把，代入求解即可． 【详解】解：由题意得，， ， ， 或（舍去）． 16. 将图所示的七巧板，拼成图所示的四边形，连接，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，正方形的性质，勾股定理，三角函数，如图，设等腰直角的直角边为，利用图形的位置关系求出大正方形的边长和大等腰直角三角形的直角边长，进而根据正切的定义即可求解，掌握等腰直角三角形和正方形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，设等腰直角的直角边为，则，小正方形的边长为， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，过点作的延长线于点，则，， 由图（）可得，，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共8小题，计72分） 17. 计算：． 【答案】2 【解析】 【详解】解：原式 ． 18. 在中，，求b的长及的度数． 【答案】， 【解析】 【分析】根据三角函数求出的正弦值，得出的度数，进而即可求解． 【详解】解：在中，， 则， ， ． ． 19. 解方程： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）使用因式分解法进行求解即可． （2）将方程进行移项，把含有的项放在等式一边，提取公因式进行求解即可． 【小问1详解】 解：， 分解左边：， 或， ． 【小问2详解】 解：， 移项：， 提取公因式：， 即：， 或， ． 20. 如图，在平行四边形中，点是的中点，与相交于点． （1）求证：△△； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：四边形为平行四边形， ， ，， △△； （2）2． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形点的与性质，中点的定义，熟练掌握平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）利用平行四边形的性质，平行线的性质和相似三角形的判定定理解答即可； （2）利用线段的中点的定义和平行四边形的性质得到，再利用相似三角形的性质解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形为平行四边形， ， 点是的中点， ， ， △△， ， ， ， ． 21. 已知关于的一元二次方程． （1）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； （2）若方程的两个实数根为，，且满足，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式求解即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系可得，，结合，即可求解． 【小问1详解】 解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得； 【小问2详解】 解：方程的两个实数根为，， ，， ， ， ， 解得． 22. 某商场将进货单价为40元的商品按50元售出时能卖出500个．经过市场调查发现，若这种商品售价每提高1元，其销售量就会少10个． （1）当售价定为54元时，求该商品销售的个数； （2）商场为了保证经营该商品赚得8000元的利润而又尽量兼顾顾客的利益，售价应定为多少元？ 【答案】（1）该商品销售的个数为460个 （2）售价应定为60元 【解析】 【分析】（1）先算出提高的价格，用原来的销售量减去减少的销售量即可； （2）设售价提高了元，然后将单件利润和数量表示出来，根据“总利润单件利润数量”列一元二次方程求解． 【小问1详解】 解：当售价定为54元时，商品售价较元提高元， ∴销售量为（个）； 【小问2详解】 解：设售价提高了元，则利润为元／个， 销售数量为个， 根据题意，得， 解得或， ∵要兼顾顾客的利益， ∴， 则售价为（元）． 23. 【阅读材料】 素材一：某款遮阳棚（图1），图2、图3、图4是它在不同情况下的侧面示意图，，为墙壁上的固定点，摇臂绕点旋转的过程中长度保持不变，遮阳棚可自由伸缩，棚面始终保持平整，且米． 素材二：该地区某天不同时刻太阳光线与地面的夹角的正切值． 时刻/时 12 13 14 15 角的正切值 5 2.5 1.25 【问题解决】 （1）当时． ①如图2，这天15时太阳光线刚好照射到墙角处，求此时刻角的正切值． ②如图3，这天13时在点位置摆放的绿萝刚好不被阳光照射到，求绿萝摆放位置与墙壁的距离． （2）如图4，旋转摇臂，使得点与墙壁的距离为1.2米，为使绿萝在这天12时-14时都不被阳光照射到，则绿萝摆放位置与墙壁的最远距离应该小于多少米？ 【答案】（1）①1；②0.9米 （2）绿萝摆放位置与墙壁的最远距离应该小于0.72米 【解析】 【分析】（1）①过点作于点，四边形是正方形，由此利用锐角三角函数即可求解；②过点作于点，在中解直角三角形即可； （2）过点作于点，过点作于点，则四边形为矩形，得出，由表中数据得，14时点最靠近墙角，通过解直角三角形即可得解． 【小问1详解】 解：①如图，过点作于点， 由题意，得， 四边形是矩形. 又， 四边形是正方形， ， ， ②如图，过点作于点， ，. 在中，， 即，解得， ； 【小问2详解】 解：如图，过点作于点，过点作于点， 则， ， ， 由表格可知，在12时-14时， 夹角的正切值逐渐减小，即逐渐减小， 14时点最靠近墙角， 在中，， ，解得， ， 则绿萝摆放位置与墙壁的最远距离应该小于0.72米． 24. 从非等腰三角形的一个顶点作一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，若这两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形有两角对应相等，我们把这条线段称为原三角形的“白银分割线”． （1）如图，在中，为角平分线，，求证：为的“白银分割线”． （2）在中，为的“白银分割线”且为等腰三角形，求的度数． （3）在中，为的“白银分割线”，且是等腰三角形，求线段的长． 【答案】（1）如图1中， ， ， 不是等腰三角形， 平分， ， ， 为等腰三角形， ， ， 是的白银分割线． （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）先根据三角形内角和定理求出的度数，再结合角平分线的性质得到和的度数，进而判断两个小三角形的性质． （2）已知为等腰三角形，，需要分三种情况讨论中哪个角是顶角，再根据“白银分割线”的性质求出的度数． （3）已知是等腰三角形，，，需要分三种情况讨论中哪个角是顶角，再根据“白银分割线”的性质和相似三角形的性质求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①当，如图2， ， ， ， ． ②当，如图3， ， ， ， ． ③当，如图4， ， ， ， ，矛盾，舍去． 的度数是或． 【小问3详解】 ①若，， 此时， 过作于为垂足，如图所示， 在直角中，， ． 在直角中，， ， ， ． ②若，如图5， 此时，此时，故． 在直角中，，则． 在直角中，，则． ③若，则应有， 由三角形外角的性质可知，与相矛盾，故此情况不成立． 综上所述，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026年度新湘教版九年级上10月份月考 数学试卷 一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分） 1. 关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组图形中不一定是相似图形的是（ ） A. 两个等腰直角三角形 B. 两个等边三角形 C. 两个正方形 D. 两个直角三角形 3. 若两个相似三角形面积之比为，则它们的对应边上的高之比为（ ） A. B. C. D. 4. 已知一元二次方程的两个根是，则二次三项式可分解为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，过点作，垂足为点，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 用“尺规作图”将一个三角形分割成一个小三角形和一个四边形，则下列图形中，与不一定相似的是（ ） A. B. C. D. 7. 某商店的货架可抽象成如图所示的图形，其中（单位：），则的长度是（ ）． A. 37 B. 37.5 C. 38 D. 38.5 8. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若的周长为，且点的对应点为，则的周长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，某物理兴趣小组做小车从斜面下滑的实验时，将小车沿高度为的斜面顶端向下滑，若斜面与水平面的夹角为，沿斜面下滑的时间为，则小车在斜面上下滑的平均速度为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，“弦图”是由四个全等的和小正方形拼成的大正方形．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 11. 若，则______． 12. 一元二次方程的解为________． 13. 用配方法将方程化成的形式，则的值为_________． 14. 锐角中，若，则_________． 15. 如图汉字“十”端庄稳重、舒展美观．横竖笔画交点C恰好是线段的黄金分割点（），若，则的长为_________． 16. 将图所示的七巧板，拼成图所示的四边形，连接，则______． 三、解答题（共8小题，计72分） 17. 计算：． 18. 在中，，求b的长及的度数． 19. 解方程： （1）． （2）． 20. 如图，在平行四边形中，点是的中点，与相交于点． （1）求证：△△； （2）若，求的长． 21. 已知关于的一元二次方程． （1）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； （2）若方程的两个实数根为，，且满足，求的值． 22. 某商场将进货单价为40元的商品按50元售出时能卖出500个．经过市场调查发现，若这种商品售价每提高1元，其销售量就会少10个． （1）当售价定为54元时，求该商品销售的个数； （2）商场为了保证经营该商品赚得8000元的利润而又尽量兼顾顾客的利益，售价应定为多少元？ 23. 【阅读材料】 素材一：某款遮阳棚（图1），图2、图3、图4是它在不同情况下的侧面示意图，，为墙壁上的固定点，摇臂绕点旋转的过程中长度保持不变，遮阳棚可自由伸缩，棚面始终保持平整，且米． 素材二：该地区某天不同时刻太阳光线与地面的夹角的正切值． 时刻/时 12 13 14 15 角的正切值 5 2.5 1.25 【问题解决】 （1）当时． ①如图2，这天15时太阳光线刚好照射到墙角处，求此时刻角的正切值． ②如图3，这天13时在点位置摆放的绿萝刚好不被阳光照射到，求绿萝摆放位置与墙壁的距离． （2）如图4，旋转摇臂，使得点与墙壁的距离为1.2米，为使绿萝在这天12时-14时都不被阳光照射到，则绿萝摆放位置与墙壁的最远距离应该小于多少米？ 24. 从非等腰三角形的一个顶点作一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，若这两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形有两角对应相等，我们把这条线段称为原三角形的“白银分割线”． （1）如图，在中，为角平分线，，求证：为的“白银分割线”． （2）在中，为的“白银分割线”且为等腰三角形，求的度数． （3）在中，为的“白银分割线”，且是等腰三角形，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $