精品解析：湖南邵阳市新宁县凝秀中学2026-2027学年九年级上学期数学第一次学情自测试卷

2026年下学期凝秀中学九年级第一次月考 数学 时间：120分钟 内容：第一章、第二章 一、单选题（30分） 1. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了比例的性质，将化简为，即可得的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 2. 下列语句叙述正确的是（ ） A. 有一个角是的等腰三角形都相似 B. 有一个角是的直角三角形都相似 C. 有一个角是的锐角三角形都相似 D. 有一个角是的钝角三角形都相似 【答案】B 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定定理进行判断．可以通过举反例来证明． 本题考查了相似三角形的判定．此题难度不大，注意掌握举反例的解题方法，注意掌握有两角对应相等的三角形相似定理的应用． 【详解】A、有一个角是的等腰三角形不一定相似，如、、的等腰三角形和、、的等腰三角形不相似，故本选项错误； B、有一个角是的直角三角形都相似，正确； C、有一个角是的锐角三角形不一定相似，如 、、的锐角三角形和、、的锐角三角形不相似，故本选项错误； D、有一个角是的钝角三角形不一定相似，如 、、的钝角三角形和、、的钝角三角形不相似，故本选项错误； 故选：B． 3. 在中，，均为锐角，且，则一定是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 有一个角是的三角形 【答案】D 【解析】 【分析】根据得出或，根据特殊角的三角函数值求出或，即可得出答案． 【详解】解：， 或，即或， 或， 有一个角是． 4. 如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图（见解析），设网格中每个小正方形的边长为1，先得出的长，再计算正弦即可． 【详解】解：设网格中每个小正方形的边长为1， 由图可知，， ∴， ∴． 5. 黄金分割是汉字结构最基本的审美规律．如图汉字“十”端庄稳重、舒展美观．横竖笔画交点恰好是线段的黄金分割点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由黄金分割的定义求出，再由计算即可得出结果． 【详解】解：∵点恰好是线段的黄金分割点，， ∴， ∴． 6. 如图，在中，点、分别在边、上，下列所述四个条件中不能判断的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定定理，结合公共角对各选项进行逐一判断． 【详解】解：因为，若，则，故选项不符合题意； 若，则，故选项不符合题意； 若，且，则，故选项不符合题意； 若，无法判定，故选项符合题意． 7. 如图所示，在距离铁轨的处，观察由南京开往上海的“和谐号”动车，当动车车头在处时，恰好位于处的北偏东方向上，后，动车车头到达处，恰好位于处的西北方向上，则这列动车的平均车速是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点作于点，利用垂直的定义可证得，利用已知条件可知，，可得到，的长，然后根据，代入计算求出的长，即可求出这列动车的平均车速． 【详解】解：过点作于点， ∴， 当动车车头在处时，恰好位于处的北偏东方向上，后，动车车头到达处，恰好位于处的西北方向上， ，， ，， ， 这列动车的平均车速为． 8. 如图，在中，为上一点，连结，，且，交于点，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定和性质，求出，根据三角形的面积公式，得到，即可解答． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， ； ， ， 设的高为， ，， ． ， ． 9. 如图，大坝的横截面是梯形，斜坡的坡比，背水坡的坡比，若的长度为米，则斜坡的长度为（ ） A. 8米 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别过B、C作于点E，于点F，证明四边形为矩形，则，设，则，在中，根据勾股定理求得，再利用坡比概念求得，进而利用正弦定义求解即可． 【详解】解：分别过B、C作于点E，于点F， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ． ∴四边形为矩形，则， ∵斜坡的坡比， ∴设，则， 在中，根据勾股定理，得， ，解得或（不合题意，舍去）， 则， 又∵背水坡的坡比， ， ，则． 10. 如图，在中，，相交于点，点在上，且，连接交于点，则下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ）． A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】C 【解析】 【分析】利用平行四边形对边平行的性质判定，求出线段比判断①；根据两边对应成比例且夹角相等判断②；利用相似三角形周长比等于相似比判断③；通过面积比例关系计算判断④． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故①错误； 在和中，， ∵，， ∴， ∴与不相似，故②错误； ∵，且相似比为， ∴，故③正确； ∵，， ∴，即为中点， 设，则， ∴， ∴， ∵，且相似比为， ∴， ∴ ， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，正确的结论有③④，共2个． 二、填空题（18分） 11. 两个相似多边形的面积比为，其中较大的多边形的周长为，则较小的多边形的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据相似多边形的面积比等于相似比的平方求得相似比，再根据相似多边形的周长比等于相似比求解即可． 【详解】解：∵两个相似多边形的面积比为， ∴相似比为， ∴周长比为， ∵较大的多边形的周长为， ∴较小的多边形的周长为． 12. 在中，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据直角三角形三角函数定义设出直角边长度，利用勾股定理求出斜边，再代入正弦定义计算即可． 【详解】解：如图， ∵在中，，， ∴， 设，则． 由勾股定理得：， ∵等于的对边与斜边的比，的对边是， ∴． 13. 正方形如图所示，以原点O为位似中心，在第一象限内把正方形的各边缩小为原来的，则点C的对应点的坐标为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据正方形的性质及点、的坐标求出点的坐标，再根据位似变换的性质：以原点为位似中心，相似比为，且变换后的图形与原图形在位似中心同侧，则对应点的坐标为原坐标乘以，计算即可 【详解】解：由图可知，  ∴  ∵四边形是正方形 ∴，且轴 ∴点的坐标为  ∵以原点为位似中心，在第一象限内把正方形的各边缩小为原来的  ∴位似比  ∴点的坐标为 ，即．  14. 《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其中记载着这样一道题：今有树，不知其高，去树五十步，立表高五尺，人却退七步，望表末，与树末参直，人目高四尺，问树高几何？大致意思是：如图，为求树高，在距离树50步的地方，竖立一根5尺长标杆，再向后退7步，此时眼睛、标杆顶端、树顶端在一条直线上，眼睛离地面的高为4尺，则树高为_______尺． 【答案】 【解析】 【分析】将实际问题转化为几何模型，利用相似三角形对应边成比例的性质列方程求解即可． 【详解】解：如图，过作，分别交标杆、树于点， 设树高为尺，由题意可知（尺），步，（步），尺， ∵标杆、大树均与地面垂直， ∴， ∴， ∴， 解得． 15. 如图，中，，，点P从A出发，以每秒1厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒2厘米的速度向A运动．其中一个动点到达终点时，另一个也相应停止运动．那么，当以为顶点的三角形与相似时，运动时间是_____． 【答案】4或 【解析】 【分析】设运动时间是t秒，根据题意得，，，根据相似三角形的性质可得或，进而求解即可． 【详解】解：设运动时间是t秒， ∵点P从A出发，以每秒1厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒2厘米的速度向A运动． ∴，，， ∵，且以为顶点的三角形与相似， ∴或， ∴或 ∴或． 即当以为顶点的三角形与相似时，运动时间是4或． 16. 如图，在矩形纸片中，点，是边，上的点，连接，将四边形沿折叠，点的对应点恰好落在边上，点的对应点为点，连接．若，，则的最小值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，过点F作于点M，交于点J，延长到点N，使，连接，证明，得到，然后结合折叠的性质得到当点A，G，N三点共线时，取得最小值，即的长度，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接，过点F作于点M，交于点J，延长到点N，使，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 由折叠得，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由折叠得，， ∵， ∴ ∴当点A，G，N三点共线时，取得最小值，即的长度， ∵，，， ∴， ∴的最小值是． 三、解答题（72分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先分别算出特殊角三角函数、二次根式、绝对值、零次幂、负整数指数幂，再合并化简． 【详解】解：原式 ． 18. 先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】先通分计算括号内的减法，把除法转化为乘法，因式分解后约分得到最简分式，再利用特殊角三角函数值算出，最后代入求值． 【详解】解： ； 当时， 原式． 19. 已知：如图，在中，是边上的高，E为边的中点，，，． （1）求线段的长； （2）计算的值． 【答案】（1）15 （2） 【解析】 【分析】（1）在中，根据已知条件求出边的长，再由的长，可以求出的长； （2）根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，得出，即可得，从而求出的正切值即求出了的值． 【小问1详解】 解：是边上的高， 和是直角三角形， 在中，，， ， ． 又， ； 【小问2详解】 解：在中，为斜边的中点， ， ， ． 20. 如图所示，点在直角三角形的斜边上，连接，作，使得，连接交于点，若，． 求证： （1）． （2）若，求的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴． 又∵， ∴． （2）． 【解析】 【分析】本题考查了利用三边对应成比例判定相似，利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似，相似三角形的判定与性质综合，解直角三角形的相关计算等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）利用三边对应成比例判定相似求解； （2）先由，可得，再证明，接着利用勾股定理求得，从而可求得，再利用相似三角形的性质列出比例式求得，然后正切的定义求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴． ∵， ∴ ∴． ∵在中，，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∴在中，． ∴． 21. 如图，已知正方形中，平分且交边于点E，将绕点C顺时针旋转到的位置，并延长交于点G． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，求的长． 【答案】（1）证明：由旋转可知： ， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）4 【解析】 【分析】（1）由旋转性质推出，结合角平分线定义得到，再根据相似三角形判定定理即可证明； （2）利用三角形内角和定理推出，进而证明，结合全等三角形性质即可证明； （3）利用相似三角形性质推出，进而求出，再结合旋转性质求解，即可解题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵由（1）可知：， ∴， ∴， ， 即， ∴， ∵， ∴， 由旋转可知：， ∴． 22. 亲爱的同学们，在我们进入高中以后，将还会学到三角函数公式： ， 例： （1）试仿照例题，求出的准确值； （2）我们知道：，试求出的准确值； （3）根据所学知识，请你巧妙地构造一个合适的直角三角形，求出的准确值（要求分母有理化），和（2）中的结论进行比较． 【答案】（1） （2） （3），此结果与（2）中的结论一致 【解析】 【分析】（1）根据给出的公式计算即可； （2）将，代入计算即可； （3）构造含的直角三角形，再在的角中切出一个的角，结合图象即可作答． 【小问1详解】 解：∵， ∴ ； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴ ； 【小问3详解】 解：如图，，，则， ∴， 此结果与（2）中的结论一致． 23. 2026年夏，我国多地冬小麦丰收．为助力“科学收粮，颗粒归仓”，青玄若梦数学“综合与实践”活动小组开展收割机拨禾轮支撑臂角度与拨禾轮位置关系的探究活动，部分内容已记录如下： 活动主题 收割机拨禾轮支撑臂角度与拨禾轮位置关系的探究 活动准备 1．查阅有关资料； 2．准备皮尺、测角仪等测量工具． 采集信息 收割机的前端装置包含拨禾轮、支撑臂和割台等，拨禾轮的侧面是正五边形．图1是收割机前端部分装置侧面示意图： 1．点是拨禾轮中心，是拨禾轮支撑臂； 2．，，； 3．，，； 4．收割作业前，． 设计方案 为减少小麦漏收情况，收割作业时需要将拨禾轮下降，使拨禾轮最低点与割台之间的垂直距离保持在之间． 确定方案：绕点旋转拨禾轮支撑臂，将拨禾轮下降，使． 图2是拨禾轮下降后部分装置侧面示意图： 1．，，点，，在一条直线上，； 2．，，的长度保持不变． 根据以上信息，解决下列问题（图中所有点在同一平面内，参考数据：，，，）： （1）求图1中的长； （2）求图2中的长，并判断小组所设计的方案是否可行． 【答案】（1） （2），小组所设计的方案可行 【解析】 【分析】（1）解得出，根据题意得四边形是矩形，进而求得的长； （2）解得出，进而求得的长，结合题意，即可求解． 【小问1详解】 解：∵ ∴， 在中， 依题意，四边形是矩形， ∴ 【小问2详解】 解：在中， ∴ 依题意，四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴小组所设计的方案可行． 24. 定义：如果一个三角形的三个顶点分别在另一个三角形的三边上，且这两个三角形相似，那么我们把这个三角形称为另一个三角形的镶嵌相似形：已知中，点P、D、E分别在，，上，连接，，． （1）如图1，P是中点，，时，求证：是的镶嵌相似形； （2）如图2，当，，是的镶嵌相似形，．求的值； （3）如图3，如果，，，是的镶嵌相似形，且与不平行，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴，， ∵是中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是的镶嵌相似形； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由平行线分线段成比例定理可得，，又是中点，则，所以，故，从而求证； （）由是的镶嵌相似形，，，则，，证明，所以，然后代入即可求解； （）由 是的镶嵌相似形，，则分当 时，当 时两种情况分析即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是的镶嵌相似形，，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵是的镶嵌相似形，， 当 时， ∴， 过点作于，作于， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，， ∵， ∴， 设，， ∴， ∴， ∴， ∵中，，， ∴； 当 时，不成立，舍去． 综上， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年下学期凝秀中学九年级第一次月考 数学 时间：120分钟 内容：第一章、第二章 一、单选题（30分） 1. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 下列语句叙述正确的是（ ） A. 有一个角是的等腰三角形都相似 B. 有一个角是的直角三角形都相似 C. 有一个角是的锐角三角形都相似 D. 有一个角是的钝角三角形都相似 3. 在中，，均为锐角，且，则一定是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 有一个角是的三角形 4. 如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 黄金分割是汉字结构最基本的审美规律．如图汉字“十”端庄稳重、舒展美观．横竖笔画交点恰好是线段的黄金分割点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，点、分别在边、上，下列所述四个条件中不能判断的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，在距离铁轨的处，观察由南京开往上海的“和谐号”动车，当动车车头在处时，恰好位于处的北偏东方向上，后，动车车头到达处，恰好位于处的西北方向上，则这列动车的平均车速是（ ）． A. B. C. D. 8. 如图，在中，为上一点，连结，，且，交于点，，若，则（ ） A. B. C. D. 9. 如图，大坝的横截面是梯形，斜坡的坡比，背水坡的坡比，若的长度为米，则斜坡的长度为（ ） A. 8米 B. C. D. 10. 如图，在中，，相交于点，点在上，且，连接交于点，则下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ）． A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（18分） 11. 两个相似多边形的面积比为，其中较大的多边形的周长为，则较小的多边形的周长为______． 12. 在中，，，则______． 13. 正方形如图所示，以原点O为位似中心，在第一象限内把正方形的各边缩小为原来的，则点C的对应点的坐标为_____________． 14. 《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其中记载着这样一道题：今有树，不知其高，去树五十步，立表高五尺，人却退七步，望表末，与树末参直，人目高四尺，问树高几何？大致意思是：如图，为求树高，在距离树50步的地方，竖立一根5尺长标杆，再向后退7步，此时眼睛、标杆顶端、树顶端在一条直线上，眼睛离地面的高为4尺，则树高为_______尺． 15. 如图，中，，，点P从A出发，以每秒1厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒2厘米的速度向A运动．其中一个动点到达终点时，另一个也相应停止运动．那么，当以为顶点的三角形与相似时，运动时间是_____． 16. 如图，在矩形纸片中，点，是边，上的点，连接，将四边形沿折叠，点的对应点恰好落在边上，点的对应点为点，连接．若，，则的最小值是_________． 三、解答题（72分） 17. 计算：． 18. 先化简，再求代数式的值，其中． 19. 已知：如图，在中，是边上的高，E为边的中点，，，． （1）求线段的长； （2）计算的值． 20. 如图所示，点在直角三角形的斜边上，连接，作，使得，连接交于点，若，． 求证： （1）． （2）若，求的值． 21. 如图，已知正方形中，平分且交边于点E，将绕点C顺时针旋转到的位置，并延长交于点G． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，求的长． 22. 亲爱的同学们，在我们进入高中以后，将还会学到三角函数公式： ， 例： （1）试仿照例题，求出的准确值； （2）我们知道：，试求出的准确值； （3）根据所学知识，请你巧妙地构造一个合适的直角三角形，求出的准确值（要求分母有理化），和（2）中的结论进行比较． 23. 2026年夏，我国多地冬小麦丰收．为助力“科学收粮，颗粒归仓”，青玄若梦数学“综合与实践”活动小组开展收割机拨禾轮支撑臂角度与拨禾轮位置关系的探究活动，部分内容已记录如下： 活动主题 收割机拨禾轮支撑臂角度与拨禾轮位置关系的探究 活动准备 1．查阅有关资料； 2．准备皮尺、测角仪等测量工具． 采集信息 收割机的前端装置包含拨禾轮、支撑臂和割台等，拨禾轮的侧面是正五边形．图1是收割机前端部分装置侧面示意图： 1．点是拨禾轮中心，是拨禾轮支撑臂； 2．，，； 3．，，； 4．收割作业前，． 设计方案 为减少小麦漏收情况，收割作业时需要将拨禾轮下降，使拨禾轮最低点与割台之间的垂直距离保持在之间． 确定方案：绕点旋转拨禾轮支撑臂，将拨禾轮下降，使． 图2是拨禾轮下降后部分装置侧面示意图： 1．，，点，，在一条直线上，； 2．，，的长度保持不变． 根据以上信息，解决下列问题（图中所有点在同一平面内，参考数据：，，，）： （1）求图1中的长； （2）求图2中的长，并判断小组所设计的方案是否可行． 24. 定义：如果一个三角形的三个顶点分别在另一个三角形的三边上，且这两个三角形相似，那么我们把这个三角形称为另一个三角形的镶嵌相似形：已知中，点P、D、E分别在，，上，连接，，． （1）如图1，P是中点，，时，求证：是的镶嵌相似形； （2）如图2，当，，是的镶嵌相似形，．求的值； （3）如图3，如果，，，是的镶嵌相似形，且与不平行，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $