专题06幂的运算与乘法公式复习讲义(核心重点+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年人教版八年级数学上册

专题06幂的运算与乘法公式复习讲义 ☆ 复习目标 1熟记四条幂的运算法则：同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方、同底数幂相除； 能正向、逆向运用法则计算，分清法则之间的区别，避免混淆。 2理解平方差公式、完全平方公式的结构特征，了解公式对应的几何面积验证：能 准确识别式子是否符合乘法公式的形式。 3.熟练运用平方差、完全平方公式进行整式化简、简便计算，掌握添括号法则，会 处理符号复杂、需要整体换元的式子。 4.掌握乘法公式常见变形：如a+b、(a-b)、(a+b)之间的转化，能够利用变形进 行整体代入求值。 5能结合幂的运算和乘法公式完成整式混合运算，规范运算步骤，化简后求值。 6会解决含参数题型：根据幂的运算、完全平方式求字母参数的值或取值范围，注 意多解情况。 7.梳理易错点：符号出错、漏项（完全平方的2b项）、幂运算和乘法公式混用 出错、逆用法则不会变形。 ☆ 题型梳理 中a。口●编e果ee■ 题型 考察方向 难度 题型一 同底数幂相乘 ★★ 题型二 同底数幂乘法的逆用 题型三 幂的乘方运算 题型四 幂的乘方的逆用 题型五 积的乘方运算 ★★ 题型六 积的乘方的逆用 ★ 题型七 幂的混合运算 试卷第1页（共3页） ★★ 题型八 运用平方差公式进行运算 ★★★ 题型九 平方差公式与几何图形 题型十 ★★ 运用完全平方公式进行运算 ★★★ 题型十一 通过对完全平方公式变形求值 ★★★ 题型十二 完全平方公式在几何图形中的应用 ★★★ 题型十三 求完全平方式中的字母系数 ★★★ 题型十四 整式的混合运算 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档：★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 ☆ 知识梳理 知识点01：幂的基本认识 形如a”,a为底数，n为指数 含义：a"表示n个a相乘 区分： a":底数只有a (a):底数是a 期末最大基础陷阱：括号决定底数范围 试卷第2页（共3页） 知识点02：幂的运算 1.同底数幂相乘：底数不变，指数相加 ☑公式：am'an=am+n ☑拓展：多个相乘也适用，ama”a=ammp ☑逆用：am+n=am'an(求值、化简超好用) △坑点：底数必须完全相同，单独字母指数是1（如a=),别漏 算！ 2。幂的乘方：底数不变，指数相乘 ☑公式：(a")"=amn (m、n为正整数) ☑拓展：多层乘方也能算，[(a)]P=am即 ☑逆用：：am=(a")=(a)m △坑点：别和同底数幂相乘搞混！一个 “指数相乘”，一个 “指数相 加 3.积的乘方：因式分别乘方，再乘幂 ☑公式：(ab)n=ab (m为正整数) ☑拓展：多个因式也适用，(ahc)”=a"bc" ☑逆用：ab-(ab)”(遇指数相同，直接合并底数超省事) △坑点：每个因式都要乘方，别漏乘（如(2ab)3≠2ab) 知识点03：三大核心幂运算公式（详细拓展+对比表格） 试卷第3页（共3页） 运算名称 公式 运算法则 易错点 同底数幂相乘 am,an=am切 底数不变，指数相加 相乘指数加，不是乘 幂的乘方 (am)n=am.n 底数不变，指数相乘 不要指数相加 积的乘方 (ab)"=a"bm 每个因式分别乘方 最容易漏系数乘方 深度拓展区分（老师必讲） 1同级运算（乘、除）一指数加减 2高级运算（乘方）→指数相乘 3,只有同底数才能进行指数加减运算，底数不同不能直接运算 知识点04：幂的混合运算标准解题流程（满分答题模板） 1.先判底数：统一底数，区分正负底数 2先算乘方：幂的乘方、积的乘方优先计算 3.再算乘除：同底数幂乘除，指数加减 4处理特殊指数：零指数、负指数化简 5.最后整理：结果禁止保留负指数，全部化为正指数 知识点05.乘法公式 公式名称 表达式 结构特征 注意事项 平方差公式 (a+b(a-b)=a2-b2 两个二项式相乘，一项相同， 结果为相同项的平方减相反 项互为相反数 项的平方 完全平方公式 (a+b2=a2+2ab+b2 二项式的平方， 展开为三项式 中间项为两数积的2倍，符 号与二项式符号一致 完全平方公式 a-b)2=a2-2ab+b2 :项式的平方，展开为三项式 中间项为两数积的2倍，符 号与二项式符号相反 试卷第4页（共3页） 1.必考五大变式（整体代入求值必考） 1.a2+b2=(a+b)2-2ab 2.a2+b2=(a-b)2+2ab 3.(a+b)2-（a-b)2=4ab 4.(a+b)2+（a-b)2=2a2+2b2 5.配凑构造完全平方式：已知x2士kx+4求k值（常数项拆成平方，求一次项系数） 2.公式使用要点 (1)公式中a、b可代表单项式、多项式，学会整体换元： (2)区分平方差与完全平方，完全平方不要遗漏中间2b项； (3)既可正向展开化简，也可逆用简化大数计算。 3补充拓展：补充十字相乘简单拓展（期末选填偶尔涉及） (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab 知识点06：整式混合运算运算顺序 先乘方→再乘除一→最后加减；有括号先算括号内；能用乘法公式优先套 用公式简化计算。 知识点07：全章超详细易错点汇总表（阅卷扣分点全覆盖） 错误类型 错误写法 正确写法 错因深度解析 同底相乘指数 混淆乘除与乘方指数规 a2.a3-a5 a2.a3-a5 相乘 贝 试卷第5页（共3页） 错误类型 错误写法 正确写法 错因深度解析 幂的乘方指数 (a2)3=a (a2)3=a 高级运算指数相乘 相加 积的乘方漏系 因式包含系数，必须整 (3a)2=3a2 (3a)2=9a2 数 体乘方 有无括号，底数完全不 底数混淆 -22=4 -22=-4 同 结果保留负指最终式子带负指 必须化为正指数分式 考试硬性扣分 数 数 不同底数指数乱 异底先转化，不能直接 异底幂乱运算 概念不清晰 加减 运算 ☆ 题型精析 题型一、同底数幂相乘 1.计算a·a的结果是() A.as B.as C.as D.a' 2.已知 "=6,a”=3 试卷第6页（共3页） 3.计算（结果用幂的形式表示）：(6-(a-b(6-a- 4.定义运算★为：若d心=N(其中：a>0,a≠1，以下同)，则a★W=b.如2=8， 则2★8=3.设★m=x,a*n=y,则a*mm）=（) A少 B x+y C x-y D.-y 题型二、同底数幂乘法的逆用 5.若a"=2,a=3,则am+"的值为() A.5 B.6 c.3 D. 6.计算(3+4x(-3)m 的结果是() A.-32025 B.32025 C.-32026 D.32026 7对于红益正整数心”，定义一稀新运算，儿+网=儿侧f回.剑如.想定了包)=3， 则4)-f+2列=3x3=9.f6j=2+2+2)-3x3x3=27.若提定f5)=k≠0)， 则f(5m小fI5)= 题型三、幂的乘方运算 8.计算(cxa 的结果是() A.a B.al0 C.al2 D.a24 9.下列各式中，错误的有 (填序号)· c(Y-a.alr-(wa-w-wy. 试卷第7页（共3页） a+a+a+…+a 10.计算 的结果是() a个a A.a B.a2a C.2°a 11.已知x=3,4=5,8=30,则下列等式成立的是（) A.c=2a+b B.c=2a-b C.3c=a+2b+1 D.3c=2ab 题型四、幂的乘方的逆用 12.已知a=2“,b=35,c=4“,d=5”,则a、b、c、d的大小关系0 A.a<b<c<d B.a<b<d<c C.b<a<c<d D.a<d<b<c 13.若2x+y-3=0,则9x3”-4的值为 14.已知 "=2,d"=3 则q+2 的值为() A.6 B.12 C.72 D.108 题型五、积的乘方运算 15.计算-2a 的结果是() A.-2a B.-6a C.-6a5 D.-8a6 16.下列计算正确的是() A,(a)3=a B.-a-a=a c. D.(-2ab2)2=4a2b 17.计算：(a-b-(6-aj+[2(a-b]= 18.已学的有关“幂的运算”的法则有：①同底数幂的乘法：②幂的乘方；③积的乘方. 试卷第8页（共3页） 在计算下面题日(ad=(a-(a}=aa=a 的过程中，每一步的运算法则分别是 () A.①②③ B.①③② C.②③① D.③②① 题型六、积的乘方的逆用 19.计算320w×(月6 的结果是() 1 A.3 B.3 C.1 D.-3 20. 2=3”=5,则-6 21.计算： x160(08=） 5 5 e 8 A. 8 B.8 D.-5 题型七、幂的混合运算 2.计算←2a 的结果是() A.-2d B.-2 C.2a D.2d 23.计算-（的结果是 24.m=2,m°=3，m=4,则mb-c的值为.（) A.1 B.1.5 C.2 D.2.5 题型八、运用平方差公式进行运算 25.下列各式中，能用平方差公式计算的是（) A.(a+b)(a+b) B.(a-b)(b-a) c.(a+2b)(2b-a) D,（a-b)(a+b) 试卷第9页（共3页） 26已知-a=5,则a+ba-b 的值为 27.为了运用平方差公式计算x+2y-x-2y+1) 下列变形正确的是(） A.[x-(2y+1] B.[x+(2y-][x-(2y-1] c.[(x+2y)-J]-[(x-2y)+1] D.[x+(2y-10] 题型九、平方差公式与几何图形 28,如图1，在边长为的正方形中挖去一个边长为力的小正方形a> ,把余下的部分组 成一个长方形如图2.根据两个图形中阴影部分的面积相等可以验证的等式是() ←—b 图1 图2 A.a2-2ab+b=(a-b) B.a2-b=(a+b)(a-b) C.a2+2ab+b2=(a+b) D.(a-b}'=(a+b}2-4ab 29.如图，四边形ABCD与四边形EFGH都是正方形，且FG在AD上，连接AE、BF、 DH、CG.若正方形ABCD的面积为21，正方形EFGH的面积为3，则阴影部分的总面 积为. E a+b)(a-b)=a2-b2 30,如图，现有四种方案，其中能借助图形面积验证 的正确性的方案 是() 试卷第10页（共3页） K> 方案① 方案② ←b a←b 方案③ 方案④ A.①② B.①③ C.①②③ D ①②③④ 题型十、运用完全平方公式进行运算 31.下列各式中，与(2a-3动) 一定相等的是() A.(2a+3b)2 B.（-2a-3b)2 c.4d-12ab-9b2D.(3b-2a} 32.计算：(x-yx+yx2-y) 33.若y=12.x-2}2=25 则x+2 的值为() A.196 B.169 C.73 D.121 题型十一、通过对完全平方公式变形求值 34.m+n=3,mn=2,则m2+n2的值为() A.5 B.7 C.9 D.13 35.若等式 +4-3=(x+x+)恒成立，则a2+B=一 36.关于代数式-2x2+20x-9的说法正确的是() 试卷第11页（共3页） A.当x=10时，代数式有最大值41 B.当x=10时，代数式有最小值41 C.当x=5时，代数式有最大值41 D.当x=5时，代数式有最小值41 题型十二、完全平方公式在几何图形中的应用 37.传统文化“灵宝剪纸是河南省灵宝市传统美术，国家级非物质文化遗产之一，如 图，取一张边长为(2x+)cm 的正方形剪纸，然后将其沿虚线裁剪后剩余部分仍是正方形 剪纸，则小正方形剪纸的面积比原剪纸的面积减少了()· k-(2x+1)cm x cm x cm A.x'cm2 B.(+2x)cm' C.3x'cm2 D (3x2+2x)cm2 38.如图，将大正方形通过剪、割、拼后组成新的图形，利用等面积法可证明某些乘法公 式，下面两幅图中，其中能够验证平方差公式的是() 用 A.甲乙均可以 B.甲乙均不可以 C.甲可以，乙不可以 D.甲不可以，乙可以 39.如图，两个部分重合的正方形边长分别为“，b(a>),不重合的面积分别为S, .若已知a+h=6,b=8,则 S-S2= 试卷第12页（共3页） b 题型十三、求完全平方式中的字母系数 40.多项式25x2+x+1是一个完全平方式，则a= x2+(k+1)x+9 41.已知关于x的整式 是某个关于x的整式的平方，那么k的值是 2+(m-1)xy+16y2 42.已知多项式 是完全平方式，则m的值为() A.8 B.7或9 C.7 D.9或-7 题型十四、整式的混合运算 43.下列各式中正确的有() A.a-b=b-a B.(a-b=(6-a)2 c.(a-b)}'=-(b-a D.(a+b)(a-b)=(-a-b)(-a+b) 45.已知2+x-3=0,那么代数式(x-2)+(x+2+5值是（) A.14 B.15 C.16 D.17 解答题 46.计算： 0（(-21-2列-2 2a+(--2(a月 试卷第13页（共3页） 47.化简求值 @3-(2a+2a-6创-口-b,其中a-2,b= 2 ®[-2j-0-3g1-39j-1小-(2g1.其中x=3.y专 48.完成以下问题 (1)已知2x+3y-3=0,求9.27的值. @已知m为正整数，且”=4，求(-2“的值。 49.已知代数式4=(a+4°-(a+2(a-2)-3(2a+3) (1)化简代数式A. (2)若x2+6x+a(a为常数)是完全平方式，求A的值. 50.如图所示的两个长方形用不同形式拼成图①和图②两个图形. a 图① 图② (1)图①中阴影部分的面积为_，图②中阴影部分的面积为_（用含字母a,b的代数式表示 (0) (2)由你可以得到等式： (3)根据你所得到的等式解决下面的问题： ① 6212-1482-769×373 计算： ②解方程：(+1-(x-=4 51.解答下列问题： 试卷第14页（共3页） S C S2 ()【特例探究】比较a+b2与2ab的大小（用等号或不等号填空）： 当a=1,b=2时，a2+b22ab 当a=2,b=-3时，a2+b22ab 当a=4,b=4时，a2+b22ab (2)【猜想证明】无论a、b取何值，试猜想a+b2与2ab的大小关系，并说明理由： (3)【拓展应用】①如图，点C在线段AB上，以AC,BC为边向两边作正方形，设这两个 正方形的面积分别为 ，若阴影部分的面积为6，求9+8 S S2 的最小值： ②已知a、b满足4a2+b2-6+ab,求10-3ab的最小值. 试卷第15页（共3页） 专题06幂的运算与乘法公式复习讲义 1.熟记四条幂的运算法则：同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方、同底数幂相除；能正向、逆向运用法则计算，分清法则之间的区别，避免混淆。 2.理解平方差公式、完全平方公式的结构特征，了解公式对应的几何面积验证；能准确识别式子是否符合乘法公式的形式。 3.熟练运用平方差、完全平方公式进行整式化简、简便计算，掌握添括号法则，会处理符号复杂、需要整体换元的式子。 4.掌握乘法公式常见变形：如 a2+b2、(a-b)2、(a+b)2 之间的转化，能够利用变形进行整体代入求值。 5.能结合幂的运算和乘法公式完成整式混合运算，规范运算步骤，化简后求值。 6.会解决含参数题型：根据幂的运算、完全平方式求字母参数的值或取值范围，注意多解情况。 7.梳理易错点：符号出错、漏项（完全平方的 2ab 项）、幂运算和乘法公式混用出错、逆用法则不会变形。 题型 考察方向 难度 题型一 同底数幂相乘 ★ 题型二 同底数幂乘法的逆用 ★★ 题型三 幂的乘方运算 ★ 题型四 幂的乘方的逆用 ★★ 题型五 积的乘方运算 ★ 题型六 积的乘方的逆用 ★★ 题型七 幂的混合运算 ★★ 题型八 运用平方差公式进行运算 ★★ 题型九 平方差公式与几何图形 ★★★ 题型十 运用完全平方公式进行运算 ★★ 题型十一 通过对完全平方公式变形求值 ★★★ 题型十二 完全平方公式在几何图形中的应用 ★★★ 题型十三 求完全平方式中的字母系数 ★★★ 题型十四 整式的混合运算 ★★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01:幂的基本认识 形如 an，a 为底数，n 为指数 含义：an表示 n 个 a 相乘 区分： -an：底数只有 a (-a)n：底数是 -a 期末最大基础陷阱：括号决定底数范围 知识点02:幂的运算 1. 同底数幂相乘：底数不变，指数相加 ✅ 公式:aman=am+n ✅ 拓展：多个相乘也适用，amanap=am+n+p ✅ 逆用：am+n=aman（求值、化简超好用） ⚠坑点：底数必须完全相同，单独字母指数是 1（如a=a1），别漏算！ 2. 幂的乘方：底数不变，指数相乘 ✅ 公式：(am)n=amn （m、n为正整数） ✅ 拓展：多层乘方也能算，[(am)n]p=amnp ✅ 逆用：：amn=(am)n=(an)m ⚠坑点：别和同底数幂相乘搞混！一个 “指数相乘”，一个 “指数相加” 3. 积的乘方：因式分别乘方，再乘幂 ✅ 公式：(ab)n=anbn （n为正整数） ✅ 拓展：多个因式也适用，(abc)n=anbncn ✅ 逆用：anbn=(ab)n（遇指数相同，直接合并底数超省事） ⚠坑点：每个因式都要乘方，别漏乘（如(2ab)32a3b3） 知识点03:三大核心幂运算公式（详细拓展 + 对比表格） 运算名称 公式 运算法则 易错点 同底数幂相乘 aman=am+n 底数不变，指数相加 相乘指数加，不是乘 幂的乘方 (am)n=amn 底数不变，指数相乘 不要指数相加 积的乘方 (ab)n=anbn 每个因式分别乘方 最容易漏系数乘方 深度拓展区分（老师必讲） 1.同级运算（乘、除）→ 指数加减 2.高级运算（乘方）→ 指数相乘 3.只有同底数才能进行指数加减运算，底数不同不能直接运算 知识点04:幂的混合运算标准解题流程（满分答题模板） 1.先判底数：统一底数，区分正负底数 2.先算乘方：幂的乘方、积的乘方优先计算 3.再算乘除：同底数幂乘除，指数加减 4.处理特殊指数：零指数、负指数化简 5.最后整理：结果禁止保留负指数，全部化为正指数 知识点05.乘法公式 1.必考五大变式（整体代入求值必考） 2.公式使用要点 (1)公式中a、b可代表单项式、多项式，学会整体换元； (2)区分平方差与完全平方，完全平方不要遗漏中间2ab项； (3)既可正向展开化简，也可逆用简化大数计算。 3.补充拓展：补充十字相乘简单拓展（期末选填偶尔涉及） (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab 知识点06:整式混合运算运算顺序 先乘方→再乘除→最后加减；有括号先算括号内；能用乘法公式优先套用公式简化计算。 知识点07:全章超详细易错点汇总表（阅卷扣分点全覆盖） 错误类型 错误写法 正确写法 错因深度解析 同底相乘指数相乘 a2a3=a6 a2a3=a5 混淆乘除与乘方指数规则 幂的乘方指数相加 (a2)3=a5 (a2)3=a6 高级运算指数相乘 积的乘方漏系数 (3a)2=3a2 (3a)2=9a2 因式包含系数，必须整体乘方 底数混淆 -22=4 -22=-4 有无括号，底数完全不同 结果保留负指数 最终式子带负指数 必须化为正指数分式 考试硬性扣分 异底幂乱运算 不同底数指数乱加减 异底先转化，不能直接运算 概念不清晰 题型一、同底数幂相乘 1．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：． 2．已知，则______． 【答案】 【分析】利用同底数幂的乘法法则即可计算出结果． 【详解】解：根据同底数幂乘法法则，可得， ∵ ，， ∴ ． 3．计算（结果用幂的形式表示）：_____． 【答案】 【分析】把看作是一个整体，利用同底数幂的乘法解答即可． 【详解】解： 4．定义运算为：若（其中：，，以下同），则．如，则．设，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了新定义，同底数幂的乘法． 根据题意得到，，进而得到，根据定义可知 【详解】解：∵若（其中：，，以下同），则．设，， ∴，， ∴， ∵若（其中：，，以下同），则， ∴ 故选：B． 题型二、同底数幂乘法的逆用 5．若则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂相乘的法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，解决本题的关键是能逆用同底数幂相乘的法则．本题 由逆用即可． 【详解】解：，故选． 6．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用同底数幂乘法的逆运算将原式变形后进行计算即可． 【详解】解： ． 7．对于任意正整数，定义一种新运算：．例如，规定，则，．若规定，则__________． 【答案】 【分析】本题主要考查的是同底数幂的乘法，新定义运算，关键是正确理解新定义，将新运算化成常规运算．根据新定义进行计算即可求解． 【详解】解：∵ 由新运算，可知， 则， ∴． 题型三、幂的乘方运算 8．计算 的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 9．下列各式中，错误的有_______ （填序号）． ①；②；③；④． 【答案】①③ 【分析】根据幂的乘方和积的乘方法则，计算每个式子的正确结果，对比原式判断对错． 【详解】解：① ，，故①错误； ② ，且，，故②正确； ③，，故③错误； ④，故 ④正确； 综上，错误的式子为①③． 10．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据乘法的意义求出底数，再根据幂的乘方运算法则计算即可． 【详解】解：． 11．已知，，，则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，熟练掌握运算法则，是解题的关键．先根据，，，得出，，，根据，得出，根据同底数幂乘法得出，即可得出答案． 【详解】解：，，， ∴，，， 即，，， ∵， ∴， ∴， ， 故选：C． 题型四、幂的乘方的逆用 12．已知，，，，则a、b、c、d的大小关系() A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了幂的乘方的逆用；将各数转化为同指数形式，比较底数大小即可． 【详解】∵，，，， 且指数均为， 比较底数：， 故． 故选：D． 13．若，则的值为___________． 【答案】 【分析】由已知等式变形得到，将所求式子转化为以为底的同底数幂，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴ ． 14．已知，则的值为（    ） A．6 B．12 C．72 D．108 【答案】C 【分析】本题考查幂的运算的逆用，逆用同底数幂的乘法，幂的乘方法则进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选C． 题型五、积的乘方运算 15．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据计算即可． 【详解】解：． 16．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查幂的运算法则，运用幂的乘方、同底数幂乘法、积的乘方法则，分别计算各选项即可判断正误． 【详解】选项A：根据幂的乘方法则，底数不变，指数相乘，，计算错误，不符合题意； 选项B：根据同底数幂乘法法则，底数不变，指数相加，，计算错误，不符合题意； 选项C：根据积的乘方法则，每个因式分别乘方再相乘，，计算错误，不符合题意； 选项D：根据积的乘方和幂的乘方法则计算，，计算正确． 17．计算： ________． 【答案】/ 【分析】本题考查了积的乘方和合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键； 先进行积的乘方运算，然后合并同类项即可； 【详解】 ． 18．已学的有关“幂的运算”的法则有：①同底数幂的乘法；②幂的乘方；③积的乘方．在计算下面题目的过程中，每一步的运算法则分别是（   ） A．①②③ B．①③② C．②③① D．③②① 【答案】D 【分析】本题主要考查积的乘方，幂的乘方以及同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行计算即可． 【详解】解：的过程中，每一步的运算法则分别是积的乘方，幂的乘方，同底数幂的乘法， 故选D． 题型六、积的乘方的逆用 19．计算的结果是（     ） A． B．3 C．1 D． 【答案】C 【分析】观察到两幂指数相同，逆用积的乘方简化计算． 【详解】解：． 20．若，则______． 【答案】 【分析】将和利用幂的运算法则变形为只含和的式子，再代入已知数值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 21．计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查积的乘方和同底数幂相乘的知识，掌握以上知识是解题的关键； 本题先将化简为，然后再根据积的乘方逆运用进行计算，即可求解； 【详解】解：原式=， ， ， ， ； 故选：D； 题型七、幂的混合运算 22．计算的结果是（   ） A．-2a B．-2a C．2a D．2a 【答案】C 【分析】先计算乘方，再计算乘法，得出结果即可． 【详解】解：原式． 故选：C． 【点睛】本题考查了整式的乘除运算，掌握运算顺序是解题关键． 23．计算的结果是________． 【答案】 【分析】本题考查了幂的混合运算，熟练掌握幂的混合运算是关键．先计算积的乘方，幂的乘方，再计算同底数幂的乘法即可． 【详解】解：． 故答案为：． 24．，，，则的值为．（　　　） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【答案】B 【分析】根据幂的运算的逆运算，把所求变成同底数幂相乘和除法即可． 【详解】解：， = =1.5 故选：B． 【点睛】本题考查了幂的运算，解题关键是熟练运用幂的运算的逆运算，把所求式子变形． 题型八、运用平方差公式进行运算 25．下列各式中，能用平方差公式计算的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】寻找一组项相同、另一组项互为相反数的两个二项式相乘的选项． 【详解】解：A选项两项均相同，不符合要求． B、D选项的两个二项式两项均互为相反数，不符合要求． C选项中为相同项，与互为相反数，符合要求． 26．已知，则的值为________． 【答案】 【分析】将所求式子利用积的乘方逆运算和平方差公式化简，再代入已知条件计算. 【详解】解： 由平方差公式得， ∴， 将代入得： 原式. 27．为了运用平方差公式计算，下列变形正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平方差公式的应用，平方差公式结构为，解题思路是将原式中两个括号的相同项、相反项重新分组，凑出平方差公式要求的形式即可． 【详解】解：观察原式， 两个因式中相同项是，相反项是， 分组变形得：符合平方差公式的变形要求，故选B． 题型九、平方差公式与几何图形 28．如图1，在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形，把余下的部分组成一个长方形如图2．根据两个图形中阴影部分的面积相等可以验证的等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平方差公式与几何图形．第一个图形中阴影部分的面积是边长是的正方形的面积减去边长是的小正方形的面积，等于；第二个图形中阴影部分是一个长是，宽是的长方形，面积是，这两个图形的阴影部分的面积相等． 【详解】解：第一个图形中阴影部分的面积，第二个图形中阴影部分的面积， 而两个图形中阴影部分的面积相等， ∴ ． 故选：B． 29．如图，四边形与四边形都是正方形，且在上，连接、、、．若正方形的面积为21，正方形的面积为3，则阴影部分的总面积为__________． 【答案】9 【分析】设正方形的边长为，正方形的边长为，则，再根据梯形的面积公式，结合平方差公式求解即可． 【详解】解：设正方形的边长为，正方形的边长为，则， 又阴影部分为梯形和梯形， 则总面积 ． 30．如图，现有四种方案，其中能借助图形面积验证的正确性的方案是（     ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】逐个方案用两种不同方法表示阴影部分的面积,然后进行辨别即可解答． 【详解】解：方案①:阴影部分的面积为第一种表示方法为，另一种方法为，即,符合题意； 方案②:阴影部分的面积为第一种表示方法为，另一种方法为，即,符合题意； 方案③:阴影部分的面积为第一种表示方法为，另一种方法为，即,符合题意； 方案④：阴影部分的面积为第一种表示方法为，另一种方法为，即，不符合题意； 综上，符合题意的是①②③． 题型十、运用完全平方公式进行运算 31．下列各式中，与一定相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，故不符合题意； D、，符合题意． 32．计算：____________________． 【答案】 【分析】先利用平方差公式计算前两个因式的乘积，再利用完全平方公式展开计算即可． 【详解】解： ． 33．若，，则的值为（    ） A．196 B．169 C．73 D．121 【答案】D 【分析】本题利用完全平方公式变形，通过整体代入已知条件求解，不需要单独计算的值，解题关键是掌握完全平方公式的结构． 【详解】解：， 把，代入得： ． 题型十一、通过对完全平方公式变形求值 34．，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用完全平方公式的变形运算把原式转化为，再代入已知计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 35．若等式恒成立，则______． 【答案】 【分析】等式恒成立，将等式右侧展开后对比对应项系数，得到和的值，利用完全平方公式变形计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵等式恒成立，对应项系数相等， ∴， ∵， ∴． 36．关于代数式的说法正确的是（     ） A．当时，代数式有最大值 B．当时，代数式有最小值 C．当时，代数式有最大值 D．当时，代数式有最小值 【答案】C 【分析】先利用完全平方公式将代数式恒等变形，再根据非负数的性质和不等式性质进行解答即可． 【详解】解：∵ ， ， ，则， ∴当时，代数式有最大值． 题型十二、完全平方公式在几何图形中的应用 37．传统文化  “灵宝剪纸是河南省灵宝市传统美术，国家级非物质文化遗产之一．如图，取一张边长为的正方形剪纸，然后将其沿虚线裁剪后剩余部分仍是正方形剪纸，则小正方形剪纸的面积比原剪纸的面积减少了（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出裁剪后正方形的边长，再根据减少的面积原正方形面积小正方形面积计算即可． 【详解】解：∵原正方形边长为， 由图可知，裁剪后小正方形的边长为 ， ∴减少的面积原正方形面积小正方形面积 ． 38．如图，将大正方形通过剪、割、拼后组成新的图形，利用等面积法可证明某些乘法公式，下面两幅图中，其中能够验证平方差公式的是（     ） A．甲乙均可以 B．甲乙均不可以 C．甲可以，乙不可以 D．甲不可以，乙可以 【答案】C 【分析】利用面积法，分别计算图形剪拼前后的面积表达式，判断其对应的乘法公式． 【详解】 解：甲图中，左图阴影部分面积为大正方形面积减去小正方形面积，即， 右图平行四边形底为，高为，面积为， ， 故甲可以验证平方差公式． 乙图中，大正方形边长为，面积为 ， 内部由边长为的正方形和四个长宽为、的长方形组成，面积和为， ， 故乙验证的是完全平方公式． 综上所述，甲可以，乙不可以． 39．如图，两个部分重合的正方形边长分别为，，不重合的面积分别为，．若已知，，则________． 【答案】12 【分析】设空白部分面积为，则，求出，再求出，即可求出答案． 【详解】解：设空白部分面积为，则， ∵ ∵，， ∴ ∵， ∴， ∴ 题型十三、求完全平方式中的字母系数 40．多项式是一个完全平方式，则_________． 【答案】 【分析】根据完全平方式的两种结构，对比多项式的首项、末项得到中间项的关系，即可求出的值． 【详解】解：∵是完全平方式，完全平方式的结构为：， ∴对比多项式可得，， ∴，， ∴中间项满足， ∴． 41．已知关于x的整式是某个关于x的整式的平方，那么k的值是______． 【答案】或 【分析】根据完全平方式的结构特征，对比对应项系数即可求解的值． 【详解】解：由题意得，是关于的完全平方式， ∵，， ∴， ∴， ∴， 当时，解得， 当时，解得， ∴的值为或． 42．已知多项式是完全平方式，则的值为（     ） A．8 B．7或9 C．7 D．9或 【答案】D 【分析】完全平方式可表示为，需注意中间项系数有正负两种情况，避免漏解，根据完全平方公式列方程求解即可． 【详解】解：∵多项式是完全平方式，其中，，符合完全平方式的结构， ∴可得， 当时，解得， 当时，解得， ∴的值为或． 题型十四、整式的混合运算 43．下列各式中正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】通过代数运算和符号分析，逐一验证各选项的正确性． 本题考查了等式的变形，乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：A. 错误，不符合题意； B. 正确，符合题意； C. 正确，符合题意；     D. 正确，符合题意； 故选：BCD． 44．计算：______． 【答案】 【分析】本题考查整式的混合运算，熟练掌握整式运算法则是解题的关键． 先计算乘方，再计算乘法，最后合并同类项即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 45．已知，那么代数式值是（   ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】B 【分析】本题考查整式混合运算，已知式子的值求代数式的值．由已知得到，运用整式的混合运算法则对代数式化简变形，代入即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故选：B 解答题 46．计算： (1) ； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先算乘方，再算乘除，最后算减法即可； （2）先算幂的乘方，同底数幂的乘法，再算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 47．化简求值 (1)，其中，． (2)，其中，． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：原式 ． 将，代入得： 原式． （2）解：原式 ． 将，代入得：． 48．完成以下问题 (1)已知，求的值． (2)已知为正整数，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可求出，根据幂的乘方逆运算和同底数幂的乘法运算可将式子变形为，整体代入求值即可； （2）根据幂的乘方和其逆用法则可将所求式子变形为，将代入求值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ； （2）解：∵， ∴ ． 49．已知代数式． (1)化简代数式． (2)若（a为常数）是完全平方式，求的值． 【答案】(1) (2)． 【分析】本题主要考查了完全平方公式、平方差公式的应用及整式的化简求值，熟练掌握乘法公式的展开法则与完全平方式的结构特征是解题的关键． （1）通过完全平方公式、平方差公式展开代数式，再合并同类项化简； （2）根据完全平方式的结构特征求出的值，代入化简后的代数式计算． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵是完全平方式，， ∴， 将代入得 ． 50．如图所示的两个长方形用不同形式拼成图和图两个图形． (1)图中阴影部分的面积为 ，图中阴影部分的面积为 用含字母，的代数式表示 (2)由你可以得到等式 ； (3)根据你所得到的等式解决下面的问题： 计算：； 解方程：． 【答案】(1)； (2) (3)①76900；② 【分析】（1）根据长方形的面积公式列式计算即可得解； （2）根据两阴影部分的面积相等解答即可； （3）①利用平方差公式进行计算即可得解； ②利用平方差公式进行计算即可得解． 【详解】（1）解：图中阴影部分的面积为：， 图中阴影部分的面积为：； （2）解：由（1）你可以得到的等式是：； （3）解：①原式 ． ②， ， ， ． 51．解答下列问题： (1)【特例探究】比较与的大小（用等号或不等号填空）： 当，时，____ 当，时，____ 当，时，____ (2)【猜想证明】无论、取何值，试猜想与的大小关系，并说明理由； (3)【拓展应用】①如图，点在线段上，以，为边向两边作正方形，设这两个正方形的面积分别为，若阴影部分的面积为，求的最小值； ②已知、满足 ，求的最小值． 【答案】(1)，， (2)，理由如下： ， ； (3)①的最小值为；② 【分析】（1）分别把每组，的值代入和算出结果，再比较大小； （2）先作差得到，利用平方的非负性判断差的正负，得到大小关系； （3）①设，，由阴影三角形面积得到，再利用求的最小值；②把看成，用完全平方非负性得出，代换得，得到最大值，即可求的最小值． 【详解】（1）解：当，时，，，所以； 当，时，，，所以； 当，时，，，所以； （2）略 （3）解：①设，，则， ∵，即， ∴， ∵， ∴ ， ∴的最小值为24；      ②解：∵， ∴， ∴， ， ∴， ， ∵的值越大，的值越小， ∴当取最大值时，取得最小值，为． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $