16.3 整式的乘法 拓展专题精讲讲义 2026--2027学年人教版八年级数学上册

人教版八年级上册《整式的乘法拓展专题精讲（乘法公式、几何背景与规律探究）》 适用章节：第十六章 整式的乘法 —— 16.3 乘法公式 —————————————————————————————————— 第一部分　课前导读 1.1　乘法公式核心方法梳理 两把“公式钥匙”：平方差公式 (a+b)(a−b)=a2−b2 与完全平方公式 (a± b)2=a2± 2ab+b2．前者“两项和乘两项差”，结果只有两项；后者“和（差）的平方”，结果有三项，中间一项是 ± 2ab． 识别结构：用公式前先“找相同、找相反”．两个因式里“完全相同的那一项”记作 a，“符号相反的那一项”记作 b，就能套平方差；括号里两项相加（减）再平方，就套完全平方． 整体思想：x−2y 可以看成一个整体，(x−2y−1)(x−2y+1) 就是“整体与 1 的和乘整体与 1 的差”，于是化成平方差．添括号是整体思想的载体，括号前是负号时各项都要变号． 变形公式（求值题的核心）：a2+b2=(a+b)2−2ab=(a−b)2+2ab；(a+b)2−(a−b)2=4ab；(a+b)2+(a−b)2=2(a2+b2)．四个量 a+b、a−b、ab、a2+b2 知二求二． 简算：把数写成“整十（整百）± 小数”的形式，如 99×101=(100−1)(100+1)、2028×2026=(2027+1)(2027−1)；连续使用公式时要“补因子”，常补 (2−1) 或 (3−1)，补上再除掉． 配方法：遇到 a2+b2+c2± 2ab±⋯=0 这类式子，先拆项、分组，配成 (A)2+(B)2=0，再用“非负数之和为 0，则每个都为 0”求出字母的值． 面积法：同一个图形用两种方式算面积，结果相等，就得到一个恒等式；反过来，题目给出面积关系，就是这个恒等式的具体数值化，把面积“翻译”成代数式即可． 探究题的写法：先算前 3 个特例 → 归纳含 n 的一般式 → 用整式乘法给出证明（不能只写结论），最后把具体数字代入一般式． 1.2　高频易错清单（考前必看） ① 把 (a+b)2 写成 a2+b2：漏掉中间项 2ab，这是最高频的错误． ② 中间项符号漏掉：(a−b)2=a2−2ab+b2，中间项是“减”． ③ 平方差识别错：(a+b)(−a−b)=−(a+b)2，不是平方差；(a+b)(a+b) 也不是平方差． ④ 添括号变号错：a−b−c=a−(b+c)，括号前是负号，括到括号里的各项都要变号． ⑤ 连续用公式漏因子：(2+1)(22+1)(24+1) 要补乘 (2−1) 才能连成 28−1，算完不要忘记“补了什么就要除掉什么”． ⑥ 完全平方式漏“±”：x2+kx+9 中 k=± 6，只写 6 就丢解． ⑦ (a−b)2 与 a2−b2 混用：前者是完全平方，后者是平方差，结构完全不同． ⑧ 配方法拆项时把常数项算错：验证方法是把配方结果重新展开，看是否与原来一致． 1.3　本讲题型总目录 题型1：平方差公式的识别与“添括号”变形 题型2：平方差公式的简算与连续运用 题型3：完全平方公式的识别与“中间项”问题 题型4：完全平方公式的变形求值（和、差、积、平方和互求） 题型5：配方法与非负性（“0 + 0”型） 题型6：乘法公式的几何背景（面积法验证公式） 题型7：乘法公式与图形面积计算 题型8：规律探究与“新定义”数 说明：题型 1～5 重在公式的结构识别与代数变形；题型 6～7 重在“面积—代数式”的互相翻译；题型 8 重在观察、归纳与证明，是本讲的综合提升部分． 第二部分　分题型精讲 【题型1：平方差公式的识别与“添括号”变形】 ✅ 模型解读：两个二项式相乘，若“一项完全相同、另一项互为相反数”，就能用平方差公式．三项以上的式子要先“添括号”把某几项捆成一个整体，再套公式；添括号的关键是看括号前的符号，负号则各项变号． ✅ 核心公式/运算规则 平方差公式：(a+b)(a−b)=a2−b2（相同项的平方 减 相反项的平方）； 结构特征：“一同一反”——找相同的那一项作 a，符号相反的那一项作 b； 添括号：a−b−c=a−(b+c)，a−b+c=a−(b−c)，括号前是负号时各项都变号； 常见变形：(a+b)(−a+b)=b2−a2，(a+b)(−a−b)=−(a+b)2． ✅ 经典例题：计算 (x−2y−1)(x−2y+1)． ✅ 变式训练 1．计算 (−2a+3b)(−2a−3b)． 2．计算 (2x+3y−1)(2x+3y+1)． 3．计算 (a−b+c)(a−b−c)． 【题型2：平方差公式的简算与连续运用】 ✅ 模型解读：①数值简算：把两个因数写成“同一个数的和与差”，如 99×101=(100−1)(100+1)；②连续使用：多个“和乘差”型因式连乘时，前面补一个 (a−b) 就能一路套下去，最后把补上的因子除掉；③整式连乘：(x−1)(x+1)(x2+1)(x4+1) 逐级套公式． ✅ 核心公式/运算规则 简算模型：a2−(a+1)(a−1)=1，即 (a+1)(a−1)=a2−1； 连乘链：(a−b)(a+b)(a2+b2)(a4+b4)=a8−b8； 补因子：2+1 前补 (2−1)，3+1 前补 (3−1)，因为 2−1=1、3−1=2，前者不改变值，后者需除掉 2； 每一步只套一次公式，指数逐级翻倍（2→4→8→16）． ✅ 经典例题：计算 20272−2028×2026． ✅ 变式训练 1．计算 99×101×10001． 2．计算 (2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1． 3．化简 (x−2)(x+2)(x2+4)(x4+16)． 【题型3：完全平方公式的识别与“中间项”问题】 ✅ 模型解读：三项式 Ax2+Bxy+Cy2 是完全平方式，则首末两项必为平方项（系数为正），中间项等于“首末两项算术平方根之积的 2 倍”，符号可正可负，因此答案常有两个；反过来，题目把中间项（或某一项）遮住，就是要你补出 ± 2ab． ✅ 核心公式/运算规则 完全平方公式：(a± b)2=a2± 2ab+b2； 完全平方式的判定：x2+kx+m（m>0）为完全平方式 ⟺ k2=4m，即 k=± 2√m； “±”不能丢：x2± 6x+9=(x± 3)2，两种都成立； 常用变形：a2+1/a2=(a+1/a)2−2=(a−1/a)2+2． ✅ 经典例题：若 4x2+kxy+25y2 是一个完全平方式，求 k 的值． ✅ 变式训练 1．若 x2−2(m+1)x+16 是一个完全平方式，求 m 的值． 2．小华利用完全平方公式计算时，墨迹把结果“=9x2■+16y2”中的一项染黑了，则被染黑的这一项可能是（　　） A．+12xy　　B．+12xy 或 −12xy　　C．+24xy　　D．+24xy 或 −24xy 3．若 a2+1/a2=7，求 a+1/a 的值． 【题型4：完全平方公式的变形求值（和、差、积、平方和互求）】 ✅ 模型解读：四个量 a+b、a−b、ab、a2+b2 之间由两个恒等式联系，已知其中任意两个就能求另外两个．解题时先写公式、再整体代入，不要急着求出 a、b 的具体值． ✅ 核心公式/运算规则 a2+b2=(a+b)2−2ab=(a−b)2+2ab； (a+b)2−(a−b)2=4ab，即 ab=[(a+b)2−(a−b)2]/4； (a+b)2+(a−b)2=2(a2+b2)； 求 a−b（或 a+b）时先平方再开方，答案一般要带“±”；若题目另有“a>b”等条件则取正． ✅ 经典例题：已知 a+b=7，ab=10，求 (a−b)2 的值． ✅ 变式训练 1．已知 x+y=10，xy=21，求 x−y 的值． 2．已知 (x−y)2=25，xy=14，求 x2+y2 的值． 3．已知 x+1/x=5，求 x2+1/x2 与 x4+1/x4 的值． 【题型5：配方法与非负性（“0 + 0”型）】 ✅ 模型解读：把含两个字母的二次式拆项、分组，配成“两个完全平方之和等于 0”的形式，由非负性得每个平方都为 0，从而求出字母的值．拆项的依据是“中间项 2ab 只出现一次，剩下的平方项各归其位”． ✅ 核心公式/运算规则 非负性：若 (A)2+(B)2=0，则 A=0 且 B=0； 拆项口诀：先找“能配成 (a−b)2 的三项”，剩下的项再配一个完全平方； 常见配方：a2+b2−2ab=(a−b)2；b2−8b+16=(b−4)2； 验证：把配方结果展开，必须与原式一致． ✅ 经典例题：若 a2+b2+6a+9=0，求 a、b 的值． ✅ 变式训练 1．已知 x2+2y2−6y+9−2xy=0，求 xy 的值． 2．已知 Rt△ABC 的三边长 a、b、c（c 为斜边）满足 a2+b2−12a−16b+100=0，求 c2 的值． 3．已知 a2+b2+2a−6b+10=0，求 ab 的值． 【题型6：乘法公式的几何背景（面积法验证公式）】 ✅ 模型解读：同一个图形用两种方式算面积：一种是“整体算”（大正方形的边长平方），另一种是“分割算”（各块面积相加），两者相等就得到乘法公式．反过来，题目给出“大正方形与小正方形的面积差”“四个三角形面积和”等条件，就是把公式中的 ab、a+b、a−b 数值化，用变形公式求值． ✅ 核心公式/运算规则 整体 = 分割：(a+b)2=a2+2ab+b2；(a−b)2=a2−2ab+b2； a2−b2=(a+b)(a−b)：大正方形挖去小正方形后重新拼成长方形； 赵爽弦图：大正方形面积 =c2，也 =4·1/2ab+(a−b)2=a2+b2； 关键换算：四个直角三角形面积和 =2ab；中间小正方形边长 =|a−b|，面积 =(a−b)2． ✅ 经典例题：用两种方法表示边长为 a+b 的正方形的面积，并写出一个关于 a、b 的等式． ✅ 变式训练 1．我国古代数学家赵爽用“弦图”证明了勾股定理：四个全等的直角三角形与中间一个小正方形恰好拼成一个大正方形．设直角三角形的较长直角边为 x，较短直角边为 y，大正方形的面积比小正方形的面积大 24． (1) 求 xy 的值； (2) 当 x+y=8 时，求中间小正方形的面积． 2．用 4 个全等的长方形（长为 a、宽为 b，a>b）与 1 个小正方形拼成一个大正方形，已知 a+b=9，中间小正方形的边长为 3，求 a、b 的值． 3．在一块边长为 a 的正方形铁皮上剪去一个边长为 b（a>b）的小正方形，把余下的部分剪开，恰好能拼成一个长方形．用两种方法表示余下部分的面积，可得等式 a2−b2=(a+b)(a−b)．若 a+b=8，余下部分的面积为 16，求 a、b 的值． 【题型7：乘法公式与图形面积计算】 ✅ 模型解读：先用含字母的式子表示各部分的长度（每排数量、排数、边长），再用乘法公式算出面积（或总数），最后按题意作差、求和；代入具体数值时先化简再代入，能大幅减少计算量． ✅ 核心公式/运算规则 长方形面积 = 长 × 宽；正方形面积 = 边长2；总数 = 每排数量 × 排数； 剩余（绿化）面积 = 总面积 − 挖去部分面积； 重叠型：两块图形不重叠部分的面积之差 = 两个图形面积之差（重叠部分互相抵消）； 化简后再代值：把结果写成 Aa2+Bab+Cb2 的形式，代入更快更准． ✅ 经典例题：某农场有两块实验田．长方形实验田每排种 2a+b 株，共种 2a−b 排；正方形实验田每排种 a+2b 株，共种 a+2b 排，其中 a>b>0． (1) 正方形实验田比长方形实验田少种多少株？ (2) 当 a=4，b=1 时，两块实验田一共种了多少株？ ✅ 变式训练 1．两块边长分别为 m、n（m>n）的正方形纸板部分重叠放置，重叠部分（池塘）的面积为 B，两块纸板不重叠部分的面积分别为 S1、S2．若 m+n=8，mn=15，求 S1−S2 的值． 2．一块长为 2a+b、宽为 a+2b 的长方形广场，中间修两条宽为 b 的小路，一条平行于长边，一条平行于宽边，其余部分全部绿化．用含 a、b 的式子表示绿化面积． 3．用 1 张 A 型纸板（边长为 a 的正方形）、1 张 B 型纸板（边长为 b 的正方形）和 2 张 C 型纸板（长为 b、宽为 a 的长方形）拼成一个大正方形． (1) 若大正方形的总面积为 64，A 型与 B 型纸板的面积之和为 40，求 ab 的值； (2) 在 (1) 的条件下，求 a−b 的值． 【题型8：规律探究与“新定义”数】 ✅ 模型解读：①结构规律：观察一串等式的“左边结构”和“右边结果”，用含 n 的式子写出一般式，再用整式乘法证明；②新定义数：把定义“翻译”成代数式（如“两个连续偶数的平方差”就是 (2n+2)2−(2n)2），化简后判断整除性、倍数关系或求第几个数． ✅ 核心公式/运算规则 等比求和：(x−1)(xn+xn−1+⋯+x+1)=xn+1−1； 连续偶数平方差：(2n+2)2−(2n)2=8n+4=4(2n+1)； 连续整数平方差：(n+1)2−n2=2n+1（奇数）； 证明“是某数的倍数”：把结果化成“某数 × 整数”的形式，并说明括号内是整数． ✅ 经典例题：探索：(x−1)(x+1)=x2−1，(x−1)(x2+x+1)=x3−1，(x−1)(x3+x2+x+1)=x4−1…… (1) 猜想 (x−1)(xn+xn−1+⋯+x2+x+1)=＿＿＿＿＿＿； (2) 已知 x4+x3+x2+x+1=0，求 x2030 的值； (3) 计算 214+213+⋯+22+2+1+1． ✅ 变式训练 1．定义：如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“巧数”．例如 8=32−12，16=52−32，24=72−52，所以 8、16、24 都是“巧数”． (1) 32、44 是“巧数”吗？为什么？ (2) 设两个连续奇数为 2n+1、2n+3（n 为非负整数），由它们构造的“巧数”是 8 的倍数吗？为什么？ 2．定义：如果一个正整数能表示为两个正整数 m、n 的平方差（即 m2−n2），且 m−n=4，则称这个正整数为“智慧数”．例如 32=62−22，所以 32 是“智慧数”． (1) 60 是“智慧数”吗？请说明理由； (2) 证明：所有“智慧数”都是 4 的倍数． 3．观察：1×3+1=4=22，2×4+1=9=32，3×5+1=16=42…… (1) 用含 n 的等式表示你发现的规律； (2) 说明这个等式的正确性； (3) 求 2026×2028+1 的算术平方根． 第三部分　分层训练 一、基础巩固（第 1～10 题） 1．计算 (x+3)(x−3)=＿＿＿＿＿＿． 2．计算 (2a−1)2=＿＿＿＿＿＿． 3．计算 (3x+2y)(3x−2y)=＿＿＿＿＿＿． 4．若 a+b=5，ab=6，则 a2+b2=＿＿＿＿＿＿． 5．计算 102×98=＿＿＿＿＿＿． 6．填空：x2+6x+9=(＿＿＿)2． 7．计算 (m−2n)(m+2n)−(m−n)2． 8．若 x2+kx+9 是一个完全平方式，则 k=＿＿＿＿＿＿． 9．计算 (a+b)2−(a−b)2． 10．已知 x−1/x=3，求 x2+1/x2 的值． 二、能力提升（第 11～20 题） 11．计算 (2x+y−3)(2x+y+3)． 12．已知 (x+y)2=49，(x−y)2=9，求 x2+y2 与 xy 的值． 13．已知 a−b=3，ab=−2，求 a2+b2 的值． 14．若 (3a+3b−2)(3a+3b+2)=77，求 a+b 的值． 15．计算 (1−1/22)(1−1/32)(1−1/42)⋯(1−1/102)． 16．已知 x2−4x+1=0，求 x2+1/x2 的值． 17．已知 a+b=3，a2+b2=5，求 (a−b)2 的值． 18．计算 20262−2025×2027． 19．已知 x+y=4，xy=3，求 x3y+xy3 的值． 20．一块长方形绿地长为 3a+2b、宽为 2a+b，中间有一个边长为 a−b 的正方形花坛，其余部分种草． (1) 用含 a、b 的式子表示种草面积； (2) 当 a=4，b=1 时，求种草面积． 三、拓展探究（第 21～30 题） 21．若 a2+b2−4a+6b+13=0，求 a+b 的值． 22．已知 x2+y2+2x−4y+5=0，求 (x+y)2026 的值． 23．若 a+b=1，求 a3+b3+3ab 的值． 24．计算 (2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)． 25．已知 x=2027，求 (x−1)2−2(x−1)(x+1)+(x+1)2 的值． 26．若 (x2+px+8)(x2−3x+q) 的展开式中不含 x3 项和 x2 项，求 p、q 的值． 27．已知 a2−3a+1=0，求 a2+1/a2 与 (a−1/a)2 的值． 28．计算 (3+1)(32+1)(34+1)⋯(332+1)． 29．若 m2+m−1=0，求 m3+2m2+2026 的值． 30．已知 a−b=2，a2+b2=10，求 (a+b)2 与 ab 的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版八年级上册《整式的乘法拓展专题精讲（乘法公式、几何背景与规律探究）》 适用章节：第十六章 整式的乘法 —— 16.3 乘法公式 —————————————————————————————————— 第一部分　课前导读 1.1　乘法公式核心方法梳理 两把“公式钥匙”：平方差公式 (a+b)(a−b)=a2−b2 与完全平方公式 (a± b)2=a2± 2ab+b2．前者“两项和乘两项差”，结果只有两项；后者“和（差）的平方”，结果有三项，中间一项是 ± 2ab． 识别结构：用公式前先“找相同、找相反”．两个因式里“完全相同的那一项”记作 a，“符号相反的那一项”记作 b，就能套平方差；括号里两项相加（减）再平方，就套完全平方． 整体思想：x−2y 可以看成一个整体，(x−2y−1)(x−2y+1) 就是“整体与 1 的和乘整体与 1 的差”，于是化成平方差．添括号是整体思想的载体，括号前是负号时各项都要变号． 变形公式（求值题的核心）：a2+b2=(a+b)2−2ab=(a−b)2+2ab；(a+b)2−(a−b)2=4ab；(a+b)2+(a−b)2=2(a2+b2)．四个量 a+b、a−b、ab、a2+b2 知二求二． 简算：把数写成“整十（整百）± 小数”的形式，如 99×101=(100−1)(100+1)、2028×2026=(2027+1)(2027−1)；连续使用公式时要“补因子”，常补 (2−1) 或 (3−1)，补上再除掉． 配方法：遇到 a2+b2+c2± 2ab±⋯=0 这类式子，先拆项、分组，配成 (A)2+(B)2=0，再用“非负数之和为 0，则每个都为 0”求出字母的值． 面积法：同一个图形用两种方式算面积，结果相等，就得到一个恒等式；反过来，题目给出面积关系，就是这个恒等式的具体数值化，把面积“翻译”成代数式即可． 探究题的写法：先算前 3 个特例 → 归纳含 n 的一般式 → 用整式乘法给出证明（不能只写结论），最后把具体数字代入一般式． 1.2　高频易错清单（考前必看） ① 把 (a+b)2 写成 a2+b2：漏掉中间项 2ab，这是最高频的错误． ② 中间项符号漏掉：(a−b)2=a2−2ab+b2，中间项是“减”． ③ 平方差识别错：(a+b)(−a−b)=−(a+b)2，不是平方差；(a+b)(a+b) 也不是平方差． ④ 添括号变号错：a−b−c=a−(b+c)，括号前是负号，括到括号里的各项都要变号． ⑤ 连续用公式漏因子：(2+1)(22+1)(24+1) 要补乘 (2−1) 才能连成 28−1，算完不要忘记“补了什么就要除掉什么”． ⑥ 完全平方式漏“±”：x2+kx+9 中 k=± 6，只写 6 就丢解． ⑦ (a−b)2 与 a2−b2 混用：前者是完全平方，后者是平方差，结构完全不同． ⑧ 配方法拆项时把常数项算错：验证方法是把配方结果重新展开，看是否与原来一致． 1.3　本讲题型总目录 题型1：平方差公式的识别与“添括号”变形 题型2：平方差公式的简算与连续运用 题型3：完全平方公式的识别与“中间项”问题 题型4：完全平方公式的变形求值（和、差、积、平方和互求） 题型5：配方法与非负性（“0 + 0”型） 题型6：乘法公式的几何背景（面积法验证公式） 题型7：乘法公式与图形面积计算 题型8：规律探究与“新定义”数 说明：题型 1～5 重在公式的结构识别与代数变形；题型 6～7 重在“面积—代数式”的互相翻译；题型 8 重在观察、归纳与证明，是本讲的综合提升部分． 第二部分　分题型精讲 【题型1：平方差公式的识别与“添括号”变形】 ✅ 模型解读：两个二项式相乘，若“一项完全相同、另一项互为相反数”，就能用平方差公式．三项以上的式子要先“添括号”把某几项捆成一个整体，再套公式；添括号的关键是看括号前的符号，负号则各项变号． ✅ 核心公式/运算规则 平方差公式：(a+b)(a−b)=a2−b2（相同项的平方 减 相反项的平方）； 结构特征：“一同一反”——找相同的那一项作 a，符号相反的那一项作 b； 添括号：a−b−c=a−(b+c)，a−b+c=a−(b−c)，括号前是负号时各项都变号； 常见变形：(a+b)(−a+b)=b2−a2，(a+b)(−a−b)=−(a+b)2． ✅ 经典例题：计算 (x−2y−1)(x−2y+1)． 【例题解析】 把 x−2y 看作一个整体，两个因式中它完全相同，而 −1 与 +1 互为相反数； 添括号：原式 =[(x−2y)−1][(x−2y)+1]； 用平方差公式：=(x−2y)2−12； 展开完全平方：=x2−4xy+4y2−1． ✅ 变式训练 1．计算 (−2a+3b)(−2a−3b)． 2．计算 (2x+3y−1)(2x+3y+1)． 3．计算 (a−b+c)(a−b−c)． 【变式答案】 1．−2a 在两个因式中完全相同，3b 与 −3b 互为相反数； 原式 =(−2a)2−(3b)2=4a2−9b2． 2．把 2x+3y 看作整体：原式 =[(2x+3y)−1][(2x+3y)+1]； =(2x+3y)2−1=4x2+12xy+9y2−1． 3．把 a−b 看作整体：原式 =[(a−b)+c][(a−b)−c]； =(a−b)2−c2=a2−2ab+b2−c2． 【题型2：平方差公式的简算与连续运用】 ✅ 模型解读：①数值简算：把两个因数写成“同一个数的和与差”，如 99×101=(100−1)(100+1)；②连续使用：多个“和乘差”型因式连乘时，前面补一个 (a−b) 就能一路套下去，最后把补上的因子除掉；③整式连乘：(x−1)(x+1)(x2+1)(x4+1) 逐级套公式． ✅ 核心公式/运算规则 简算模型：a2−(a+1)(a−1)=1，即 (a+1)(a−1)=a2−1； 连乘链：(a−b)(a+b)(a2+b2)(a4+b4)=a8−b8； 补因子：2+1 前补 (2−1)，3+1 前补 (3−1)，因为 2−1=1、3−1=2，前者不改变值，后者需除掉 2； 每一步只套一次公式，指数逐级翻倍（2→4→8→16）． ✅ 经典例题：计算 20272−2028×2026． 【例题解析】 把 2028、2026 都写成 2027 与 1 的和、差：2028=2027+1，2026=2027−1； 用平方差公式：2028×2026=(2027+1)(2027−1)=20272−1； 代入：原式 =20272−(20272−1)=1． ✅ 变式训练 1．计算 99×101×10001． 2．计算 (2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1． 3．化简 (x−2)(x+2)(x2+4)(x4+16)． 【变式答案】 1．99×101=(100−1)(100+1)=1002−1=10000−1； 原式 =(10000−1)(10000+1)=100002−1=108−1=99999999． 2．因为 2−1=1，所以可以在前面补乘 (2−1)，值不变： 原式 =(2−1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1； 逐级套平方差：(2−1)(2+1)=22−1，(22−1)(22+1)=24−1，依次类推； 最后得 (216−1)+1=216=65536． 3．(x−2)(x+2)=x2−4； (x2−4)(x2+4)=x4−16； (x4−16)(x4+16)=x8−256． 【题型3：完全平方公式的识别与“中间项”问题】 ✅ 模型解读：三项式 Ax2+Bxy+Cy2 是完全平方式，则首末两项必为平方项（系数为正），中间项等于“首末两项算术平方根之积的 2 倍”，符号可正可负，因此答案常有两个；反过来，题目把中间项（或某一项）遮住，就是要你补出 ± 2ab． ✅ 核心公式/运算规则 完全平方公式：(a± b)2=a2± 2ab+b2； 完全平方式的判定：x2+kx+m（m>0）为完全平方式 ⟺ k2=4m，即 k=± 2√m； “±”不能丢：x2± 6x+9=(x± 3)2，两种都成立； 常用变形：a2+1/a2=(a+1/a)2−2=(a−1/a)2+2． ✅ 经典例题：若 4x2+kxy+25y2 是一个完全平方式，求 k 的值． 【例题解析】 首项 4x2=(2x)2，末项 25y2=(5y)2，两项的“根”分别是 2x 和 5y； 中间项应为 ± 2·(2x)·(5y)=± 20xy； 所以 k=± 20． ✅ 变式训练 1．若 x2−2(m+1)x+16 是一个完全平方式，求 m 的值． 2．小华利用完全平方公式计算时，墨迹把结果“=9x2■+16y2”中的一项染黑了，则被染黑的这一项可能是（　　） A．+12xy　　B．+12xy 或 −12xy　　C．+24xy　　D．+24xy 或 −24xy 3．若 a2+1/a2=7，求 a+1/a 的值． 【变式答案】 1．首项 x2，末项 16=42，中间项应为 ± 2·x·4=± 8x； 所以 −2(m+1)=± 8，即 m+1=± 4； 解得 m=3 或 m=−5． 检验：m=3 时原式为 x2−8x+16=(x−4)2；m=−5 时为 x2+8x+16=(x+4)2，都成立． 2．9x2=(3x)2，16y2=(4y)2，中间项为 ± 2·3x·4y=± 24xy； 两种符号都能构成完全平方式，所以可能是 +24xy 或 −24xy．选 D． 3．由 (a+1/a)2=a2+2+1/a2，得 (a+1/a)2=7+2=9； 所以 a+1/a=± 3． 【题型4：完全平方公式的变形求值（和、差、积、平方和互求）】 ✅ 模型解读：四个量 a+b、a−b、ab、a2+b2 之间由两个恒等式联系，已知其中任意两个就能求另外两个．解题时先写公式、再整体代入，不要急着求出 a、b 的具体值． ✅ 核心公式/运算规则 a2+b2=(a+b)2−2ab=(a−b)2+2ab； (a+b)2−(a−b)2=4ab，即 ab=[(a+b)2−(a−b)2]/4； (a+b)2+(a−b)2=2(a2+b2)； 求 a−b（或 a+b）时先平方再开方，答案一般要带“±”；若题目另有“a>b”等条件则取正． ✅ 经典例题：已知 a+b=7，ab=10，求 (a−b)2 的值． 【例题解析】 由 (a−b)2=(a+b)2−4ab； 整体代入：=72−4×10=49−40=9． （若再求 a−b，则 a−b=± 3．） ✅ 变式训练 1．已知 x+y=10，xy=21，求 x−y 的值． 2．已知 (x−y)2=25，xy=14，求 x2+y2 的值． 3．已知 x+1/x=5，求 x2+1/x2 与 x4+1/x4 的值． 【变式答案】 1．(x−y)2=(x+y)2−4xy=102−4×21=100−84=16； 所以 x−y=± 4． 2．由 (x−y)2=x2−2xy+y2 得 x2+y2=(x−y)2+2xy； 代入：=25+2×14=25+28=53． 3．x2+1/x2=(x+1/x)2−2=52−2=23； 把 x2、1/x2 看成两个整体：x4+1/x4=(x2+1/x2)2−2=232−2=527． 【题型5：配方法与非负性（“0 + 0”型）】 ✅ 模型解读：把含两个字母的二次式拆项、分组，配成“两个完全平方之和等于 0”的形式，由非负性得每个平方都为 0，从而求出字母的值．拆项的依据是“中间项 2ab 只出现一次，剩下的平方项各归其位”． ✅ 核心公式/运算规则 非负性：若 (A)2+(B)2=0，则 A=0 且 B=0； 拆项口诀：先找“能配成 (a−b)2 的三项”，剩下的项再配一个完全平方； 常见配方：a2+b2−2ab=(a−b)2；b2−8b+16=(b−4)2； 验证：把配方结果展开，必须与原式一致． ✅ 经典例题：若 a2+b2+6a+9=0，求 a、b 的值． 【例题解析】 分组：(a2+6a+9)+b2=0； 配方：(a+3)2+b2=0； 由非负性得 a+3=0 且 b=0，所以 a=−3，b=0． ✅ 变式训练 1．已知 x2+2y2−6y+9−2xy=0，求 xy 的值． 2．已知 Rt△ABC 的三边长 a、b、c（c 为斜边）满足 a2+b2−12a−16b+100=0，求 c2 的值． 3．已知 a2+b2+2a−6b+10=0，求 ab 的值． 【变式答案】 1．重新分组：(x2−2xy+y2)+(y2−6y+9)=0； 配方：(x−y)2+(y−3)2=0； 由非负性得 x−y=0 且 y−3=0，即 x=y=3； 所以 xy=3×3=9． 2．拆常数项：100=36+64，分组得 (a2−12a+36)+(b2−16b+64)=0； 配方：(a−6)2+(b−8)2=0，所以 a=6，b=8； 由勾股定理：c2=a2+b2=36+64=100． 3．拆常数项：10=1+9，分组得 (a2+2a+1)+(b2−6b+9)=0； 配方：(a+1)2+(b−3)2=0，所以 a=−1，b=3； 所以 ab=(−1)3=−1． 【题型6：乘法公式的几何背景（面积法验证公式）】 ✅ 模型解读：同一个图形用两种方式算面积：一种是“整体算”（大正方形的边长平方），另一种是“分割算”（各块面积相加），两者相等就得到乘法公式．反过来，题目给出“大正方形与小正方形的面积差”“四个三角形面积和”等条件，就是把公式中的 ab、a+b、a−b 数值化，用变形公式求值． ✅ 核心公式/运算规则 整体 = 分割：(a+b)2=a2+2ab+b2；(a−b)2=a2−2ab+b2； a2−b2=(a+b)(a−b)：大正方形挖去小正方形后重新拼成长方形； 赵爽弦图：大正方形面积 =c2，也 =4·1/2ab+(a−b)2=a2+b2； 关键换算：四个直角三角形面积和 =2ab；中间小正方形边长 =|a−b|，面积 =(a−b)2． ✅ 经典例题：用两种方法表示边长为 a+b 的正方形的面积，并写出一个关于 a、b 的等式． 【例题解析】 方法 1（整体算）：边长为 a+b，面积为 (a+b)2； 方法 2（分割算）：分成 1 个边长为 a 的正方形、1 个边长为 b 的正方形、2 个长为 b、宽为 a 的长方形，面积为 a2+2ab+b2； 两种算法结果相同，得等式 (a+b)2=a2+2ab+b2． ✅ 变式训练 1．我国古代数学家赵爽用“弦图”证明了勾股定理：四个全等的直角三角形与中间一个小正方形恰好拼成一个大正方形．设直角三角形的较长直角边为 x，较短直角边为 y，大正方形的面积比小正方形的面积大 24． (1) 求 xy 的值； (2) 当 x+y=8 时，求中间小正方形的面积． 2．用 4 个全等的长方形（长为 a、宽为 b，a>b）与 1 个小正方形拼成一个大正方形，已知 a+b=9，中间小正方形的边长为 3，求 a、b 的值． 3．在一块边长为 a 的正方形铁皮上剪去一个边长为 b（a>b）的小正方形，把余下的部分剪开，恰好能拼成一个长方形．用两种方法表示余下部分的面积，可得等式 a2−b2=(a+b)(a−b)．若 a+b=8，余下部分的面积为 16，求 a、b 的值． 【变式答案】 1．(1) 大正方形面积 − 小正方形面积 = 四个直角三角形的面积和， 即 24=4×1/2xy=2xy，所以 xy=12； (2) 中间小正方形的边长为 x−y，其面积为 (x−y)2； (x−y)2=(x+y)2−4xy=82−4×12=64−48=16． 答：xy=12，中间小正方形的面积为 16． 2．大正方形边长为 a+b，中间小正方形的边长为 a−b； 由已知 a−b=3，又 a+b=9； 两式相加得 2a=12，a=6；两式相减得 2b=6，b=3． 答：a=6，b=3． 3．余下部分面积既等于 a2−b2，又等于 (a+b)(a−b)； 由 (a+b)(a−b)=16 且 a+b=8，得 a−b=2； 联立 a+b=8，a−b=2，解得 a=5，b=3． 答：a=5，b=3． 【题型7：乘法公式与图形面积计算】 ✅ 模型解读：先用含字母的式子表示各部分的长度（每排数量、排数、边长），再用乘法公式算出面积（或总数），最后按题意作差、求和；代入具体数值时先化简再代入，能大幅减少计算量． ✅ 核心公式/运算规则 长方形面积 = 长 × 宽；正方形面积 = 边长2；总数 = 每排数量 × 排数； 剩余（绿化）面积 = 总面积 − 挖去部分面积； 重叠型：两块图形不重叠部分的面积之差 = 两个图形面积之差（重叠部分互相抵消）； 化简后再代值：把结果写成 Aa2+Bab+Cb2 的形式，代入更快更准． ✅ 经典例题：某农场有两块实验田．长方形实验田每排种 2a+b 株，共种 2a−b 排；正方形实验田每排种 a+2b 株，共种 a+2b 排，其中 a>b>0． (1) 正方形实验田比长方形实验田少种多少株？ (2) 当 a=4，b=1 时，两块实验田一共种了多少株？ 【例题解析】 (1) 长方形实验田：(2a+b)(2a−b)=4a2−b2（株）； 正方形实验田：(a+2b)2=a2+4ab+4b2（株）； 少种：(4a2−b2)−(a2+4ab+4b2)=3a2−4ab−5b2（株）； (2) 当 a=4，b=1 时：长方形 4×16−1=63（株），正方形 16+16+4=36（株）； 两块共 63+36=99（株）． 答：正方形实验田比长方形少种 (3a2−4ab−5b2) 株；当 a=4，b=1 时共种 99 株． ✅ 变式训练 1．两块边长分别为 m、n（m>n）的正方形纸板部分重叠放置，重叠部分（池塘）的面积为 B，两块纸板不重叠部分的面积分别为 S1、S2．若 m+n=8，mn=15，求 S1−S2 的值． 2．一块长为 2a+b、宽为 a+2b 的长方形广场，中间修两条宽为 b 的小路，一条平行于长边，一条平行于宽边，其余部分全部绿化．用含 a、b 的式子表示绿化面积． 3．用 1 张 A 型纸板（边长为 a 的正方形）、1 张 B 型纸板（边长为 b 的正方形）和 2 张 C 型纸板（长为 b、宽为 a 的长方形）拼成一个大正方形． (1) 若大正方形的总面积为 64，A 型与 B 型纸板的面积之和为 40，求 ab 的值； (2) 在 (1) 的条件下，求 a−b 的值． 【变式答案】 1．S1=m2−B，S2=n2−B； 相减时重叠部分抵消：S1−S2=m2−n2=(m+n)(m−n)； 由 (m−n)2=(m+n)2−4mn=64−60=4，且 m>n，得 m−n=2； 所以 S1−S2=8×2=16． 2．把两条小路“平移”到广场边上，则绿化部分合起来是一个长方形； 它的长为 (2a+b)−b=2a，宽为 (a+2b)−b=a+b； 所以绿化面积 =2a(a+b)=2a2+2ab． 3．(1) 大正方形边长为 a+b，面积 (a+b)2=64，所以 a+b=8； 又 a2+b2=40，由 2ab=(a+b)2−(a2+b2)=64−40=24，得 ab=12； (2) (a−b)2=a2+b2−2ab=40−24=16； 因为 a、b 为正数，由 (a−b)2=16 得 a−b=± 4． 答：ab=12；a−b=4 或 a−b=−4． 【题型8：规律探究与“新定义”数】 ✅ 模型解读：①结构规律：观察一串等式的“左边结构”和“右边结果”，用含 n 的式子写出一般式，再用整式乘法证明；②新定义数：把定义“翻译”成代数式（如“两个连续偶数的平方差”就是 (2n+2)2−(2n)2），化简后判断整除性、倍数关系或求第几个数． ✅ 核心公式/运算规则 等比求和：(x−1)(xn+xn−1+⋯+x+1)=xn+1−1； 连续偶数平方差：(2n+2)2−(2n)2=8n+4=4(2n+1)； 连续整数平方差：(n+1)2−n2=2n+1（奇数）； 证明“是某数的倍数”：把结果化成“某数 × 整数”的形式，并说明括号内是整数． ✅ 经典例题：探索：(x−1)(x+1)=x2−1，(x−1)(x2+x+1)=x3−1，(x−1)(x3+x2+x+1)=x4−1…… (1) 猜想 (x−1)(xn+xn−1+⋯+x2+x+1)=＿＿＿＿＿＿； (2) 已知 x4+x3+x2+x+1=0，求 x2030 的值； (3) 计算 214+213+⋯+22+2+1+1． 【例题解析】 (1) 观察指数：右边比左边括号内最高次多 1，所以结果为 xn+1−1； (2) 在已知等式两边同乘 (x−1)：(x−1)(x4+x3+x2+x+1)=x5−1， 左边为 0，所以 x5−1=0，即 x5=1（此时 x≠1，否则原式左边为 5）； 因为 2030=5×406，所以 x2030=(x5)406=1406=1； (3) 由 (1) 取 x=2，n=14：(2−1)(214+213+⋯+2+1)=215−1， 而 2−1=1，所以 214+213+⋯+2+1=215−1； 原式 =(215−1)+1=215=32768． ✅ 变式训练 1．定义：如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“巧数”．例如 8=32−12，16=52−32，24=72−52，所以 8、16、24 都是“巧数”． (1) 32、44 是“巧数”吗？为什么？ (2) 设两个连续奇数为 2n+1、2n+3（n 为非负整数），由它们构造的“巧数”是 8 的倍数吗？为什么？ 2．定义：如果一个正整数能表示为两个正整数 m、n 的平方差（即 m2−n2），且 m−n=4，则称这个正整数为“智慧数”．例如 32=62−22，所以 32 是“智慧数”． (1) 60 是“智慧数”吗？请说明理由； (2) 证明：所有“智慧数”都是 4 的倍数． 3．观察：1×3+1=4=22，2×4+1=9=32，3×5+1=16=42…… (1) 用含 n 的等式表示你发现的规律； (2) 说明这个等式的正确性； (3) 求 2026×2028+1 的算术平方根． 【变式答案】 1．(1) 32=92−72，所以 32 是“巧数”； 若 44 是“巧数”，则存在非负整数 n 使 (2n+3)2−(2n+1)2=44， 即 8n+8=44，解得 n=4.5，不是整数，所以 44 不是“巧数”； (2) (2n+3)2−(2n+1)2=8n+8=8(n+1)， 因为 n+1 是正整数，所以这类“巧数”一定是 8 的倍数． 2．(1) m2−n2=(m+n)(m−n)=4(m+n)； 若 4(m+n)=60，则 m+n=15，又 m−n=4，两式相加得 2m=19， 解得 m=9.5，不是正整数，所以 60 不是“智慧数”； (2) 设这个“智慧数”为 m2−n2，且 m−n=4， 则 m2−n2=(m+n)(m−n)=4(m+n)； 因为 m、n 都是正整数，所以 m+n 是正整数，故 4(m+n) 是 4 的倍数， 即所有“智慧数”都是 4 的倍数． 3．(1) 第 n 个等式为 n(n+2)+1=(n+1)2（n 为正整数）； (2) 左边 =n2+2n+1，右边 =(n+1)2=n2+2n+1，左边 = 右边，等式成立； (3) 取 n=2026，得 2026×2028+1=(2026+1)2=20272； 所以它的算术平方根为 2027． 第三部分　分层训练 一、基础巩固（第 1～10 题） 1．计算 (x+3)(x−3)=＿＿＿＿＿＿． 2．计算 (2a−1)2=＿＿＿＿＿＿． 3．计算 (3x+2y)(3x−2y)=＿＿＿＿＿＿． 4．若 a+b=5，ab=6，则 a2+b2=＿＿＿＿＿＿． 5．计算 102×98=＿＿＿＿＿＿． 6．填空：x2+6x+9=(＿＿＿)2． 7．计算 (m−2n)(m+2n)−(m−n)2． 8．若 x2+kx+9 是一个完全平方式，则 k=＿＿＿＿＿＿． 9．计算 (a+b)2−(a−b)2． 10．已知 x−1/x=3，求 x2+1/x2 的值． 【参考答案与解析】 1．平方差公式：(x+3)(x−3)=x2−32=x2−9． 2．完全平方公式：(2a−1)2=(2a)2−2·2a·1+12=4a2−4a+1． 3．(3x+2y)(3x−2y)=(3x)2−(2y)2=9x2−4y2． 4．a2+b2=(a+b)2−2ab=52−2×6=25−12=13． 5．102×98=(100+2)(100−2)=1002−22=10000−4=9996． 6．x2+6x+9=x2+2·x·3+32=(x+3)2，所以填 x+3． 7．(m−2n)(m+2n)=m2−4n2； (m−n)2=m2−2mn+n2，去括号得 −m2+2mn−n2； 原式 =m2−4n2−m2+2mn−n2=2mn−5n2． 8．9=32，中间项应为 ± 2·x·3=± 6x，所以 k=± 6． 9．(a+b)2=a2+2ab+b2，(a−b)2=a2−2ab+b2； 相减得 a2+2ab+b2−a2+2ab−b2=4ab． 10．由 (x−1/x)2=x2−2+1/x2=9； 所以 x2+1/x2=9+2=11． 二、能力提升（第 11～20 题） 11．计算 (2x+y−3)(2x+y+3)． 12．已知 (x+y)2=49，(x−y)2=9，求 x2+y2 与 xy 的值． 13．已知 a−b=3，ab=−2，求 a2+b2 的值． 14．若 (3a+3b−2)(3a+3b+2)=77，求 a+b 的值． 15．计算 (1−1/22)(1−1/32)(1−1/42)⋯(1−1/102)． 16．已知 x2−4x+1=0，求 x2+1/x2 的值． 17．已知 a+b=3，a2+b2=5，求 (a−b)2 的值． 18．计算 20262−2025×2027． 19．已知 x+y=4，xy=3，求 x3y+xy3 的值． 20．一块长方形绿地长为 3a+2b、宽为 2a+b，中间有一个边长为 a−b 的正方形花坛，其余部分种草． (1) 用含 a、b 的式子表示种草面积； (2) 当 a=4，b=1 时，求种草面积． 【参考答案与解析】 11．把 2x+y 看作整体：[(2x+y)−3][(2x+y)+3]=(2x+y)2−9； =4x2+4xy+y2−9． 12．两式相加：2(x2+y2)=49+9=58，所以 x2+y2=29； 两式相减：4xy=49−9=40，所以 xy=10． 13．a2+b2=(a−b)2+2ab=32+2×(−2)=9−4=5． 14．把 3a+3b 看作整体：(3a+3b)2−4=77，即 9(a+b)2=81； 所以 (a+b)2=9，a+b=± 3． 15．通项用平方差分解：1−1/n2=(n2−1)/n2=(n−1)(n+1)/n2； 原式 =1×3/22·2×4/32·3×5/42…9×11/102； 约分（分子中的 3,4,…,9 与分母中的 32,42,…,92 各约去一个）： =1/10·11/2=11/20． 16．由 x2−4x+1=0，两边同除以 x（x≠0）：x−4+1/x=0，即 x+1/x=4； x2+1/x2=(x+1/x)2−2=16−2=14． 17．由 a2+b2=(a+b)2−2ab 得 5=9−2ab，所以 2ab=4； (a−b)2=a2+b2−2ab=5−4=1． 18．2025×2027=(2026−1)(2026+1)=20262−1； 原式 =20262−(20262−1)=1． 19．提公因式：x3y+xy3=xy(x2+y2)； x2+y2=(x+y)2−2xy=16−6=10； 所以原式 =3×10=30． 20．(1) 长方形绿地面积：(3a+2b)(2a+b)=6a2+3ab+4ab+2b2=6a2+7ab+2b2； 正方形花坛面积：(a−b)2=a2−2ab+b2； 种草面积 =6a2+7ab+2b2−(a2−2ab+b2)=5a2+9ab+b2； (2) 当 a=4，b=1 时，原式 =5×16+9×4×1+1=80+36+1=117． 答：种草面积为 (5a2+9ab+b2)，当 a=4，b=1 时为 117． 三、拓展探究（第 21～30 题） 21．若 a2+b2−4a+6b+13=0，求 a+b 的值． 22．已知 x2+y2+2x−4y+5=0，求 (x+y)2026 的值． 23．若 a+b=1，求 a3+b3+3ab 的值． 24．计算 (2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)． 25．已知 x=2027，求 (x−1)2−2(x−1)(x+1)+(x+1)2 的值． 26．若 (x2+px+8)(x2−3x+q) 的展开式中不含 x3 项和 x2 项，求 p、q 的值． 27．已知 a2−3a+1=0，求 a2+1/a2 与 (a−1/a)2 的值． 28．计算 (3+1)(32+1)(34+1)⋯(332+1)． 29．若 m2+m−1=0，求 m3+2m2+2026 的值． 30．已知 a−b=2，a2+b2=10，求 (a+b)2 与 ab 的值． 【参考答案与解析】 21．拆常数项：13=4+9，分组得 (a2−4a+4)+(b2+6b+9)=0； 配方：(a−2)2+(b+3)2=0，所以 a=2，b=−3； 所以 a+b=2+(−3)=−1． 22．拆常数项：5=1+4，分组得 (x2+2x+1)+(y2−4y+4)=0； 配方：(x+1)2+(y−2)2=0，所以 x=−1，y=2； x+y=1，所以 (x+y)2026=12026=1． 23．由完全立方关系：a3+b3=(a+b)3−3ab(a+b)； 代入 a+b=1：a3+b3=1−3ab； 所以 a3+b3+3ab=1−3ab+3ab=1． 24．补乘 (2−1)=1，值不变：原式 =(2−1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)； 逐级套平方差公式，指数依次翻倍：22→24→28→216→232； 所以原式 =232−1=4294967295． 25．把 x−1、x+1 分别看成整体 A、B，原式 =A2−2AB+B2=(A−B)2； 而 A−B=(x−1)−(x+1)=−2； 所以原式 =(−2)2=4（与 x 的取值无关）． 26．展开：x4−3x3+qx2+px3−3px2+pqx+8x2−24x+8q； 合并：=x4+(p−3)x3+(q−3p+8)x2+(pq−24)x+8q； 不含 x3 项：p−3=0，所以 p=3； 不含 x2 项：q−3p+8=0，代入 p=3 得 q−9+8=0，所以 q=1． 27．两边同除以 a（a≠0）：a−3+1/a=0，即 a+1/a=3； a2+1/a2=(a+1/a)2−2=9−2=7； (a−1/a)2=a2−2+1/a2=7−2=5． 28．因为 3−1=2，补乘 (3−1) 后要除以 2 才能保持值不变： 原式 =1/2(3−1)(3+1)(32+1)(34+1)⋯(332+1)； 逐级套平方差公式，指数依次翻倍，最终得 364−1； 所以原式 =(364−1)/2． 29．由 m2+m−1=0 得 m2=1−m； 降次：m3=m·m2=m(1−m)=m−m2=m−(1−m)=2m−1； 所以 m3+2m2=(2m−1)+2(1−m)=2m−1+2−2m=1； 原式 =1+2026=2027． 30．由 (a−b)2=a2+b2−2ab 得 4=10−2ab，所以 ab=3； (a+b)2=a2+b2+2ab=10+6=16． 学科网（北京）股份有限公司 $