第一章 集合与常用逻辑用语 单元测试卷-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第一章《集合与常用逻辑用语》单元测试卷

2026-2027学年高一数学人教A版（2019）必修第一册（原卷版）

（考试时间：120分钟    试卷满分：150分    测试范围：人教A版必修第一册第一章 1.1～1.5）

班级：________________    姓名：________________    考号：________________    得分：________

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．下列关于元素与集合、集合与集合的关系式，表述正确的是（    ）

A．0 ∈ ∅        B．∅ ∈ {0}        C．{1, 2} ⊆ {1, 2, 3}        D．{a, b} = {(a, b)}

2．全称量词命题“∀x ∈ R，x2 − 2x + 3 > 0”的否定是（    ）

A．∀x ∈ R，x2 − 2x + 3 ≤ 0                B．∃x ∈ R，x2 − 2x + 3 ≤ 0

C．∃x ∈ R，x2 − 2x + 3 < 0                D．∃x ∉ R，x2 − 2x + 3 ≤ 0

3．已知集合 A = {x | −2 < x ≤ 3}，B = {x | x2 − 2x − 3 = 0}，则 A ∩ B =（    ）

A．{−1, 3}        B．{3}        C．{−1}        D．∅

4．设 x ∈ R，则“x > 2”是“x2 > 4”的（    ）

A．充分不必要条件                        B．必要不充分条件

C．充要条件                                D．既不充分也不必要条件

5．已知全集 U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}，集合 M = {1, 3, 5}，N = {2, 3, 4}，则 (∁UM) ∪ N =（    ）

A．{2, 4, 6}        B．{2, 3, 4, 6}        C．{1, 2, 3, 4}        D．{3}

6．已知集合 A = {1, a2}，B = {1, 2, a}，若 A ⊆ B，则实数 a 的可能取值的个数为（    ）

A．1        B．2        C．3        D．4

7．某校高一（1）班共有45名学生，在学校秋季运动会中，参加田径比赛的有22人，参加球类比赛的有18人，两项比赛都未参加的有11人，则两项比赛都参加的学生人数为（    ）

A．4        B．6        C．8        D．10

8．若命题“∃x ∈ {x | 1 ≤ x ≤ 3}，使得 x2 − a ≥ 0”为真命题，则实数 a 的取值范围是（    ）

A．a ≤ 1        B．a ≤ 9        C．a ≥ 1        D．a ≥ 9

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9．已知集合 A = {x ∈ N | x < 3}，则下列说法正确的有（    ）

A．0 ∈ A

B．3 ∈ A

C．集合 A 共有 8 个子集

D．集合 A 共有 6 个非空真子集

10．下列各组条件中，p 是 q 的必要不充分条件的有（    ）

A．p：a + b > 0，q：a > 0 且 b > 0

B．p：平面四边形的对角线互相垂直，q：平面四边形是菱形

C．p：x = 1，q：x2 − 1 = 0

D．p：ac2 = bc2，q：a = b

11．对于非空集合 M, N，定义差集 M − N = {x | x ∈ M 且 x ∉ N}，对称差集 M △ N = (M − N) ∪ (N − M)．设全集为 U，A, B 为 U 的两个非空子集，则下列结论正确的有（    ）

A．A − B = A ∩ (∁UB)

B．若 A ⊆ B，则 A − B = ∅

C．A △ B = (A ∪ B) − (A ∩ B)

D．A △ A = A

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12．用列举法表示集合 A = {x ∈ Z | 6/(3 − x) ∈ N*} = ________________．

13．已知集合 A = {x | −1 ≤ x ≤ 5}，B = {x | m − 1 ≤ x ≤ 2m + 1}．若“x ∈ B”是“x ∈ A”的充分不必要条件，则实数 m 的取值范围是________________．

14．设集合 S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}，若 A 是 S 的非空子集，把集合 A 中所有元素之和记为 T(A)．当 A 中任意两个元素之和均不等于 7 时，T(A) 的最大值为________________．

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分15分）

已知全集 U = R，集合 A = {x | −2 ≤ x ≤ 5}，集合 B = {x | a + 1 ≤ x ≤ 2a − 1}．

（1）当 a = 3 时，求 A ∩ B 以及 (∁UA) ∪ B；

（2）若 A ∪ B = A，求实数 a 的取值范围．

16．（本小题满分15分）

已知集合 A = {x | x2 − 3x + 2 = 0}，集合 B = {x | ax − 2 = 0}（a ∈ R），集合 C = {x | cx2 − 3x + 2 = 0}（c ∈ R）．

（1）若 A ∪ B = A，求实数 a 的所有可能取值构成的集合；

（2）若集合 C 为空集，求实数 c 的取值范围；

（3）若集合 C 中恰有一个元素，求实数 c 的值，并写出此时的集合 C．

17．（本小题满分15分）

已知命题 p：∀x ∈ {x | 1 ≤ x ≤ 2}，x2 − a ≥ 0；命题 q：∃x ∈ R，x2 + 2ax + 2 − a = 0．

（1）若命题 p 为真命题，求实数 a 的取值范围；

（2）若命题 p 与命题 q 中恰有一个为真命题，求实数 a 的取值范围．

18．（本小题满分15分）

已知集合 P = {x | 1 ≤ x ≤ 4}，集合 Q = {x | m − 1 ≤ x ≤ m + 3}（m ∈ R）．

（1）求证：“x ∈ P”是“x2 − 5x + 4 = 0”的必要不充分条件；

（2）若“x ∈ P”是“x ∈ Q”的充分不必要条件，求实数 m 的取值范围；

（3）若 P ∩ Q = ∅，求实数 m 的取值范围．

19．（本小题满分17分）

【教材拓广探索改编】若非空数集 M 满足：对任意 x, y ∈ M，都有 (x + y) ∈ M，(x − y) ∈ M，xy ∈ M，且当 y ≠ 0 时，(x / y) ∈ M，则称数集 M 为一个“数域”．

（1）判断有理数集 Q 和整数集 Z 是否为“数域”，并说明理由；

（2）已知集合 A = {a + b√2 | a, b ∈ Q}，证明：集合 A 是一个“数域”；

（3）若集合 B ⊆ R，且 B 是一个“数域”，证明：0 ∈ B 且 1 ∈ B（提示：数域 B 中至少含有一个非零实数），并由此判断任意“数域”是否一定包含全体整数集 Z．