第一章集合与常用逻辑用语拔尖卷-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第一章 集合与常用逻辑用语（拔尖卷） 2026-2027学年高一数学　人教A版必修第一册 满分150分，建议用时120分钟。测试范围：集合与常用逻辑用语。 姓名：____________　班级：____________　学号：____________ 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。每小题只有一个选项符合题意。 1．已知集合 ，，则 为（　　） A． B． C． D． 2．某非遗展览用 表示展品编号。带“木作”标签的编号集合为 ，带“彩绘”标签的编号集合为 ，带“纹样”标签的编号集合为 。若筛选条件是“至少带有上述两种标签”，则筛出的编号集合为（　　） A． B． C． D． 3．设 ，命题 为“”，命题 为“”，则 是 的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．某环境监测系统采用如下记录模型： 为非空监测点集合， 为两天的编号集合，系统记录每个监测点每天的读数是否合格。命题“每个监测点在这两天中至少有一天读数合格”的否定为（　　） A．每个监测点在这两天中至少有一天读数不合格 B．存在一个监测点在这两天中至少有一天读数不合格 C．每个监测点在这两天的读数都不合格 D．存在一个监测点在这两天的读数都不合格 5．已知 ，。若 ，则实数 的取值范围为（　　） A． B． C． D． 6．设 ，。若 ，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 7．设 。命题 为“”，命题 为“”。若 都为真命题，则 的取值集合为（　　） A． B． C． D． 8．某图像资料库建立如下审核模型： 为全部待审图像的集合， 为文字可辨认的图像集合， 为满足隐私遮挡要求的图像集合。规则甲仅接收同时属于 的图像，规则乙接收至少属于其中一个集合的图像。两种规则的接收结果完全相同的充要条件为（　　） A． B． C． D． 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。每小题有多个选项符合题意；全部选对得6分，部分选对得2分，有选错得0分。 9．设 均为全集 的子集。下列结论中一定正确的有（　　） A． B． C．若 ，则 D．若 ，则 10．下列命题中，真命题有（　　） A． B． C． D． 11．设 ，，。下列结论中正确的有（　　） A．当 时， B．当 时， 恰有一个元素 C． 的充要条件为 D． 的充要条件为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设 ，，。若 ，则 的取值范围为________。 13．已知 。命题“”为真时，实数 的取值范围为________。 14．已知 ，仅属于 之一的元素组成集合 ，求 ________。 四、解答题：共5小题，共77分。请写出必要的说明、推理或计算过程。 15．（本题满分13分）生态观测数据按如下规则筛选： 为记录编号集合。规则甲筛出偶数编号，得到集合 ；规则乙筛出满足 的编号，得到集合 。对实数 ，令 。 （1）求 与 。 （2）若 ，求 的取值范围。 （3）取 。对任意编号 ，记 为“”， 为“”。判断 是 的什么条件，并说明理由。 16．（本题满分15分）设 ，对实数 ，记命题 为“”，命题 为“”。 （1）求使 成为 的充分条件的所有 。 （2）求使 成为 的必要条件的所有 。 （3）是否存在 ，使 与 互为充要条件？请说明理由；并在 时，分别给出否定两个方向推理的实数 。 17．（本题满分15分）某资料发布系统按如下规则“成对归组”：全集 被分为四组 、、、。对任意原始集合，归组所得集合是所有与原始集合有公共元素的组的并集。例如，原始集合为 时，归组后得到 。 （1）令 ，，分别将 归组，所得集合记为 ，求 与 。 （2）对任意 ，分别将 、、 归组，所得集合依次记为 、、。证明 且 ；再举例说明后一式不能总改为等号。 （3）已知某原始集合 归组后所得集合为 ，且 、。完整描述所有可能的 ，并求它们的个数。 18．（本题满分17分）某测量系统采用如下校准模型：工况偏移量的集合为 ，可设置的校准量为 。给定允许误差 ，某工况 在校准量 下合格，定义为 。 方案甲允许每种工况分别选择校准量；方案乙要求选定同一个校准量后，所有工况都合格。 （1）用全称量词、存在量词分别写出方案甲、乙可行的命题 。 （2）分别求方案甲、乙可行时 的取值范围，并判断 是 的什么条件。 （3）当方案乙可行时，求全部可用的共同校准量 组成的集合，结果用 分类表示。 19．（本题满分17分）某数字展签系统设计如下集合更新模型。全集 。一轮更新分两步：先把原集合的每个编号按以下规则替换， 换成 ， 换成 ， 换成 ， 换成 ， 换成 ， 换成 ；再对替换所得集合取全集 内的补集。记初始集合为 ，第 轮更新后所得集合为 ，其中 为正整数。每轮均以上一轮所得集合作为输入。 （1）取 ，求 、。 （2）证明对任意初始集合 ，都有 、。 （3）将满足 的最小正整数 称为初始集合的“回返步数”。证明回返步数只能为 或 ，分别描述两类初始集合，并求各类集合的个数。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 集合与常用逻辑用语（拔尖卷） 2026-2027学年高一数学　人教A版必修第一册 满分150分，建议用时120分钟。测试范围：集合与常用逻辑用语。 姓名：____________　班级：____________　学号：____________ 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。每小题只有一个选项符合题意。 1．已知集合 ，，则 为（　　） A． B． C． D． 【解析】将 依次代入 ，得到 。 根据集合元素的互异性，重复的值只保留一次，故 ，选 A。 易错点：不能把代入次数当作元素个数，也不能混淆输入集合与输出集合。 2．某非遗展览用 表示展品编号。带“木作”标签的编号集合为 ，带“彩绘”标签的编号集合为 ，带“纹样”标签的编号集合为 。若筛选条件是“至少带有上述两种标签”，则筛出的编号集合为（　　） A． B． C． D． 【解析】“至少带有两种”包括恰有两种和三种都有，因此目标集合为 。 ，，，取并集得 ，选 C。 易错点：三种标签都有的编号 也满足要求，且在结果中只计为一个元素。 3．设 ，命题 为“”，命题 为“”，则 是 的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】若 ，则 ，从而 ，所以 是 的充分条件。 取 ，有 ，但 ，所以 不能推出 。故选 A。 易错点：判断必要性时，需要检验反向推理；一个反例即可否定反向推理。 4．某环境监测系统采用如下记录模型： 为非空监测点集合， 为两天的编号集合，系统记录每个监测点每天的读数是否合格。命题“每个监测点在这两天中至少有一天读数合格”的否定为（　　） A．每个监测点在这两天中至少有一天读数不合格 B．存在一个监测点在这两天中至少有一天读数不合格 C．每个监测点在这两天的读数都不合格 D．存在一个监测点在这两天的读数都不合格 【解析】原命题表示：，，监测点 在第 天的读数合格。 否定时，把“任意”改为“存在”，把“存在”改为“任意”，并否定读数合格的结论：，，监测点 在第 天的读数不合格。 即存在一个监测点，两天的读数均不合格，故选 D。 5．已知 ，。若 ，则实数 的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【解析】要使 ， 的左端点 必须满足 ，且右端点 必须满足 。 解得 且 ，所以 ，选 A。 检验边界： 时满足包含关系； 时 ，不满足。 6．设 ，。若 ，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【解析】由 ，得 。 若 ，则 ，得 ；若 ，则 ，仍得 。 故 ，进而 ，选 D。 7．设 。命题 为“”，命题 为“”。若 都为真命题，则 的取值集合为（　　） A． B． C． D． 【解析】在 上，恒有 ，且 时 。故 为真的充要条件是 。 存在 使 的充要条件是 ，因为可取 ，而区间内没有大于 的数。 两条件同时成立，当且仅当 ，故选 B。 8．某图像资料库建立如下审核模型： 为全部待审图像的集合， 为文字可辨认的图像集合， 为满足隐私遮挡要求的图像集合。规则甲仅接收同时属于 的图像，规则乙接收至少属于其中一个集合的图像。两种规则的接收结果完全相同的充要条件为（　　） A． B． C． D． 【解析】规则甲的结果为 ，规则乙的结果为 。 若 ，显然 。反之，若 ，则任意 都属于 ，从而属于 ，故 ；同理 ，所以 。故选 D。 易错点：仅一个方向的包含关系不能保证两个审核结果相同。 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。每小题有多个选项符合题意；全部选对得6分，部分选对得2分，有选错得0分。 9．设 均为全集 的子集。下列结论中一定正确的有（　　） A． B． C．若 ，则 D．若 ，则 【解析】A 正确：元素属于左边，当且仅当它属于 ，且至少属于 中的一个；这恰好是属于右边的条件。 B 错误：取 ，，，左边为 ，右边为 。 C 正确：若 ，则 ；由 得 ，所以 。 D 错误：取 ，，，两个交集都为空集，但 。故选 AC。 10．下列命题中，真命题有（　　） A． B． C． D． 【解析】A 正确，B 错误：。 C 正确：整数 或满足 ，此时 均非负；或满足 ，此时 均非正。所以乘积总不小于 。 D 正确：例如取 ，有 。故选 ACD。 易错点：C 的论域是整数；若把论域改为实数，取 就会使不等式不成立。 11．设 ，，。下列结论中正确的有（　　） A．当 时， B．当 时， 恰有一个元素 C． 的充要条件为 D． 的充要条件为 【解析】当 时，方程成为 ，无实数解，故 A 正确。 当 时，，恰有一个元素，故 B 正确。 当 时空集也包含于 ；当 时， 等价于 ，解得 。所以 C 遗漏了 ，错误。 等价于 ，即 ，解得 ，故 D 正确。选 ABD。 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设 ，，。若 ，则 的取值范围为________。 【解析】 都属于 ，得到 且 ，即 。 反过来，当 时，，所以 ；又因 ， 不满足 ，故 。 所以恰有 ，答案为 。 13．已知 。命题“”为真时，实数 的取值范围为________。 【解析】代入 ，得 ，即 ；代入 ，得 ，即 。 其余三项分别给出 、 以及 ，没有提出更强的限制。 故各条件同时成立的充要条件是 。 14．已知 ，仅属于 之一的元素组成集合 ，求 ________。 【解析】 但不在所给集合中，因此 必须也属于 。 且在所给集合中，因此 ； 但在所给集合中，因此 。 任何不在 中的元素也不能属于 ，否则会出现在所给集合中。故 。 四、解答题：共5小题，共77分。请写出必要的说明、推理或计算过程。 15．（本题满分13分）生态观测数据按如下规则筛选： 为记录编号集合。规则甲筛出偶数编号，得到集合 ；规则乙筛出满足 的编号，得到集合 。对实数 ，令 。 （1）求 与 。 （2）若 ，求 的取值范围。 （3）取 。对任意编号 ，记 为“”， 为“”。判断 是 的什么条件，并说明理由。 【解析】（1）。将全集中的十个编号逐个代入检验，得 。（2分） 故 ，，所以 。（2分） （2）要使目标中的最大编号 被筛出，必须 ；而 中下一个编号 不能被筛出，必须 。（3分） 当 时，恰好保留 ，所以 。（2分） （3）。取 ， 真而 假， 不是 的充分条件。（2分） 取 ， 真而 假， 不是 的必要条件； 是 的既不充分也不必要条件。（2分） 16．（本题满分15分）设 ，对实数 ，记命题 为“”，命题 为“”。 （1）求使 成为 的充分条件的所有 。 （2）求使 成为 的必要条件的所有 。 （3）是否存在 ，使 与 互为充要条件？请说明理由；并在 时，分别给出否定两个方向推理的实数 。 【解析】由题设，命题 的真值集合为 。当 时，，绝对值不可能不大于负数，故 ；当 时，。（2分） （1） 是 的充分条件，等价于 。空集不可能包含 ；当 时，需 且 ，合并得 。（3分） （2） 是 的必要条件，等价于 。当 时，空集是 的子集，成立。（2分） 当 时，需 且 ，得 。合并得 。（3分） （3）互为充要条件需同时满足 与 ，无解，所以不存在。（2分） 当 时，。取 ，有 但 ；取 ，有 但 ，分别否定两个方向的推理。（3分） 17．（本题满分15分）某资料发布系统按如下规则“成对归组”：全集 被分为四组 、、、。对任意原始集合，归组所得集合是所有与原始集合有公共元素的组的并集。例如，原始集合为 时，归组后得到 。 （1）令 ，，分别将 归组，所得集合记为 ，求 与 。 （2）对任意 ，分别将 、、 归组，所得集合依次记为 、、。证明 且 ；再举例说明后一式不能总改为等号。 （3）已知某原始集合 归组后所得集合为 ，且 、。完整描述所有可能的 ，并求它们的个数。 【解析】（1） 与 都只命中 ，所以 。（4分） （2）任意一组 与 有公共元素，当且仅当它与 中至少一个有公共元素。故两边选入的组相同，。（3分） 若某组与 相交，则该组分别与 相交，故 。（2分） 取 ，，则 ，而 ，所以不能总取等号。（1分） （3）归组后得到 ，要求每组至少有一个元素属于 。由 ，第一组可选 或 ；第二组可选 ；第三组可选 。（3分） 由 ，第四组必须且只能选 。所有可能的 由四组选择唯一确定；第一、二、三组可独立搭配，总数为 。（2分） 18．（本题满分17分）某测量系统采用如下校准模型：工况偏移量的集合为 ，可设置的校准量为 。给定允许误差 ，某工况 在校准量 下合格，定义为 。 方案甲允许每种工况分别选择校准量；方案乙要求选定同一个校准量后，所有工况都合格。 （1）用全称量词、存在量词分别写出方案甲、乙可行的命题 。 （2）分别求方案甲、乙可行时 的取值范围，并判断 是 的什么条件。 （3）当方案乙可行时，求全部可用的共同校准量 组成的集合，结果用 分类表示。 【解析】（1）；。（4分） （2）对方案甲，工况 到允许校准区间的最小距离为 ，故必须 。当 时，工况 可分别取校准量 ，故方案甲恰在 时可行。（2分） 对方案乙，同时满足工况 要求的校准量必须位于 ，交集非空要求 ，即 。（2分） 当 时，取 ，它属于 ，对三个工况的误差分别为 ，所以确实可行。故方案乙的范围为 。（1分） 乙可行必使甲可行；但 时甲可行而乙不可行，所以 是 的充分不必要条件。（1分） （3）若两端工况 都合格，则中间工况 也合格：由 ，可得 。故全部共同校准量构成 。（2分） 当 时， 且 ，所以 。（2分） 当 时， 且 ，所以 。（2分） 当 时， 且 ，所以 。特别地， 时 ； 的边界均已包含在相应分类中。（1分） 19．（本题满分17分）某数字展签系统设计如下集合更新模型。全集 。一轮更新分两步：先把原集合的每个编号按以下规则替换， 换成 ， 换成 ， 换成 ， 换成 ， 换成 ， 换成 ；再对替换所得集合取全集 内的补集。记初始集合为 ，第 轮更新后所得集合为 ，其中 为正整数。每轮均以上一轮所得集合作为输入。 （1）取 ，求 、。 （2）证明对任意初始集合 ，都有 、。 （3）将满足 的最小正整数 称为初始集合的“回返步数”。证明回返步数只能为 或 ，分别描述两类初始集合，并求各类集合的个数。 【解析】（1）将 的编号替换后得 ，故 。下一轮编号替换后得 ，故 。（4分） （2）编号替换不重复也不遗漏。先取补再替换，与先替换再取补所得集合相同。连续两轮更新中的两次取补抵消，故 是 仅做两次编号替换的结果； 是 仅做三次编号替换后再取补的结果。（3分） 每个编号经三次替换回到原值，因此 ，继续更新三轮得 。（3分） （3）非空全集的子集不等于自身的补集，故 ；若 ，以后每轮均不变，也与前式矛盾。设最小回返步数为 ，每完成 轮便回到 。将 除以 ，余数若正便给出更小的回返步数，所以 整除 ，只可能为 或 。（2分） 两轮更新等于两次编号替换。回返步数为 ，当且仅当两次替换保持初始集合不变。再替换一次并利用三次替换复原，知这等价于一次替换保持初始集合不变。（2分） 一次编号替换保持初始集合不变，等价于在 中全选或全不选，在 中也如此。因此回返步数为 的初始集合恰为 ，共 个。（2分） 每个编号均可选入或不选入，共有 个初始集合。其余 个初始集合的回返步数均为 。（1分） 学科网（北京）股份有限公司 $