精品解析：广东普宁市第二中学2026-2027学年高二上学期第一次月考数学试题

2026-2027学年度第一学期高二第一次月考 数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 10个数据1，3，4，5，5，7，9，11，13，16的中位数是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【详解】10个数据1，3，4，5，5，7，9，11，13，16，所以中位数是. 2. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，得，所以， 又，所以. 3. 下列函数中，既是偶函数，又在上单调递减的函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数性质判断各函数的单调性，结合奇偶性定义判断奇偶性. 【详解】A：由知，在上递增，不符； B：由二次函数性质知，是偶函数，又在上单调递减，符合； C：由在上递增，在定义域上递增，故在上递增， 不符合； D：的定义域为，且，得函数是奇函数，不符. 4. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【详解】对于A，由，可得可能平行，相交或异面，故A错误； 对于B，由可得或，故B错误； 对于C，由，可得，又，则有，故C正确； 对于D，当是平面内两条互相垂直的直线，且时，满足，，但，故D错误. 5. 已知，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，， 所以， . 6. 如图，四面体中，，，E，F分别是的中点，若，则与所成的角的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知，结合图形，利用中位线，把异面直线所成角的问题转化为三角形的夹角， 根据等角定理以及三角形的性质求解. 【详解】 如图，取中点，连接、，因为E，F分别是的中点， 所以，，又，， 所以，， 因为，所以， 所以在中，，所以， 因为，根据等角定理可知， 与所成的角的大小是，故B，C，D错误. 故选：A. 7. 在中，为线段的中点，为线段上一点，，过点的直线分别交直线，于，两点，（），（），则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用三点共线定理和三角形的中线求出和的关系，再结合基本不等式求最值. 【详解】因为为线段的中点，，所以， 又因为，，所以，即 ， 由三点共线可知，即， 又因为，，所以 当且仅当时取到最小值3. 8. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．依据推广结论，给定函数，设其对称中心为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称的推广结论构造奇函数，利用奇函数满足恒成立的性质求出对称中心的坐标，进而计算. 【详解】由题意，若的对称中心为，则为奇函数，对定义域内任意均有， 即：  代入得：  ， 对第二项分母变形得，因此第二项可化简为，原等式变为： ，  要使等式对任意恒成立，令，解得， 代入左边得：  因此，解得， 故. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题中，正确的是（ ） A. 若事件，互斥，则 B. 若事件，相互独立，则 C. 若事件，，两两互斥，则 D. 若事件，，两两独立，则 【答案】ABC 【解析】 【详解】由互斥事件加法公式，若事件，互斥，，故A正确； 若事件，相互独立，则也互相独立，故，故B正确； 若事件，，两两互斥，任意两个事件不可能同时发生，三个事件不可能同时发生， 则，故C正确； 若事件，，两两独立，则, 无法推出，故D错误． 10. 已知函数（，），对任意均有，且，在上单调递减，则（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的最小正周期 C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】由题意求得的图象关于点对称判断A；，在上单调递减，可得的图象关于直线对称，进而求得周期可判断B；求得判断D. 【详解】因为，所以的图象关于点对称，故A错误； 又因为，所以当时，取得最值，即的图象关于直线对称. 又因为在上单调递减，，， 所以点和直线是相邻的对称中心和对称轴， 设的最小正周期为，则，所以，故B错误； 所以，解得，故C正确； 所以，又的图象关于直线对称， 所以，所以，又，所以，故D正确. 11. 如图，与分别为圆台上下底面直径，，若，，，则（ ） A. 圆台的母线与底面所成的角的正切值为 B. 圆台的全面积为 C. 圆台的外接球（上下底面圆周都在球面上）的半径为 D. 从点经过圆台的表面到点的最短距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】取圆台的轴截面，利用线面角的定义可判断A选项；利用圆台的表面积公式可判断B选项；利用正弦定理求出等腰梯形的外接圆半径，即为圆台的外接球半径，可判断C选项；将圆台沿轴截面切开，将圆台的侧面的一半切开，结合余弦定理可判断D选项. 【详解】对于A，设中点分别为，连接， 分别过点在平面内作，垂足点分别为点， 由题意知，与圆台的底面垂直， 易知四边形为等腰梯形，且， 在和中，，， 所以，所以，因为， 则四边形为矩形，且，同理可证四边形为矩形， 则，所以与圆台的底面垂直， 则圆台的母线与底面所成角为，， 则， 则，故A对； 对于B，圆台的全面积为，故B对； 对于C，易知圆台的外接球球心在梯形内，且， 由勾股定理知，且， 所以圆台外接球直径为，则，故C错； 对于D，将圆台沿轴截面切开，将圆台的侧面一半展开如下图所示： 延长交于点，在圆台的轴截面等腰梯形中，， 易知分别为中点，所以， 设，则，则， 由余弦定理可得， 因此从点经过圆台的表面到点的最短距离为，故D对. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数满足（为虚数单位），则_____． 【答案】 【解析】 【详解】因为，所以，所以. 13. 如图，为了测量河对岸的塔高，某测量队选取与塔底在同一水平面内且相距20米的两个测量基点与．现测量得，在点处测得塔顶的仰角分别为，若河宽至少12米，则塔高______米． 【答案】 【解析】 【分析】根据余弦定理结合几何关系求出，结合河宽至少12米进一步判断即可. 【详解】由题意知，平面，，，，. 因为平面，所以，. 在中，，所以. 在中，，所以. 在中，由余弦定理得，， 即，整理得， 即，解得或. 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 故. 14. 篮球队的名队员进行传球训练，每位队员把球传给其他人的概率相等，由甲开始传球，则前次传球中，乙恰好有次接到球的概率为______． 【答案】 【解析】 【详解】由题意知每位队员把球传给其他人的概率均为， 由甲开始传球，则前次传球中，乙恰好有次接到球的情况可分为： 只在第一次接到球，只在第二次接到球，只在第三次接到球. 则概率为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，正三棱柱中（底面是正三角形且侧棱与底面垂直的棱柱是正三棱柱），底面边长为，若为的中点． （1）求证：直线平面； （2）若，求三棱锥的体积． 【答案】（1） （1）连结交于，连结， 在中，，分别为和的中点，则， 平面，平面， 平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明； （2）根据线面垂直的判定定理和性质定理证得，再利用可求得，最后用转换顶点法求三棱锥的体积. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 取中点为，连结，， ，则， 平面平面，平面平面，且平面， 平面，平面，则， 又，，面,面 面，， 则，可得. ，面，面，面，. 16. 甲、乙两人进行摸球游戏，游戏规则是：在一个不透明的盒子中装有质地、大小完全相同且编号分别为1，2，3，4，5的5个球，甲先随机摸出一个球，记下编号，设编号为a，放回后乙再随机摸出一个球，也记下编号，设编号为b，记录摸球结果（a，b），如果，算甲赢，否则算乙赢． （1）求的概率； （2）这种游戏规则公平吗？请说明理由． 【答案】（1） （2） 这种游戏规则不公平，理由如下： 设甲赢为事件A，乙赢为事件B，则A，B为对立事件， 由题意事件A包含的基本事件（1，5），（2，4），（2，5），（3，3），（3，4），（3，5），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），共15个， 由古典概型的概率计算公式可得，∴， ∵，故这种游戏规则不公平． 【解析】 【分析】(1)列出摸球结果（a，b）全部可能的结果，再找出满足的结果，最后根据古典概型的概率计算公式可得； (2) 设甲赢为事件A，乙赢为事件B，则A，B为对立事件，再分别计算和，就可判断. 【小问1详解】 摸球结果（a，b）全部可能的结果是（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），共25种， 其中的结果为（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），共4种，故由古典概型的概率计算公式可得； 【小问2详解】 略 17. 在中，以，，分别为内角，，的对边，且. （1）求； （2）若，，求的面积； （3）若，，求边上中线长. 【答案】（1） （2） （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得； （2）由余弦定理求出，再由面积公式计算可得； （3）由正弦定理将边化角得到，从而求出，再分类讨论，求出边上中线长. 【小问1详解】 因为，所以， 由余弦定理可得， 因为，所以． 【小问2详解】 因为，且， 所以，解得或（舍去）， 所以. 【小问3详解】 因为，由正弦定理可得， 即，因为，所以，则， 所以或，即或， 当时为等边三角形，所以边上中线长为； 当时，则，所以为直角三角形，又， 由正弦定理，即，所以 ，， 所以边上中线长为； 18. 矩形中，， 为线段的中点，将沿 折起，使得平面平面．在新构造的四棱锥中，解以下问题： （1）证明：面； （2）求二面角的余弦值； （3）在上是否存在点使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明：如图，连接，在矩形中，， 为线段的中点， ，， ，， 又平面平面，平面，平面平面， 平面. （2）； （3）存在，是线段上靠近点 的三等分点. 【解析】 【分析】（1）通过勾股定理逆定理证明，再利用面面垂直的性质推出线面垂直； （2）由 平面得，二面角的平面角即为，在直角三角形中利用边长比求得余弦值； （3）设交于点，可证，因此只要，就有，进而可得平面． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 平面，， ． 在中，，， 又，平面，平面，平面平面， 为二面角的平面角， 在中，， ∴二面角的余弦值为． 【小问3详解】 存在．如图所示，连接、，设交于点， ，且， ． 取的三等分点，使，连接、、，则， 又平面，平面， 平面． 故存在满足条件的点，且是线段上靠近点 的三等分点． 19. 已知分别为定义在R上的偶函数与奇函数，且满足. （1）求和； （2）定义，. （i）若存在正整数n，使得对任意的恒成立，求实数a的取值范围； （ii）若对任意的恒有，求n的最大值. 【答案】（1），； （2）（i）；（ii）21 【解析】 【分析】（1）根据函数奇偶性得到方程，求出和； （2）（i）当时，不等式化为，根据函数单调性得到的取值范围为，举出反例得到若，则对任意正整数，不等式不恒成立，从而得到结论； （ii）只需，设的最大值为，故只需，解不等式得n的最大值为21. 【小问1详解】 ①， 故 ， 因为分别为定义在R上的偶函数与奇函数， 所以， 故②， 式子①+②得， 故， 所以， 式子②-①得， 所以， 【小问2详解】 ， （i）当时，， 不等式化为， 令，则需对任意恒成立， 设， 要想对任意恒成立，只需， 解得， 综上，当时，； 下证：若，则对任意正整数，不等式不恒成立， ， 若，取，此时，或， 当为奇数时，，代入不等式得，解得， 与矛盾， 当为偶数时，，代入不等式得，解得，与矛盾， 若，取，此时，， 代入不等式可得，解得，与矛盾， 因此，当时，存在，使得对任意的恒成立； （ii）对任意的恒有，只需， 令，， 则，设的最大值为， 当时，，此时对任意的恒有， 当时，，且在约束条件下， ， 最大值为，故， 例如，当时，， 故只需，即，，， 其中， 故， 若对任意的恒有，则n的最大值为21. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期高二第一次月考 数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 10个数据1，3，4，5，5，7，9，11，13，16的中位数是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 2. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 下列函数中，既是偶函数，又在上单调递减的函数是（ ） A. B. C. D. 4. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 已知，，则（    ） A. B. C. D. 6. 如图，四面体中，，，E，F分别是的中点，若，则与所成的角的大小是（ ） A. B. C. D. 7. 在中，为线段的中点，为线段上一点，，过点的直线分别交直线，于，两点，（），（），则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．依据推广结论，给定函数，设其对称中心为，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题中，正确的是（ ） A. 若事件，互斥，则 B. 若事件，相互独立，则 C. 若事件，，两两互斥，则 D. 若事件，，两两独立，则 10. 已知函数（，），对任意均有，且，在上单调递减，则（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的最小正周期 C. D. 11. 如图，与分别为圆台上下底面直径，，若，，，则（ ） A. 圆台的母线与底面所成的角的正切值为 B. 圆台的全面积为 C. 圆台的外接球（上下底面圆周都在球面上）的半径为 D. 从点经过圆台的表面到点的最短距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数满足（为虚数单位），则_____． 13. 如图，为了测量河对岸的塔高，某测量队选取与塔底在同一水平面内且相距20米的两个测量基点与．现测量得，在点处测得塔顶的仰角分别为，若河宽至少12米，则塔高______米． 14. 篮球队的名队员进行传球训练，每位队员把球传给其他人的概率相等，由甲开始传球，则前次传球中，乙恰好有次接到球的概率为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，正三棱柱中（底面是正三角形且侧棱与底面垂直的棱柱是正三棱柱），底面边长为，若为的中点． （1）求证：直线平面； （2）若，求三棱锥的体积． 16. 甲、乙两人进行摸球游戏，游戏规则是：在一个不透明的盒子中装有质地、大小完全相同且编号分别为1，2，3，4，5的5个球，甲先随机摸出一个球，记下编号，设编号为a，放回后乙再随机摸出一个球，也记下编号，设编号为b，记录摸球结果（a，b），如果，算甲赢，否则算乙赢． （1）求的概率； （2）这种游戏规则公平吗？请说明理由． 17. 在中，以，，分别为内角，，的对边，且. （1）求； （2）若，，求的面积； （3）若，，求边上中线长. 18. 矩形中，， 为线段的中点，将沿 折起，使得平面平面．在新构造的四棱锥中，解以下问题： （1）证明：面； （2）求二面角的余弦值； （3）在上是否存在点使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由． 19. 已知分别为定义在R上的偶函数与奇函数，且满足. （1）求和； （2）定义，. （i）若存在正整数n，使得对任意的恒成立，求实数a的取值范围； （ii）若对任意的恒有，求n的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $