期中复习 分层专项训练 2026-2027学年沪教版（五四制）八年级数学上册

八年级上学期 数学期中 期中归类复习 实数 · 二次根式 · 一元二次方程　｜　沪教版（五四制） 共 3 个板块 · 55 道例题（含完整解析） 目 录 一、实数　（20 题） P3 对应考点：平方根与立方根 · 无理数与实数 · 实数与数轴 · 实数的运算 二、二次根式　（18 题） P13 对应考点：有意义的条件 · 性质与化简 · 最简与同类 · 四则运算 · 分母有理化 三、一元二次方程　（17 题） P24 对应考点：概念与一般形式 · 四种解法 · 判别式 · 根与系数 · 实际应用 使用建议 ① 先看每类题型开头的【方法点拨】，把套路记成一句话，再动笔做题。 ② 每类题按“先易后难”排列，第 1～2 题用来熟悉方法，最后 1～2 题是压轴难度，建议限时完成（选择填空 3 分钟／题，解答题 8 分钟／题）。 ③ 解析里标【答案】【分析】【详解】三段：对完答案后，务必对照【分析】检查自己的“第一步思路”是否正确。 ④ 错题只记“卡住的那一步”，并在旁边写上它属于六类中的哪一类，考前只看这些。 一、实数 【方法点拨】实数这一章的题，八成靠三句话解决：① 平方根与算术平方根要分清——「4 的平方根是 ±2，算术平方根是 2」，正数有两个平方根、0 只有一个、负数没有；② 立方根的符号跟着原数走，=−2，不要写成 ±2；③ 无理数估算用「夹逼」：找与被开方数相邻的两个完全平方数，先定整数部分，再用小数部分 = 原数 − 整数部分 表示（如 的整数部分 3，小数部分 −3）。实数的运算按「先乘方开方、再乘除、最后加减，有括号先算括号」的顺序，结果要化到最简。 A 组 · 基础题 1．若，则的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求平方根．根据，可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 即的平方根是． 故答案为： 2．（25-26八年级上·江西九江·阶段练习）下列运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根，根据算术平方根的定义逐项判断即可． 【详解】解：、，故本选项不符合题意； 、，故本选项符合题意； 、，故本选项不符合题意； 、，故本选项不符合题意； 故选：． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列说法中，不正确的是（   ） A．的立方根是 B．的立方根是 C．0的立方根是0 D．的立方根是 【答案】D 【分析】本题考查了立方根的性质：一个正数的立方根是正数，一个负数的立方根是负数，0的立方根是0，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题利用立方根的性质对选项逐一判断，即可求解． 【详解】解：A．的立方根是，故选项正确； B．的立方根是，故选项正确； C．0的立方根是0，故选项正确； D．∵，∴的立方根等于5，故选项错误． 故选：D 4．（24-25七年级下·江西赣州·期末）若是的算术平方根，是的立方根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题重点考查​算术平方根和立方根的概念与计算​，​准确理解算术平方根（非负实数的非负平方根）和立方根（实数的唯一立方根）的定义是解题的关键​． 根据算术平方根和立方根的概念求值计算即可​． 【详解】∵是的算术平方根，是的立方根， ∴，， ∴． 故答案为：． 5．（24-25七年级上·浙江金华·期中）已知下列实数：①0，②，③，④，⑤，⑥，其中整数有：_________，分数有：_________，无理数有：_________．（只需填写序号） 【答案】，， 【分析】本题主要考查了实数的分类，有理数和无理数的定义，求一个数的算术平方根等知识点，熟练掌握实数的分类及有理数和无理数的定义是解题的关键． 根据有理数和无理数统称实数，分数和整数统称有理数，无限不循环小数是无理数进行分类即可． 【详解】解：， 由题意可得， 整数有：， 分数有：， 无理数有：， 故答案为：，，． 6．如图，已知数轴上的点分别表示数、、1、2，则表示的点应落在线段（   ） A．上 B．上 C．上 D．上 【答案】A 【分析】本题主要考查了实数与数轴上点的关系．关键是根据的取值范围来确定的取值范围．估算出的取值范围，即可确定点P在数轴上应落在的线段． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 即表示的点P落在线段上． 故选：A． 7．（26-27八年级上·全国·期中）下列算式中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：4，则A不符合题意， ，则B不符合题意， ，则C不符合题意， ，则D符合题意． 8．（24-25八年级上·广东佛山·期中）实数的平方根是_______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴实数的平方根是． 9．（26-27八年级上·江苏·期中）计算：______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴． 10．（25-26七年级下·宁夏固原·期中）估计的值应在（     ） A．和4之间 B．4和之间 C．和5之间 D．5和之间 【答案】B 【详解】解：∵， ∴，即， 因此的值在4和4.5之间． 11．（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）的整数部分为3，则它的小数部分可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一个数的小数部分等于该数减去它的整数部分，据此直接计算即可得到结果． 【详解】解：∵的整数部分为3， ∴的小数部分为． 12．（25-26七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）的平方根是_____，的小数部分是_____，64的立方根是_____． 【答案】 / 4 【分析】先化简，再根据平方根的定义求解第一个空；先估算的大小，得到其整数部分，再用减去整数部分得到小数部分，求解第二个空；再根据立方根的定义求解的立方根即可． 【详解】解：，根据平方根的定义，可得的平方根为． 因此的平方根是． ∵，，且， ∴． 因此的整数部分为，小数部分为． ∵， ∴的立方根是． 13．（26-27八年级上·辽宁沈阳·期中）下列实数中，无理数是（     ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．0是整数，属于有理数，故A不符合题意； B．是整数，属于有理数，故B不符合题意； C．是无理数，故C符合题意； D．是分数，属于有理数，故D不符合题意． B 组 · 中等题 14．（25-26八年级上·河南平顶山·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查实数的运算，熟练掌握求一个数的算术平方根和立方根是解答本题的关键． （1）原式分别计算算术平方根和立方根，然后再进行加减运算即可； （2）原式分别计算乘方和算术平方根，然后再进行加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 15．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了实数的混合运算和有理数的混合运算． （1）根据绝对值的定义可知：，根据立方根的定义可知：，所以可得：原式，再根据有理数的加法法则计算即可； （2）根据乘方的定义可知：，根据乘方的定义可知：，再根据有理数的运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 16．（25-26八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）求满足下列各式的未知数的值． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了利用平方根和立方根的定义解方程． （1）先化简，再两边都除以2，然后利用平方根的定义求解即可； （2）先把125移项， 然后利用立方根的定义求解即可． 【详解】（1） （2） 17．（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）观察下面表格： 16 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 16.8 256 259.21 262.44 265.69 268.96 272.25 275.56 278.89 282.24 根据上表回答问题：的整数部分为，求的立方根_________． 【答案】 【分析】根据表格数据确定的取值范围，得到其整数部分的值，计算后，根据立方根的定义求解结果． 【详解】解：由表格可得，，， 的整数部分为 的立方根为，即的立方根为． 18．（25-26七年级下·重庆·期中）在如图所示的运算程序中，若输入的值是729，则输出的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据流程图，列出算式进行计算即可． 【详解】解：当输入的值是729时，取算术平方根得， 27是有理数，再取立方根得， 3是有理数，再取算术平方根得， 由于是无理数， 所以输出的值是． C 组 · 挑战题 19．（25-26八年级上·上海·阶段练习）已知；；； 根据上述式子猜想规律，并求出 （n为正整数，结果用含有n的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查了数字类规律探索，算术平方根，根据已知等式发现一般规律是解题关键．观察已知等式发现，连续奇数的和的平方根等于奇数的个数，则，把原式变形为即可求解． 【详解】解：观察已知等式发现，连续奇数的和的平方根等于奇数的个数， 1个奇数的和：； 2个奇数的和：； 3个奇数的和：； 4个奇数的和： …… 归纳可得：， ∴ 故答案为：． 20．对于实数a，b，定义运算“*”：，例如，因为，所以．若，是一元二次方程的两个根，则 ． 【答案】3或 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，正确理解新运算的定义是解题关键．先利用因式分解法解方程可得或，再分两种情况：①当时，②当时，根据新运算的定义代入计算即可得． 【详解】解：， ， 或， 或， ①当时，； ②当时，； 综上，的值为3或， 故答案为：3或． 二、二次根式 【方法点拨】二次根式抓住「一条前提、两个公式、三步化简」：① 前提——被开方数非负， 有意义的条件是 a≥0，若出现 ，则只能 x=2；② 公式——（a≥0）、，后者最容易错，开出来要带绝对值；③ 化简三步——先分解质因数、把平方因数移出根号、再分母有理化（分子分母同乘 或共轭因式）。加减法只合并同类二次根式，乘除法则先把每个根式化成最简再算。比较大小常用「平方后比较」或「分母有理化后比较」。 A 组 · 基础题 1．（26-27九年级上·重庆·期中）下列各式一定是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据形如的式子叫作二次根式进行分析即可． 【详解】解：不一定是非负数，故A选项不符合题意， 不一定是非负数，故B选项不符合题意， ，故C选项不符合题意， ，是二次根式，故D选项符合题意． 2．（25-26八年级下·广西河池·期中）当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】将给定的x值代入二次根式，化简计算即可得到结果． 【详解】解：∵ ， ∴． 3．（26-27九年级上·北京·开学考试）若代数式有意义，则实数x的取值范围是________________． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数需大于等于0，本题分母为常数，不限制的取值，据此列不等式求解即可． 【详解】解：要使代数式有意义，则需， 解得． 4．（26-27八年级上·江苏·期中）计算的结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴． 5．（25-26八年级下·甘肃武威·期中）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】最简二次根式的定义：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：A选项、B选项的被开方数可化为分数形式，含分母，不是最简二次根式； C选项的被开方数含能开得尽方的因数4，不是最简二次根式； D选项的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，是最简二次根式． 6．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）化为最简二次根式：______． 【答案】 【详解】解：． 7．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）若在实数范围内有意义，则的值可以是（   ） A．6 B．0 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0是解题的关键．根据二次根式有意义的条件进行求解即可． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴， ∴， ∴的值可以是． 故选：B． 8．（25-26八年级上·上海·阶段练习）当时，化简二次根式 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简，掌握二次根式的基本化简运算方法是解题的关键． 先判断，然后根据二次根式的性质化简即可． 【详解】∵，， 又∵，， ∴，即， ∵ ， 又 ∵，，， ∴原式． 故答案为：． 9．计算结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的乘除运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据二次根式的乘除法则计算即可． 【详解】解： ， 故选：B． 10．（24-25八年级下·贵州遵义·期中）下列二次根式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足以下两个条件：一是被开方数不含分母；二是被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 根据最简二次根式必须满足的两个条件逐项判断即可． 【详解】解：A．不是最简二次根式，故A不符合题意； B．不是最简二次根式，故B不符合题意； C．不是最简二次根式，故C不符合题意； D．是最简二次根式，故D符合题意． 故选：D． 11．下列二次根式中，能与合并的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了化为最简二次根式，同类二次根式，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先利用二次根式的性质将题干与选项中的二次根式能化简的分别化简，再作出判断． 【详解】解：，，， 、、、中，能与合并， 故选：A． B 组 · 中等题 12．（25-26八年级上·辽宁丹东·阶段练习）计算题 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)0 (2) (3) (4) 【分析】本题考查二次根式的混合运算及分母有理化的知识． （1）先化简二次根式，分母有理化，再进行合并即可； （2）先根据二次根式的乘除法法则和完全平方公式进行计算，再进行合并即可； （3）先化简二次根式，分母有理化，再进行合并即可； （4）先利用平方差公式和完全平方公式进行计算，再进行加减计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 13．（25-26八年级上·山东枣庄·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)1 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的性质化简，完全平方公式的运用，分母有理化，熟练掌握相关运算法则为解题关键． （1）先利用二次根式的性质化简再合并同类项即可； （2）利用完全平方公式，二次根式形式化简，再合并同类项即可； （3）先算二次根式的乘除法，利用二次根式的性质化简，再合并同类项即可； （4）先分母有理化，计算算术平方根，再计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 14．（25-26八年级上·上海·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键. （1）原式先化简各二次根式，再合并即可； （2）原式先计算二次根的乘法和除法，再合并即可． 【详解】（1）解：根据题意可知：， ； （2）解：根据题意可知：， ∴， 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ． 15．（24-25八年级下·广西玉林·阶段练习）已知， (1)求的值． (2)求的值． 【答案】(1) (2)11 【分析】本题考查的是二次根式的化简求值，平方差公式和完全平方公式，掌握二次根式的加减法法则、乘法法则是解题的关键． （1）根据二次根式的加法法则求出，根据二次根式的减法法则求出，根据平方差公式把原式变形，代入计算即可； （2）根据二次根式的乘法法则求出，根据完全平方公式把原式变形，代入计算，得到答案． 【详解】（1）解：，， ，， 则 ； （2），， ∴， ∴ ． 16．（25-26八年级上·上海·阶段练习）先化简，再求值：，其中 【答案】， 【分析】本题考查二次根式的化简求值，先根据二次根式的性质及运算法则化简，再将代入求值即可． 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 17．已知长方形的长a=，宽b=． （1）求该长方形的周长； （2）若另一个正方形的面积与该长方形的面积相等，试计算该正方形的周长． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据长方形的周长公式即可求出答案． （2）根据长方形的面积公式即可求出面积，从而可求出正方形的边长； 【详解】（1）长方形的周长=； （2）长方形的面积=， 根据面积相等，则正方形的边长= ∴正方形周长=×4=． 【点睛】此题考查二次根式的应用，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型． C 组 · 挑战题 18．（25-26八年级上·上海·阶段练习）先阅读下列的解答过程，然后再解答． 形如的式子，可以利用完全平方公式进行化简，例如； (1)填空____________； (2)化简，并写出化简过程． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是掌握完全平方公式和二次根式相关运算的法则． （）仿照阅读材料解答即可； （）仿照阅读材料解答即可． 【详解】（1）解： ； 故答案为：； （2） ． 三、一元二次方程 【方法点拨】一元二次方程按「一看二选三验」走：① 看——先化成一般形式 ax²+bx+c=0，确认 a≠0（含字母系数时这是必考陷阱）；② 选解法——缺一次项用直接开平方法，左边能分解用因式分解法，二次项系数为 1 且 b 为偶数用配方法，其余用公式法 ；③ 验——判别式 Δ=b²−4ac 定根的情况（Δ>0 两不等实根、Δ=0 两等实根、Δ<0 无实根），有实际背景的题还要检验根是否符合题意（长度、人数不能为负）。根与系数：x₁+x₂=−b/a，x₁x₂=c/a，求不对称式子时先改写成「和与积」的形式。 A 组 · 基础题 1．（25-26九年级上·河南商丘·阶段练习）下列是关于x的一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是 2 ，（2）二次项系数不为 0 ，（3）是整式方程，（4）只含有一个未知数，熟练掌握一元二次方程必须满足的四个条件，是解题的关键． 根据一元二次方程的定义解答即可． 【详解】解：A．不是等式，故不是一元二次方程，不符合题意； B．当时，不是一元二次方程，不符合题意； C．该方程化简后为，是一元二次方程，符合题意； D．该方程不是整式方程，不符合题意；     故选：C． 2．把方程化成的形式，则a、b、c的一组值是（    ） A． B． C． D．2、1、1 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，先把方程左边去括号，然后把常数项移到方程左边即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 3．下列一元二次方程中，有一个根为的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一元二次方程的解的含义，把代入选项中每个方程进行检验即可得到答案． 【详解】解：把代入，得， ∴，故A不符合题意； 把代入，得， ∴，故B符合题意； 把代入，得， ∴，故C不符合题意； 把代入，得， ∴，故D不符合题意； 故选：B 4．方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元二次方程，利用直接开方法解方程即可． 【详解】解：， ， ， ∴． 故答案为： 5．（25-26九年级上·山东滨州·阶段练习）以下一元二次方程有两个相等实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根的情况，熟练掌握判断一元二次方程根的情况是解题的关键，利用一元二次方程根的判别式对各选项逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴方程有两个不相等实数根，此项错误； B、∵， ∴， ∴方程有两个不相等实数根，此项错误； C、∵， ∴， ∴方程有两个相等实数根，此项正确； D、， ∴， ∴方程没有实数根，此项错误； 故选：C． 6．已知关于的方程的一个根是1，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，解一元二次方程；分和分别讨论，即可求解． 【详解】解：当时，， 可得：，符合题意， 当时，方程是一元二次方程， 把代入得， ∴， ∴ 解得：（舍去）或， 综上所述，或 故答案为：或． 7．（23-24八年级上·上海青浦·期中）下列方程一定是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】根据一元二次方程的定义：“含有一个未知数，且含未知数的项的最高次数为2的整式方程”，进行判断即可． 【详解】解：A、，整理，得：，是一元一次方程，不符合题意； B、，是一元二次方程，符合题意； C、，当时，不是一元二次方程，不符合题意； D、，由两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； 故选B． 8．（23-24九年级上·贵州毕节·期末）方程的解为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法．利用直接开平方法即可求解． 【详解】解： 故选：C． 9．（24-25八年级上·上海杨浦·期中）方程的解是______． 【答案】 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】本题考查直接开平方法解一元二二次方程，先把方程化简成，再直接开平方即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． B 组 · 中等题 10．（23-24八年级上·上海普陀·期末）解方程：． 【答案】， 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了解一元二次方程．先把原方程化为一般式，再利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得，． 11．（23-24八年级上·上海杨浦·期中）用配方法解方程： 【答案】． 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查了用配方法解方程．首先移项，把常数项移到等号的右边，再将二次项系数化为1，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可使左边变形成完全平方式，右边是常数，直接开方即可求解． 【详解】解：移项得， 一次项系数化为1得：， 配方得：，即， 开方得：， 解得：． 12．（24-25八年级上·上海·期末）用配方法解方程：． 【答案】 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先把二次项系数化为1，再把常数项移到方程右边，接着把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行平方，进而解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得． 13．（24-25九年级上·四川泸州·期末）学校的劳动实践基地是一块长、宽的矩形土地．为便于学生参与劳动，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道（如图所示），使种植面积达到，若设小道的宽为，则根据题意，那么x满足的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据矩形场地的长、宽及小路的宽度，可得出除小路的其余部分可合成长为，宽为的矩形，再结合种植面积为，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：学校的劳动实践基地是一块长、宽的矩形土地，且小道的宽为， 除小路的其余部分可合成长为，宽为的矩形． 根据题意得：， 故选：D． 14．（25-26九年级上·山东青岛·阶段练习）用指定方法解下列一元二次方程： (1)（直接开平方法）； (2)（配方法）； (3)（配方法）． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法是解题的关键． （1）根据直接开平方法步骤计算可得； （2）将常数项移到右边后，再配上一次项系数的一半的平方，写成完全平方式后开方可得； （3）将含未知数的项移到一边，常数项移到另一边后，再配上一次项系数的一半的平方，写成完全平方式后开方可得． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ； （3）解：， ， ， ， ， 15．（25-26九年级上·陕西汉中·阶段练习）乒乓球作为陕西中考体育“体质健康测试类”选考项目，因其对体能要求相对较低且趣味性较高，成为同学们选考热点，乒乓球拍的销量也在持续增长．某体育用品店销售一种乒乓球拍，进价为每副42元，按每副66元销售，平均每月能卖出200副，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时，在不亏本的情况下，尽量减少库存，经调研发现，售价每降低2元，平均每月可多卖出20副． (1)小明说：“如果薄利多销，平均每月的销售量肯定能达到500副．”请你判断小明的说法是否正确？并说明理由； (2)该体育用品店期望销售这种乒乓球拍，平均每月的销售利润为4830元，销售员甲说：“在原售价的基础上降低1元，销售利润即可达到预期目标．”销售员乙说：“在原售价的基础上降低3元更合适”，如果你作为老板，请用方程的思想说明应采纳谁的意见． 【答案】(1)小明的说法不正确，理由见解析 (2)采纳销售员乙的意见，理由见解析 【分析】本题考查了一元一次方程中的应用，一元二次方程的应用，根据题意找到等量关系列出方程是解题的关键． （1）设售价降低元，平均每月的销售量能达到500副，根据“售价每降低2元，平均每月可多卖出20副”列出方程，可求出具体降价金额，从而可求出售价，将售价与进价比较即可得出结论； （2）设售价降低元，可使平均每月的销售利润为4830元，根据利润、售价、进价之间的关系列出方程，解出结果后，再根据增加销售量可以减少库存即可得出结论． 【详解】（1）解：设售价降低元，平均每月的销售量能达到500副， 依题意得，， 解得， 降价后每副的售价为（元）， 进价为每副42元，， 平均每月的销售量能达到500副时会亏本， 小明的说法不正确； （2）解：采纳销售员乙的意见，理由如下： 设降低元， ∵售价每降低2元，平均每月可多卖出20副， ∴售价每降低1元，平均每月可多卖出10副， 由题意得， 解得或， 当时（甲的意见），销售量为副； 当时（乙的意见），销售量为副； ∵尽量减少库存， ∴采纳销售员乙的意见． C 组 · 挑战题 16．（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）材料1：法国数学家弗朗索瓦·韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程的两根有如下的关系（韦达定理）：； 材料2：如果实数m、n满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将m、n看作是此方程的两个不相等的实数根． 请根据上述材料解决下面问题： (1)已知实数m、n满足、，求的值． (2)已知实数p、q满足、，且，求的值． (3)已知实数a、b、c满足、，且，求c的最大值． 【答案】(1) (2)1 (3)7 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式等知识，正确理解一元二次方程根与系数关系，并能对相关式子进行变形是解题关键． （1）根据题意得到m，n是方程的两个不相等的实数根，得到，变形为整体代入即可求解； （2）变形为，结合得到p、可看作方程的两根，得到，变形为即可求解； （3）根据、得到a、b是方程的两个根，即可得到，根据，即可求出，得到c的最大值为7． 【详解】（1）解：∵实数m、n满足、，， ∴m，n是方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴p、可看作方程的两根， ∴， ∴； （3）解：∵、， ∴a、b是方程的两个根， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴c的最大值为7． 17．（25-26八年级上·上海虹口·期中）请阅读下列材料： 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以， 把代入已知方程，得， 化简，得，故所求方程为， 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数． (2)关于的一元二次方程有一个实数根为2025，则方程一定有实数根_______． (3)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为3、-2，求一元二次方程的两根． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】换元法解一元二次方程、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解答该题的关键是弄清楚“换根法”的具体解题方法． （1）利用题中解法，设所求方程的根为，则，即，把代入已知方程即可； （2）根据方程根的定义得到，则，即可求出答案； （3）一元二次方程整理可得：，再与一元二次方程比较即可． 【详解】（1）解：设所求方程的根是，则， 所以， 把代入， 得； （2）解：关于的一元二次方程有一个实数根为2025， ， ， 是方程的实数根． 故答案为：． （3）解：关于的一元二次方程的两个实数根分别为3、-2， ， ， 方程 化为：方程， 整理得， 因式分解得， 解得． 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级上学期 数学期中 期中归类复习 实数 · 二次根式 · 一元二次方程　｜　沪教版（五四制） 共 3 个板块 · 55 道例题（学生版 · 不含答案） 目 录 一、实数　（20 题） P3 对应考点：平方根与立方根 · 无理数与实数 · 实数与数轴 · 实数的运算 二、二次根式　（18 题） P6 对应考点：有意义的条件 · 性质与化简 · 最简与同类 · 四则运算 · 分母有理化 三、一元二次方程　（17 题） P10 对应考点：概念与一般形式 · 四种解法 · 判别式 · 根与系数 · 实际应用 一、实数 【方法点拨】实数这一章的题，八成靠三句话解决：① 平方根与算术平方根要分清——「4 的平方根是 ±2，算术平方根是 2」，正数有两个平方根、0 只有一个、负数没有；② 立方根的符号跟着原数走，=−2，不要写成 ±2；③ 无理数估算用「夹逼」：找与被开方数相邻的两个完全平方数，先定整数部分，再用小数部分 = 原数 − 整数部分 表示（如 的整数部分 3，小数部分 −3）。实数的运算按「先乘方开方、再乘除、最后加减，有括号先算括号」的顺序，结果要化到最简。 A 组 · 基础题 1．若，则的平方根是 ． 2．下列运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 3．下列说法中，不正确的是（   ） A．的立方根是 B．的立方根是 C．0的立方根是0 D．的立方根是 4．若是的算术平方根，是的立方根，则的值为 ． 5．已知下列实数：①0，②，③，④，⑤，⑥，其中整数有：_________，分数有：_________，无理数有：_________．（只需填写序号） 6．如图，已知数轴上的点分别表示数、、1、2，则表示的点应落在线段（   ） A．上 B．上 C．上 D．上 7．下列算式中，正确的是（     ） A． B． C． D． 8．实数的平方根是_______． 9．计算：______． 10．估计的值应在（     ） A．和4之间 B．4和之间 C．和5之间 D．5和之间 11．的整数部分为3，则它的小数部分可以表示为（   ） A． B． C． D． 12．的平方根是_____，的小数部分是_____，64的立方根是_____． 13．下列实数中，无理数是（     ） A．0 B． C． D． B 组 · 中等题 14．计算： (1) (2) 15．计算： (1)； (2)． 16．求满足下列各式的未知数的值． (1) (2) 17．观察下面表格： 16 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 16.8 256 259.21 262.44 265.69 268.96 272.25 275.56 278.89 282.24 根据上表回答问题：的整数部分为，求的立方根_________． 18．在如图所示的运算程序中，若输入的值是729，则输出的值是（   ） A． B． C． D． C 组 · 挑战题 19．已知；；； 根据上述式子猜想规律，并求出 （n为正整数，结果用含有n的式子表示） 20．对于实数a，b，定义运算“*”：，例如，因为，所以．若，是一元二次方程的两个根，则 ． 二、二次根式 【方法点拨】二次根式抓住「一条前提、两个公式、三步化简」：① 前提——被开方数非负， 有意义的条件是 a≥0，若出现 ，则只能 x=2；② 公式——（a≥0）、，后者最容易错，开出来要带绝对值；③ 化简三步——先分解质因数、把平方因数移出根号、再分母有理化（分子分母同乘 或共轭因式）。加减法只合并同类二次根式，乘除法则先把每个根式化成最简再算。比较大小常用「平方后比较」或「分母有理化后比较」。 A 组 · 基础题 1．下列各式一定是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 2．当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．若代数式有意义，则实数x的取值范围是________________． 4．计算的结果为（     ） A． B． C． D． 5．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 6．化为最简二次根式：______． 7．若在实数范围内有意义，则的值可以是（   ） A．6 B．0 C．7 D．8 8．当时，化简二次根式 9．计算结果为（   ） A． B． C． D． 10．下列二次根式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 11．下列二次根式中，能与合并的是（    ） A． B． C． D． B 组 · 中等题 12．计算题 (1) (2) (3) (4) 13．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 14．计算： (1) (2) 15．已知， (1)求的值． (2)求的值． 16．先化简，再求值：，其中 17．已知长方形的长a=，宽b=． （1）求该长方形的周长； （2）若另一个正方形的面积与该长方形的面积相等，试计算该正方形的周长． C 组 · 挑战题 18．先阅读下列的解答过程，然后再解答． 形如的式子，可以利用完全平方公式进行化简，例如； (1)填空____________； (2)化简，并写出化简过程． 三、一元二次方程 【方法点拨】一元二次方程按「一看二选三验」走：① 看——先化成一般形式 ax²+bx+c=0，确认 a≠0（含字母系数时这是必考陷阱）；② 选解法——缺一次项用直接开平方法，左边能分解用因式分解法，二次项系数为 1 且 b 为偶数用配方法，其余用公式法 ；③ 验——判别式 Δ=b²−4ac 定根的情况（Δ>0 两不等实根、Δ=0 两等实根、Δ<0 无实根），有实际背景的题还要检验根是否符合题意（长度、人数不能为负）。根与系数：x₁+x₂=−b/a，x₁x₂=c/a，求不对称式子时先改写成「和与积」的形式。 A 组 · 基础题 1．下列是关于x的一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．把方程化成的形式，则a、b、c的一组值是（    ） A． B． C． D．2、1、1 3．下列一元二次方程中，有一个根为的是（　　） A． B． C． D． 4．方程的解为 ． 5．以下一元二次方程有两个相等实数根的是（    ） A． B． C． D． 6．已知关于的方程的一个根是1，则 ． 7．下列方程一定是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 8．方程的解为（    ） A． B． C．或 D．或 9．方程的解是______． B 组 · 中等题 10．解方程：． 11．用配方法解方程： 12．用配方法解方程：． 13．学校的劳动实践基地是一块长、宽的矩形土地．为便于学生参与劳动，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道（如图所示），使种植面积达到，若设小道的宽为，则根据题意，那么x满足的方程是（    ） A． B． C． D． 14．用指定方法解下列一元二次方程： (1)（直接开平方法）； (2)（配方法）； (3)（配方法）． 15．乒乓球作为陕西中考体育“体质健康测试类”选考项目，因其对体能要求相对较低且趣味性较高，成为同学们选考热点，乒乓球拍的销量也在持续增长．某体育用品店销售一种乒乓球拍，进价为每副42元，按每副66元销售，平均每月能卖出200副，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时，在不亏本的情况下，尽量减少库存，经调研发现，售价每降低2元，平均每月可多卖出20副． (1)小明说：“如果薄利多销，平均每月的销售量肯定能达到500副．”请你判断小明的说法是否正确？并说明理由； (2)该体育用品店期望销售这种乒乓球拍，平均每月的销售利润为4830元，销售员甲说：“在原售价的基础上降低1元，销售利润即可达到预期目标．”销售员乙说：“在原售价的基础上降低3元更合适”，如果你作为老板，请用方程的思想说明应采纳谁的意见． C 组 · 挑战题 16．材料1：法国数学家弗朗索瓦·韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程的两根有如下的关系（韦达定理）：； 材料2：如果实数m、n满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将m、n看作是此方程的两个不相等的实数根． 请根据上述材料解决下面问题： (1)已知实数m、n满足、，求的值． (2)已知实数p、q满足、，且，求的值． (3)已知实数a、b、c满足、，且，求c的最大值． 17．请阅读下列材料： 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以， 把代入已知方程，得， 化简，得，故所求方程为， 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数． (2)关于的一元二次方程有一个实数根为2025，则方程一定有实数根_______． (3)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为3、-2，求一元二次方程的两根． 学科网（北京）股份有限公司 $