精品解析：甘肃定西市临洮县2026-2027学年九年级上学期10月期中阶段学情检测数学试题

九年级中期评估卷 数　　学 注意事项： 1．全卷满分120分，答题时间为100分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项． 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义可知，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，据此可得答案． 【详解】解：A. 方程的未知数最高次数为1，不是一元二次方程，不符合题意； B. 方程只含一个未知数，未知数最高次数为2，是整式方程，是一元二次方程，符合题意； C. 方程含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； D. 方程不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意． 2. 反比例函数的图象在（ ）． A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、四象限 D. 第三、四象限 【答案】C 【解析】 【分析】通过确定反比例函数中的符号，判断图象所在象限即可． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴图象位于第二、四象限． 3. 一元二次方程的两根为，，则的值为（ ） A. B. 6 C. 3 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】无需解方程，利用根与系数的关系，代入对应系数计算两根之积． 【详解】解：在一元二次方程中， 二次项系数，常数项， 根据根与系数的关系得． 4. 若抛物线的开口向下，顶点坐标为，则二次函数有（ ） A. 最小值2 B. 最大值 C. 最小值3 D. 最大值 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵抛物线开口向下，顶点坐标为， ∴二次函数有最大值． 5. 用配方法解方程，则配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】移项后，在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧配方为完全平方式，即可得到正确结果． 【详解】解： ． 6. 将抛物线平移，得到抛物线，下列平移方式中，正确的是（ ） A. 向左平移3个单位，向上平移5个单位 B. 向右平移3个单位，向上平移5个单位 C. 向左平移5个单位，向下平移3个单位 D. 向右平移5个单位，向上平移3个单位 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵的顶点坐标为，的顶点坐标为， ∴顶点从平移到，需要先向左平移3个单位，再向上平移5个单位． 7. 已知，，是抛物线上的点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定抛物线的开口方向和对称轴，再根据开口向下的二次函数的性质：点到对称轴的距离越大，对应函数值越小，通过比较三个点到对称轴的距离，得到函数值的大小关系． 【详解】解：∵ 抛物线中，， ∴ 抛物线开口向下，点到对称轴的距离越大，对应函数值越小， 抛物线对称轴为， 分别计算三个点到对称轴的距离： 点到对称轴的距离：， 点到对称轴的距离：， 点到对称轴的距离：， ∵， ∴． 8. 如图，学校为八年级“青春仪式”制作了长，宽的大背景板，学生们想在背景板四周贴一圈等宽的粘贴区，用于粘贴装饰品，中间空白部分面积为．设粘贴区宽度为，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：设粘贴区宽度为，则中间空白部分的长为，宽为， 则． 9. 阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动整个地球”这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知识——杠杆原理即“阻力×阻力臂=动力×动力臂”．若已知某一杠杆的阻力和阻力臂分别为和，则这一杠杆的动力F和动力臂l之间的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质，解题的关键是理解题意；由题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴，是反比例函数解析式，且， 只有B选项符合题意； 故选：B． 10. 已知二次函数的图象如图所示，则以下结论中正确的有（ ） ① ② ③ ④ A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ①②④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，由抛物线的开口方向可判断①正确；根据对称轴的位置可判断②正确；根据抛物线与y轴的交点可判断③错误；根据时的函数值可判断④正确． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴，故①正确； ∵对称轴在y轴的右侧， ∴，故②正确； ∵抛物线与y轴的正半轴相交， ∴，故③错误； ∵当时，， ∴，故④正确． 故选D． 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 已知点在反比例函数的图象上，则_____． 【答案】10 【解析】 【分析】将点代入反比例函数，即可求出的值． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴将，代入函数解析式得， 解得． 12. 若关于的一元二次方程（为常数）没有实数根，则的值可以是______（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据一元二次方程没有实数根的条件，列出关于的不等式，求解得到的取值范围，再取范围内任意一个值即可． 【详解】解：关于的一元二次方程没有实数根， ， ∵在方程中，，， ∴ 解得， ∴可取该范围内任意一个数，如． 13. 如图，点在反比例函数的图象上，则矩形的面积是_______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据反比例函数比例系数的几何意义解答即可． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴矩形的面积． 14. 汽车刹车后行驶的距离（单位：米）关于行驶的时间（单位：秒）的函数解析式是，汽车刹车后到停下来前进了______米． 【答案】27 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，通过求二次函数的最大值来确定汽车刹车后停止时的前进距离即可． 【详解】解：， ∵， ∴当时，有最大值27， ∴汽车刹车后到停下来前进了27米． 故答案为：27． 15. 在二次函数中，自变量可以取任意实数，与的几组对应值如下： … 0 1 2 … … 13 … 根据以上信息，关于的一元二次方程的两个实数根中，其中一个实数根的整数部分是_______． 【答案】1 【解析】 【分析】一元二次方程的根对应二次函数值为0时的自变量取值，根据表格中相邻自变量对应的函数值的正负变化，确定根所在的区间，即可得到根的整数部分 【详解】解：根据题意得：一元二次方程的实数根是二次函数中函数值时对应的自变量的值， ∵当时，对应的函数值，当时，对应的函数值， ∴函数值由负变正的过程中，存在一个使得，且该的取值范围为， ∴这个实数根的整数部分为． 16. 古希腊在研究黄金分割时得到方程，已知m，n是方程的两个根，则代数式________． 【答案】4 【解析】 【分析】利用方程根的定义对所求代数式降次，再结合根与系数的关系计算结果． 【详解】解：是方程的根， ，即， ，是方程的两个根， 根据根与系数的关系可得， 原式． 三、解答题：本大题共6小题，共32分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解方程：． 【答案】 【解析】 【详解】解：， ， 或， ． 18. 解方程：． 【答案】 ， 【解析】 【分析】观察方程结构，提取公因式后用因式分解法求解即可． 【详解】解： 原式提取公因式得 ， 则 或 ， 解得，． 19. 已知反比例函数（为常数）的图象位于第二、四象限，求的取值范围． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数中，当时图象位于第二、四象限是解题的关键． 根据反比例函数的图象性质，当图象位于第二、四象限时，其比例系数小于0，由此建立不等式求解k的取值范围． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴， ∴， 故答案为：． 20. 二次函数的图象如图所示． （1）抛物线的对称轴是直线　　　　； （2）直接写出时，自变量x的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质． （1）根据对称性，求对称轴即可； （2）图象法求x的取值范围即可； 从图象中准确的获取信息，是解题的关键． 【小问1详解】 解：由图可知，抛物线与轴的两个交点坐标为， ∴抛物线的对称轴是直线； 故答案为：； 【小问2详解】 由图象可知，当时，或． 21. 用长为的篱笆围成一个矩形花圃，设矩形的一边长为，面积为，求矩形花圃面积的最大值． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的应用，设矩形一边长为，则另一边长为，利用面积公式建立二次函数，进而求解即可． 【详解】解：设矩形一边长为，则另一边长为． ∴面积， ∵， ∴当时，S有最大值25， ∴ 矩形花圃面积的最大值为． 22. 某中学团委爱心社组织学生为高三学生进行献爱心捐款活动．初三年级第一天收到捐款1000元，第三天收到1440元． （1）求这两天收到捐款的平均增长率． （2）按照（1）中的增长速度，第四天初三年级能收到多少捐款？ 【答案】（1） （2）1728元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，关键是读懂题意，找出题目中的等量关系，列出方程，注意把不合题意的解舍去． （1）设捐款的增长率为x，则第三天的捐款数量为元，根据第三天的捐款数量为1440元建立方程求出其解即可． （2）根据（1）求出的增长率列式计算即可． 【小问1详解】 解：设捐款增长率为x，根据题意得： ， 解得：（舍去）． 答：捐款的平均增长率为． 【小问2详解】 根据题意得：（元）． 答：第四天初三年级能收到的捐款是元． 四、解答题：本大题共5小题，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，水面上升，求水面宽度． 【答案】此时水面的宽度为 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键，学会把实际问题转化为二次函数，利用二次函数的性质解决问题，属于中考常考题型．根据已知建立平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案． 【详解】解：由题意，建立如图所示平面直角坐标系， 设抛物线的解析式为， 由题意可知，点 在此抛物线上， 则 ， 解得， ， 当水面上升时，，则：， 解得， 此时水面的宽度为． 答：此时水面的宽度为． 24. 某小区为方便住户用水，在高处修建了一个蓄水池．该蓄水池蓄满水后关闭进水口，打开排水管开始匀速排水．已知每小时平均排水量与排水总时间之间成反比例关系，其函数图象如图所示．当排水总时间为时，每小时平均排水量为． （1）求每小时平均排水量q（立方米）与排完水池中的水所用时间t（小时）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）若该蓄水池蓄满水后关闭进水口开始排水，10小时恰好排完，那么每小时平均排水量是多少立方米？ 【答案】（1） （2）每小时平均排水量是． 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数的应用，正确求出函数解析式是关键． （1）根据待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出当时的函数值即可． 【小问1详解】 解：依题意可设， 当排水总时间为时，每小时平均排水量为，则有 【小问2详解】 当时 答：每小时平均排水量是 25. 某水果批发商销售每箱进价为元的苹果，在确保每箱苹果的售价不低于元的情况下，物价部门规定，每箱苹果售价不高于元，经市场调查发现，平均每天销售量（箱）与每箱苹果的售价（元）之间的函数关系如图所示． （1）求平均每天销售量（箱）与每箱苹果的售价（元）之间的函数关系式；并写出的取值范围； （2）求平均每天的销售利润（元）与每箱苹果的售价（元）之间的函数关系式；并求出当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润；最大利润是多少元？ 【答案】（1）函数关系式为，的取值范围是． （2）函数关系式为，当每箱苹果售价为元时，可获得最大利润，最大利润为元． 【解析】 【分析】（1）根据图像，平均每天销售量（箱）与每箱苹果的售价（元）之间是一次函数关系，设函数解析式代入已知点求解即可，售价需满足不低于进价元，且不高于物价部门规定的元； （2）根据平均每天的销售利润（元）每箱苹果的利润平均每天的销售量（箱），将有关代数式代入公式中，可以得到平均每天的销售利润（元）与每箱苹果的售价（元）之间的函数关系式为开口向下的二次函数，结合的取值范围和二次函数的对称轴即可确定的最大值． 【小问1详解】 解：由图像可知，与是一次函数关系， 设函数解析式为， 已知图像上两点和， 代入解析式中可得 ， 解得， 函数关系式为． 根据题目条件，售价需不低于每箱进价元，且不高于物价部门规定的元， 的取值范围是． 【小问2详解】 根据利润的计算公式：平均每天的销售利润（元）每箱苹果的利润平均每天的销售量（箱），即． 将（1）中得到的代入利润公式，整理得， ， 这是一个开口向下的二次函数，其对称轴为． 的取值范围是， 该区间在对称轴左侧，随的增大而增大， 当时，取得最大值，（元）， 当每箱苹果售价为元时，可获得最大利润元． 26. 根据多项式乘法可知，从而我们可得利用十字相乘法进行因式分解的公式，比如：．据此回答下列问题： （1）将二次三项式分解因式； （2）解一元二次方程； （3）某数学兴趣小组发现二次项系数不是1的方程也可以借助此方法解一元二次方程．如：，方程左边分解为，从而可以快速求出方程的解． 请你利用此方法尝试解方程． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用十字相乘法进行分解即可； （2）把方程左边利用十字相乘法进行因式分解，将原方程化为两个一次方程即可求解； （3）把方程左边利用十字相乘法进行因式分解，将原方程化为两个一次方程即可求解． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：， 或 ，； 【小问3详解】 解：， ， 或， ，． 27. 问题探究 定义：对于一个函数，若存在自变量，对应的函数值也等于，则称点为该函数图象上的一个“不动点”．例如：对于一次函数，当时，，则点为该函数图象上的一个“不动点”．请你尝试探究下面问题． （1）对于反比例函数，求当满足什么条件时，该函数图象上存在“不动点”？ （2）已知二次函数（m为常数）． ①求证：无论m取何实数，该二次函数的图象上总有两个“不动点”； ②若点和点是该二次函数图象上的两个“不动点”．问线段的长是否与m的取值有关？ 【答案】（1）当k满足时，该函数图象上存在“不动点” （2）①设是二次函数图象上的点， 则， 即， ∵， ∴以上方程有两个不等实根， 即该二次函数的图象上总有两个“不动点”； ②线段的长与m的取值无关 【解析】 【分析】（1）设反比例函数图象上存在“不动点”，可得出，问题得解； （2）①设是二次函数图象上的点，将其代入二次函数解析式，即可得到关于的一元二次方程，再根据方程的判别式判断根的情况，问题得解； ②由①得方程的两根，，根据根与系数的关系，可以列出、的式子，再根据勾股定理表示出，再代入、的式子，即可求解． 【小问1详解】 解：设反比例函数的图象上存在“不动点”，即， 则，即， ∴当k满足时，该函数图象上存在“不动点”； 【小问2详解】 ①略 ②由①得方程的两根，满足， ∴ ， 即线段的长与m的取值无关． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级中期评估卷 数　　学 注意事项： 1．全卷满分120分，答题时间为100分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项． 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 反比例函数的图象在（ ）． A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、四象限 D. 第三、四象限 3. 一元二次方程的两根为，，则的值为（ ） A. B. 6 C. 3 D. 2 4. 若抛物线的开口向下，顶点坐标为，则二次函数有（ ） A. 最小值2 B. 最大值 C. 最小值3 D. 最大值 5. 用配方法解方程，则配方正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 将抛物线平移，得到抛物线，下列平移方式中，正确的是（ ） A. 向左平移3个单位，向上平移5个单位 B. 向右平移3个单位，向上平移5个单位 C. 向左平移5个单位，向下平移3个单位 D. 向右平移5个单位，向上平移3个单位 7. 已知，，是抛物线上的点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，学校为八年级“青春仪式”制作了长，宽的大背景板，学生们想在背景板四周贴一圈等宽的粘贴区，用于粘贴装饰品，中间空白部分面积为．设粘贴区宽度为，则可列方程（ ） A. B. C. D. 9. 阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动整个地球”这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知识——杠杆原理即“阻力×阻力臂=动力×动力臂”．若已知某一杠杆的阻力和阻力臂分别为和，则这一杠杆的动力F和动力臂l之间的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数的图象如图所示，则以下结论中正确的有（ ） ① ② ③ ④ A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ①②④ 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 已知点在反比例函数的图象上，则_____． 12. 若关于的一元二次方程（为常数）没有实数根，则的值可以是______（写出一个即可）． 13. 如图，点在反比例函数的图象上，则矩形的面积是_______． 14. 汽车刹车后行驶的距离（单位：米）关于行驶的时间（单位：秒）的函数解析式是，汽车刹车后到停下来前进了______米． 15. 在二次函数中，自变量可以取任意实数，与的几组对应值如下： … 0 1 2 … … 13 … 根据以上信息，关于的一元二次方程的两个实数根中，其中一个实数根的整数部分是_______． 16. 古希腊在研究黄金分割时得到方程，已知m，n是方程的两个根，则代数式________． 三、解答题：本大题共6小题，共32分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解方程：． 18. 解方程：． 19. 已知反比例函数（为常数）的图象位于第二、四象限，求的取值范围． 20. 二次函数的图象如图所示． （1）抛物线的对称轴是直线　　　　； （2）直接写出时，自变量x的取值范围． 21. 用长为的篱笆围成一个矩形花圃，设矩形的一边长为，面积为，求矩形花圃面积的最大值． 22. 某中学团委爱心社组织学生为高三学生进行献爱心捐款活动．初三年级第一天收到捐款1000元，第三天收到1440元． （1）求这两天收到捐款的平均增长率． （2）按照（1）中的增长速度，第四天初三年级能收到多少捐款？ 四、解答题：本大题共5小题，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，水面上升，求水面宽度． 24. 某小区为方便住户用水，在高处修建了一个蓄水池．该蓄水池蓄满水后关闭进水口，打开排水管开始匀速排水．已知每小时平均排水量与排水总时间之间成反比例关系，其函数图象如图所示．当排水总时间为时，每小时平均排水量为． （1）求每小时平均排水量q（立方米）与排完水池中的水所用时间t（小时）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）若该蓄水池蓄满水后关闭进水口开始排水，10小时恰好排完，那么每小时平均排水量是多少立方米？ 25. 某水果批发商销售每箱进价为元的苹果，在确保每箱苹果的售价不低于元的情况下，物价部门规定，每箱苹果售价不高于元，经市场调查发现，平均每天销售量（箱）与每箱苹果的售价（元）之间的函数关系如图所示． （1）求平均每天销售量（箱）与每箱苹果的售价（元）之间的函数关系式；并写出的取值范围； （2）求平均每天的销售利润（元）与每箱苹果的售价（元）之间的函数关系式；并求出当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润；最大利润是多少元？ 26. 根据多项式乘法可知，从而我们可得利用十字相乘法进行因式分解的公式，比如：．据此回答下列问题： （1）将二次三项式分解因式； （2）解一元二次方程； （3）某数学兴趣小组发现二次项系数不是1的方程也可以借助此方法解一元二次方程．如：，方程左边分解为，从而可以快速求出方程的解． 请你利用此方法尝试解方程． 27. 问题探究 定义：对于一个函数，若存在自变量，对应的函数值也等于，则称点为该函数图象上的一个“不动点”．例如：对于一次函数，当时，，则点为该函数图象上的一个“不动点”．请你尝试探究下面问题． （1）对于反比例函数，求当满足什么条件时，该函数图象上存在“不动点”？ （2）已知二次函数（m为常数）． ①求证：无论m取何实数，该二次函数的图象上总有两个“不动点”； ②若点和点是该二次函数图象上的两个“不动点”．问线段的长是否与m的取值有关？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $