精品解析：甘肃兰州市城关区华侨实验学校2026～2027学年九年级上学期期中数学试卷

华侨教育集团2026-2027-1学期九年级数学期中测试试卷 一、单选题（每题3分，共33分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、方程是一元二次方程，符合题意； B、方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； C、方程不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； D、当时，不是一元二次方程，因此该方程不一定是一元二次方程，不符合题意． 2. “斗”是古代计量粮食的重要容器，用于规范交易、征收田赋．如图是一款上宽下窄的方斗形量器，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵该几何体是上宽下窄的方斗形（四棱台）  ∴从上往下看，外轮廓是一个大正方形（上口），内部有一个小正方形（下底）  ∵侧棱从上往下看是可见的  ∴连接大小正方形对应顶点的线段应画为实线， ∴俯视图如图： ． 3. 下列四组线段中，是成比例线段的一组是（ ） A. 1，2，4，6 B. 2，3，5，8 C. 2，3，6，9 D. 1，，， 【答案】C 【解析】 【分析】计算前两条线段之比与后两条线段之比，若二者相等，则这组线段是成比例线段，否则不是． 【详解】解：A、∵， ∴这组线段不是成比例线段，不符合题意； B、∵， ∴这组线段不是成比例线段，不符合题意； C、∵， ∴这组线段是成比例线段，符合题意； D、∵， ∴这组线段不是成比例线段，不符合题意． 4. 如图，菱形的对角线相交于点，添加一个条件能使菱形变为正方形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴添加能使菱形变为正方形，故A符合题意； 添加，，都不能使菱形变为正方形，故B，C，D不符合题意． 5. 如图，菱形的周长为，对角线，相交于点O，E是的中点，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形的性质可得，再利用中位线的性质即可解答． 【详解】解：菱形的周长为， ， E是的中点，对角线，相交于点O， ． 6. 黄金分割在生活中处处可见，即使是一片银杏叶，也蕴含着“黄金分割”．成都人民公园的银杏大道上，一片飘落的银杏叶主脉可看作线段．是的黄金分割点．若这片银杏叶主脉的长度为，则的长为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵是的黄金分割点， ∴，即， ∴． 7. 如图，点光源O射出光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像．已知图片长为，若点光源O到胶片的距离长为，点光源O与屏幕的距离的长为，则影像长为（ ） A. 36 B. 12 C. 9 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】证明，推出，构建方程求出即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， ∴． 8. 如图，直线，直线m， n相交于点O，且分别与直线a，b，c相交于点A， B， C和点 D，E， F，已知， ， ， ，则的长度是（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例． 【详解】解：， ， ，，， ， ， ， ， 即， ． 9. 如图，在菱形中，，，M，N分别是，上的动点，连接，，，则的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的性质得到，且，证明是等边三角形，进而证明，得到，可知． 【详解】解：如图，连接， ∵菱形， ∴，且， ∴，是等边三角形， ∴，． ∴， 即， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴． 10. 若（）的两个实数根为1和，那么关于x的一元二次方程的解为（ ） A. 或 B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的定义，通过整体代换求解． 【详解】解：∵ ∴， ∵的两个实数根为和， ∴或， 解得或． 11. 雪花也称银粟，是天空中的水汽经凝华而来的固态降水，多呈六角形，是一种美丽的结晶．美术课要求绘制雪花，小华利用数学知识作出如下操作：建立如图所示的平面直角坐标系，绘制菱形，且顶点B的坐标为，点A在第一象限，，将菱形绕原点O沿顺时针方向旋转，每次旋转，旋转第一次得到四边形（点与点A重合），则旋转第次得到的点的坐标（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过作轴于H，连接，根据旋转性质得到每6次一个循环，旋转第次得到的点的坐标与的坐标相同．根据菱形的性质和含30度角的直角三角形的性质，结合勾股定理求得的坐标，根据对称性质可得与关于原点对称，进而求得的坐标即可． 【详解】解：过作轴于H，连接， ∵将菱形绕原点O沿顺时针方向旋转，每次旋转， ∴每6次一个循环， ∵， ∵四边形是菱形，B的坐标是，， ∴，， ∴， ∴， ∴的坐标为， 由题意得，与关于x轴对称，与B关于x轴对称，与关于原点对称， ∴的坐标为， ∴旋转第次得到的点的坐标为． 二、填空题（每题3分，共12分） 12. 若是方程的两个实数根，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴， ∴． 13. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比例的运算，分式的化简求值，正确掌握设参数表示比值是解题的关键． 先根据比例关系设参数表示变量，再代入分式化简，即可求解． 【详解】解：设 （）， 则 ，，， ． 故答案为 ． 14. 若，和分别是对应边上的中线，且，则________． 【答案】 【解析】 【分析】已知两个三角形相似，给出面积比，求对应中线的比，利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵，和分别是对应边上的中线， ∴， ∴（负值已舍去）． 15. 如图，直线与坐标轴分别交于点，，点是线段上一动点，过点作轴于点，作轴于点，连接，则线段的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，连接，首先求出，，利用勾股定理求出，证明四边形是矩形，得到，当时，最小，然后利用等面积法求解即可． 【详解】解：如图，连接， 直线与坐标轴分别交于点A，B， 当时，， ∴， ， 当时，， 解得， ∴， ∴， ， 轴，轴，， 四边形是矩形， ， 当时，最小，即最小， ∵， ∴， ， ， ∴线段的最小值为． 三、解答题 16. 解方程 （1） （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）移项后提公因式 ，用因式分解法求解 （2）用公式法，先计算判别式 【小问1详解】 解：移项，得 ， 提公因式，得 ， ∴ 或 ， ∴ ，． 【小问2详解】 解：，，， ∵ ， ∴ ， ∴ ，． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，． （1）以坐标原点为位似中心，将缩小为原来的，得到，使与位于位似中心的两侧，请在平面直角坐标系中画出； （2）设与的周长分别为，，则______． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据位似的定义作图； （2）根据位似的性质解题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由位似的性质知，，相似比为， ∴周长比为． 18. 如图，在中，点D，E，F分别在，，边上，，． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∴； （2）2 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定及平行线所截线段成比例，熟练掌握相似三角形的判定及平行线所截线段成比例是解题的关键； （1）由题意易得，然后根据相似三角形的判定定理可进行求证； （2）由题意易得，则有，然后问题可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 19. 如图，在地面上竖直安装着，，三根立柱，在同一时刻，立柱，在路灯下形成的影子分别为与． （1）请在图中画出路灯的位置，并画出立柱在路灯下所形成的影子； （2）若立柱高3米，影长是2米，立柱的底部离路灯底部的距离是3米，求路灯的高度． 【答案】（1） （2）7.5米 【解析】 【分析】（1）连接、，延长、交于点，连接，延长交于点； （2）利用相似三角形的性质求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为，且，求m的值． 【答案】（1）证明：对于关于x的一元二次方程， ∵， ∴ ， ∵， ，即恒成立， 无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别公式可得，结合，即可证明结论． （2）由根与系数的关系，可得，，将整理为，然后代入求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由根与系数的关系，可得，， ∵， ∴， ∴， 解得． 21. 如图，在中，，点D在边上，已知，边交于点E．求证： 【答案】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，由等腰三角形的性质得到，得到，再证明，即可得出结论，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】略 22. 如图，是等腰三角形，，点D、E分别是、的中点，连接并延长至点F，使，连接、、． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求矩形的周长． 【答案】（1）证明：∵点E是的中点， ， ， 四边形是平行四边形， 点D为等腰的底边的中点， ，即， 四边形是矩形 （2） 【解析】 【分析】（1）先根据对角线互相平分证明为平行四边形，再由三线合一得到，即可证明为矩形； （2）先证明是等边三角形，然后利用勾股定理求解，即可求解周长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是等腰三角形，，， 是等边三角形， ， 点D是的中点， ， ， ， 矩形的周长． 23. 某商店以每套40元的进价购入“哭哭马笑笑马”组合套装，以每套58元的价格出售．经统计，2026年1月份的销售量为256套，2026年3月份的销售量为400套． （1）求该组合套装1月份到3月份销售量的月平均增长率； （2）从2026年4月份起，商店打算采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该组合套装每套每降价1元，月销售量就会在3月份销售量的基础上增加20套．当该组合套装的售价为多少元时，月销售利润为4800元？ 【答案】（1）该组合套装1月份到3月份销售量的月平均增长率为； （2）当该组合套装的售价为48元时，月销售利润为4800元． 【解析】 【小问1详解】 解：设月平均增长率为， 根据题意得， 解得，， 答：该组合套装1月份到3月份销售量的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设每套降价元， 由题意得， 解得，（舍去）， ， 答：当该组合套装的售价为48元时，月销售利润为4800元． 24. 如图，在中，，D是中点，，是的角平分线，连接、． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵，是中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质与判定定理是解题的关键． （）由平行线的性质可得，由角平分线的定义得到，故有，所以，然后通过直角三角形的性质得，再证明四边形是平行四边形，进而可证明结论； （）先证明是等边三角形，则，由菱形的性质得，所以，然后得出是等边三角形，则有，，再通过角度和差求出，最后由勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，是中点， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得． 25. 新定义：若关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个实数根等于另一个实数根的倍，则称这个一元二次方程为三倍友方程．例如方程：两根为，则这个方程是三倍友方程． （1）判断一元二次方程是否为三倍友方程，并说明理由； （2）若方程是三倍友方程，求的值． 【答案】（1）解：不是， 理由如下： ， ， 解得，， ，且， 由题中新定义可知，一元二次方程不是三倍友方程； （2）或 【解析】 【分析】（1）先由因式分解法解一元二次方程，再按照新定义判断即可； （2）先求出方程的解，再由题中新定义分情况讨论求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：方程的两根为和， 方程是三倍友方程， 由题中新定义可知，分两种情况： 当时，； 当时，； 综上所述，或． 26. 如图，，，，为矩形的4个顶点，，，动点，分别以，的速度从点，同时出发，点从点向点移动，点从点向点移动． （1）若点从点移动到点停止，点，分别从点，同时出发，问经过时，，两点之间的距离是多少？ （2）若点从点移动到点停止，点随点的停止而停止移动，点，分别从点，同时出发，问经过多长时间，两点之间的距离是？ （3）若点沿着移动，点，分别从点，同时出发，点从点移动到点停止时，点随点的停止而停止移动，试求经过多长时间的面积为． 【答案】（1） （2）经过或时P，Q两点之间的距离是； （3）经过4秒或6秒时，的面积为 【解析】 【分析】（1）过点P作于点E，根据题意，得，，然后利用勾股定理建立方程求解即可； （2）设秒后，，两点之间的距离是，根据题意列出方程求解即可； （3）连接，设经过秒后的面积为，根据题意得出，然后分三种情况分析：①当时， ②当时，③当时，依据面积建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：如图，过点P作于点E， 根据题意，得，， 在中，，即， ， 故经过时P，Q两点之间的距离是； 【小问2详解】 设秒后，，两点之间的距离是， 根据题意得：，即， ， ，， 故经过或时P，Q两点之间的距离是； 【小问3详解】 连接， ∵矩形，，， ∴，， ∵点沿着移动， ∴点在上的运动时间为：，在上的运动的时间为：到；在上的运动的时间为：到； 点Q的运动时间为：； 设经过秒后的面积为， ∵点随点的停止而停止移动， ∴， ①当时，则， ，即， 解得； ②当时，则， ，， ∴， 解得，（舍去）； ③当时，， ∴， 解得（舍去）； 综上所述，经过4秒或6秒时，的面积为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 华侨教育集团2026-2027-1学期九年级数学期中测试试卷 一、单选题（每题3分，共33分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. “斗”是古代计量粮食的重要容器，用于规范交易、征收田赋．如图是一款上宽下窄的方斗形量器，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 下列四组线段中，是成比例线段的一组是（ ） A. 1，2，4，6 B. 2，3，5，8 C. 2，3，6，9 D. 1，，， 4. 如图，菱形的对角线相交于点，添加一个条件能使菱形变为正方形的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，菱形的周长为，对角线，相交于点O，E是的中点，则的长是（ ） A. B. C. D. 6. 黄金分割在生活中处处可见，即使是一片银杏叶，也蕴含着“黄金分割”．成都人民公园的银杏大道上，一片飘落的银杏叶主脉可看作线段．是的黄金分割点．若这片银杏叶主脉的长度为，则的长为（ ）． A. B. C. D. 7. 如图，点光源O射出光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像．已知图片长为，若点光源O到胶片的距离长为，点光源O与屏幕的距离的长为，则影像长为（ ） A. 36 B. 12 C. 9 D. 6 8. 如图，直线，直线m， n相交于点O，且分别与直线a，b，c相交于点A， B， C和点 D，E， F，已知， ， ， ，则的长度是（ ） A. 3 B. 2 C. D. 9. 如图，在菱形中，，，M，N分别是，上的动点，连接，，，则的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 1 10. 若（）的两个实数根为1和，那么关于x的一元二次方程的解为（ ） A. 或 B. C. 或 D. 11. 雪花也称银粟，是天空中的水汽经凝华而来的固态降水，多呈六角形，是一种美丽的结晶．美术课要求绘制雪花，小华利用数学知识作出如下操作：建立如图所示的平面直角坐标系，绘制菱形，且顶点B的坐标为，点A在第一象限，，将菱形绕原点O沿顺时针方向旋转，每次旋转，旋转第一次得到四边形（点与点A重合），则旋转第次得到的点的坐标（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共12分） 12. 若是方程的两个实数根，则的值为_________． 13. 若，则______． 14. 若，和分别是对应边上的中线，且，则________． 15. 如图，直线与坐标轴分别交于点，，点是线段上一动点，过点作轴于点，作轴于点，连接，则线段的最小值为________． 三、解答题 16. 解方程 （1） （2）． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，． （1）以坐标原点为位似中心，将缩小为原来的，得到，使与位于位似中心的两侧，请在平面直角坐标系中画出； （2）设与的周长分别为，，则______． 18. 如图，在中，点D，E，F分别在，，边上，，． （1）求证：． （2）若，，求的长． 19. 如图，在地面上竖直安装着，，三根立柱，在同一时刻，立柱，在路灯下形成的影子分别为与． （1）请在图中画出路灯的位置，并画出立柱在路灯下所形成的影子； （2）若立柱高3米，影长是2米，立柱的底部离路灯底部的距离是3米，求路灯的高度． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为，且，求m的值． 21. 如图，在中，，点D在边上，已知，边交于点E．求证： 22. 如图，是等腰三角形，，点D、E分别是、的中点，连接并延长至点F，使，连接、、． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求矩形的周长． 23. 某商店以每套40元的进价购入“哭哭马笑笑马”组合套装，以每套58元的价格出售．经统计，2026年1月份的销售量为256套，2026年3月份的销售量为400套． （1）求该组合套装1月份到3月份销售量的月平均增长率； （2）从2026年4月份起，商店打算采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该组合套装每套每降价1元，月销售量就会在3月份销售量的基础上增加20套．当该组合套装的售价为多少元时，月销售利润为4800元？ 24. 如图，在中，，D是中点，，是的角平分线，连接、． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的长． 25. 新定义：若关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个实数根等于另一个实数根的倍，则称这个一元二次方程为三倍友方程．例如方程：两根为，则这个方程是三倍友方程． （1）判断一元二次方程是否为三倍友方程，并说明理由； （2）若方程是三倍友方程，求的值． 26. 如图，，，，为矩形的4个顶点，，，动点，分别以，的速度从点，同时出发，点从点向点移动，点从点向点移动． （1）若点从点移动到点停止，点，分别从点，同时出发，问经过时，，两点之间的距离是多少？ （2）若点从点移动到点停止，点随点的停止而停止移动，点，分别从点，同时出发，问经过多长时间，两点之间的距离是？ （3）若点沿着移动，点，分别从点，同时出发，点从点移动到点停止时，点随点的停止而停止移动，试求经过多长时间的面积为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $