精品解析：甘肃省定西市临洮县2025-2026学年九年级上学期10月期中数学试题

2025—2026学年九年级第一学期期中监测卷 数学 注意事项： 1．全卷满分120分，答题时间为100分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项． 1. 社会规则营造良好的社会秩序，我们要了解并遵守社会规则．下列标志是中心对称图形的是（ ） A B. C. D. 2. 一元二次方程 的二次项系数、一次项系数和常数项分别为（ ） A. B. C. D. 3. 已知的半径是，则中最长的弦长是（ ） A. B. C. D. 4. 抛物线 的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，将绕点A逆时针旋转得到，若，则度数为（ ） A. B. C. D. 6. 关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是的弦，半径于点D．若，，则的长是（ ） A. 4 B. 5 C. 8 D. 8. 将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度后的抛物线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 9. 随着“陇上美食，香飘全国”理念的普及，甘肃定西的特色美食——陇西腊肉的销量持续攀升．某知名陇西腊肉店的月销售量由一月份的千克增加到三月份的千克，设该腊肉店一月至三月销售量平均每月的增长率为x，则可列方程（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数 的部分图象如图所示，其对称轴为直线，且图象经过点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若且，则 D. 若，两点都在抛物线上，则 二、填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分．） 11. 关于x的一元二次方程有一个根是，写出一个符合条件的一元二次方程：_______． 12. 在平面直角坐标系中，点与点关于原点中心对称，则的值为_______． 13. 如图，已知是的两条直径，，则的度数为_______． 14. 若是关于x的方程的解，则多项式的值是_______． 15. 如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线运行，其中是铅球离初始位置的水平距离，是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度为，则铅球掷出的水平距离为________． 16. 如图，已知等边顶点，将该三角形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则旋转2025次后，顶点B的坐标为_______． 三、解答题：本大题共6小题，共32分．解答时，应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 解方程： 18. 在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为，且过点，求抛物线的解析式． 19. 如图，以的直角顶点为圆心，以的长为半径的圆分别交 于点，交于点，连接．若，求的度数． 20. 如图，在平面直角坐标系内，点．将绕点C顺时针旋转，得到． （1）在图中画出； （2）直接写出点和点的坐标． 21. 已知抛物线 ． （1）求该抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标． （2）当x为何值时，y随x的增大而减小？当x为何值时，y随x的增大而增大？ 22. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为，且，求的值． 四、解答题：本大题共5小题，共40分．解答时，应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 23. 甘肃定西通渭县传统水磨，以水流推动水轮带动磨盘磨面．水轮整体为圆盘形，垂直于水面安装，运行时部分浸入水中．其几何示意图如图所示，已知水轮圆心O位于水面上方，水面截水轮所得弦的长为1米，水轮半径为3米，C为水轮最低点．求点C 到弦所在直线的距离． 24. 如图，D为内一点，，，将线段绕着点A顺时针旋转能与线段重合，连接，，． （1）求证：； （2）若，求度数． 25. 学校打算用21米的篱笆围成两间长方形兔舍饲养小兔，兔舍的一面靠墙（如图，墙足够长）． （1）如果AB边长为x米，求BC边长（用含x的代数式表示）； （2）若两间兔舍的总面积是30平方米，求AB的长． 26. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接，已知，且抛物线经过点． （1）求抛物线的表达式； （2）若E是抛物线上第四象限内的一点，且，求点E的坐标． 27. 2025年五一假期期间，定西凤凰城景区某特产店销售A，B两类特产．A类特产的进价为50元/件，B类特产的进价为60元/件．已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元，购买4件A类特产和7件B类特产需744元． （1）求A类特产和B类特产每件的售价． （2）A类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件（每件售价不低于进价）．设每件A类特产降价x 元，每天的销售量为y件，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． （3）在（2）的条件下，由于B类特产供货紧张，每天只能购进100件且能按原价售完．设该店每天销售这两类特产的总利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出每件A类特产降价多少元时，总利润w最大，最大利润是多少元．（利润售价进价） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年九年级第一学期期中监测卷 数学 注意事项： 1．全卷满分120分，答题时间为100分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项． 1. 社会规则营造良好的社会秩序，我们要了解并遵守社会规则．下列标志是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误； B、不是中心对称图形，故本选项错误； C、不是中心对称图形，故本选项错误； D、是中心对称图形，故本选项正确． 故选D． 2. 一元二次方程 的二次项系数、一次项系数和常数项分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．一元二次方程的一般形式为，据此解答即可． 【详解】解：一元二次方程 的二次项系数、一次项系数和常数项分别为． 故选：C． 3. 已知的半径是，则中最长的弦长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了圆的性质． 根据直径是圆中最长的弦解答即可． 【详解】解：∵直径是圆中最长的弦，的半径为， ∴⊙O最长的弦为， 故选：B． 4. 抛物线 的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数顶点式，掌握相关知识是解决问题的关键．二次函数的顶点坐标为，据此解答即可． 【详解】解：的顶点为． 故选：A． 5. 如图，将绕点A逆时针旋转得到，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，由旋转可知，，即可求解，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：由旋转可知，， ∵， ∴， 故选：B． 6. 关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解． 【详解】∵关于的一元二次方程有实数根，可得： ∴， 解得：； 故选：B． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 7. 如图，是的弦，半径于点D．若，，则的长是（ ） A. 4 B. 5 C. 8 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题关键． 连接，由垂径定理得到的长，再由勾股定理解答即可． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， 又∵， ∴在中，． 故选：B． 8. 将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度后的抛物线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移． 按“上加下减常数项，左加右减自变量”的规律平移即可得出所求函数的解析式． 【详解】解：将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度后的抛物线的函数表达式为． 故选：A． 9. 随着“陇上美食，香飘全国”理念的普及，甘肃定西的特色美食——陇西腊肉的销量持续攀升．某知名陇西腊肉店的月销售量由一月份的千克增加到三月份的千克，设该腊肉店一月至三月销售量平均每月的增长率为x，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平均增长率问题，一元二次方程的应用，掌握相关知识是解决问题的关键．已知一月份销量为千克，平均每月的增长率为x，二月份销量为千克，三月份销量为千克，然后根据三月份销量为千克列方程即可． 【详解】解：由题意得． 故选：B． 10. 二次函数 的部分图象如图所示，其对称轴为直线，且图象经过点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若且，则 D. 若，两点都在抛物线上，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图像和性质. 根据图像判断系数之间的关系，从图像获取信息，根据二次函数的对称性，增减性，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图像可知，抛物线的开口向下，与轴交于正半轴， ∴， ∴，故选项A错误，不符合题意； ∵对称轴为直线， ∴， ∴，故选项B错误，不符合题意； ∵且， ∴， ∴和关于对称轴对称， ∴；故选项C正确，符合题意； ∵抛物线的开口向下， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， 若两点都在抛物线的图像上， ∵， ∴；故选项D错误，不符合题意； 故选C． 二、填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分．） 11. 关于x的一元二次方程有一个根是，写出一个符合条件的一元二次方程：_______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解；根据题意写出一个根是的一元二次方程即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根是， ∴方程有很多， 如方程，当时，， ∴有一个根是． 故答案为（答案不唯一）． 12. 在平面直角坐标系中，点与点关于原点中心对称，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标平面内的中心对称，关于原点中心对称的两点，横坐标和纵坐标都互为相反数． 根据关于原点成中心对称的特点求出，，代入计算即可． 【详解】解：∵点与点关于原点成中心对称， ∴，， ∴． 故答案为：． 13. 如图，已知是的两条直径，，则的度数为_______． 【答案】##140度 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的半径相等，等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 根据半径得到，再由三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵是的两条直径， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 14. 若是关于x的方程的解，则多项式的值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，由是关于x的方程的解得到，再代入求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵是关于x的方程的解， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线运行，其中是铅球离初始位置的水平距离，是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度为，则铅球掷出的水平距离为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求抛物线解析式，二次函数与轴的交点坐标，熟练掌握待定系数法和二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．由题得，代入，得出抛物线的解析式为，令，求解即可， 【详解】解：由题意，， 得， 将代入， 得：， 解得：， ∴， 令，得， 解得：，， ∴为， 故答案为：． 16. 如图，已知等边的顶点，将该三角形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则旋转2025次后，顶点B的坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标系中的旋转规律探究，由题意知点B旋转次后回到原位置，得到点B旋转2025次后的坐标与旋转3次后的坐标相同，即可得出结果，掌握相关知识是解题的关键． 详解】解：过点作轴于点，如图： ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， 在中，，则， ∴， ∴， ∴点， 每次旋转，则旋转一周要：（次）， ， ∴旋转次相当于旋转周后又旋转了次，即又旋转了， ∴点绕原点顺时针旋转后，横，纵坐标都变为原来的相反数， ∴旋转次后，顶点的坐标为， 故答案为：． 三、解答题：本大题共6小题，共32分．解答时，应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 解方程： 【答案】x=-1或x=3 【解析】 【分析】本题利用直接开平方法即可求出答案． 【详解】解：x-1=±2， x-1= 2或x-1=-2， 解得：x=-1或x=3． 【点睛】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，能够根据方程特点选取不同的解法是解题关键． 18. 在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为，且过点，求抛物线的解析式． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查待定系数法确定二次函数解析式，掌握相关知识是解决问题的关键．因为抛物线的顶点坐标为，所以设抛物线解析式为，代入求解即可． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线解析式为， 将代入得， 解得， ∴解析式为． 19. 如图，以的直角顶点为圆心，以的长为半径的圆分别交 于点，交于点，连接．若，求的度数． 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查了圆的有关概念，等边对等角，直角三角形的性质，三角形内角和定理，由直角三角形性质可得，又，然后通过等边对等角，三角形内角和定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵是直角三角形，， ∴， ∵， ∴等腰三角形，， ∴． 20. 如图，在平面直角坐标系内，点．将绕点C顺时针旋转，得到． （1）在图中画出； （2）直接写出点和点的坐标． 【答案】（1）见解析 （2），． 【解析】 【分析】本题考查了旋转作图，求平面直角坐标系中点的坐标． （1）根据旋转要求作图即可； （2）直接根据旋转后的图像作答即可． 【小问1详解】 如图： 【小问2详解】 由图可知，，． 21. 已知抛物线 ． （1）求该抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标． （2）当x为何值时，y随x的增大而减小？当x为何值时，y随x的增大而增大？ 【答案】（1）开口向下，对称轴为直线，顶点坐标 （2）当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的性质，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）将一般式化为顶点式，进行作答即可； （2）根据二次函数的增减性解答即可． 【小问1详解】 解：， ， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标； 【小问2详解】 解：∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大． 22. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为，且，求的值． 【答案】（1）证明见解析； （2）或． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． （1）根据根的判别式证明恒成立即可； （2）由题意可得，，，进行变形后代入即可求解． 【小问1详解】 证明：， ∵无论取何值，，恒成立， ∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． 【小问2详解】 解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴， 解得：或． 四、解答题：本大题共5小题，共40分．解答时，应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 23. 甘肃定西通渭县传统水磨，以水流推动水轮带动磨盘磨面．水轮整体为圆盘形，垂直于水面安装，运行时部分浸入水中．其几何示意图如图所示，已知水轮圆心O位于水面上方，水面截水轮所得弦的长为1米，水轮半径为3米，C为水轮最低点．求点C 到弦所在直线的距离． 【答案】米 【解析】 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理．连接交于点，得到，推出，利用勾股定理算出，最后根据即可解题． 【详解】解：连接交于点， 点为水轮的最低点， ， ， 由题知米，米， 米， 米， 米． 24. 如图，D为内一点，，，将线段绕着点A顺时针旋转能与线段重合，连接，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边对等角． （1）根据旋转的性质，得到，，证明，即可得证； （2）根据全等三角形的性质得到，根据等边对等角得到，根据角的和差关系求出的度数即可． 【小问1详解】 证明：将线段绕着点顺时针旋转能与线段重合， ，， ， ， 在和中， ， ， ； 【小问2详解】 解：由得：， ，， ， ． 25. 学校打算用21米的篱笆围成两间长方形兔舍饲养小兔，兔舍的一面靠墙（如图，墙足够长）． （1）如果AB边长为x米，求BC边长（用含x的代数式表示）； （2）若两间兔舍的总面积是30平方米，求AB的长． 【答案】（1）BC=（21-3x）米； （2）AB的长为2米或5米． 【解析】 【分析】（1）用总长减去三条垂直于墙的边长即可求得BC的长； （2）根据矩形的面积公式列式求解即可． 【小问1详解】 设AB边长为x米，则EF=DC=AB=x米， 所以BC=（21-3x）米； 【小问2详解】 根据题意得：x（21-3x）=30， 解得：x=2或x=5， 答：AB长为2米或5米． 【点睛】考查了一元二次方程的应用的知识，解题的关键是能够正确的表示出BC的长． 26. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接，已知，且抛物线经过点． （1）求抛物线的表达式； （2）若E是抛物线上第四象限内的一点，且，求点E的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程． （1）将代入计算即可； （2）令，求出，设，根据列方程求解即可． 【小问1详解】 解：将代入得， 解得， ∴解析式为； 【小问2详解】 解：令，得， 解得， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴ 即， 解得（舍去），， ∴． 27. 2025年五一假期期间，定西凤凰城景区某特产店销售A，B两类特产．A类特产的进价为50元/件，B类特产的进价为60元/件．已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元，购买4件A类特产和7件B类特产需744元． （1）求A类特产和B类特产每件的售价． （2）A类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件（每件售价不低于进价）．设每件A类特产降价x 元，每天的销售量为y件，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． （3）在（2）的条件下，由于B类特产供货紧张，每天只能购进100件且能按原价售完．设该店每天销售这两类特产的总利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出每件A类特产降价多少元时，总利润w最大，最大利润是多少元．（利润售价进价） 【答案】（1）A售价60元，B售价72元 （2） （3）；降价2元，最大利润1840元 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用、一次函数的应用以及二次函数的应用． 根据题意设每件A类特产的售价为x元，则每件B类特产的售价为元，进一步得到关于x的一元一次方程求解即可； 根据降价1元，每天可多售出10件列出函数关系式，结合进价与售价，且每件售价不低于进价得到x得取值范围； 结合（2）中A类特产降价x元与每天的销售量y件，得到A类特产的利润，同时求得B类特产的利润，整理得到关于x的二次函数，利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设每件A类特产的售价为x元，则每件B类特产的售价为元． 根据题意得． 解得． 则每件B类特产的售价（元）． 答：A类特产的售价为60元/件，B类特产的售价为72元/件． 【小问2详解】 由题意得 ∵A类特产进价50元/件，售价为60元/件，且每件售价不低于进价 ∴． ∴． 【小问3详解】 ． ∴当时，w有最大值1840． ∴A类特产每件降价2元时，每天销售利润最大，最大利润为1840元． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $