第10讲：函数的单调性【九大题型+知识归纳+高分精练】讲义-2026-2027学年高一上学期数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(苏教版必修第一册）

第10讲： 函数的单调性 题型一：函数单调性的判定与证明 2 题型二：求函数（复合）的单调性 3 题型三：根据函数的单调性求参数范围 5 题型四：根据函数的单调性解不等式 6 题型五：根据函数的单调性求值域 7 题型六：函数不等式恒（能）成立问题 9 题型七：分段函数的性质 10 题型八：函数性质的应用 12 题型九：抽象函数问题 14 知识点一：增函数与减函数的定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I： (1)如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们称它是增函数． (2)如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们称它是减函数． 知识点二：函数的单调区间 如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 知识点三:函数的最大(小)值及其几何意义 最值 条件 几何意义 最大值 ①对于∀x∈I，都有f(x)≤M，②∃x0∈I，使得f(x0)＝M 函数y＝f(x)图象上最高点的纵坐标 最小值 ①对于∀x∈I，都有f(x)≥M，②∃x0∈I，使得f(x0)＝M 函数y＝f(x)图象上最低点的纵坐标 知识点四:求函数最值的常用方法 1．图象法：作出y＝f(x)的图象，观察最高点与最低点，最高(低)点的纵坐标即为函数的最大(小)值． 2．运用已学函数的值域． 3．运用函数的单调性： (1)若y＝f(x)在区间[a，b]上是增函数，则ymax＝f(b)，ymin＝f(a)． (2)若y＝f(x)在区间[a，b]上是减函数，则ymax＝f(a)，ymin＝f(b)． 4．分段函数的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那个． 题型一：函数单调性的判定与证明 【例1】．（26-27高一上·浙江嘉兴·阶段检测）若函数，且，． (1)求a，b的值，写出的表达式； (2)请用函数的单调性的定义证明函数在上是增函数． 【详解】（1）把和代入得，解得，所以. (2)证明：设，， 则， 因为，所以，，， 所以，即，所以函数在上是增函数． 【变式1】．（26-27高一上·河北·阶段检测）已知函数. (1)求的解析式； (2)试判断在上的单调性，并用单调性的定义证明. 【详解】（1）因为，所以. 证明：任取，且，则， 所以， 因为，所以，所以，所以， 又，所以，即， 所以在上单调递增. 【变式2】．（26-27高一上·山东青岛·阶段检测）已知函数，且，. (1)求、的值； (2)判断函数在上的单调性，并证明. 【详解】（1）因为，解得. (2)由（1）知，， 则在上单调递减，理由如下，任取、，设， 则，因为，则，，， 所以，所以，故在上单调递减. 题型二：求函数（复合）的单调性 【例2】．（25-26高一上·山东潍坊·阶段检测）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，可知函数在上单调递增， 设，可作出函数图像： 可知函数在上单调递减，在上， 则的定义域为. 根据复合函数同增异减原则，可知在上单调递减，D正确. 【变式1】．（25-26高一上·广东深圳·期中）已知函数，则函数的单调增区间是（    ） A．和 B． C．和 D． 【答案】A 【详解】由于函数，当时，， 由于图象的对称轴为，则函数在上单调递增，当时，， 由于图象的对称轴为，则函数在上单调递增， 故函数的单调增区间是和. 故选：A 【变式2】．（25-26高一上·广东广州·期中）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题设，且函数连续， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以单调递减区间为. 故选：C 题型三：根据函数的单调性求参数范围 【例3】．（26-27高一上·河北石家庄·阶段检测）已知函数，若对任意，，当时，都有成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为对任意，当时，都有成立， 即成立，所以在上是单调递减的， 则，即. 【变式1】．（26-27高一上·江苏无锡·阶段检测）已知函数满足对定义域内任意实数，都有，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由对任意恒成立，可知是上的严格单调递减函数，需满足三个条件： 当时，一次函数单调递减，故斜率，解得； 当时，二次函数开口向上，对称轴为， 要使其在上单调递减，需对称轴位于区间的右侧，即，解得； 在分段点处，左段函数在处的取值不小于右段函数在处的取值， 即，化简得，解得. 联立上述三个不等式取交集，得，即. 【变式2】．（26-27高一上·浙江嘉兴·阶段检测）函数，（a为常数），在定义域上单调递减，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】分段函数在定义域上整体单调递减，需要同时满足三个条件： 第一段二次函数在上递减： 是开口向上的抛物线，对称轴为， 要使其在单调递减，需，得； 第二段反比例函数在上递减： 是反比例函数，要在时单调递减，需系数； 两段在衔接点处满足递减的连续性： 即处左侧的函数值不小于右侧的函数值： 代入得，化简得，即. 联立三个条件得. 题型四：根据函数的单调性解不等式 【例4】．（26-27高一上·广东佛山·阶段检测）已知定义在的函数满足，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为对定义域内任意不相等的，满足， 则是该定义域上的单调递增函数， 因此函数是上的单调递增函数.要解不等式，则，，解得. 因此不等式的解集是. 【变式1】．（2026·陕西榆林·模拟预测）定义在上的函数满足，，都有成立，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题知函数在上单调递增， 当时，不等式可化为，即，解得； 当时，不等式可化为 ，即，此时无解. 综上，不等式 的解集为. 【变式2】．（25-26高一上·安徽合肥·期末）定义在上的函数，满足对任意，且，都有．知，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，不妨设， 则由，可得，则，所以，令，则，所以函数在上单调递减， 由，得，由，得， 因为函数的定义域为，所以，所以，即， 所以，解得，所以不等式的解集为． 故选：A. 题型五：根据函数的单调性求值域 【例5】．（25-26高一上·云南昆明·期中）函数在区间上的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，则，， 令，由对勾函数的性质可知，在上单调递减，在上单调递增， 在处取得最小值，又因为， 因此在上的值域为， 故的值域为， 即函数在区间上的值域为， 故选：C. 【变式1】．（25-26高一上·河南安阳·期中）设是定义在上的单调函数，且，则函数在区间上的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，存在唯一的常数，使得， 且对恒成立． 令，则，即，又，得， 所以， 因为均在上单调递减， 所以在上单调递减，因为， 故在区间上的值域为． 故选：B 【变式2】．（25-26高一上·广东惠州·阶段检测）设，若的值域是，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得：当时，单调递减，当时，单调递增， 所以，即， 所以， 故选：B. 题型六：函数不等式恒（能）成立问题 【例6】．（25-26高一上·北京·期中）已知函数（），，对，，使得成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】若，则，，可得， 所以函数在的值域为； 若，则，可得， 所以函数在的值域为； 因为对，，使得成立， 则，可得，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：B. 【变式1】．（26-27高一上·重庆·阶段检测）已知，若存在使得不等式成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知，令，则， 所以，即. 由题意，存在使得成立，即存在使得成立， 也就是存在使得成立, 设，则只需, 因为，由基本不等式可得：, 当且仅当，即时，等号成立， 所以在区间上的最小值为，所以，即实数的取值范围为. 【变式2】．（25-26高一上·四川达州·期中）已知函数，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，，在上单调递减，所以， 则当，存在，使，符合题意. 当时，不存在，使.所以只要即符合题意.当时，只要研究的情况. 当时，恒成立，不符合题意； 当时，，所以，则，解得.，故的取值范围为. 故选：D. 题型七：分段函数的性质 【例7】．（25-26高一上·北京·期中）若函数存在最小值，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】因为，所以，在时取得等号；又，在时取得等号，而时，无最小值，所以由题意可知，即,又,所以, 则的最大值为4. 故选：D 【变式1】．（26-27高一上·天津河东·阶段检测）已知函数 ，．若 ，都 ，使 成立，则实数 的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 ，都 ，使 成立，； 当时，， 在上单调递减，在上单调递增， 又时，，时，， 当时，； 又的对称轴为， ①当，即时，在上单调递增， ， ，解得：， ； ②当，即时， 在上单调递减，在上单调递增， ， ，解得：，或， ； ③当，即时，在上单调递减， ， ，解得：， . 综上所述：的取值范围为. 【变式2】．（24-25高一上·广东深圳·期中）已知函数 若不等式恒成立，则实数的取值范围是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为在上恒成立，所以在上恒成立， 令函数，则， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以，故D正确. 题型八：函数性质的应用 【例8】．（26-27高一上·江苏无锡·阶段检测）下列选项正确的是（     ） A．的定义域为，则的定义域为 B．函数的值域为 C．若定义在上的函数为增函数，且，则实数的取值范围为 D．函数的值域为 【答案】ABD 【详解】选项A：已知的定义域为，则需满足， 解不等式得，故的定义域为，A正确. 选项B：令，则， 代入函数得，该二次函数开口向下，对称轴为， 当时取最大值，时， 故值域为，B正确. 选项C：由题意得，解得，故实数的取值范围为，C错误. 选项D：函数变形为，由于，故，值域为，D正确. 【变式1】．（26-27高一上·河南周口·阶段检测）已知、，，且，若对于任意的，恒成立，则的取值可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】因为，所以或（舍去）. 由可得或，都有. 当时，恒成立，可得，所以（当时取等号）. 所以BCD选项满足条件，A选项不满足条件. 【变式2】．（26-27高一上·浙江·期中）已知定义在上的函数满足，当时，的值域为，且．则下列说法正确的是（ ） A． B．的值域为 C．在上单调递增 D．的解集是 【答案】ACD 【详解】令，，得， 又，所以，故选项A正确； 令，得， 所以，当时，， 得，此时， 所以的值域为，故选项B错误； ，有，， 所以 ， 即，所以在上单调递增，故选项C正确； 若，又，则， 由题可知， 又在上单调递增，得， 由函数在上单调递增，所以，故选项D正确． 题型九：抽象函数问题 【例9】．（26-27高一上·江苏扬州·阶段检测）已知定义在R上的函数满足，且，当时，． (1)求； (2)证明：在定义域内单调递增． (3)若对，，求的取值范围． 【详解】（1）令，，故 ，，解得. (2)证明：令，得，即. 由已知时，故； 时；时. 故对任意，都有. 设，则，且. . 所以，即在上单调递增. （3）由已知恒等式，注意到，得： . 代入原不等式，化简得： . 当时，. 所以对，. 结合单调递增，得：对恒成立. 分离参数得：恒成立. 令，. 令，则. 当或时，取得最小值.所以. 故，即实数的取值范围为. 【变式1】．（26-27高一上·山西太原·阶段检测）已知函数，对于任意的，都有恒成立.且，当时，. (1)求； (2)判断在R上的单调性，并给出证明； (3)若关于的不等式有解，求实数的取值范围. 【详解】（1）令，则， 因为对于任意的，都有恒成立. 所以； (2)在上单调递增，证明如下：任取，且， 则， 因为，所以，又，所以， 即，故在上单调递增； （3）因为关于的不等式有解，且在上单调递增， 所以有解，即在上有解， 故，得或， 故实数的取值范围为. 【变式2】．（26-27高一上·浙江金华·阶段检测）已知函数的定义域为，且对任意，都有；并且当时，． (1)求的值，判断在上的单调性，并用定义加以证明； (2)若，求方程的解． (3)若不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)在中令， 得，解得. 判断：在上单调递增． 证明：任取，则．在中取， 得，于是． 因为，由已知“时”得，所以． 故在上单调递增． （2）由及，． 又， 因为的定义域为，所以且，即． 于是原方程化为． 由（1）知在上严格单调递增， 故是一一对应（不同自变量对应不同函数值）， 从而，即，解得或． 由知舍去，故原方程的解为． （3）由（1）知在上单调递增， 所以 （此时，定义域条件自动满足）， 于是原题等价于对任意恒成立， 即对任意恒成立， 因为，所以对任意恒成立． 令． 由基本不等式，当且仅当时取等号，且， 故在上的最小值为． 所以，即实数a的取值范围为. 一、单选题 1．（26-27高一上·广东清远·阶段检测）“”是 在(0，2)上单调递减”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若，则且，由对勾函数的性质，在上单调递减，从而在上单调递减，故是充分条件． 当时，在上单调递减，因而在上单调递减，但不成立，故不是必要条件． 所以“”是“在上单调递减”的充分不必要条件． 2．（26-27高一上·安徽阜阳·阶段检测）二次函数在区间上的最大值和最小值分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，对称轴为， 在区间上，为最小值；又，，所以最大值为3. 3．（26-27高一上·四川达州·阶段检测）已知函数是定义在上的减函数，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以变为． 又在上是减函数，解得，即解集为，故B正确. 4．（26-27高一上·广东中山·阶段检测）若函数是增函数，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，为增函数，且. 当时，若，在上单调递减，不符合题意， 若，则，开口向下，对称轴，不可能在单调递增，不符合题意， 若，要使二次函数在上递增，其对称轴须满足，解得. 还需保证分段处的大小关系，即，解得. 等号成立时，右段在处的函数值仍严格大于，符合题意. 综上，的取值范围为. 5．（26-27高一上·天津东丽·阶段检测）已知函数，，用表示，中的最大者，记为，则的最小值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【详解】由，，得，即，解得或. 当时，，得，则；由二次函数在上单调递减，则； 当时，，得，则；由一次函数在上单调递减，则； 当时，，得，则；由二次函数在上单调递增，则； 综上所述，，得的最小值为. 6．（26-27高一上·浙江嘉兴·阶段检测）设函数则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出的值，再分和两种情况分别求解不等式，最后合并两类解集得到结果. 【详解】时，，原不等式等价于。 分情况讨论： 当时，，不等式转化为， 整理得，因式分解为， 解得或，根据，得该区间内解集为或； 当时，，不等式转化为， 解得，根据，得该区间内解集为， 综上所述不等式的解集是. 7．（26-27高一上·江苏镇江·阶段检测）已知函数，若函数的值域是，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，，对称轴为，则； 当时，， 若，则，符合题意； 若，则，则，得； 若，则，符合题意； 综上，实数的取值范围是. 8．（26-27高一上·浙江嘉兴·阶段检测）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如，.若，则下列说法正确的是（    ） A． B．函数的值域为 C．函数是增函数 D．当时， 【答案】D 【分析】根据的定义，直接计算可判断A；根据题意，得到可判断B；举反例可判断C；根据题意，得到可判断D. 【详解】对于A，根据题意，，故A错误； 对于B，根据题意，有，即，所以的值域为，故B错误； 对于C，根据题意，，，即，故C错误； 对于D，当时，，所以，故D正确. 二、多选题 9．（26-27高一上·广东东莞·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．和不是同一函数 B．函数，的单调减区间为 C．若，则函数的最小值为 D．已知，则 【答案】ABD 【详解】对于A，函数的定义域为，而的定义域为，二者定义域不同，不是同一函数，A正确； 对于B，由知抛物线的对称轴为，因，则单调减区间为，B正确； 对于C，函数的定义域为，当时，不存在最小值2，故C错误； 对于D，由可得，又，即，D正确. 10．（26-27高一上·福建厦门·阶段检测）下列函数中，值域为的是（     ） A． B．， C．， D．， 【答案】BCD 【详解】选项A：的值域为，选项A错误； 选项B：在上单调递增，， ，的值域为； 选项C：在上单调递增，，， 的值域为； 选项D：在单调递减，在上单调递增， 又，，， 的值域为. 11．（26-27高一上·江苏无锡·阶段检测），表示不超过x的最大整数.十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名高斯函数，人们更习惯称之为“取整函数”.则下列命题中正确的是（   ） A．， B．， C．， D．函数，的值域为 【答案】BD 【详解】 选项A：根据取整函数定义，对任意，都有恒成立， 不存在满足，故A错误； 选项B：取，则，，等式成立，故B正确； 选项C：取，，则，， 此时，故C错误； 选项D：由取整函数定义得， 故函数的值域为，故D正确. 12．（26-27高一上·浙江·期中）已知函数的定义域为，，当时，，则（    ） A． B． C．是增函数 D．当时， 【答案】ACD 【详解】对于A，令，可得，解得，故A正确； 对于B，当时，，则， 所以，故B错误； 对于C，令，，可得，即， 设，则，可得， 则，即， 故函数在内单调递增，故C正确； 对于D，函数在内单调递增， 故当时，，故D正确. 三、填空题 13．（26-27高一上·全国·课后作业）函数在上的最大值与最小值之和为，则实数______． 【答案】/ 【分析】分，，，四种情况讨论，结合条件，利用的单调性，即可求解. 【详解】若，易知在区间上单调递增， 由题可知：，解得，不合题意， 若，即时，在区间上单调递增， 由题可知，解得，不合题意， 若，即时， 在区间上单调递减，在区间上单调递增， 又，，， 当，即时， 由题可知：，解得， 又，则，满足，所以满足题意， 当，即时，由题可知：，解得， 又，则，不合题意， 若，即时，在区间上单调递减， 由题可知：，解得，不合题意， 综上所述，实数. 14．（24-25高一上·天津·阶段检测）已知函数，当在上是减函数，则实数的取值范围是______. 【答案】 【详解】函数的对称轴为.因为在上是减函数，且开口向上， 所以.实数的取值范围是. 15．（26-27高一上·广东深圳·阶段检测）若函数的最大值为，最小值为，则的值为________． 【答案】 【详解】要使函数有意义，需满足，解得. 平方去根号化简： 显然，对两边平方得： 由得，因此， 故，代入得。 结合，得，即，因此最大值，最小值， 故： . 16．（26-27高一上·广东中山·阶段检测）已知函数的定义域为，图象过点，且对，，且，有，则关于x的不等式的解集为_____________________． 【答案】 【详解】由可得 ， 可得对单调递增， 因为图象过点，则，即； 则，即，即， 即，故解集为． 四、解答题 17．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知在上有意义，单调递增且满足，． (1)求证：； (2)求不等式的解集． 【答案】(1)证明：因为， 令，则， 所以． （2）因为，， 所以可化为. 又函数在区间上单调递增， 所以，解得. 所以不等式的解集为． 18．（26-27高一上·广东深圳·阶段检测）若函数满足，． (1)求函数的表达式； (2)用定义法讨论函数在上的单调性； (3)设，，满足，求的取值范围． 【答案】(1) (2)在上单调递减 (3) 【详解】（1）由题可知，解得， 所以； （2）任取，且， 则 ， 因为，所以， 即，所以函数在上单调递减； （3）因为，且在上单调递减， 所以在上单调递减， 则等价于，解得， 所以的取值范围为 19．（26-27高一上·广东清远·阶段检测）已知函数，且函数图象过点 (1)求函数的解析式； (2)讨论函数的单调性； (3)若，求函数的值域． 【答案】(1); (2)在区间上单调递增; (3). 【分析】（1）将已知点代入函数求解参数即可解得解析式. （2）通过分离常数结合单调性定义即可判断单调性. （3）利用单调性即可求解闭区间上的值域. 【详解】（1）将点，代入得，解得. 所以函数解析式为. （2）. 任取，且， 则 因为，所以. 所以，即. 所以在区间上单调递增. （3）由（2）可知在区间上单调递增. 又因为，， 所以函数在上的值域为. 20．（26-27高一上·安徽阜阳·阶段检测）定义函数表示不小于的最小整数，例如，． (1)若，求实数的取值范围； (2)求函数在上的值域； (3)设，若对任意，都有，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）表示不小于的最小整数，若，则，所以的取值范围为； （2）当时，，，此时，当时，，，此时， 所以在上的值域为； （3）当时， 时，；时，；时，，所以在上的最大值为， 若对任意，都有， 则需，即，化简得， 解方程，得， 所以不等式的解为或， 因此实数的取值范围为． 21．（26-27高一上·全国·期中）已知函数的定义域为R，且对任意的实数，满足． (1)证明：； (2)著名数学家柯西在十九世纪上半叶研究过上述函数的性质，且证明了当该函数的图象在R上连续不断时，．若函数的图象在R上连续不断，对任意，．设． ①证明：； ②已知，求在上的最小值． 【答案】(1)证明：由对任意的实数，满足， 令，则，所以. (2)①证明：任意，， 则 . ②当时，的最小值为，当时，的最小值为. ②由函数的图象在R上连续不断，得函数的图象在R上连续不断， 由①知，依题意，， 又，则，函数，， 当时，在上单调递减，； 当时，在上单调递减，在上单调递增，. 综上所述，当时，的最小值为，当时，的最小值为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲： 函数的单调性 题型一：函数单调性的判定与证明 2 题型二：求函数（复合）的单调性 3 题型三：根据函数的单调性求参数范围 3 题型四：根据函数的单调性解不等式 4 题型五：根据函数的单调性求值域 4 题型六：函数不等式恒（能）成立问题 5 题型七：分段函数的性质 5 题型八：函数性质的应用 6 题型九：抽象函数问题 6 知识点一：增函数与减函数的定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I： (1)如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们称它是增函数． (2)如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们称它是减函数． 知识点二：函数的单调区间 如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 知识点三:函数的最大(小)值及其几何意义 最值 条件 几何意义 最大值 ①对于∀x∈I，都有f(x)≤M，②∃x0∈I，使得f(x0)＝M 函数y＝f(x)图象上最高点的纵坐标 最小值 ①对于∀x∈I，都有f(x)≥M，②∃x0∈I，使得f(x0)＝M 函数y＝f(x)图象上最低点的纵坐标 知识点四:求函数最值的常用方法 1．图象法：作出y＝f(x)的图象，观察最高点与最低点，最高(低)点的纵坐标即为函数的最大(小)值． 2．运用已学函数的值域． 3．运用函数的单调性： (1)若y＝f(x)在区间[a，b]上是增函数，则ymax＝f(b)，ymin＝f(a)． (2)若y＝f(x)在区间[a，b]上是减函数，则ymax＝f(a)，ymin＝f(b)． 4．分段函数的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那个． 题型一：函数单调性的判定与证明 【例1】．（26-27高一上·浙江嘉兴·阶段检测）若函数，且，． (1)求a，b的值，写出的表达式； (2)请用函数的单调性的定义证明函数在上是增函数． 【变式1】．（26-27高一上·河北·阶段检测）已知函数. (1)求的解析式； (2)试判断在上的单调性，并用单调性的定义证明. 【变式2】．（26-27高一上·山东青岛·阶段检测）已知函数，且，. (1)求、的值； (2)判断函数在上的单调性，并证明. 题型二：求函数（复合）的单调性 【例2】．（25-26高一上·山东潍坊·阶段检测）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26高一上·广东深圳·期中）已知函数，则函数的单调增区间是（    ） A．和 B． C．和 D． 【变式2】．（25-26高一上·广东广州·期中）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 题型三：根据函数的单调性求参数范围 【例3】．（26-27高一上·河北石家庄·阶段检测）已知函数，若对任意，，当时，都有成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（26-27高一上·江苏无锡·阶段检测）已知函数满足对定义域内任意实数，都有，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（26-27高一上·浙江嘉兴·阶段检测）函数，（a为常数），在定义域上单调递减，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型四：根据函数的单调性解不等式 【例4】．（26-27高一上·广东佛山·阶段检测）已知定义在的函数满足，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（2026·陕西榆林·模拟预测）定义在上的函数满足，，都有成立，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26高一上·安徽合肥·期末）定义在上的函数，满足对任意，且，都有．知，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 题型五：根据函数的单调性求值域 【例5】．（25-26高一上·云南昆明·期中）函数在区间上的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26高一上·河南安阳·期中）设是定义在上的单调函数，且，则函数在区间上的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26高一上·广东惠州·阶段检测）设，若的值域是，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 题型六：函数不等式恒（能）成立问题 【例6】．（25-26高一上·北京·期中）已知函数（），，对，，使得成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（26-27高一上·重庆·阶段检测）已知，若存在使得不等式成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26高一上·四川达州·期中）已知函数，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型七：分段函数的性质 【例7】．（25-26高一上·北京·期中）若函数存在最小值，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】．（26-27高一上·天津河东·阶段检测）已知函数 ，．若 ，都 ，使 成立，则实数 的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（24-25高一上·广东深圳·期中）已知函数 若不等式恒成立，则实数的取值范围是（      ） A． B． C． D． 题型八：函数性质的应用 【例8】．（26-27高一上·江苏无锡·阶段检测）下列选项正确的是（     ） A．的定义域为，则的定义域为 B．函数的值域为 C．若定义在上的函数为增函数，且，则实数的取值范围为 D．函数的值域为 【变式1】．（26-27高一上·河南周口·阶段检测）已知、，，且，若对于任意的，恒成立，则的取值可以为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（26-27高一上·浙江·期中）已知定义在上的函数满足，当时，的值域为，且．则下列说法正确的是（ ） A． B．的值域为 C．在上单调递增 D．的解集是 题型九：抽象函数问题 【例9】．（26-27高一上·江苏扬州·阶段检测）已知定义在R上的函数满足，且，当时，． (1)求； (2)证明：在定义域内单调递增． (3)若对，，求的取值范围． 【变式1】．（26-27高一上·山西太原·阶段检测）已知函数，对于任意的，都有恒成立.且，当时，. (1)求； (2)判断在R上的单调性，并给出证明； (3)若关于的不等式有解，求实数的取值范围. 【变式2】．（26-27高一上·浙江金华·阶段检测）已知函数的定义域为，且对任意，都有；并且当时，． (1)求的值，判断在上的单调性，并用定义加以证明； (2)若，求方程的解． (3)若不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围． 一、单选题 1．（26-27高一上·广东清远·阶段检测）“”是 在(0，2)上单调递减”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（26-27高一上·安徽阜阳·阶段检测）二次函数在区间上的最大值和最小值分别为（    ） A． B． C． D． 3．（26-27高一上·四川达州·阶段检测）已知函数是定义在上的减函数，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．（26-27高一上·广东中山·阶段检测）若函数是增函数，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（26-27高一上·天津东丽·阶段检测）已知函数，，用表示，中的最大者，记为，则的最小值为（    ） A．2 B．1 C． D． 6．（26-27高一上·浙江嘉兴·阶段检测）设函数则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 7．（26-27高一上·江苏镇江·阶段检测）已知函数，若函数的值域是，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 8．（26-27高一上·浙江嘉兴·阶段检测）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如，.若，则下列说法正确的是（    ） A． B．函数的值域为 C．函数是增函数 D．当时， 二、多选题 9．（26-27高一上·广东东莞·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．和不是同一函数 B．函数，的单调减区间为 C．若，则函数的最小值为 D．已知，则 10．（26-27高一上·福建厦门·阶段检测）下列函数中，值域为的是（     ） A． B．， C．， D．， 11．（26-27高一上·江苏无锡·阶段检测），表示不超过x的最大整数.十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名高斯函数，人们更习惯称之为“取整函数”.则下列命题中正确的是（   ） A．， B．， C．， D．函数，的值域为 12．（26-27高一上·浙江·期中）已知函数的定义域为，，当时，，则（    ） A． B． C．是增函数 D．当时， 三、填空题 13．（26-27高一上·全国·课后作业）函数在上的最大值与最小值之和为，则实数______． 14．（24-25高一上·天津·阶段检测）已知函数，当在上是减函数，则实数的取值范围是______. 15．（26-27高一上·广东深圳·阶段检测）若函数的最大值为，最小值为，则的值为________． 16．（26-27高一上·广东中山·阶段检测）已知函数的定义域为，图象过点，且对，，且，有，则关于x的不等式的解集为_____________________． 四、解答题 17．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知在上有意义，单调递增且满足，． (1)求证：； (2)求不等式的解集． 18．（26-27高一上·广东深圳·阶段检测）若函数满足，． (1)求函数的表达式； (2)用定义法讨论函数在上的单调性； (3)设，，满足，求的取值范围． 19．（26-27高一上·广东清远·阶段检测）已知函数，且函数图象过点 (1)求函数的解析式； (2)讨论函数的单调性； (3)若，求函数的值域． 20．（26-27高一上·安徽阜阳·阶段检测）定义函数表示不小于的最小整数，例如，． (1)若，求实数的取值范围； (2)求函数在上的值域； (3)设，若对任意，都有，求实数的取值范围． 21．（26-27高一上·全国·期中）已知函数的定义域为R，且对任意的实数，满足． (1)证明：； (2)著名数学家柯西在十九世纪上半叶研究过上述函数的性质，且证明了当该函数的图象在R上连续不断时，．若函数的图象在R上连续不断，对任意，．设． ①证明：； ②已知，求在上的最小值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $