第3讲：命题、定理、定义 充分条件、必要条件、充要条件【十大题型+知识归纳+高分精练】-2026-2027学年高一数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(苏教版必修第一册）

本高中数学讲义聚焦命题、定理、定义及充分条件、必要条件、充要条件核心知识点，构建从命题概念（含结构、真假判断）到定理定义应用，再到充分必要条件逻辑关系的学习支架，系统梳理知识脉络。 资料通过细致的知识点诠释（如命题的非命题类型辨析）和七种题型设计（含判断、参数求解等），结合集合思想与口诀辅助理解，培养学生数学思维的推理意识与逻辑联系，课中助力教师系统教学，课后学生可通过变式练习巩固，查漏补缺。

第3讲：命题、定理、定义 充分条件、必要条件、充要条件 题型一：命题及其真假判断 3 题型二：已知命题的真假求参数 4 题型三：充分条件、必要条件、充要条件问题的判断 6 题型四：根据充分不必要条件求参数问题 8 题型五：根据必要不充分条件求参数问题 9 题型六：根据充要条件求参数问题 10 题型七：充分条件、必要条件与充要条件的综合 11 知识点一 命题 1、命题的概念：在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，我们将可判断真假的陈述句叫作命题． 2、命题定义中的两个要点：“可以判断真假”和“陈述句”，我们学习过的定理、推论都是命题． 3、命题分类 真命题：判断为真的语句 假命题：判断为假的语句 知识点诠释： 1、不是任何语句都是命题，不能确定真假的语句不是命题，如“”，“2不一定大于3”． 2、只有能够判断真假的陈述句才是命题．祈使句，疑问句，感叹句都不是命题，例如：“起立”、“是有理数吗？”、“今天天气真好！”等． 3、语句能否确定真假是判断其是否是命题的关键．一个命题要么是真，要么是假，不能既真又假，模棱两可．命题陈述了我们所思考的对象具有某种属性，或者不具有某种属性，这类似于集合中元素的确定性． 知识点二：命题的结构： （1）命题的一般形式为“若p，则q”其中p叫做命题的条件，q叫做命题的结论． （2）确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若p，则q”的形式． 知识点诠释： 1、一般地，命题“若p则q”中的p为命题的条件q为命题的结论． 2、有些问题中需要明确指出条件p和q各是什么，因此需要将命题改写为“若p则q”的形式． 知识点三 定理、定义 在数学中，有些已经被证明为真的命题可以作为推理的依据而直接使用，一般称之为定理． 在数学中，我们经常遇到定义．定义是对某些对象标明符号、指明称谓，或者揭示所研究问题中对象的内涵．例如“两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形”．定义的特点是用已知的对象及关系来解释、刻画陌生的对象，并加以区别，如“平行四边形”就是通过“四边形”与两组“对边”分别“平行”来描述的． 知识点四：充分条件、必要条件、充要条件 设定：条件𝑝,𝑞；集合𝑨={𝒙∣𝒑(𝒙)}，𝑩={𝒙∣𝒒(𝒙)} 名称 推出关系 文字含义 通俗理解 集合视角 充分条件 p⇒q p是q的充分条件 有p就足够推出q，有它就行 A⊆B 必要条件 p⇒q q是p的必要条件 无q一定无p，没它不行 A⊆B 充分不必要条件 p⇒q, q⇏p p是q的充分不必要条件 有p一定有q；仅有q得不到p A⫋B（A是B真子集） 必要不充分条件 p⇏q, q⇒p p是q的必要不充分条件 有p不一定有q；没有p一定没有q B⫋A（B是A真子集） 充要条件 p⇒q且q⇒p，记p⇔q p是q的充要条件 p与q等价，互相推出 A=B 既不充分也不必要条件 p⇏q, q⇏p p是q的既不充分也不必要条件 、互相推不出，二者无推出关系 A,B互不包含 口诀：𝒑⇒𝒒，p 充分，q 必要 集合思想：小推大，范围小⇒范围大 审题提醒：看清A 是 B 的什么条件，令𝑝=𝐴,𝑞=𝐵，不要颠倒 题型一：命题及其真假判断 【例1】．判断下列语句是否是命题，若是，判断其真假，并说明理由． (1)奇数的平方仍是奇数； (2)两条对角线互相垂直的四边形是菱形； (3)所有的质数都是奇数； (4)5x>4x； (5)若x∈R，则x2＋4x＋7>0； (6)未来是多么美好啊！ (7)你是高二的学生吗？ (8)若x＋y是有理数，则x，y都是有理数． 【答案】(1)“奇数的平方仍是奇数”是命题，而且是真命题． (2)是命题，且是假命题．如图所示， 四边形ABCD中，当AB＝AD，BC＝CD且AB≠BC时，对角线AC也垂直于BD，但四边形ABCD不是菱形． (3)是命题，且是假命题．因为2是质数，但不是奇数． (4)不是命题．因为x是未知数，不能判断真假． (5)是命题，而且是真命题．因为对于x∈R，x2＋4x＋7＝(x＋2)2＋3>0，不等式恒成立． (6)是感叹句，不涉及真假，不是命题． (7)是疑问句，不涉及真假，不是命题． (8)是命题，且是假命题．如x＝，y＝，x＋y＝0是有理数，而x，y都是无理数． 【变式1】．（24-25高一上·新疆喀什·阶段检测）下列语句中，命题的个数是　（　　） ①空集是任何集合的真子集；②请起立； ③的绝对值为1；④你是高一的学生吗? A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】①③是命题；②是祈使句，不是命题；④是疑问句，不是命题. 故选：C. 【变式2】．（20-21高二上·湖南衡阳·期中）把下列命题改写成“若则”的形式并判断它们的真假. （1）能被6整除的整数一定能被3整除； （2）二次函数的图像是一条抛物线； （3）垂直于同一个平面的两个平面平行. 【解析】直接根据所给命题，改写成若则的形式；对（1）被6整除的整数一定能被3整除为真；对（2），由二次函数的图象知正确；对（3）两平面可能相交； 【详解】（1）若一个整数能被6整除，则一定能被3整除；真命题； （2）若一个函数是二次函数，则它的图像是一条抛物线；真命题； （3）若两个平面垂直于同一个平面，则这两个平面平行；假命题. 题型二：已知命题的真假求参数 【例2】．（24-25高一上·江苏南通·阶段检测）已知，命题：关于的方程在有两个不相等的实数根：命题对任意的恒成立. (1)若命题为真，求实数的取值范围： (2)若命题为真，求实数的取值范围： (3)若命题与命题恰有一个为真，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3)或. 【详解】（1）由题设两根为，则判别式或. 关于的方程在有两个不相等的实数根， 则，由韦达定理：. 则，结合或，可得实数的取值范围为：； （2）即方程无解. 当时，方程显然无解，满足题意； 当时，判别式. 综上可得，实数的取值范围为； （3）由（1）（2）分析，若命题为假，实数的取值范围为； 若命题q假，实数的取值范围为或. 命题与命题恰有一个为真，则真假或假真. 若真假，则； 若假真，则. 综上，实数的取值范围为：或. 【变式1】．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知有两个不相等的负根，无实根.若和有且只有一个为真命题，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【详解】若命题为真命题，设方程的两根分别为、，则，解得， 若命题为真命题，则，解得，因为和有且只有一个为真命题， 若真假，，此时不存在，若假真，则，此时. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式2】．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知，命题方程无实根；命题对任意，不等式恒成立． (1)若为真命题，求的取值范围； (2)若中有且只有一个为真命题，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意可知. （2）当为真命题时，即对于任意恒成立. 当，不等式即为，满足题意； 当时，则有，解得. 综上所述，当为真命题时， ，则当为假命题时或； 由第（1）可知，当为真命题时， ，则当为假命题时； 若、有且只有一个真命题，则真假或假真. 当真假时，的范围是或； 当假真时，的范围是. 所以若、有且只有一个真命题，的范围是. 题型三：充分条件、必要条件、充要条件问题的判断 【例3】．（26-27高一上·全国·课堂例题）判断下列各题中是的什么条件． (1)在中，：，：； (2)：，：； (3)：，：； (4)：，：. 【答案】(1)是的充要条件 (2)是的充分不必要条件 (3)是的必要不充分条件 (4)是的既不充分也不必要条件． 【分析】按充要条件的定义判断． 【详解】（1）由三角形中大角对大边可知，若，则，即，反之，若，则即. 因此，是的充要条件． （2）由可以推出即；由，得或，不一定有即.因此，是的充分不必要条件． （3）由可以推出或，不一定有即；由可以得出即. 因此是的必要不充分条件． （4）由于，当时，；当时， ，故若，不一定有；当，，时，可以推出；当，，时，可以推出.故时，不一定有.因此是的既不充分也不必要条件． 【变式1】．（25-26高一上·全国·课前预习）下列各组p，q中，p是q的什么条件（“充分而不必要条件”“必要而不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”）？ (1)p：三角形为等腰三角形，q：三角形存在两角相等； (2)p：⊙O内两条弦相等，q：⊙O内两条弦所对的圆周角相等； (3)p：，q：A与B之一为空集； (4)p：a能被6整除，q：a能被3整除． 【答案】(1)充要条件 (2)必要而不充分条件 (3)必要而不充分条件 (4)充分而不必要条件 【详解】（1）若三角形为等腰三角形，则三角形存在两角相等， 若三角形存在两角相等，则对应的两边一定相等，则三角形为等腰三角形， 所以，所以 p是q的充要条件. （2）若⊙O内两条弦相等，则所对圆周角相等或者互补， 若⊙O内两条弦所对的圆周角相等，则⊙O内两条弦相等， 故，，所以 p是q的必要而不充分条件. （3）取，则， 所以，推不出A与B之一为空集， 但A与B之一为空集，则， 所以p是q的必要而不充分条件. （4）若a能被6整除，故也能被3和2整除，故， 若a能被3整除，如，则a不能被6整除，故. 所以p是q的充分而不必要条件. 【变式2】．（24-25高一上·全国·课后作业）在下列各题中，试判断p是q的什么条件． (1)，； (2)是无理数；是无理数； (3)若，，，； (4)，． 【答案】(1)充分不必要条件 (2)充要条件 (3)充要条件 (4)充要条件 【详解】（1）因为，而，时，， 但是，所以是的充分不必要条件； （2）因为是无理数是无理数，并且是无理数是无理数， 所以是的充要条件； （3）因为，并且，所以是的充要条件； （4）因为，并且，所以是的充要条件． 题型四：根据充分不必要条件求参数问题 【例4】．（26-27高一上·北京西城·阶段检测）已知不等式成立的充分不必要条件是，则实数的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【详解】根据充分不必要条件的定义，可知区间是区间的真子集， 则有且等号不能同时成立，解得. 故实数的取值范围是. 【变式1】．（25-26高一上·贵州·期中）已知，，且的一个充分不必要条件是，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】若的一个充分不必要条件是，可知集合A是集合B的真子集，且，，可得，所以m的取值范围是. 故选：A. 【变式2】．（25-26高一上·甘肃·期中）已知集合或，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求得，由题意可得⫋，列出不等式，即可得答案. 【详解】由或，得， 由是的充分不必要条件，得⫋，可得，解得. 故选：C. 题型五：根据必要不充分条件求参数问题 【例5】．（25-26高二下·天津·期中）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由“”是“”的必要不充分条件， 得集合是集合的真子集， 则，解得， 所以实数的取值范围是. 【变式1】．（25-26高一上·四川眉山·期中）已知，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用充分条件、必要条件的概念结合集合间的基本关系计算即可. 【详解】因为是的必要不充分条件，所以A是B的真子集， 即，解得. 故选：D 【变式2】．（25-26高一上·山东德州·阶段检测）已知，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得或， 因为是的必要不充分条件， 所以是的真子集，当时，，符合题意；当时，， 因为是的真子集，所以，解得；当时，，因为是的真子集，所以，解得，综上所述，实数的取值范围是. 故选：C. 题型六：根据充要条件求参数问题 【例6】．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，，若是的充要条件，则实数______． 【答案】5 【分析】根据充要条件列出等式求解即可. 【详解】因为，又，是的充要条件， 所以，解得实数． 故答案为：5 【变式1】．（23-24高一上·江苏苏州·阶段检测）已知集合，集合，若命题“”是命题“”的充要条件，则实数a的值是__________． 【答案】 【分析】由绝对值的几何意义求出集合，依题意，即可求出参数的值. 【详解】由，可得，解得， 所以， 又命题“”是命题“”的充要条件且， 则，所以. 故答案为： 【变式2】．（23-24高一上·福建莆田·阶段检测）若集合，，其中为实数． （1）若是的充要条件，则________； （2）若是的充分不必要条件，则的取值范围是：________. 【答案】 / 【详解】（1）由已知可得， 当时，，与矛盾，当，，与矛盾，当时，， 结合可得，解得； （2）因为是的充分不必要条件，所以是的真子集，所以，，得，故的取值范围是. 题型七：充分条件、必要条件与充要条件的综合 【例7】．（25-26高二下·黑龙江大庆·阶段检测）已知命题：“关于的方程有一正根一负根”为真命题． (1)求实数的取值范围； (2)命题：，是否存在实数使得是的充分不必要条件，若存在，求出实数的取值范围：若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【详解】（1）因为命题为真命题，所以，解得 所以实数的取值范围是． （2）令，， 因为是的充分不必要条件，所以是的真子集， 则，解得， 综上所述，存在符合条件的实数，且实数的取值范围是． 【变式1】．（25-26高一上·上海·期末）已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)已知，记命题，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）若，则，得； 若，则， 因为，所以或，得或，则， 综上，实数的取值范围为； （2）因为，所以， 因为是的必要不充分条件，所以是的真子集， 则，且等号不同时成立，得， 故实数的取值范围为. 【变式2】．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）已知集合． (1)若，求及； (2)若，求实数a的取值范围； (3)若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1)，或(2)(3) 【详解】（1）当时，，， 所以.或； （2）因为，所以由，得， 当时，，解得， 当时，则，解得，综上，，故实数的取值范围为. （3）由是的充分不必要条件，可得集合是集合的真子集， 又，则， 或 解得：或 综上：， 故实数的取值范围是. 一、单选题 1．（25-26高一上·重庆·期末）下列命题为真命题的是（    ） A．有些菱形不是平行四边形 B．平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线 C．所有素数都是奇数 D．每个四边形的内角和都是 【答案】D 【分析】一一判断各命题的真假即可. 【详解】对于A：所有菱形都是平行四边形，故A错误； 对于B：在同一平面内垂直于同一条直线的两直线平行，故B错误； 对于C：是素数，但是偶数，故C错误； 对于D：每个四边形的内角和都是，故D正确. 故选：D 2．（26-27高一上·全国·课后作业）两个三角形全等的一个充要条件是（　　） A．两个三角形的面积相等． B．两个三角形的对应角相等 C．两个三角形的对应边相等． D．两个三角形的对应外角相等． 【答案】C 【详解】对于选项A：面积相等的两个三角形形状、边长不一定完全相同， 比如同底等高的锐角三角形和钝角三角形面积相等但不全等， 因此“面积相等”只是两个三角形全等的必要不充分条件. 对于选项B：对应角相等只能说明两个三角形相似，边长可以成任意相同比例， 比如大小不同的两个等边三角形对应角相等但不全等， 因此“对应角相等”是两个三角形全等的必要不充分条件. 对于选项C：根据三角形全等的判定公理，三角形的三边长度完全确定后， 三角形的形状和大小就被唯一确定，对应边相等的两个三角形必然全等； 反过来，全等三角形的对应边必然全部相等，因此“对应边相等”是两个三角形全等的充要条件. 对于选项D：三角形的对应外角相等等价于对应内角相等，和选项B性质一致，只能推出两三角形相似， 无法保证全等，属于必要不充分条件. 3．（2026高三·全国·专题练习）“”是“”成立的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】当时，由不等式的性质可得，即“”“”； 当时，不妨取，则“”“”. 所以“”是“”成立的充分不必要条件. 4．（25-26高二下·河南·阶段检测）已知，，若是的必要条件，则实数的范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由集合，， 因为是的必要条件，则， 当时，此时集合为空集，满足； 当时，由不等式，可得，即， 要使得，则满足，即，解得； 当时，由不等式，可得，即， 要使得，则满足，即，解得， 综上可得，实数的取值范围为. 5．（25-26高一上·广东汕尾·期末）下列各选项中，是的必要不充分条件的是（   ） A． B． C． D．：四边形是长方形，：四边形的对角线互相垂直且平分 【答案】A 【详解】对于A，因为，所以或，即由不能推出，但由能推出， 所以是的必要不充分条件，故A正确；对于B，由等式的性质可知由能推出，由能推出， 不满足是的必要不充分条件，故B不正确；对于C，因为，所以， ，则，或，即由能推出，但由不能推出， 不满足是的必要不充分条件，故C不正确； 对于D，因为长方形的对角线互相平分，但不一定垂直， 对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，而菱形不一定是长方形， 即由不能推出，由不能推出， 不满足是的必要不充分条件，故D不正确. 故选：A. 6．（2026·湖北武汉·模拟预测）现有一个迷宫如图所示，小球从，，三个口中的一个口滚动进入后，该口封闭，小球最终将从另一个口滚动出来，则“小球从口滚动进入”是“小球从口滚动出来”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由迷宫图形可知， 若小球Ω从口滚动进入， 根据通道走向，小球最终只能从口滚动出来， 所以“小球Ω从口滚动进入”能推出“小球Ω从口滚动出来”，充分性成立； 若小球Ω从口滚动出来，小球可能是从口滚动进入，也可能是从口滚动进入（由图可知从口进入最终也会从口出来）， 所以“小球Ω从口滚动出来”不能推出“小球Ω从口滚动进入”，必要性不成立． 综上所述，“小球Ω从口滚动进入”是“小球Ω从口滚动出来”的充分不必要条件． 7．（25-26高一上·上海·阶段检测）有限集合S中元素的个数记作card(S)，设A，B都为有限集合给出下列命题： ①的充要条件是； ②的必要条件是； ③的充分条件是； ④的充要条件是.其中真命题的序号是（   ） A．③④ B．①② C．①④ D．②③ 【答案】B 【详解】对于①，，则集合与集合两个集合中没有公共元素，，必要性成立； ， 则的元素个数等于的元素个数与的元素个数， 集合与两个集合中没有公共元素，，充分性成立. ①正确； 对于②，，集合A中的元素都是集合B中的元素， 可以推出，必要性成立. ②正确； ③如果，，满足，但是不满足，充分性不成立，③错误； ④，，必要性成立；如果，，满足，但是不满足，充分性不成立，④错误； 故选：B. 二、多选题 8．（25-26高一上·安徽芜湖·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．命题“若，则”是真命题 B．命题“”是真命题 C．“”是“”的必要不充分条件 D．“且”是“”的充分不必要条件 【答案】ACD 【分析】由命题的真假判断A、B，根据充分条件、必要条件的定义判断C、D. 【详解】对于A，当时，，故A正确； 对于B，因为时，， 又因为当时，恒成立，故命题“”是假命题，故B错误； 对于C，由，即，解得或； 所以由推不出，即充分性不成立， 由推得出，即必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件，故C正确； 对于D，当且时，，即充分性成立， 当时，如，此时不满足且，即必要性不成立， 所以“且”是“”的充分不必要条件，故D正确． 故选：ACD 9．（25-26高一上·四川南充·期中）下列选项叙述正确的是（   ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“”的必要不充分条件 C．若，则“”的充要条件是“” D．“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件 【答案】BD 【分析】利用充分条件、必要条件的定义逐项判断即得 【详解】对于A，取，满足，而， 因此“”不是“”的充分条件，故A错误； 对于B，，而当时，成立，显然不成立， 则“”是“”的必要不充分条件，故B正确； 对于C，取显然，但， 因此“” 不是“”的充要条件，故C错误； 对于D，“方程有一个正根和一个负根”的等价条件是， 所以“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件，故D正确. 故选：BD. 10．（25-26高一上·江苏连云港·期中）下列所给的各组p，q中，p是q必要条件的有（   ） A．：，： B．：，，： C．：在中，，：在中， D．：，：关于x的方程有两个不同的实数解 【答案】ACD 【详解】对于A: 由，得，则一定成立，而当时，如，不成立，所以p是q的必要不充分条件； 对于B，由，，可得， 取，满足，此时， 故p是q的充分不必要条件， 对于C，因为在三角形中大边对大角，小边对小角，反之也成立，所以当时，有，当时，有，所以p是q的充要条件； 对于D，当时，关于x的方程只有一个实根，若关于x的方程有两个不同实数解时，则，得且，所以p是q的必要不充分条件； 故选：ACD 11．（25-26高一上·江苏淮安·阶段检测）若：是：的必要不充分条件，则实数的值可以为（     ） A．0 B． C． D． 【答案】ABD 【分析】把问题转化为集合间的包含关系，再求实数的值. 【详解】由或. 所以：或. 因为是的必要不充分条件，所以满足⫋满足， 即⫋. 所以可能为，，. 由； 由； 由. 故选：ABD 三、填空题 12．（25-26高一上·上海·阶段检测）设，，且，是的充分不必要条件，则实数的取值范围是________ 【答案】 【分析】根据题意，结合是的充分不必要条件，列出不等式组，即可求解. 【详解】由，，且， 因为是的充分不必要条件，可得且等号不能同时成立，解得， 经验证和时，满足题意， 所以实数的取值范围是. 13．（2026高三·全国·专题练习）已知集合，．若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围是______． 【答案】 【详解】由函数， 因为，可得，所以， 由不等式，可得，所以集合． 又因为“”是“”的充分条件，可得， 则满足，即，解得或， 所以实数的取值范围是． 14．（2026高三·全国·专题练习）设，则“且”是“”的________条件． 【答案】充分不必要 【详解】且， ， 且是“”的充分条件； 而不一定得出且， 即“且”不是“”的必要条件， “且”是“”的充分不必要条件． 15．（2026高一·全国·专题练习）设全集，集合，非空集合，其中.若“”是“”的必要条件，则的取值范围为______. 【答案】 【详解】若“”是“”的必要条件，则， 又集合为非空集合，故有，解得. 所以的取值范围. 四、解答题 16．（26-27高一上·全国·课堂例题）下列“若，则”形式的命题中，哪些命题中的是的必要条件？ (1)若一个四边形是等腰梯形，则这个四边形两条对角线相等； (2)若是直角三角形，则是等腰三角形； (3)若，则； (4)若关于的方程（）有唯一解，则. 【答案】(1)是的必要条件 (2)不是的必要条件 (3)是的必要条件 (4)不是的必要条件 【详解】（1）：一个四边形是等腰梯形；：这个四边形两条对角线相等. 由等腰梯形的性质可知，等腰梯形的对角线相等，所以，故是的必要条件. （2）：是直角三角形；：是等腰三角形. 如三边长为3，4，5的三角形为直角三角形，但不是等腰三角形， 所以，故不是的必要条件. （3）：；：. 由，得且，所以，即，故是的必要条件. （4）：关于的方程（）有唯一解；：. 如有唯一解，但，所以，故不是的必要条件. 17．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知全集，集合，集合，其中． (1)当时，求； (2)若“”是“”的充分条件，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，代入集合得, 由，因此， 求补集得. （2）因为“”是“”的充分条件，所以，分两种情况讨论： 当为空集，空集是任意集合的子集，此时满足，解得，符合要求； 当不为空集，需同时满足，解不等式组可得， 综上可得，的取值范围是. 18．（25-26高一上·广西桂林·阶段检测）已知集合，集合 (1)若，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，， 因此． （2）若“”是“”的必要不充分条件，则为的真子集， 当时，即，解得， 当时，则，解得，检验符合， 因此的取值范围为． 19．（25-26高一上·四川广安·阶段检测）已知集合，集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意， 因为，所以； 所以，解得， 所以实数的取值范围为 （2）∵命题是命题的必要不充分条件，∴集合是集合的真子集， 当时，，解得； 当时，，解得 ， 经检验，时，，与集合是集合的真子集矛盾，故舍去. 综上所述，实数的取值范围为． 20．（25-26高一上·河南新乡·期中）已知集合，. (1)若，求的取值集合； (2)若是的必要条件，求的取值集合； (3)若，求的取值集合. 【答案】(1) (2)或 (3) 【详解】（1）因为，由，所以， 解得， 所以的取值集合为； （2）由已知得，， ①若，则，解得； ②若，则，解得， 综上所述，的取值集合为或； （3）由，可得， 解得，则的取值集合为. 21．（25-26高一上·安徽合肥·阶段检测）已知集合 (1)判断8，9，10是否属于集合A； (2)已知集合，证明：“”的充分不必要条件是“”； (3)若集合A中所有的偶数构成的集合为P，集合，求证：． 【详解】 （1），，故，， 假设，，则，且， 由，得或，显然均无整数解， ∴， 综上，，，； （2）集合，则恒有， ∴，即一切奇数都属于A，即，则必有； 又，而，即，推不出， ∴“”的充分不必要条件是“”； (3)证明： 集合，， ①当m，n同奇或同偶时，均为偶数，为4的倍数； ②当m，n一奇一偶时，均为奇数，为奇数， 综上，所有满足集合A的偶数为， ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3讲：命题、定理、定义 充分条件、必要条件、充要条件 题型一：命题及其真假判断 3 题型二：已知命题的真假求参数 3 题型三：充分条件、必要条件、充要条件问题的判断 4 题型四：根据充分不必要条件求参数问题 5 题型五：根据必要不充分条件求参数问题 5 题型六：根据充要条件求参数问题 5 题型七：充分条件、必要条件与充要条件的综合 6 知识点一 命题 1、命题的概念：在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，我们将可判断真假的陈述句叫作命题． 2、命题定义中的两个要点：“可以判断真假”和“陈述句”，我们学习过的定理、推论都是命题． 3、命题分类 真命题：判断为真的语句 假命题：判断为假的语句 知识点诠释： 1、不是任何语句都是命题，不能确定真假的语句不是命题，如“”，“2不一定大于3”． 2、只有能够判断真假的陈述句才是命题．祈使句，疑问句，感叹句都不是命题，例如：“起立”、“是有理数吗？”、“今天天气真好！”等． 3、语句能否确定真假是判断其是否是命题的关键．一个命题要么是真，要么是假，不能既真又假，模棱两可．命题陈述了我们所思考的对象具有某种属性，或者不具有某种属性，这类似于集合中元素的确定性． 知识点二：命题的结构： （1）命题的一般形式为“若p，则q”其中p叫做命题的条件，q叫做命题的结论． （2）确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若p，则q”的形式． 知识点诠释： 1、一般地，命题“若p则q”中的p为命题的条件q为命题的结论． 2、有些问题中需要明确指出条件p和q各是什么，因此需要将命题改写为“若p则q”的形式． 知识点三 定理、定义 在数学中，有些已经被证明为真的命题可以作为推理的依据而直接使用，一般称之为定理． 在数学中，我们经常遇到定义．定义是对某些对象标明符号、指明称谓，或者揭示所研究问题中对象的内涵．例如“两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形”．定义的特点是用已知的对象及关系来解释、刻画陌生的对象，并加以区别，如“平行四边形”就是通过“四边形”与两组“对边”分别“平行”来描述的． 知识点四：充分条件、必要条件、充要条件 设定：条件𝑝,𝑞；集合𝑨={𝒙∣𝒑(𝒙)}，𝑩={𝒙∣𝒒(𝒙)} 名称 推出关系 文字含义 通俗理解 集合视角 充分条件 p⇒q p是q的充分条件 有p就足够推出q，有它就行 A⊆B 必要条件 p⇒q q是p的必要条件 无q一定无p，没它不行 A⊆B 充分不必要条件 p⇒q, q⇏p p是q的充分不必要条件 有p一定有q；仅有q得不到p A⫋B（A是B真子集） 必要不充分条件 p⇏q, q⇒p p是q的必要不充分条件 有p不一定有q；没有p一定没有q B⫋A（B是A真子集） 充要条件 p⇒q且q⇒p，记p⇔q p是q的充要条件 p与q等价，互相推出 A=B 既不充分也不必要条件 p⇏q, q⇏p p是q的既不充分也不必要条件 、互相推不出，二者无推出关系 A,B互不包含 口诀：𝒑⇒𝒒，p 充分，q 必要 集合思想：小推大，范围小⇒范围大 审题提醒：看清A 是 B 的什么条件，令𝑝=𝐴,𝑞=𝐵，不要颠倒 题型一：命题及其真假判断 【例1】．判断下列语句是否是命题，若是，判断其真假，并说明理由． (1)奇数的平方仍是奇数； (2)两条对角线互相垂直的四边形是菱形； (3)所有的质数都是奇数； (4)5x>4x； (5)若x∈R，则x2＋4x＋7>0； (6)未来是多么美好啊！ (7)你是高二的学生吗？ (8)若x＋y是有理数，则x，y都是有理数． 【变式1】．（24-25高一上·新疆喀什·阶段检测）下列语句中，命题的个数是　（　　） ①空集是任何集合的真子集；②请起立； ③的绝对值为1；④你是高一的学生吗? A．0 B．1 C．2 D．3 【变式2】．（20-21高二上·湖南衡阳·期中）把下列命题改写成“若则”的形式并判断它们的真假. （1）能被6整除的整数一定能被3整除； （2）二次函数的图像是一条抛物线； （3）垂直于同一个平面的两个平面平行. 题型二：已知命题的真假求参数 【例2】．（24-25高一上·江苏南通·阶段检测）已知，命题：关于的方程在有两个不相等的实数根：命题对任意的恒成立. (1)若命题为真，求实数的取值范围： (2)若命题为真，求实数的取值范围： (3)若命题与命题恰有一个为真，求实数的取值范围. 【变式1】．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知有两个不相等的负根，无实根.若和有且只有一个为真命题，则实数的取值范围是__________. 【变式2】．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知，命题方程无实根；命题对任意，不等式恒成立． (1)若为真命题，求的取值范围； (2)若中有且只有一个为真命题，求的取值范围． 题型三：充分条件、必要条件、充要条件问题的判断 【例3】．（26-27高一上·全国·课堂例题）判断下列各题中是的什么条件． (1)在中，：，：； (2)：，：； (3)：，：； (4)：，：. 【变式1】．（25-26高一上·全国·课前预习）下列各组p，q中，p是q的什么条件（“充分而不必要条件”“必要而不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”）？ (1)p：三角形为等腰三角形，q：三角形存在两角相等； (2)p：⊙O内两条弦相等，q：⊙O内两条弦所对的圆周角相等； (3)p：，q：A与B之一为空集； (4)p：a能被6整除，q：a能被3整除． 【变式2】．（24-25高一上·全国·课后作业）在下列各题中，试判断p是q的什么条件． (1)，； (2)是无理数；是无理数； (3)若，，，； (4)，． 题型四：根据充分不必要条件求参数问题 【例4】．（26-27高一上·北京西城·阶段检测）已知不等式成立的充分不必要条件是，则实数的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【变式1】．（25-26高一上·贵州·期中）已知，，且的一个充分不必要条件是，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26高一上·甘肃·期中）已知集合或，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型五：根据必要不充分条件求参数问题 【例5】．（25-26高二下·天津·期中）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26高一上·四川眉山·期中）已知，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26高一上·山东德州·阶段检测）已知，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型六：根据充要条件求参数问题 【例6】．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，，若是的充要条件，则实数______． 【变式1】．（23-24高一上·江苏苏州·阶段检测）已知集合，集合，若命题“”是命题“”的充要条件，则实数a的值是__________． 【变式2】．（23-24高一上·福建莆田·阶段检测）若集合，，其中为实数． （1）若是的充要条件，则________； （2）若是的充分不必要条件，则的取值范围是：________. 题型七：充分条件、必要条件与充要条件的综合 【例7】．（25-26高二下·黑龙江大庆·阶段检测）已知命题：“关于的方程有一正根一负根”为真命题． (1)求实数的取值范围； (2)命题：，是否存在实数使得是的充分不必要条件，若存在，求出实数的取值范围：若不存在，说明理由． 【变式1】．（25-26高一上·上海·期末）已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)已知，记命题，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【变式2】．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）已知集合． (1)若，求及； (2)若，求实数a的取值范围； (3)若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 一、单选题 1．（25-26高一上·重庆·期末）下列命题为真命题的是（    ） A．有些菱形不是平行四边形 B．平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线 C．所有素数都是奇数 D．每个四边形的内角和都是 2．（26-27高一上·全国·课后作业）两个三角形全等的一个充要条件是（　　） A．两个三角形的面积相等． B．两个三角形的对应角相等 C．两个三角形的对应边相等． D．两个三角形的对应外角相等． 3．（2026高三·全国·专题练习）“”是“”成立的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（25-26高二下·河南·阶段检测）已知，，若是的必要条件，则实数的范围是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·广东汕尾·期末）下列各选项中，是的必要不充分条件的是（   ） A． B． C． D．：四边形是长方形，：四边形的对角线互相垂直且平分 6．（2026·湖北武汉·模拟预测）现有一个迷宫如图所示，小球从，，三个口中的一个口滚动进入后，该口封闭，小球最终将从另一个口滚动出来，则“小球从口滚动进入”是“小球从口滚动出来”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（25-26高一上·上海·阶段检测）有限集合S中元素的个数记作card(S)，设A，B都为有限集合给出下列命题： ①的充要条件是； ②的必要条件是； ③的充分条件是； ④的充要条件是.其中真命题的序号是（   ） A．③④ B．①② C．①④ D．②③ 二、多选题 8．（25-26高一上·安徽芜湖·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．命题“若，则”是真命题 B．命题“”是真命题 C．“”是“”的必要不充分条件 D．“且”是“”的充分不必要条件 9．（25-26高一上·四川南充·期中）下列选项叙述正确的是（   ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“”的必要不充分条件 C．若，则“”的充要条件是“” D．“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件 10．（25-26高一上·江苏连云港·期中）下列所给的各组p，q中，p是q必要条件的有（   ） A．：，： B．：，，： C．：在中，，：在中， D．：，：关于x的方程有两个不同的实数解 11．（25-26高一上·江苏淮安·阶段检测）若：是：的必要不充分条件，则实数的值可以为（     ） A．0 B． C． D． 三、填空题 12．（25-26高一上·上海·阶段检测）设，，且，是的充分不必要条件，则实数的取值范围是________ 13．（2026高三·全国·专题练习）已知集合，．若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围是______． 14．（2026高三·全国·专题练习）设，则“且”是“”的________条件． 15．（2026高一·全国·专题练习）设全集，集合，非空集合，其中.若“”是“”的必要条件，则的取值范围为______. 四、解答题 16．（26-27高一上·全国·课堂例题）下列“若，则”形式的命题中，哪些命题中的是的必要条件？ (1)若一个四边形是等腰梯形，则这个四边形两条对角线相等； (2)若是直角三角形，则是等腰三角形； (3)若，则； (4)若关于的方程（）有唯一解，则. 17．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知全集，集合，集合，其中． (1)当时，求； (2)若“”是“”的充分条件，求a的取值范围． 18．（25-26高一上·广西桂林·阶段检测）已知集合，集合 (1)若，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 19．（25-26高一上·四川广安·阶段检测）已知集合，集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围． 20．（25-26高一上·河南新乡·期中）已知集合，. (1)若，求的取值集合； (2)若是的必要条件，求的取值集合； (3)若，求的取值集合. 21．（25-26高一上·安徽合肥·阶段检测）已知集合 (1)判断8，9，10是否属于集合A； (2)已知集合，证明：“”的充分不必要条件是“”； (3)若集合A中所有的偶数构成的集合为P，集合，求证：． 2 学科网（北京）股份有限公司 $