5.4 第1课时 奇偶性的概念-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教师用书word（苏教版）

本讲义聚焦高中数学函数的奇偶性核心知识点，系统梳理奇偶性的概念（定义域关于原点对称，f(-x)=f(x)为偶函数、f(-x)=-f(x)为奇函数）、几何意义（偶函数图象关于y轴对称、奇函数关于原点对称），承接函数性质学习，为后续综合应用提供基础支架。 该资料从生活对称美引入，通过数学抽象构建概念，表格对比明晰奇偶性特征，题型通法（定义法、图象法等）培养逻辑推理，例题图象应用提升直观想象。课中助教师高效授课，课后学生可借练习题与总结查漏补缺，巩固知识。

5.4　函数的奇偶性 课标 要求 1.结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义（数学抽象）. 2.了解奇、偶函数图象的对称性，掌握函数奇偶性的简单应用（直观想象、逻辑推理）. 第1课时　奇偶性的概念 　　 　　生活因对称而美丽，下面的图形一定会给你美的感受吧.数学上也有一些函数的图象有着类似美妙的对称性，如二次函数y＝x2的图象关于y轴对称，反比例函数y＝的图象关于原点对称等. 【问题】　我们知道函数的图象能够反映函数的性质，那么函数图象的对称性反映了函数的什么性质呢？ 　 知识点　函数的奇偶性 偶函数 奇函数 前提 函数y＝f（x）的定义域为A，∀x∈A，都有　－x∈A　 条件 f（－x）＝　f（x）　 f（－x）＝　－f（x）　 定义域特征 关于　原点　对称 图象特征 关于　y轴　对称 关于　原点　对称 提醒：（1）函数的奇偶性是函数的整体性质；（2）若奇函数在原点处有定义，则必有f（0）＝0；（3）若f（－x）＝－f（x），且f（－x）＝f（x），则f（x）既是奇函数又是偶函数. 【想一想】 如果定义域内存在x0，满足f（－x0）＝f（x0），函数f（x）是偶函数吗？ 提示：不一定，必须对于定义域内的任意一个x都成立. 1.下列说法正确的是（　D　） A.偶函数的图象一定与y轴相交 B.奇函数的图象一定通过原点 C.函数f（x）＝x2，x∈[－1，2]是偶函数 D.若f（x）是定义在R上的奇函数，则f（－x）＋f（x）＝0 2.函数y＝f（x），x∈[－1，a]（a＞－1）是奇函数，则a＝（　　） A.1　　　　　　　　　B.0 C.－1 D.无法确定 解析：A　因为函数y＝f（x），x∈[－1，a]（a＞－1）是奇函数，所以定义域关于原点对称，即－1＋a＝0，所以a＝1.故选A. 3.下列图象表示的函数中具有奇偶性的是（　　） 解析：B　选项A中的图象关于原点或y轴均不对称，故排除；选项C、D中的图象表示的函数的定义域不关于原点对称，不具有奇偶性，故排除；选项B中的图象关于y轴对称，其表示的函数是偶函数. 4.若f（x）是定义在R上的奇函数，f（3）＝2，则f（－3）＝　－2　，f（0）＝　0　. 解析：因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（－3）＝－f（3）＝－2，f（0）＝0. 　　 题型一　　函数奇偶性的判断 （链接教科书第124页例1）判定下列函数是否为奇函数或偶函数： （1） f（x）＝x4－1； （2）f（x）＝； （3）f（x）＝2－｜x｜； （4）f（x）＝＋； （5）f（x）＝； （6）f（x）＝ 解：（1）函数f（x）＝x4－1的定义域是R. 因为对于任意的x∈R，都有－x∈R，且f（－x）＝（－x）4－1＝x4－1＝f（x）， 所以函数f（x）是偶函数. （2）函数f（x）＝的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），关于原点对称， 因为f（－x）＝－＝－f（x），所以函数f（x）＝是奇函数. （3）函数f（x）的定义域为R，关于原点对称，因为f（－x）＝2－｜－x｜＝2－｜x｜＝f（x）， 所以f（x）为偶函数. （4）因为函数f（x）的定义域为{－1，1}，关于原点对称，且f（x）＝0， 又因为f（－x）＝f（x），且f（－x）＝－f（x），所以f（x）既是奇函数又是偶函数. （5）因为函数f（x）的定义域为{x｜x≠1}，不关于原点对称，所以f（x）是非奇非偶函数. （6）f（x）的定义域是（－∞，0）∪（0，＋∞），关于原点对称. 当x＞0时，－x＜0，f（－x）＝－（－x）＋1＝x＋1＝f（x）； 当x＜0时，－x＞0，f（－x）＝－x＋1＝f（x）. 综上可知，对于x∈（－∞，0）∪（0，＋∞），都有f（－x）＝f（x），所以f（x）为偶函数. 通性通法 判断函数奇偶性的3种方法 （1）定义法 （2）图象法 （3）性质法：①偶函数的和、差、积、商（分母不为零）仍为偶函数；②奇函数的和、差仍为奇函数；③奇（偶）数个奇函数的积、商（分母不为零）为奇（偶）函数；④一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数. 　判断下列函数的奇偶性： （1）f（x）＝x2（x2＋2）； （2）f（x）＝； （3）f（x）＝｜x＋a｜－｜x－a｜（a∈R）； （4）f（x）＝ 解：（1）∵x∈R，关于原点对称， 又∵f（－x）＝（－x）2[（－x）2＋2]＝x2（x2＋2）＝f（x）， ∴f（x）为偶函数. （2）f（x）的定义域为[－1，0）∪（0，1]，关于原点对称， 又∵f（－x）＝＝－＝－f（x）. ∴f（x）为奇函数. （3）函数的定义域为（－∞，＋∞），关于原点对称. ①当a≠0时，f（－x）＝｜－x＋a｜－｜－x－a｜＝｜x－a｜－｜x＋a｜＝－（｜x＋a｜－｜x－a｜）＝－f（x），∴函数f（x）为奇函数； ②当a＝0时，函数f（x）＝｜x＋a｜－｜x－a｜＝｜x｜－｜x｜＝0，此时函数f（x）既是奇函数又是偶函数. 综上所述，当a≠0时，函数f（x）为奇函数；当a＝0时，函数f（x）既是奇函数又是偶函数. （4）函数f（x）＝画出图象如图所示，图象关于原点对称，因此函数f（x）是奇函数. 题型二　奇、偶函数的图象及应用 （链接教科书第125页例2）已知函数f（x）＝x3＋x. （1）判断函数y＝f（x）是否具有奇偶性； （2）如图所示是f（x）图象的一部分，请根据f（x）的奇偶性画出它在y轴左边的图象. 解： （1）函数f（x）的定义域是R.因为对于任意的x∈R，都有－x∈R，且 f（－x）＝（－x）3＋（－x）＝－（x3＋x）＝－f（x），所以函数y＝f（x）是奇函数. （2）由奇函数的图象关于原点对称可画出函数y＝f（x）在y轴左边的图象，作出函数图象如图. 【母题探究】 　（变设问）本例条件不变，若f（m＋1）＋f（2m－3）＜0，试求实数m的取值范围. 解：因为f（m＋1）＋f（2m－3）＜0，所以f（m＋1）＜－f（2m－3）， 因为f（x）是奇函数，所以f（－x）＝－f（x），则－f（2m－3）＝f（3－2m）， 所以f（m＋1）＜f（3－2m），又因为f（x）的定义域是R且为增函数， 所以m＋1＜3－2m，解得m＜，即实数m的取值范围是（－∞，）. 通性通法 巧用奇、偶函数的图象求解问题 （1）依据：奇函数⇔图象关于原点对称，偶函数⇔图象关于y轴对称； （2）求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求值、比较大小及解不等式等问题. 　已知函数y＝f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）＝x2＋2x.现已画出函数f（x）在y轴左侧的图象，如图所示. （1）请补全函数y＝f（x）的图象； （2）根据图象写出函数y＝f（x）的增区间； （3）根据图象写出使f（x）＜0的x的取值集合. 解：（1）由题意作出函数图象如图. （2）据图可知，增区间为（－1，0），（1，＋∞）. （3）据图可知，使f（x）＜0的x的取值集合为{x｜－2＜x＜2，且x≠0}. 题型三　利用函数的奇偶性求值 （链接教科书第127页习题5题）（1）若函数f（x）＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1，2a]，则a＝　　，b＝　0　； （2）已知函数f（x）＝ax2＋2x是奇函数，则实数a＝　0　. 解析：（1）因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a－1＝－2a，解得a＝.又函数f（x）＝x2＋bx＋b＋1为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得b＝0. （2）由奇函数定义有f（－x）＋f（x）＝0，得a（－x）2＋2（－x）＋ax2＋2x＝2ax2＝0，故a＝0. 通性通法 利用奇偶性求值的常见类型 （1）求参数值：若解析式含参数，则根据f（－x）＝－f（x）或f（－x）＝f（x）列式，比较系数利用待定系数法求解；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点和为0求参数； （2）求函数值：利用f（－x）＝－f（x）或f（－x）＝f（x）求解，有时需要构造奇函数或偶函数以便于求值. 1.设a为实数，已知函数f（x）＝a－的图象关于原点对称，则a的值为（　　） A.－ B. C.2 D.－2 解析：A　由题意知，f（－x）＝－f（x），即a－＝－a＋，故2a＝＋＝＋＝＋＝＝－1，解得a＝－.故选A. 2.〔多选〕 若函数f（x）＝（m－1）x2＋（m－2）x＋（m2－7m＋12）为R上的偶函数，当－1≤x≤2时，下列说法正确的是（　　） A.m＝1 B.m＝2 C.f（x）min＝2 D.f（x）max＝6 解析：BCD　根据题意，有f（－x）＝f（x），即（m－1）x2＋（m－2）x＋（m2－7m＋12）＝（m－1）x2－（m－2）x＋（m2－7m＋12），必有m－2＝0，即m＝2，则f（x）＝x2＋2，为开口向上的二次函数，对称轴为x＝0，当－1≤x≤2时，其最小值为f（0）＝2，最大值为f（2）＝6.故选B、C、D. 1.如图，给出奇函数y＝f（x）的部分图象，则f（－2）＋f（－1）＝（　　） A.－2　　　　B.2 C.1　　　　D.0 解析：A　f（－2）＋f（－1）＝－f（2）－f（1）＝－－＝－2. 2.下列函数为奇函数的是（　　） A.y＝｜x｜ B.y＝3－x C.y＝ D.y＝－x2＋14 解析：C　A、D两项，函数均为偶函数，B项中函数为非奇非偶函数，而C项中函数为奇函数.故选C. 3.（2026·扬州月考）已知函数f（x）＝x2＋mx＋1是偶函数，则f（m）＝（　　） A.1 B.2 C.3 D.4 解析：A　由函数f（x）＝x2＋mx＋1是偶函数，则－＝0，可得m＝0，所以f（x）＝x2＋1，f（m）＝f（0）＝1.故选A. 4.〔一题多解〕（2026·金坛期中）设函数f（x）＝ax3＋bx－1，且f（－3）＝1，则f（3）＝　－3　. 解析：法一　令g（x）＝ax3＋bx，则g（x）是奇函数，∴f（－3）＝g（－3）－1＝－g（3）－1＝1，∴g（3）＝－2.又f（3）＝g（3）－1＝－2－1＝－3，故f（3）＝－3. 法二　由题意知f（－3）＝（－3）3a＋（－3）b－1＝－27a－3b－1＝1，则27a＋3b＝－2，∴f（3）＝33a＋3b－1＝27a＋3b－1＝－2－1＝－3，故f（3）＝－3. 　　 1.已知一个奇函数的定义域为{－1，2，a，b}，则a＋b＝（　　） A.－1　　　　　　 　　B.1 C.0 D.2 解析：A　因为该奇函数的定义域为{－1，2，a，b}，且奇函数的定义域关于原点对称，所以a与b中一个等于1，一个等于－2，所以a＋b＝1＋（－2）＝－1，故选A. 2.（2026·常州质检）已知函数y＝f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝x2＋2x，则f（－1）＝（　　） A.3 B.－3 C.1 D.－1 解析：B　当x＞0时，f（x）＝x2＋2x，则f（1）＝3，因为f（x）为定义在R上的奇函数，所以f（－1）＝－f（1）＝－3.故选B. 3.函数f（x）＝的图象大致为（　　） 解析：A　当x＞0时，函数f（x）＝＞0，B、C错误；又f（－x）＝＝－f（x），即函数为奇函数，D错误.故选A. 4.设函数f（x）＝若f（x）是奇函数，则g（－1）＝（　　） A.－4 B.－2 C.2 D.4 解析：D　∵函数f（x）为奇函数，∴f（－1）＝－f（1）＝－（1－3）＝2，当x＜0时，f（x）＝g（x）⇒g（x）＝2f（x），∴g（－1）＝2f（－1）＝4.故选D. 5.〔多选〕下列函数中，既是偶函数又在（0，＋∞）上单调递增的是（　　） A.y＝x3 B.y＝｜x｜＋1 C.y＝x2＋1 D.y＝－ 解析：BC　对于A，函数y＝x3是奇函数，故A不合题意；对于B，令f（x）＝｜x｜＋1，因为f（－x）＝｜－x｜＋1＝｜x｜＋1＝f（x），所以y＝｜x｜＋1是偶函数，当x＞0时，y＝x＋1，所以在（0，＋∞）上单调递增，故B正确；对于C，y＝x2＋1是偶函数，在（0，＋∞）上单调递增，故C正确；对于D，y＝－不是偶函数，故D不合题意.故选B、C. 6.〔多选〕已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）＝x－x2，则下列说法正确的是（　　） A.f（－1）＝0 B.f（x）的最大值为 C.f（x）在（－1，0）上单调递增 D.f（x）＞0的解集为（－1，1） 解析：AB　f（－1）＝f（1）＝0，A正确；x≥0时，f（x）＝x－x2＝－（x－）2＋，∴f（x）的最大值为，B正确；f（x）在（－，0）上单调递减，C错误；f（x）＞0的解集为（－1，0）∪（0，1），D错误. 7.设f（x）＝－x3＋（a－2）x2＋x是定义在[2b，b＋3]上的奇函数，则f（a＋b）＝　0　. 解析：因为f（x）＝－x3＋（a－2）x2＋x是定义在[2b，b＋3]上的奇函数，所以2b＋b＋3＝0，即b＝－1，且f（－x）＝x3＋（a－2）x2－x＝－f（x），故a－2＝0，所以a＝2，所以f（x）＝－x3＋x，则f（a＋b）＝f（1）＝－13＋1＝0. 8.〔一题多解〕设函数f（x）＝为奇函数，则a＝　－1　. 解析：法一 （定义法）　∵f（x）为奇函数，∴f（－x）＝－f（x），即＝－.显然x≠0，整理得（2a＋2）x＝0，故a＝－1. 法二（特殊值法）　函数f（x）的定义域是（－∞，0）∪（0，＋∞），∵f（x）是奇函数，∴f（－1）＝－f（1），即0＝－2（1＋a），故a＝－1. 9.（2026·苏州期中）已知偶函数f（x）的部分图象如图所示，且f（3）＝0，则不等式f（x）＜0的解集为　（－3，3）　. 解析：∵f（x）是偶函数，且f（3）＝0，∴f（－3）＝0，由图象得当0≤x＜3时，f（x）＜0.又函数f（x）是偶函数，其图象关于y轴对称，∴当－3＜x＜0时，f（x）＜0，∴不等式f（x）＜0的解集为（－3，3）. 10.判断下列函数的奇偶性： （1）f（x）＝x3＋x5； （2）f（x）＝｜x＋1｜＋｜x－1｜； （3）f（x）＝. 解：（1）函数的定义域为R.∵f（－x）＝（－x）3＋（－x）5＝－（x3＋x5）＝－f（x），∴f（x）是奇函数. （2）f（x）的定义域是R.∵f（－x）＝｜－x＋1｜＋｜－x－1｜＝｜x－1｜＋｜x＋1｜＝f（x），∴f（x）是偶函数. （3）函数f（x）的定义域是（－∞，－1）∪（－1，＋∞），不关于原点对称，∴f（x）是非奇非偶函数. 11.（2025·南通联考）若函数f（x）＝是奇函数，则实数a，b的值分别为（　　） A.1，1 B.－1，－1 C.－1，1 D.1，－1 解析：D　已知x＞0时，f（x）＝x3＋x2＋1.当x＞0时，－x＜0，f（－x）＝a（－x）3＋b（－x）2－1＝－ax3＋bx2－1.因为f（x）是奇函数，所以f（－x）＝－f（x）.当x＞0时，－f（x）＝－（x3＋x2＋1）＝－x3－x2－1.所以－ax3＋bx2－1＝－x3－x2－1，等式两边对应项系数相等.对比x3的系数，可得－a＝－1，解得a＝1.对比x2的系数，可得b＝－1.故a＝1，b＝－1.故选D. 12.〔多选〕〔一题多解〕设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论中正确的是（　　） A.f（x）g（x）是奇函数 B.｜f（x）｜g（x）是偶函数 C.f（x）｜g（x）｜是偶函数 D.｜f（x）g（x）｜是奇函数 解析：AB　法一（定义法）　由f（x）是奇函数，g（x）是偶函数可得f（－x）＝－f（x），g（－x）＝g（x）.A中，f（－x）g（－x）＝－f（x）g（x），故f（x）g（x）是奇函数，A对；B中，｜f（－x）｜·g（－x）＝｜－f（x）｜g（x）＝｜f（x）｜g（x），故｜f（x）｜g（x）是偶函数，B对；C中，f（－x）·｜g（－x）｜＝－f（x）｜g（x）｜，故f（x）·｜g（x）｜是奇函数，C错；D中，｜f（－x）g（－x）｜＝｜－f（x）g（x）｜＝｜f（x）·g（x）｜，故｜f（x）g（x）｜是偶函数，D错.故选A、B. 法二（性质法）　因为f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，所以｜f（x）｜，｜g（x）｜都是偶函数，故f（x）g（x）是奇函数，｜f（x）｜g（x）是偶函数，f（x）｜g（x）｜是奇函数，｜f（x）g（x）｜是偶函数，故选A、B. 13.已知函数f（x）＝，若f（a）＝，则f（－a）＝　　. 解析：根据题意，f（x）＝＝1＋，而h（x）＝是奇函数，故f（a）＝1＋h（a）＝，所以h（a）＝－，所以f（－a）＝1＋h（－a）＝1－h（a）＝1－（－）＝. 14.设函数f（x）＝x2－4｜x｜＋3，x∈[－4，4]. （1）求证：f（x）是偶函数； （2）画出函数y＝｜f（x）｜的图象，并指出函数f（x）的单调区间；（不需要证明） （3）求函数｜f（x）｜的值域. 解：（1）证明：函数的定义域关于原点对称， f（－x）＝（－x）2－4｜－x｜＋3＝x2－4｜x｜＋3＝f（x），则f（x）是偶函数. （2）先画出函数f（x）的图象， 当0≤x≤4时，f（x）＝x2－4x＋3，其图象如图所示， 又f（x）为偶函数，作其关于y轴对称的图象，就得到f（x）在[－4，4]上的图象， 再将x轴下方的图象沿x轴向上翻折就得到y＝｜f（x）｜的图象，如图中实线部分. 由图象知函数的增区间为[－3，－2]，[－1，0]，[1，2]，[3，4]， 减区间为[－4，－3），（－2，－1），（0，1），（2，3）. （3）由图象知，当x＝0或x＝4或x＝－4时，函数｜f（x）｜取得最大值为｜f（0）｜＝3， 当x＝－3或x＝－1或x＝1或x＝3时，函数｜f（x）｜的最小值为0， 即函数｜f（x）｜的值域为[0，3]. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $