广东上进联考2026-2027学年高三上学期10月供题训练数学试题

高三年级10月供题训练 数学 试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．抛物线的焦点到准线的距离为 A．6 B．3 C． D． 2．已知集合，，则 A． B． C． D． 3．已知复数满足，则 A．2 B． C． D． 4．设，，则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．若函数是奇函数，则 A． B． C． D． 6．已知公差不为0的等差数列满足，若，则 A．7 B．6 C．5 D．4 7．当时，恒成立，则的取值范围是 A． B． C． D． 8．已知函数若方程有4个不同实根，，，，则的取值范围是 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知双曲线，则 A．点在上 B．的渐近线方程为 C．的焦距为 D．的实轴长为 10．在中，内角，，所对的边分别为，，，若，则 A． B． C．当时，面积的最大值为 D．当时，为钝角三角形 11．已知四面体的所有棱长均为4，点是棱上的动点，点到点，，，的距离相等，则下列说法正确的有 A．周长的最小值为 B．当时，直线与平面交于点，则 C．当球表面与四面体表面没有公共点时，球表面积的取值范围为 D．当四面体内有4个半径为的球时，的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．展开式中项的系数为_______． 13．已知平面向量，，则在方向上的投影向量的坐标为_______． 14．某宠物店对光顾其门店的顾客进行调研，得到如下数据：顾客中养猫者占比为，养猫顾客中购买猫罐头者占比为，购买猫罐头的顾客中养猫者占比为，则该宠物店顾客中购买猫罐头者占比为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知等比数列满足，且． （1）求的通项公式； （2）设，求的前项和． 16．（15分）情绪经济是以情感共鸣、心理慰藉、自我认同为核心价值的消费模式，消费者不仅仅为产品付费，还是为一段情绪体验买单．已知2022~2027年中国情绪经济市场规模（其中2026年、2027年为市场预测规模）（单位：万亿元）及同比增长率如下表． 年份 2022年 2023年 2024年 2025年 2026年 2027年 市场规模 1.63 1.95 2.31 2.72 3.17 3.65 同比增长率 — 0.196 0.185 0.177 0.165 0.151 （1）求2023~2027年同比增长率的极差及20%分位数； （2）记2022~2027年的年份代码依次为1，2，3，4，5，6，根据2022~2026年的数据求得市场规模与年份的回归方程为，求的值及利用该方程求得的2027年市场规模预测数据与表中2027年市场规模的差的绝对值． 17．（15分）如图，在四棱锥中，底面是边长为3的菱形，是正三角形，，点为的中点． （1）证明：平面平面； （2）已知，点在棱上，且满足，求点到平面的距离． 18．（17分）已知椭圆经过点，且离心率为． （1）若，求的方程； （2）若，求的取值范围； （3）在（1）的条件下，，分别是的左、右顶点，，直线，分别与交于点，，证明：当变动时，直线过定点． 19．（17分）如果函数与的图象在处有公共点，且，则称的图象与的图象在处相切，其中称为与的“点”． （1）若与有“点”，求的值； （2）证明：对任意的，，与的“点”个数最多为1； （3）若的图象与的图象相切，且存在实数，使得，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三年级10月供题训练 数学参考答案 1．B 2．A 3．D 4．D 5．C 6．D 7．B 8．A 9．ACD（每选对1个得2分） 10．BD（每选对1个得3分） 11．ABD（每选对1个得2分） 12．5 13． 14． 15．解：（1）设的公比为， 则，所以， （2分） ，所以， （4分） 所以． （6分） （2）由（1）得， （7分） 所以，， （9分） 以上两式相减得 ， （12分） 所以． （13分） 16．解：（1）2023~2027年同比增长率按照从小到大排列为0.151，0.165，0.177，0.185， 0.196， （1分） 所以极差为， （3分） 因为， （4分） 所以20%分位数是第1个数与第2个数的平均数． （7分） （2），， （9分） 因为点在回归直线上， 所以， （11分） 当时，， （13分） 所以该方程求得的2027年市场规模预测数据与表中2027年市场规模的差的绝对值为万亿元． （15分） 17．（1）证明：因为是正三角形，且点为的中点， 所以， （1分） 因为四边形为菱形，且， 如图，连接，则是正三角形，所以， （2分） 因为，，平面，所以平面， （3分） 在菱形中， （4分） 所以平面， （5分） 因为平面，所以平面平面． （6分） （2）解：因为与都是边长为3的正三角形，所以， 因为，所以， 所以， （7分） 所以，，两两垂直，以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， （8分） 连接，则，，，， （10分） 所以，，， （11分） 设平面的法向量， 则即 取，得， （13分） 设点到平面的距离为， 则． 所以点到平面的距离为． （15分） 18．（1）解：由，得， 所以， （1分） 由点在上，可得，即， 解得，所以， （3分） 故的方程为． （4分） （2）解：由（1）得，即， （5分） 设，则， 两边同时除以，整理得， （6分） 因为，所以， 所以，解得， 所以的取值范围是． （8分） （3）解法一：证明：由（1）得，，设，， 直线的斜率为，所以直线的方程为， 与联立，得，恒成立， 因为，是该方程的两个根，所以， （10分） 所以，，即， （12分） 同理可得直线的方程为，， （14分） 由椭圆的对称性可知，若直线过定点，则该定点必在轴上，设其坐标为， 则， （15分） 整理得，所以， （16分） 即直线过定点． （17分） 解法二：由（1）得，，设，， 则直线的斜率，直线的斜率， 故． （9分） 因为点在椭圆上，所以，即， 所以． （10分） 又，，代入， 得， 所以． （11分） 由题意直线的斜率不为0，设直线的方程为， 联立得，， 所以，， （13分） 所以 ， （15分） 解得， （16分） 所以直线过定点． （17分） 解法三：同解法二，得， （11分） 将椭圆向左平移2个单位长度， 则椭圆方程为，即． （12分） 设平移后直线对应的直线的方程为， 所以， （13分） 展开整理得， 当时，两边同除以得， 设平移之后，，，则，， 所以， （14分） 解得， （15分） 所以直线的方程为，恒过定点， （16分） 所以直线过定点． （17分） 19．（1）解：与有“点”，即直线与的图象相切， 因为，令，得，， （1分） 所以切点坐标为， （2分） 代入，得． （3分） （2）证明：设是与的“点”， 由，得， （4分） 又，， 由，得，，， （5分） 若，则，矛盾，所以， 把代入， 得，设， （6分） 假设，是与的两个不同的“点”， 则，是方程的2个不同实根， 所以，，且， 于是， （7分） 因为，所以， 所以，方程的判别式，与矛盾， 所以对于任意的，，与的“点”个数最多为1． （9分） （3）解：因为，， 所以，． 若的图象与的图象相切，设“点”为， 则即 （10分） 因为不满足方程，所以，， （11分） 代入，得， 所以问题转化为关于的方程有实根， （12分） 若，代入得，矛盾，所以， （13分） 所以，整理得， 所以，，（14分） 代入，得，所以． （15分） 所以，， 当时，，单调递减，当时，，单调递增 由，且时，， 可得的值域是． （16分） 若存在实数，使得，则，所以， 所以的取值范围是． （17分） 学科网（北京）股份有限公司 $