天津市第二十一中学2026-2027学年高二上学期10月月考数学试卷

2026-2027学年第一学期高二年级10月份练习数学学科 一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。 1.若直线的方向向量是è=(-1，V3),则直线的倾斜角是() A君 B.3 c号 D. 2.已知直线l1:mx+2y-2=0与直线2：5x+(m+3)y-5=0,若l1/2,则m=() A.-5 B.2 C.2或-5 D.5 3.如图，在四面体ABCD中，E是BC的中点，若AB=,AC=b,AD=C,则DE=() A.2a+26-c Ba+五+c c.-a-五+c D.ja+iB+id 4.已知A(-2,0),B(4,a)两点到直线l:3x-4y+1=0的距离相等，则a=() A.2 B C.2或-8 D.2或号 5.已知直线的方向向量是元=(-1，V2,-3),平面的法向量是元=（-3，-22，-)，则直线！与平面 的位置关系是() A.l/1a或lca B.I//a C.l与相交但不垂直D.L上a 6.已知向量à=(3，-1,2)，万=(-1,3，-2)，=(6,2，)，若d,b,三向量共面，则实数1=() A B.2 c D.3 7.设点A(2-3),B(-3,-2),若点(x,y)在线段AB上，则的取值范围是() A.(-∞，-4U匠，+∞）B-4,到 C..4 D.以上都不对 8.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点，点F在棱C1D1上，且 B D1F=1D1C,若B1F/平面A1BE,则λ=() A.B.C.D. 9.已知P点坐标为(2cos6,sin8),直线l:(m+2)x+(m+1)y-√3m-2V3=0与圆 M:x2+y2-2V3x+2=0交于A,B两点，则PA·PB的取值范围是() A.[-1,1]B.-4,4C.[6-4V3,6+4V3D.[7-4V3,7+4V3 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10.集合4=0xy)x2+y2=4,B={xy)I-2+0-4)2=r2r>03,若AnB中有 且仅有一个元素，则”的值是、 11.己知直线的方向向量为一=(1，V2,-1),若点P(-1,1,-1)为直线外一点，A(4,1,-2)为直线上一 点，则P到直线的距离为· 第1页，共4页 12.己知直线l1:4x+2y-7=0和l2:2x+y-1=0,直线m分别与l1,l2交于A,B两点，则线段AB长度的 最小值为 13.直线在两坐标轴上的截距相等且与圆(x-2)2+y2=2相切的直线的方程为· 14.若正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC所 成角的余弦值为 15.过P(0,3)作直线l:(m+n)x+(2n-4m)y-6n=0的垂线，垂足为Q,点Q到直线x-2y-8=0的 距离的最小值为 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.(本小题14分) 己知点A(4,-1),B(-3,1),直线：2x+y-m=0. (1)若经过点B,求l在y轴上的截距； (2)若直线L1经过点A且与垂直，求L1的方程，并化成一般式 (3)若O为坐标原点，求△AOB中OA边上的中线所在直线的方程，并化成一般式. 17.(本小题15分) D 如图，平面ABCD⊥平面ABE,AD⊥AB,AB/CD,AE=AD=CD=2AB= 1,∠EAB=90°. B (I)求直线BC与平面ADE所成角的大小： (2)求平面BCE与平面ADE所成夹角的正弦值： (3)求点D到平面BCE的距离. 第2页，共4页 18.(本小题15分) 己知点A(-1,2)和直线l:x-y+1=0,点B是点A关于直线的对称点. (1)求点B的坐标： (2)O为坐标原点，且点P满足IPO1=V3PB引，求点P的轨迹方程； (3)若点P的轨迹与直线x+my+1=0有公共点，求m的取值范围. 19.(本小题15分) 已知x2+y2-4x+2my+2m2-2m+1=0(m∈R)表示圆C的方程， (1)求实数m的取值范围： (2)当圆C的面积最大时，求过点A(4,-4)的圆的切线方程 (3)P为圆上任意一点，已知B(6,0),在(2)的条件下，求PA2+IPB2的最小值. 第3页，共4页 20.(本小题16分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为矩形，AC与BD相交于点O,AB=2V2,BC=2,平面PAC⊥ 平面ABCD,且PA=PC,点E,F分别是棱AB,PC的中点， (1)求证：PA//平面BDF: (②)若直线PA与平面PBD所成的角的正弦值为号. ①求PA的长： ②求平面PDE与平面FDB的夹角的余弦值. D: 46--- 第4页，共4页 【答案】 1.C 2.A 3.A 4.D 5.A 6.B 7.A 8.C 9.C 10.3或7 11.V17 12.5 2 13.y=±x或x+y-4=0 14.3 15.V5 16.解：(1)因为直线l:2x+y-m=0经过点B(-3,1), 则2×(-3)+1-m=0,解得m=-5, 因此直线L的方程为2x+y+5=0. 当x=0时，y=-5,故直线l在y轴上的截距为-5； (2)直线l:2x+y-m=0的斜率为-2， 因为直线！1与1垂直，所以！1的斜率为， 又直线1，经过点A(4,-1), 则直线L,的方程为y-(-1)=1(x-4),即x-2y6=0: (3)0A的中点M的坐标为M(2,-), 2 _1-1 则kBM=2--3)10 =2 故0A边上的中线所在直线的方程为y-1=:+3),即3x+10y-1=0, 17.解：因为平面ABCD⊥平面ABE,交线为AB,AD⊥AB,所以AD⊥平面ABE, 又因为∠EAB=90°，则以点A为坐标原点，AE,AB,AD的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方 向，建立如下图所示的空间直角坐标系， 由已知AE=AD=CD=AB=1,所以A(0,0,0),B(0,2,0),C(0,1,1),D(00,1), 2 E(1,0,0): 第1页，共0页 B>Y )因为一=(0，-1,1)，平面ADE的法向量为n1=(0,1,0), BC 设直线BC与平面ADE所成角为01， sin81=lcos<一，一>|= B C n1= 12 B C n 1 一一2-2 B C n 1 0≤01≤2 所以直线CE与平面ADE所成角为经： )设平面BCE的法向量为n2=(x,yz), 又一=(0，-1,1，一=(1-2,0)， B C BE 一·一=-y+z=0, 则n1Bc 。=x-2y=0，取一=(21,10， 又n1=(0,1,0),设平面BCE与平面ADE所成夹角为02， 一·一 c0s02=lcs(一一1=之-店-6 n1n2= 1V6 30 sin62=6 n 1 n 2 n 1 n 2 则平面BCE与平面ADE所成夹角的正弦值为30 6 D因为DC=(0,1,0),平面BCE的法向量为一=(2,1,1)， 所以点D到平面BCE的距离为一cos<一，一>|= Dc n2_V6 D C D C n2 6 n 2 18.解：(1)设B(a,b),A(-1,2), 因为点B与点A关于直线l的对称， 则有线段AB的中点M(&-1,b+2)在直线L上， 2’2 即0-1_b+2+1=0@, 22 第2页，共0页 又直线AB1直线L,且直线L的斜率为1，则2-名=-1②， a+1 联立①2，解得0=1 b=0 故点B的坐标(1,0)： (2)设P(x,y),由P0|=V3PB1, 则|P012=31PB12, 故x2+y2=3[(x-1)2+y2], 化简得x-2+y2子 所以点P的轨迹是圆，其方程为(x一2+y2-子 圆心坐标（号0），半径为号 (3)又因为直线x+my+1=0与圆(x-)2+y2有公共点， 4 利用圆心到直线的距离小于等于半径， 13+1 则2≤ 2m2≥2， 3 m2+1 解得me(-m,-1u[5,+o). 故m的取值范围为(-0，-01u6,+o) 19.解：(1)由题可知：(x-2)+(y+m)2=3+2m-m2, 该方程表示圆，则3+2m-m2>0, 即m2-2m-3<0,解得-1<m<3. 则实数m的取值范围为(-1,3)： (2)令y=3+2m-m2=-(m-1)2+4,(me(-1,3), 开口向下，对称轴为m=1∈（-1,3)， 当m=1时，圆C的面积取得最大值，此时圆的方程为(x-2)+(y+1)=4, 当切线的斜率不存在时，切线方程为x=4满足题意； 当切线的斜率存在时，设切线方程为y+4=k（x-4),即kx-y-4k4=0. 圆心(2，-1)到切线的距离等于半径长， 即2k+1-4k=4=2,解得k=-5 V1+k2 12 第3页，共0页 即切线方程为y+4=(x),即5x+12y+28=0: 综上所述，所求切线方程为x=4和5x+12y+28=0: (③)设P(xy) 则PA12+PB12=(x-4)2+0y+4)2+(x可2+y2=2x-)2+0y+22|+10, 设M(5,-2),则(x-52+(y+2)2表示圆C上的点P与点M的距离的平方， 由(2)知C(2,-1), 又1CM=J(5-2)2+(-2+1)2=V10>2,则点M在圆C外面， 所以P MImin=|CM-2=V10-2, 则PA12+1PB12）nn=2(V0-2°+10=28-8W10+10=388而. 则1PA12+1PB12的最小值为38-8V10. 20.证明：如图，连接0F,由于0，F分别是AC,PC中点， A- E B 则0FPA,PA￠平面BDF,OFc平面BDF, 则PA平面BDF; ①2：②2V22 11 【解析】 1.略 2.【分析】 本题考查直线的平行，属于基础题利用两条直线平行的性质列式计算即可. 【解答】 解：若L1∥12'则m(m+3)-2×5=m2+3m-10=(m-2)(m+5)=0,所以m=2或m=-5. 当m=2时，11’12重合；当m=-5时，符合题意. 3.【分析】 本题考查空间向量的基本定理与空间向量的线性计算，属于基础题， 运用空间向量线性运算即可求解. 【解答】 第4页，共0页 解：因为点E是BC的中点， 所。e乱。+）。c乱+乩+ D E 1 1一+ 1 十 =1+1 AD 2b c 故选A. 4.【分析】 本题主要考查点到直线的距离公式，考查方程思想，属于基础题. 根据已知条件，结合点到直线的距离公式，即可求解. 【解答】 解：：A(-2,0),B(4,a)两点到直线l：3x-4y+1=0的距离相等， -2×3-4×0+1_3×4-4a+1,解得a=2或2， /3+(4)2 2 3+(4)2 2 故选：D· 5.【分析】 本题考查了利用空间向量判定线面平行关系，属基础题. 根据直线的方向向量与平面的法向量的位置关系可判断直线与平面的位置关系. 【解答】 解：一·一=(-1，V2,-3)·(-3,-22,-)=3-4+1=0, m n 所以m⊥n, 所以la或lca. 故选：A· 6.【分析】 本题考查空间向量共面定理的运用，属于基础题， 根据一，一，一三个向量共面，可得一=m一+n一，再利用坐标运算即可得答案. a b c c ab 【解答】 解：己知向量一=(3，-1,2)，一=(-1,3，-2)，一=(6,2,1) b 由于一，一，一三个向量共面，所以存在实数m,n, a b c (6=3mm 使得一=m一+n一，即有2=m+3n, a b λ=2m-2m 第5页，共0页 解得m=多n-多入=2. 故选B. 7.【分析】 本题考查直线的斜率取值范围，属于基础题， 取点Q(①，1)，将'1的取值范围转化为求直线PQ的斜率k的取值范围，结合图像，即可求解. x-1 【解答】 解：如图，取点Q(1,1), 则'一1的取值范围等价于直线PQ的斜率k的取值范围， x-1 (1.1) 10 B(-3,-2) A(2,-3) 因为点A(2,-3),B(-3,-2),点P(x,y)在线段AB上， 则直线PQ的斜率满足：k≤kgA或k≥kgB, 又k =23-1=-4,k0B=-3-14 =-2-1_3 QA2-1 所以k≥3或k≤-4， 即'-1的取值范围为(-0,4U[民，+∞)， x-1 故选A. 8.【分析】 本题考查线面平行的向量表示，属于中档题. 先求平面A,BE的法向量，根据线面平行可得一· 一=0，运算求解即可： n BF 【解答】 解：如图所示，以A为原点，AB,AD,AA1所在直线分别为x轴、y轴、Z轴，建立空间直角坐标 系，设正方体的棱长为1， 第6页，共0页 B X/B 则B(100).E(01,2,D101,1.C1111)A100,1), 可得。太=(-100。E(1月， B A 一=-X十z=0 n 设一=(xy,2)是平面A1BE的法向量，则 BA1 =-x+y+=0 n BE 令z=2,则x=2,y=1,即一=(2,1,2)， 由一=(1,0,0)，且一=1一，可得F(0,11)(0≤1≤1)， D1C1 又因为B1(1,0,1),则一=(1-1,1,0， BF 由B1F/平面A1BE,可得一· =2(-1)+1×1+0×2=0， n B F 解得入=号 故选：C. 9.解：由x2+y2-2V3x+2=0得(x-V3+y2=1,所以圆心M(N3,0,半径r=1, 由m+2)x+(m+1)y-3m-2V3=0得m(x+y-3+2x+y-23=0, 由x+y5=0料=5.所以直线过定点(5,0即为圆心M, 2x+y-23=0'y=0 所B超省的两故所，行。 M 。。a。g）-(。gab 第7页，共0页 因为P(2cos9sin6),M(√3,0)，所以一=(V3-2cos9,-sin6) P M bf=(N5-2a0)}+sn29=3-4N5a6+4as20+sn20=3as20-4W5a+4 令am9=t-1.则。P=3t2-4W5t+4=3t-2, 所以当t=1时， 取得最小值7-4W3:当t=-1时， 取得最大值7+4W3, P M 02 所以一·一 -1∈[6-4W3,6+4W3, P A P B P M 故选：C. 10.【分析】 本题考查圆与圆的位置关系，考查集合的交集，属于中档题 由题可知圆x2+y2=4与圆(x-3)2+0y-4)2=r2(>0)相切，即可求解. 【解答】 解：据题知集合A中的元素是圆心为坐标原点，半径为R=2的圆上的任一点坐标， 集合B的元素是以(3,4)为圆心，r为半径的圆上任一点的坐标， 若AnB中有且仅有一个元素， 则集合A和集合B只有一个公共元素即两圆有且只有一个交点，则两圆相切， 圆心距d=R+r或d=r-R, d=√32+42=5， 则r的值为3或7， 故答案为3或7， 11.【分析】 本题考查直线的方向向量，以及点到直线的距离的空间向量的解法，属于一般题目， 第8页，共0页 根据点P到直线！的距离为 sn<一，一>，分别计算向量的模长与夹角的正弦值即可求 m P A 解 【解答】解：P(-1,1,-1),A(4,1,-2), 一=(5,0，-1)，又一=(1，V2,-1), PA .C0S<一， 一>=，mPA =5+1=3 m 2V26V26 Im P A sin<一， m 。26’ PA 又：=26， IP A 点P(-1,1,-1)到直线l的距离为： m<。426x26 =√17， IP A m PA 故答案为：V17. 12.【分析】 本题考查两直线平行的判定和两平行线间的距离公式，由方程判定两直线平行，由题意线段AB的最小值 为两平行线间的距离，利用距离公式求解即可. 【解答】 解：l2:2x+y-1=0即12：4x+2y-2=0,与直线l1:4x+2y-7=0平行， 由题意线段AB的最小值为两平行线间的距离， d=2--71_5 42+22 2 成答案为 13.解：由题意直线l在两坐标轴上的截距相等且与圆(x-2)2+y2=2相切， 当截距不为0时，设直线l:x+义=1，a≠0，即x+y-a=0, 00 圆(x-2)2+y2=2的圆心为(2,0)，半径为V2, 故l20-a1=V2,解得a=0(舍去)或4， 1+1 故直线方程为x+y-4=0, 当截距为0时，设直线L:y=kx, 则2kL=V2,解得k士1， 第9页，共0页 故直线方程为y=士x, 综上，直线方程为x+y-4=0或y=士x. 故答案为：y=士x或x+y-4=0. 分截距不为0和截距为0两种情况，设出直线方程，由直线与圆相切得到方程，求出答案. 本题考查了直线与圆的位置关系，是中档题. 14.【分析】 本题考查直线与平面所成角的正弦值的求法，属于中档题. 利用空间向量的坐标运算求解线面角即可. 【解答】 解： A D 6 如图，取AC中点0，连接0B,0D, 则有0D10B,0D10C,0B⊥0C, 所以以一，一，一为x,y,z轴正方向建系如图，设AB=2, O B O C O D 则A(0,-1,0),D(0,0,2),B1(N3,0,2),C(0,1,0), =(0,1,2),一=6N3,0,0),一=(0,1，-2)， AD DB 1 设平面B1DC的法向量为m=(xy,z), ·=V3x=0 则有 D B m 1 ,令y=2,则z=1,x=0, 一·一=y-2z=0 D C m 所以一=(0,2,1)， m 设直线AD与平面B,DC所成角为日， 则sin8 .A D m IA D 第10页，共0页 因为0∈ /0交 所以cos6=3 2 5 故答案为：号 3 15.直线l:(m+n)x+(2n-4m)y-6n=0可化为m(x-4y)+n(x+2y6)=0, 由+2y-6=0 x-4y=0, 解得x=4 y=1, 直线l经过定点(4,1)，记M(4,1),线段PM的中点记为G,则G(2,2).~PQ⊥1，·点Q在以 G为圆心，PG1=V5为半径的圆上，其标准方程为(x-2)2+0y-2)2=5.圆心G到直线x-2y-8= 0的距离d_2-2x2-8=2N5,·点Q到直线x-2y-8=0的距离的最小值为2V5-V5=V5. 5 16.详细解答和解析过程见【答案】 17.①建系，利用向量法，即可求解： (四建系，利用向量法，即可求解： 四建系，利用向量法，即可求解， 本题考查了线面角、二面角和点到平面距离的计算，属于中档题 18.本题主要考查点、直线间的对称问题，与圆相关的轨迹问题，直线与圆的位置关系的判断及求参，点 到直线的距离，两条直线平行、垂直与倾斜角、斜率的关系，两点间的距离公式，属于中档题. (1)设点设B(Q,b),由题可知2-1_b+2+1=0①，b-2=-1②，求解a和b即可： 22 a+1 (2)设点P(x,y),由题可知|P012=3PB12,化简即可： (3)根据直线x+my+1=0与圆(x-3)2+y2=3有公共点，则 3+1 ≤ 3 化简即可. m+1 19.本题考查圆的方程，圆的切线以及点到圆上的点的最值问题 (1)根据方程表示圆，列出不等式，从而可得答案： (2)求出圆C的面积取得最大值，m的值，即半径最大时，m的值，再分切线斜率存在和不存在两种情况 讨论即可得解： 3)设P(y)则PA+PB2=2x-5)2+y+2)+10,设M(5,-2),则(x-5)2+ (y+2)表示圆C上的点P与点M的距离的平方，求出PM的最小值，即可得解. 第11页，共0页 20.(1)证明：如图，连接0F,由于0，F分别是AC,PC中点， A…O B 则OF/IPA,PA平面BDF,OFc平面BDF, 则PA/平面BDF. (2)①因为ABCD是矩形，故0是AC的中点，又PA=PC,所以PO⊥AC, 又平面PAC⊥平面ABCD,平面PAC∩平面ABCD=AC,POC平面PAC, 故PO⊥平面ABCD, 如图，以0为坐标原点，OE,，OP所在的直线分别为x轴，z轴，过点0且与AB平行的直线为y轴， 建立空间直角坐标系. 设0P=a(a>0), 所以A(1,-V2,0),B(1,V2,0),D(-1,-V2,0),P(0,0,a) 故AP=(-1,V2,a), 设平面PDB的法向量为m=(xy,z),又一=(2,22,0)，一=(0,0，Q), D B 0 P ·一=2x+2V2y=0 D B 一·一=az=0 O P O P 故可取一=(N2,-1,0), 因为直线PA与平面PBD所成的角的正弦值为√6， 所以cos<一，一>=nAP 2V2 nAp 2 n A P V1+2+a×V2+1 解得a=1,所以AP=|一|=V1+2+1=2: A P 第12页，共0页 ②蜘图，因为8(100.F(子要， 设平面PDE的一个法向量为n1=(x1y121),又。一=(-2，-V2,0),。一=(-10,1)， ED EP 一=-2x1-V2y1=0 ,所以 n1 E D EP 。=-X1+z1=0, 故可取一=(1，-V2,1), 设平面FDB的-个法向量为m2=c2y22小又。=2220，=号3婴，》 -·一=2x2+2W2y2=0 则 所以人 n 2 DB n. n 2 DF 2t2*3 32y2+22=0 故可取一=(N2,-1,2W2, 设平面PDE与平面FDB的夹角为0， 一·一 所以c0s6=|os<一，一>|= n1n2 4V2 2W22 一l一|√1+2+1×V2+1+8 11 n 1n 2 n 1 n 2 即平面PDE与平面FDB的夹角的余弦值为受 (1)连接0F，利用中位线性质，结合线面平行判定证明即可： (2)①通过建系，写出相关点和向量坐标，求得平面PDB的法向量坐标，利用空间向量的夹角公式列方 程，求解即得： ②分别求出两平面的法向量，利用空间向量的夹角公式计算即得. 本题考查线面平行的判定，以及向量法的应用，属于中档题.