精品解析：天津市滨海新区大港第一中学2026-2027学年高二上学期第一次形成性检测数学试卷

大港一中2026-2027学年度上学期第一次形成性检测（高二数学） 一、单选题：本题共14小题，每小题5分，共70分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题可得直线斜率，即可得倾斜角. 【详解】，则直线斜率为， 则直线倾斜角满足. 故选：B 2. 两圆，的公切线共有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件判断圆与的位置关系即可作答. 【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 而，即圆与外切，它们有3条公切线， 所以圆与的公切线有3条. 故选：C 3. 直线和直线，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由题意先求出的充要条件，然后根据充分不必要条件的定义判断即可. 【详解】由题设， 解得或. 故，. 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：B. 4. 已知圆与相交于、两点，则公共弦的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】两圆方程相减，求出公共弦所在的直线方程，再利用点到直线的距离公式求出到直线AB的距离，根据几何法求弦长即可. 【详解】由两圆方程相减即得， 此为公共弦AB所在的直线方程. 圆的圆心，半径. 到直线AB的距离为， 故公共弦长. 5. 已知直线过点，且纵截距为横截距的两倍，则直线的方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】分直线过原点与不过原点两种情况求解可得直线的方程. 【详解】根据题意，分2种情况讨论: ①直线过原点，设直线方程为，又由直线经过点， 所以，解得，此时直线的方程为，即； ②直线不过原点，设其方程为，又由直线经过点， 则有，解可得，此时直线的方程为， 故直线的方程为或. 故选：D. 6. 已知曲线C的方程为，则下列说法不正确的是（ ） A. 曲线C可以是圆 B. 若，则曲线C为椭圆 C. 曲线C不可能表示抛物线 D. 若曲线C为双曲线，则或 【答案】B 【解析】 【分析】利用圆及圆锥曲线方程的特征逐项判断即可得解． 【详解】对于A，当时，方程为是圆，A正确， 对于B，当，即或时，曲线是椭圆，B错误： 对于D，当曲线为双曲线时，，则或，D正确． 对于C，当且时，曲线只能是圆、椭圆、双曲线之一， 因此曲线不可能表示抛物线，C正确； 故选：B 7. 已知圆，直线，则下列说法正确的是（ ） A. 直线过定点 B. 直线与圆一定相交 C. 若直线平分圆的周长，则 D. 直线被圆截得的最短弦的长度为 【答案】B 【解析】 【分析】根据方程的形式，联立方程，即可求定点，判断A，再根据定点与圆的关系，判断直线与圆的位置关系，判断B，根据直线平分圆的周长，可得直线与圆的关系，判断C，当定点为弦的中点时，此时弦长最短，结合弦长公式，即可求解. 【详解】A.联立，得，不管为何值，直线恒过点，故A错误； B.，所以点在圆内，即直线与圆一定相交，故B正确； C. 若直线平分圆的周长，在直线过圆心，，得，故C错误； D.当定点为弦的中点时，此时弦长最短， 此时圆心到弦所在直线的距离， 则弦长，故D错误. 故选：B 8. 已知两点，直线与线段相交，则直线的斜率取值范围是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出直线所过定点，画出图形，再求出，的斜率，数形结合得答案． 【详解】解：直线过定点， ，， 直线与线段相交，则直线的斜率取值范围是． 故选． 【点睛】本题考查直线系方程的应用，考查直线斜率的求法，体现了数形结合的解题思想方法，是基础题． 9. 如果椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设这条弦的两端点,则：,用点差法得到：，代入中点坐标，即得解斜率k. 【详解】设这条弦的两端点，斜率为， 则： 两式相减得： 变形得：，又弦中点为：，故 故这条弦所在得直线方程为：，即 故选：D 【点睛】本题考查了点差法在弦中点问题中的应用，考查了学生转化与划归，数学运算的能力，属于中档题. 10. 已知实数满足方程，求的最大值和最小值（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，把转化为圆上一点与原点连线的斜率，设，结合直线与圆的位置关系，列出方程，即可求解. 【详解】由方程，可化为， 表示以为圆心坐标､为半径的圆， 由的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，设，即， 如图所示，当直线与圆相切时，斜率取得最大值或最小值， 此时，解得，所以的最大值为，最小值为. 11. 在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从点出发，爬到轴后又爬到圆上，则它爬行的最短路程是（ ） A. B. 4 C. 8 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据将军饮马模型，求得对称点，利用两点距离公式，可得答案. 【详解】由圆，得圆心，半径， 易得点关于轴的对称点为， 如图，所求的最短路程即为到圆上的点的最短距离． 故选：A. 12. 已知圆上的点到直线的距离为，则点个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【详解】圆，圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为, ， 所以直线与圆相交， 又因为， 所以圆上到直线的距离为1的点有4个. 如图所示： 13. 已知椭圆的左､右焦点分别为、，过作直线与椭圆相交于、两点，，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，则，利用椭圆的定义及勾股定理解得， 表示出，，再利用锐角三角函数表示出，由余弦定理表示出，即可得到方程，解得，即可求出离心率. 【详解】如图所示，设，，设，则， 在中，， 由椭圆定义可知，， ，解得， 所以，， 在中，可得， 在中，由余弦定理可得， ， ，即0， 解得，所以椭圆离心率. 故选：D. 14. 已知直线，点到的距离之积为，记点的轨迹为曲线，若与曲线有四个交点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设出，根据题干列出等式，求出轨迹方程，再根据与曲线有4个交点，求出参数a的范围. 【详解】设，由题意得，所以，即， 所以点的轨迹为两个双曲线. 双曲线的实半轴长为1，双曲线1的实半轴长为3， 由，得0），表示以原点为圆心，为半径的圆的上半圆， 若曲线与半圆有四个交点，则3，即. 故选：B. 二、填空题：本大题共8小题，共40分． 15. ，与直线平行，则直线与的距离为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据两直线平行的条件列出方程即可求出m的值，求出直线的方程，再由两平行线间的距离公式求出直线与的距离． 【详解】因为//，所以，解得， ， ， 由两平行直线的距离公式可得：， 故答案为： 16. 已知椭圆x2+4y2＝16，直线l过点其左焦点F1，且与椭圆交于A、B两点，若直线l的斜率是1，则弦长|AB|＝__． 【答案】## 【解析】 【分析】先求直线的方程，再联立直线与椭圆方程，由弦长公式求解 【详解】椭圆的标准方程为1，其中a＝4，b＝2， 则c2，， 又由直线的斜率为1，则直线的方程为 与椭圆的方程联立可得： 弦长|AB|； 故答案为： 17. 若抛物线过点，则抛物线的标准方程为________. 【答案】或 【解析】 【分析】分别设抛物线的方程为和，代入已知点的坐标即可求解． 【详解】设抛物线方程为，则，，方程为． 设抛物线方程为，则，，方程为． 故答案为或． 【点睛】本题考查抛物线的标准方程．由于已知抛物线上一点的坐标，因此可根据此点位置设出抛物线的标准方程，如本题可设抛物线标准方程为或．当然也可不考虑焦点在坐标轴的正半轴还是负半轴，直接设抛物线方程为和，然后代入点的坐标求解．但一定要注意对焦点在轴还是在轴要分类讨论． 18. 已知椭圆的离心率，则的值为________. 【答案】1或16##16或1 【解析】 【详解】∵椭圆方程为， ∴①当椭圆焦点在x轴上时，a2=4，b2=m，可得c= ， 离心率e= = ，解得1； ②当椭圆焦点在y轴上时，a2=m，b2=4，可得c= 离心率e= =，解得m=16． 综上所述m=16或m=1 故选D． 点睛：分当椭圆焦点在x轴上或焦点在y轴上进行讨论，根据椭圆的标准方程算出a、b、c值，由离心率为建立关于m的方程，解之即可得到实数m之值．最后两种情况. 19. 已知双曲线C：的左焦点为F，过F且与C的一条渐近线垂直的直线l与C的右支交于点P，若A为PF的中点，且为坐标原点，则C的离心率为________. 【答案】 【解析】 【分析】设双曲线的右焦点为，设直线l与渐近线交于，可求出，，，由椭圆定义可得，，在直角三角形中，，即可求出，得出离心率. 【详解】如图所示，设双曲线的右焦点为，不妨设直线l与渐近线交于， 在直角三角形中，由点到直线的距离可得， ，， 为的中位线，，， ，， ， 则在直角三角形中，，化简得， . 故答案为：. 【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，解题的关键是正确利用直角三角形的性质和椭圆的定义表示出各线段长度，得到. 20. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，动点M在双曲线左支上，点N为圆上一点，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用双曲线定义将转化为，结合圆的性质放缩，再通过两点之间线段最短求解最小值. 【详解】双曲线中，，，故，， 左焦点，右焦点， 因动点在双曲线左支上，由双曲线定义得， 即， 圆的圆心为，半径， 对圆上任意点，有， 当且仅当共线且在之间时取等号， 由两点之间线段最短，， 当且仅当为线段与双曲线左支的交点时取等号， 代入得，等号可同时成立，故最小值为. 21. 双曲线C的渐近线方程为__________，点P是C上一点，、分别是C的左、右焦点，且，则__________． 【答案】 ①. ②. 13 【解析】 【分析】（1）根据双曲线方程求，然后再表示渐近线方程；（2）根据双曲线的定义，直接求解. 【详解】（1）双曲线C，，，，双曲线的渐近线方程； （2）根据双曲线的定义可知， 即，得或， 双曲线上的点到焦点距离的最小值是，所以. 故答案为：； 22. 已知椭圆的离心率是，一个顶点是，则椭圆的方程为__________，且，是椭圆上异于点的任意两点，且，则直线过定点__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由一个顶点坐标得，离心率得，由此可求得得椭圆方程，利用直线斜率存在且不为0，设斜率为，写出直线方程代入椭圆方程求得点坐标，再同理得点坐标，写出直线方程，由方程得定点坐标． 【详解】由题意，解得． 所以椭圆方程为， 由知直线斜率存在且不为0，设斜率为，直线方程为， ，得，或， 时，，即， 用代替，得， 于是直线的斜率为， 直线方程为：，整理得， 当时，对任意的，恒成立， 所以直线过定点． 故答案为：；． 【点睛】关键点点睛：本题考查直线与椭圆相交中的定点问题，求直线所过的定点，一般方法是设出参数，写出直线方程，由直线方程对于参数恒成立求得定点坐标．本题中设直线斜率为，写出直线方程，与椭圆方程联立求得点坐标，同理得点坐标，由两点得直线方程，化简后可得定点坐标．考查了学生的运算求解能力． 三、解答题：本题共3小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 23. 已知圆的圆心坐标，直线被圆截得弦长为． （1）求圆的方程； （2）从圆外一点向圆引切线，求切线方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）计算出圆心到直线的距离，利用勾股定理求出圆的半径，由此可得出圆的方程； （2）对切线的斜率是否存在进行分类讨论，在第一种情况下，写出切线方程，直接验证即可；在第二种情况下，设出切线方程为，利用圆心到切线的距离等于圆的半径，由此可得出所求切线的方程. 【小问1详解】 解：圆心到直线的距离为， 所以，圆的半径为， 因此，圆的方程为. 【小问2详解】 解：当切线的斜率不存在时，则切线的方程为，且直线与圆相切，合乎题意； 当切线的斜率存在时，设切线方程为，即， 由题意可得，解得，此时，切线的方程为. 综上所述，所求切线的方程为或. 24. 如图，在多面体中，，，，平面，，，. （1）求证：直线平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离. 【答案】（1） 因为，平面，平面， 所以， 所以，，两两垂直， 则以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 设平面的法向量，则， 令，得， 所以，则， 又因为平面 所以直线平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据，即可得证 （2）分别求出平面与平面的法向量，利用向量夹角公式即可求解值； （3）设点到平面的距离为，利用点到平面的向量公式即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由，得，， 设平面的法向量为，则， 令，得， 所以， 则平面与平面夹角的余弦值为. 【小问3详解】 由于，平面的法向量， 设点到平面的距离为， 则， 所以点到平面的距离为. 25. 已知：椭圆，过点，的直线的斜率为，原点到该直线的距离为． （1）求椭圆的方程； （2）斜率大于零的直线过与椭圆交于E，F两点，若，求直线的方程； （3）是否存在实数k，使直线交椭圆于P，Q两点，且以为直径的圆过点？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，，假设存在满足条件的实数，直线与椭圆交于两点，设，将直线方程代入椭圆方程： ， 因为直线与椭圆有两个交点，所以判别式： ，根据韦达定理： ①，②， 以为直径的圆过点，等价于，即向量，所以， ， ， 将和代入上式： ， ， 合并同类项，得： ， 将①、②代入上式： ， 两边同乘： ， 整理得：， 检验：当时，，满足的条件， 因此，存在实数满足条件，的值为. 【解析】 【分析】（1）通过两点坐标写出直线方程，结合斜率公式和点到直线的距离公式建立关于的方程组即可解出标准方程； （2）通过设直线方程与椭圆联立，将向量共线条件转化为坐标间的线性关系，再结合韦达定理进行“设而不求”的整体代换，从而求出斜率参数； （3）本问的核心在于将几何条件“以为直径的圆过点”等价转化为代数条件“”（即向量垂直），进而利用韦达定理代入求解参数，最后不要忘记检验判别式以确保交点存在. 【小问1详解】 已知椭圆方程为()，过点，， 由两点式可得直线的斜率， 因为已知该直线斜率为， 所以：，即，直线的方程可写为，即， 原点到该直线的距离为， 将代入上式： ， 解得（因为）， 所以， 因此，椭圆的方程为：. 【小问2详解】 由题意，直线过点且斜率大于零，设直线的方程为()， 设， 将直线方程代入椭圆方程中，化简得： ， 根据韦达定理： ①，②， 由，且，得： ， 由此可得③， 由③得，代入①中：， 则， 将的表达式代入②中： ， 化简得： ， 即， 解得：，因为，所以， 因此，直线的方程为： . 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大港一中2026-2027学年度上学期第一次形成性检测（高二数学） 一、单选题：本题共14小题，每小题5分，共70分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 两圆，的公切线共有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 3. 直线和直线，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知圆与相交于、两点，则公共弦的长为（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线过点，且纵截距为横截距的两倍，则直线的方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 6. 已知曲线C的方程为，则下列说法不正确的是（ ） A. 曲线C可以是圆 B. 若，则曲线C为椭圆 C. 曲线C不可能表示抛物线 D. 若曲线C为双曲线，则或 7. 已知圆，直线，则下列说法正确的是（ ） A. 直线过定点 B. 直线与圆一定相交 C. 若直线平分圆的周长，则 D. 直线被圆截得的最短弦的长度为 8. 已知两点，直线与线段相交，则直线的斜率取值范围是 A. B. C. D. 9. 如果椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是 A. B. C. D. 10. 已知实数满足方程，求的最大值和最小值（ ） A. B. C. D. 11. 在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从点出发，爬到轴后又爬到圆上，则它爬行的最短路程是（ ） A. B. 4 C. 8 D. 12. 已知圆上的点到直线的距离为，则点个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 13. 已知椭圆的左､右焦点分别为、，过作直线与椭圆相交于、两点，，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 14. 已知直线，点到的距离之积为，记点的轨迹为曲线，若与曲线有四个交点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共8小题，共40分． 15. ，与直线平行，则直线与的距离为___________. 16. 已知椭圆x2+4y2＝16，直线l过点其左焦点F1，且与椭圆交于A、B两点，若直线l的斜率是1，则弦长|AB|＝__． 17. 若抛物线过点，则抛物线的标准方程为________. 18. 已知椭圆的离心率，则的值为________. 19. 已知双曲线C：的左焦点为F，过F且与C的一条渐近线垂直的直线l与C的右支交于点P，若A为PF的中点，且为坐标原点，则C的离心率为________. 20. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，动点M在双曲线左支上，点N为圆上一点，则的最小值为______． 21. 双曲线C的渐近线方程为__________，点P是C上一点，、分别是C的左、右焦点，且，则__________． 22. 已知椭圆的离心率是，一个顶点是，则椭圆的方程为__________，且，是椭圆上异于点的任意两点，且，则直线过定点__________． 三、解答题：本题共3小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 23. 已知圆的圆心坐标，直线被圆截得弦长为． （1）求圆的方程； （2）从圆外一点向圆引切线，求切线方程． 24. 如图，在多面体中，，，，平面，，，. （1）求证：直线平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离. 25. 已知：椭圆，过点，的直线的斜率为，原点到该直线的距离为． （1）求椭圆的方程； （2）斜率大于零的直线过与椭圆交于E，F两点，若，求直线的方程； （3）是否存在实数k，使直线交椭圆于P，Q两点，且以为直径的圆过点？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $