3-3函数的奇偶性讲义-2027届高三数学一轮复习
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普通
内容正文：
2027届高考数学一轮复习3-3函数的奇偶性讲义
新高考全国卷考情解读
考点
新高考I卷、新高考Ⅱ卷五年考情(2022-2026)
命题解读
判断奇偶性
判断函数的奇偶性、奇偶性与图象。
2026新Ⅱ卷I8、2025新I卷T5、2025新川卷T10、
由奇偶性求参数或函数值
已知奇偶性求参数值或函数值：
2023新I卷T11、2025新Ⅱ卷T4、
知识梳理
定义
图象特点
偶函数
对于定义域内任意一个x,都有几一)=)，那么)是偶函数
关于y轴对称
奇函数
对于定义域内任意一个x,都有一)=一)，那么)是奇函数
关于原点对称
(1)fx)为奇函数台f(一x)=一f(x)台f(一x)+f(x)=0台
f-9=-1
概念及运算
概念等
价式
(2)fx)为偶函数台f(-x)=f(x)台f(-x)一fx)=0台
f-=1
f(x)
g(x)
f(x)+g(x)
f(x)-g(x)
f(x)·g(x)
f(x)÷g(x)
flg(x)]
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶性的运
偶函数
奇函数
不能确定
不能确定
奇函数
奇函数
偶函数
奇函数
偶函数
不能确定
不能确定
奇函数
奇函数
偶函数
奇函数
奇函数
奇函数
奇函数
偶函数
偶函数
奇函数
函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件
如果一个奇函数f(x)在x=0处有定义，那么一定有f(0)=0
如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)=f(x)
在关于原点对称的区间上：奇函数具有相同的单调性，偶函数具有相反的单调性.
用结
(-o,+o),(-m,m),[-m,m],
常见
(-o∞，-m)U(m,+o),(-n,-m)U(m,n),[-n,-m]U[m,n],
对称
函数的奇偶
区间
(-o,-m]U[m,+∞)，(-n,-mU[m,n),[-n,m)U(m,m
若y=f(x十a)是奇函数÷f(x)关于点(a,0)对称
若y=f(x十a)是偶函数“f(x)关于直线x=a对称
若奇函数f(x)在区间D上有最值，则fax(x)+fmin(x)=0
若函数f(x)的定义域关于原点对称，则f(x)能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式
即fx)=g(8)+h(8,其中：gx)=fx)+f(-x,h(8)=f☒)-f(-x]
1.f(x)=ax+ax(a>0,a≠1)为偶函数；
2.f(x)=ax-a-x(a>0,a≠1)为奇函数；
30侧==-
(a>0,a≠1)为奇函数：
见的
4f0网)=log8(a>0.a≠1，b≠0)为奇函数：
5.f(x)=loga(x2+1±x)(a>0,a≠1)为奇函数：
偶函
6.f(x)=lax+bl+|ax-b为偶函数；
7.f(x)=lax+bl-ax-b为奇函数；
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新高考五年真题剖析
1.(2026新IⅡ卷T8)已知f()是定义域为R的偶函数，f)+fx-2)=0,且当x∈服，3]时，f)=x2+ax+b,
则()
A.a=-2,b=-3
B.a=-2,b=3C.a=-4,b=-3D.a=-4,b=3
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】由奇偶性求参数、函数周期性的应用、函数奇偶性的应用
【分析】根据f(x)+fx-2)=0推出周期T=4,可得f(1.5)=f(2.5),得到a,再由f(-1)=0可得b.
【详解】f(x)+fx-2)=0,则f(x+2)+f(x)=0,
fx+4=-f(x+2)=f(x),即f(x)的周期为4，
结合奇偶性，周期性，故f(1.5)=f(-2.5)=f(2.5):
在[1.5,3]上满足f(1.5)=f(2.5),说明f(x)=x2+ax+b的对称轴为x=2,
则-=2，解得a=-4,
又根据f(x)+f(x-2)=0知f(1)+f(-1)=0,而f(1)=f(-1),
则f(-1)=0,于是f(3)=f(-1)=0,
即f(3)=9+3a+b=9-12+b=0,解得b=3.
2.(2025新I卷T5)设fs)是定义在R上且周期为2的偶函数，当2≤x≤3时，f)=5-2x,则f〔-)=()
A.-月
B.-
c.}
D.
【答案】A
【分析】根据周期性和奇偶性把待求自变量转化为[2,3]的范围中求解
【详解】由题知f(x)=f(-x),f(x+2)=f(x)恒成立，
于是f(-)=f原=f居+2)=f学)=5-2×号=-故选：A
4
3.(2025新Ⅱ卷T10川多选)已知fx)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，fx)=(x2-3)ex+2,则()
A.f0)=0
B.当x<0时，fx)=-(x2-3)e-x-2
C.fx)≥2当且仅当x≥V3
D.x=-1是f☒)的极大值点
【答案】ABD
【分析】对A,根据奇函数特点即可判断：对B,利用f(x)=一f(-x)代入求解即可：
对C,举反例f(-1)>2即可；对D,直接求导，根据极大值点判定方法即可判断.
【详解】对A,因为f(x)定义在R上奇函数，则f(O)=0,故A正确：
对B,当x<0时，-x>0,则f(x)=-f(-x)=-{[(-x)2-3]ex+2=-(x2-3)ex-2,故B正确：
对C,f(-1)=-(1-3)e-2=2(e-1)>2,故C错误：
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对D,当x<0时，f(x)=-(x2-3)ex-2,则f'x)=(x2-3)ex-2xex=(x2-2x-3)ex:
令f(x)=0,解得x=-1或3（舍去），
当xE(-oo,-1)时，f(x)>0,此时f(x)递增，当xE(-1,0)时，f(x)<0,此时fx)递减，
则x=-1是fx)极大值点，故D正确：故选：ABD.
4.(2023新I卷T11(多选)己知函数f(x)的定义域为R,f(xy)=y2f(x)+x2fy),则().
A.f(O)=0B.f(1)=0C.f(x)是偶函数
D.x=0为f(x)的极小值点
【答案】ABC
【难度】0.65
【知识点】函数极值点的辨析、函数奇偶性的定义与判断
【分析】方法一：赋值法，结合函数奇偶性的判断方法可判断选项ABC,举反例f(x)=0即可排除选项D.
方法二：选项ABC的判断与方法一同，对于D,可构造特殊函数f(x)=
x2nlx,x≠0进行判断即可.
(0,X=0
【详解】方法一：因为f(xy)=yfx)+x2fy):
对于A,令x=y=0,f(0)=0f(0)+0f(0)=0,故A正确
对于B,令x=y=1,f(1)=1f(1)+1f(1),则f(1)=0,故B正确.
对于C,令x=y=-1,f(1)=f(-1)+f(-1)=2f(-1),则f(-1)=0,
令y=-1,f(-x)=f(x)+x2f(-1)=f(x),
又函数f(x)的定义域为R,所以f(x)为偶函数，故C正确，
对于D,不妨令f(x)=0,显然符合题设条件，此时f(x)无极值，故D错误.
方法二：因为f(xy)=y2fx)+x2fy),
对于A,令x=y=0,f0)=0f0)+0f(0)=0,故A正确.
对于B,令x=y=1,f(1)=1f(1)+1f(1),则f(1)=0,故B正确，
对于c,令x=y=-1,f(1=f(-1)+f(-1)=2f(-1),则f(-1)=0,
令y=-1,f(-x)=f(x)+x2f(-1)=fx):
又函数f(x)的定义域为R,所以f(x)为偶函数，故C正确，
对于0，当x2y2≠0时，对f)=yf因+2f0)两边同时除以x2y,得到受=四+罗
x2
故可以设号=mc≠0)，则f=0x00
x2 Inlxl,x≠0
当x>0肘，f(a=x2nx,则f(x)=2xnx+x2.是=x(2lx+1),
令f(x)<0,得0<x<e克；令f(x)>0,得x>e克
故f()在(0，e月上单调递减，在(e方，+∞）上单调递增
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因为f)为偶函数，所以f(x,)在(-e气，0)上单调递增，在(o,e月上单调递减，
f(x)
显然，此时x=0是f(x)的极大值点，故D错误.
故选：ABC
5.2023新Ⅱ卷T④若)=(k+hx为偶函数，则a等于()
A.-1
B.0
c
D.1
【答案】B【详解】方法一
因为f)为偶函数，则1)=-1)，即(1+h=(-1+ah3,解得a=0.
当a=0时，)=h；由2x-1)2x+1>0,解得其定义城为{>或x<-引
,关于原点对称
2x+1
-)=(-9-=(-9h告=（←9加（会》1=血，）为锅面数，释合复意。载a=0
方法=设g)=血品易知的定义城为[中>或<-引
且)=nn-h品一g0.所以为奇西数.
2(-x)+1
2x-1
若f)=c+@血二为偶函数，则y=x+a也应为奇函数，所以a=0.
2x+1
重点题型分析
题型1判断函数奇偶性
【例1-1】（26-27高三上·天津期中)设函数f(x),g(x)的定义域为R,且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则
下列结论中正确的是(
)
A.f(x)g(x)是偶函数B.f(x引g(x)是奇函数C.f(x)引g(x是奇函数D.If(x)g(x)川是奇函数
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】函数奇偶性的定义与判断
【分析】利用函数的奇偶性对选项逐一判断即可.
【详解】易知选项ABCD中的函数定义域即为R:
因为f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，所以f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),
对于A,因为f(-x)g(-x)=-f(x)g(x),故fx)g(x)是奇函数，即A错误：
对于B,因为f(-xg(-x)=-f(x)川g(x)=If(x)g(x,故f(x)g(x)是偶函数，即B错误：
对于C,f(-x)lg(-x=-f(xlg(x,故f(x)引g(x是奇函数，即C正确：
对于D,If(-x)g(-x)l=-f(x)g(x)=If(x)gx)儿，故f(x)g(x)引是偶函数，即D错误.
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【例1-2】(2026广东广州.二模)函数f(x)=xx-m+n2是奇函数的充要条件是()
A.mn=0
B.m2+n2=0C.m-n=0
D.m+n=0
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】探求命题为真的充要条件、函数奇偶性的定义与判断、由奇偶性求参数
【分析】根据奇函数定义：若f(x)是奇函数，则对任意x都满足f(-x)=-f(x),且定义域为R时必有f(O)=0.
【详解】代入x=0得f(0)=0·l0-ml+n2=n2=0,因此n=0,
代入n=0得fx)=xx-ml,结合f(-x)=-f(x)即(-x1-x-l=-xx-ml,
整理得x+ml=|x-ml对任意x恒成立，平方化简得4mx=0对任意x恒成立，因此m=0,
因此f(x)是奇函数等价于m=0且n=0,即m2+n2=0,反之若m2+n2=0,必有m=n=0,
此时f(x)=xx确实是奇函数，故充要条件为m+n=0.
【例1-3】（26-27高三上·北京·开学考试)己知函数f(x)的定义域为R,则“x1,x2∈R,当x2f(x2)≠0时，
都有="是f为奇函数"的()
f(x2)x2
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】判断命题的充分不必要条件、函数奇偶性的定义与判断
【分析】先验证题设条件能否推出f(x)是奇函数判断充分性，再举反例验证奇函数是否一定满足题设条件判
断必要性，最终确定条件类型
【详解】已知Vx1,x2∈R,当x2f(2)≠0时，都有=，
"f(x2)x2
当x1=0时，可得0=0，因此f(0)=0.
f(x2)
对任意x≠0.令x1=x,x双=1，可得侣-克即f)=f四名
记k=f(1),由分母不为零可知k≠0，因此f(x)=kx,x∈R
此时f(-x)=k·(-x)=-kx=-f(x),满足奇函数定义，充分性成立：
若f(x)是奇函数，取反例f(x)=x3,其定义域为R且满足f(-x)=-f(x)是奇函数，
取x1=2,=1,则离-是=8。略星=2，二者不相等，不清足题设条件，枚必要性不成立
x21
综上所述，“x,x2∈R,当x2f(2)≠0时，都有-"是f()是奇函数"的充分不必要条件.
"f(x2)x2
【例1-4】（多选）（25-26高一上·广东广州·阶段检测)下列函数是偶函数的有()
A.f(x)=x
B.f(x)=xl
C.f(x)=x2+xl
D.fx)=(x+1)2
【答案】BC
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【难度】0.85
【知识点】函数奇偶性的定义与判断
【分析】根据偶函数的定义f(-x)=f(x),结合偶函数定义域关于原点对称的性质，逐一分析判断选项.
【详解】选项A:~f(x)=√x的定义域为[0，+∞)，不关于原点对称，∴f(x)=√x不是偶函数，故A错误：
选项B:f(x)=x的定义域为R,关于原点对称，且f(-x)=一x=Ix=f(x),满足偶函数定义，
·f(x)=x是偶函数，故B正确：
选项C:~f(x)=x2+x的定义域为R,关于原点对称，且f(-x)=(-x)2+-x=x2+x=f(x),满足偶
函数定义，·f(x)=x2+x是偶函数，故C正确：
选项D:~f(x)=(x+1)的定义域为R,关于原点对称，但f(-x)=(-x+1)≠(x+1)=f(x),不满足偶
函数定义，“.f(x)=(x+1)不是偶函数，故D错误.
故选：BC
【例1-5】(2026四川遂宁.一模)已知函数f(x)=x3-6x2+12,若函数g(x)=|f(x-m)+n为偶函数，
则mm=」
【答案】-8
【难度】0.65
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、由奇偶性求参数
【分析】令h(x)=f(x-m)+n,通过已知条件得出h(x)为奇函数，再根据h(-x)+h(x)=0即可求出.
【详解】令h(x)=f(x-m)+n,
因为函数g(x)=f(x-m)+n为偶函数，且h(x)为三次函数，h(x)为奇函数，即h(-x)+h(x)=0,
∴.(-x-m)3-6(-x-m)2+12+n+(x-m)3-6(x-m)+12+n=0
即-2m(3x2+m2)-6(2x2+2m2)+24+2n=0,即-6(m+2)x2-2m3-12m2+24+2n=0,
{2m-1证木子24+2n=0解得0=子，m-8
m+2=0
鲁方法提炼思维升华
定
确定定义域
义
法
判断f(-x)与
f(-x)=f(x),偶函数
判
判断定义域是否
是
f(x)的关系
f(x)=-f(x),奇函数
断
关于原点对称
上面2式均不对，非奇非偶函数
奇
否
非奇非偶函数
偶
性
图象法
关于原点对称，奇函数
关于y轴对称，偶函数
变式训练
1.(2627高三上上海徐汇·开学考试)函数)y-在定义域R上是（)
A.严格增的奇函数B.严格增的偶函数C.严格减的奇函数
D.严格减的偶函数
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【答案】A
【难度】0.85
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据解析式直接判断函数的单调性
【详解】函数定义域为R,关于原点对称记f=号f(-)==-f四，
2
故f)为奇函数.将函数变形为f()=1-3年1y=3在R上严格递增，
则y=严格递减，y=-名严格递增，因此f)=1-4在R上严格递增.
2.(2026重庆万州·三模)若y=f(x),y=f(g(x)分别为定义在R上的奇函数、偶函数，则g(x)的解析式可
以为()
A.g(x)=x2-x B.g(x)=x4+xl C.g(x)=x3+x D.g(x)=x4+x3
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数奇偶性的应用
【分析】根据题意得到g(x)为偶函数，利用奇偶性定义判断各项对应函数的奇偶性，即可得
【详解】由题意，在R上f(-x)=-f(x)且f(g(-x)=f(g(x)恒成立，
若g(x)为奇函数或非奇非偶函数，
则存在奇函数f(x)不能保证f(g(-x)=f(g(x)即f(-g(x)=f(g(x)恒成立，
若g(x)为偶函数，则g(-x)=g(x):
此时对于任意奇函数f(x)都有f(g(-x)=f(g(x),即f(g(x)=f(g(x)恒成立，所以g(x)为偶函数，
A,g(-x)=(-x)-(-x)=x2+x≠士g(x)且定义域为R,为非奇非偶函数，
B,g(-x)=(-x)4+-x=x4+lx=g(x)且定义域为R,为偶函数，
C,g(-x)=(-x)+(-x)=-x3-x=-g(x)且定义域为R,为奇函数，
D,g(-x)=(-x)4+(-x)3=x4-x3≠士g(x)且定义域为R,为非奇非偶函数
故选B
3.(2026江西南昌.一模)已知函数f(x)=x3-6x2+12,若函数g(x)=f(x-m)+n川为偶函数，则()
A.m=2,n=-4B.m=-2,n=4C.m=2,n=4D.m=-2,n=-4
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数奇偶性的应用、由奇偶性求参数
【详解】令h(x)=f(x-m)+n,
因为函数g(x)=If(x-m)+n为偶函数，且h(x)为三次函数，
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:
所以h(x)为奇函数，即h(-x)+h(x)=0,
所以(-x-m)3-6(-x-m)2+12+n+(x-m)3-6(x-m)2+12+n=0,
即-2m(3x2+m2)-6(2x2+2m2)+24+2n=0
即-6(m+2)x2-2m3-12m2+24+2n=0,
m+2=0
所以{2m-1流子24+2n=0解得m二
4.(多选)(2025·湖南·模拟预测)若函数f(x),g(x),h(x)的定义域都为R,且f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，则
()
A.f(x2)是偶函数B.If(x)川是偶函数C.g[f(x)]是奇函数D.f(x)h(Ix)是奇函数
【答案】ABD
【难度】0.85
【知识点】函数奇偶性的定义与判断
【分析】根据偶函数定义判断A,B,奇函数定义判断C,D.
【详解】函数f(x),g(x),h(x)的定义域都为R,
对于A,因为f(-x))=f(x2),所以f(x2)是偶函数，故A正确：
对于B,因为f(x)为奇函数，所以f(-x)川=一f(x)引=f(x)儿，则f(x)是偶函数，故B正确：
对于C,因g(x)为偶函数，则g[f(-x]=g-f(x)】=gf(x)小，即g[f(x)]是偶函数，故C错误：
对于D,因h(-x)=h(x,则h(x为偶函数，又因为f(x)为奇函数，则f(x)h(IxD是奇函数，故D正确.
故选：ABD.
5.(26-27高三上广东·阶段检测)己知函数f(x)的定义域为R,f(x)+x2为奇函数，f(x)+x为偶函数，则
f(1)=
【答案】-2
【难度】0.75
【知识点】求函数值、函数奇偶性的定义与判断、由奇偶性求函数解析式、函数奇偶性的应用
【详解】设g(x)=f(x)+x2,h(x)=f(x)+x.
因为g(x)为奇函数，所以对任意x∈R,有g(-x)=-g(x),即f(-x)+x2=-f(x)-x2:①
因为h(x)为偶函数，所以对任意x∈R,有h(-x)=h(x),
即f(-x)-x=f(x)+x,整理得f(-x)=f(x)+2x.②：由①得f(-x)=-f(x)-2x2.③
由②③联立，得f(x)+2x=-f(x)-2x2,即2f(x)=-2x2-2x,故f(x)=-x2-x.
所以f(1)=-1-1=-2.
题型2利用奇偶性判断函数图象
【例2-1】(25-26高三上江西·阶段检测)已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能是()
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A.fx)=21-2.xB.f()=x·21-2
C.f(x)=x·(x-1)D.f(x)=2xV1-x2
Y
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数图像的识别
【分析】根据函数的奇偶性和特殊值，逐个分析判断，即可得解.
【详解】由图象可知，函数的图象关于原点对称，故函数为奇函数，且x=1时，f(1)>0.
对于A,由f(x)=21-x,x∈R,
则f(-x)=2-(1-=21-1x=f因)，所以fx)为偶函数，不符合题意：
对于B,由f0=x·2-,x∈R,则f(-x)=-x21-（”=-x·21-2=-f0),
所以f(x)为奇函数，且x=1时，f(1)=1>0,符合题意：
对于C,由f(x)=x·(Ix-1),则f1)=0,不符合题意：
对于D,由f(x)=2x.V1-x2,则f(1)=0,不符合题意.
故选：B
【例22】(2526高三上云南曲靖期中)函数y=,的大致图象是（
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数图像的识别
【分析】利用奇偶性定义判断函数奇偶性，结合x>0的函数符号，利用排除法即可得解。
【详解】函数y=f)=的定义域为R,且f(-)=器=-f).
所以函数y=品是奇函数，排除AC:
当x>0时，y=品>0，排除D
故选：B.
【例23】(2627高三上河北廊坊阶段检测)函数f)-1的图象大致是（)
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【答案】B
【难度】0.85
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数奇偶性的应用、函数图像的识别、根据解析式直接判断函数的单
调性
【分析】先利用奇偶性、函数正负快速排除选项，再结合单调性与极限验证，本题∫(x)为奇函数，图象关于
原点对称，排除D;由x>0时f(x)>0可排除C,由x→+o∞时f(x)→+oo可排除A,从而可得结果.
【详解】：函数fa=,“定义域xr≠0，
f(-x)=【=-=-1=-fo),
-x
∴.f(x)是奇函数，图像关于原点对称，排除D:
当x>0,x≠1，f()=-1>0,x>0图象在x轴上方，排除C
当x+o时，f=21=1=x-是计o,故排除A
【例2-4】(25-26高三下·天津.阶段检测)函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可能是()
A.f0x)=21-
x3
B.fx)=22+
X
x3
C.f0=22-D
0.f=
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数图象的应用、根据函数图象选择解析式
【分析】由x取值情况判断B:由0<x<1时函数值情况判断C:由f(O)的值判断D:分析函数性质判断A.
【详解】对于B,函数()=+的定义域为R。而给定图象对应函数中x≠士1，B不是：
对于C,函数f()=22-
x3
,当0<x<1时，f(x)<0,此时图象在x下方，C不是：
对于0，函数f冈=f0)=-克其图象过点0，-)，D不是：
x2+1
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对于A,函数f)=n定义域为-0，-1)u(-11)u(4,+o),
(-x)3
-x3
f(-)2=一f四，函数f)为奇函数，图象关于原点对称，
当0<x<1时，f(x)>0:当-1<x<0时，fx)<0,A可能是
【例2-5】（多选）(25-26高三·全国一轮复习)己知图甲中的图象对应的函数y=f(x),则图乙中的图象对应
的函数可能是()
A.y=f(x)
B.y=If(x)l
C.y=f(xl)
D.y=-f(lxl)
甲
【答案】CD
【难度】0.85
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数对称性的应用、函数图像的识别、函数图象的变换
【分析】根据函数y=f(Ix,y=f(x)与函数y=f(x)的图象关系，结合函数的奇偶性逐一判断即得.
【详解】由题意可知，图乙函数是偶函数，
对于A:y=f(xD的图象是保持y=f(x)在y轴右侧的图象并将右侧图象沿着y轴翻折，而乙图中在y轴右侧
的图象发生改变，故A不合题意：
对于B:y=f(x引的图象是保持y=f(x)在x轴上方的图象并将下方的图象沿着x轴翻折，而乙图中在
原点附近的图象均在x轴下方，故B不合题意：
对于C:当x>0时，y=f(-|x)=f(-x),即乙图中y轴右侧的图象可由甲图中在y轴左侧的图象翻折得到，
又y=f(-x为偶函数，图象应关于y轴对称，故C符合题意：
对于D:y=-f(x)可由y=f(xD关于x轴翻折得到，根据A项分析，可知D符合题意.
变式训练
1.(2526高二下浙江宁波期中)函数f)=6的图象大致是（)
】
【答案】A
【难度】0.85
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【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数图像的识别
【详解】f(x)的定义域为(-oo,-1)U(-1,1)U(1,+o),C选项排除
f(-刘=g-
1-x2
=-f(x),fx)为奇函数
又f()=
2026×3
1-5
=402>0,f(2)=226=-052<0,B,D选项排除，故A选项正确」
3
1-22
3
4-1
2.（2026:甘肃兰州：模拟预测)函数f()=2的大致图象为（）
卡
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数图像的识别
4-12*-2-x
【详解】f=西=1三，函数的定义域为xk牡1，关于原点对称，
由f(-)=二-f,所以f)为奇函数，排除A:
又f=乱
↓=2>0，排除C和D
的迈3
3.(25-26高三上北京海淀·期中)函数f(x)=kx2+的图象可能是（)
【答案】c
【难度】0.85
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数图像的识别、根据解析式直接判断函数的单调性
【分析】根据函数奇偶性排除AB,再利用函数单调性或是极限值即可排除D.
【详解】f(x)=kx2+,定义域为(-o,0)U(0,+o),关于原点对称，
当k=0时，则f(x)=0,且x≠0，显然图中没有符合的，
当k≠0时，f(-)=k(-)+高=k2-草其既不恒等于f)=k2+空
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也不恒等于-f()=-kx2-,则其不具有奇偶性，即为非奇非偶函数，故AB错误：
当k<0时，取x>0的情况，此时kx2<0,<0,则f(x)<0,则CD图象不适合，
则只考虑k>0的情况，
当k>0时，取x<0的情况，此时y=kx2,y=均在(-∞，0)上单调递减，则f()=kx2+在(-∞，0)上单调
递减，故D错误，
从极限角度考虑则当x→0，且x<0时，此时kx2→0，→-o0,则f(x)→0∞，故D错误.
故选：C
4.(25-26高三·全国.一轮复习)已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可以是()
A.f(x)=Ilzl
B.f)=
c.f)=3-1
D.f(x)=x-I
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据函数图象选择解析式
【详解】由函数图象可知，函数f(x)为奇函数，而选项C是偶函数，排除C
选项B,当x>0,fx)>0,与图象矛盾，排除B.
若函数为f)=x-则x→+∞时，f()→+，排除D,故选A
5.(26-27高三上山东临沂.阶段检测)函数f(x)=4os严在区间[-3,0)U(0,3]上的图象大致为()
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数奇偶性的应用、函数图像的识别
【分析】利用函数的奇偶性与x∈(0,1)时f(x)的符号即可判断出正确选项.
【详解】由题意可知，函数f(x)的定义域为[-3,0)U(0,3],关于原点对称，
且f(-)=-os-9-14os=-f）,
一X
一X
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所以函数f(x)为奇函数，图象关于原点对称，故排除选项A、B,
当x∈(0,1)时，nlx=lnx<0,cosx>0,x>0,所以f(x)<0,
即当x趋向于0的右侧时，函数图象应在x轴下方，故排除选项C,选项D符合题意.
题型3由奇偶性求参数
【例3-1】(2026湖南湘潭.三模)己知f(x)=x3+(b-2)x2+3x是定义在[a-2b,2a+b]上的奇函数，则
()
A.Q=-6,b=2B.Q=-6,b=-2C.a=3,b=-2D.Q=3,b=2
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】由奇偶性求参数
b-2=0
【详解】由奇函数的性质可知
a-2b<0,解得
a=号
a-2b+2a+b=0
b=2
(2x-a,x≥0
【例3-2】(2026湖南衡阳·模拟预测)已知函数f凶={b-(白，x<0为奇函数，则a+2h=（）
A.1
B.2
C.3
D.4
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】由奇偶性求参数
【分析】根据奇函数的性质求解即可.
【详解】由奇函数f(x)的定义域为R,得f(0)=1-a=0,解得a=1.
当x<0时，-x>0,则f)=-f(-x)=-(2-a)=a-()=1-(月，
又x<0时，f)=b-(月，所以b=1,所以a+2b=3.
【例3-3】(26-27高三上·湖北阶段检测)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，且f(x+1)为偶函数，f(-1)=
-1,当x∈[1,2]时，f(x)=x2+ax+b,则()
A.a=-4,b=4
B.a=4,b=0
C.a=2,b=-2
D.a=-3,b=3
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、由函数的周期性求函数值、由奇偶性求参数
【详解】因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(-x)=-f(x),且f0)=0,因为f(-1)=-1,所以
f1)=1①
fx+1)为偶函数台f(1-x)=f(1+x)台f(2-x)=f(x),所以f(2)=0②，
当x∈[1,2]时，f(x)=x2+ax+b,由①②得1+a+b=1,4+2a+b=0,
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解得a=-4,b=4.
【例3-4】（多选）(2025四川成都模拟预测)已知函数f)={+2,x>0，下列说法正确的有()
(ax2+2x,x≤01
A.存在实数a,使得f(-1)=a2+2a成立
B.若f(x)为奇函数，则a=-1
C.若f(x)在[-1，+∞)上单调递增，则a≤1
D.若方程f(x)=1有两个不等实根，则a>0
【答案】BCD
【难度】0.4
【知识点】分段函数的性质及应用、由奇偶性求参数、根据分段函数的单调性求参数
【分析】根据方程f(-1)=a2+2a的判别式可判断A选项；由奇偶性可判断B选项：利用分段函数的单调
性可判断C选项；结合单调性和最值可判断D选项.
【详解】对于A:f(-1)=a-2=a2+2a,即a2+a+2=0,其判别式△=1-8=-7<0，
所以该方程无解，即不存在实数a,使得f(-1)=a2+2a成立，故A错误：
对于B:若f(x)为奇函数，则f(-x)+f(x)=0,
当x>0时，-x<0,则f(-x)+fx)=a(-x)+2(-x)+x2+2x=0,
(a+1)x2=0,其对vx>0都成立，解得a=-1:
当x<0时同理可得a=-1:
当x=0时，f(0)=0也符合题意，故a=-1,B正确：
对于C:函数y=x2+2x=(x+1)2-1在(0，+∞)单调递增：
当a=0时，y=2x,(-∞，0)单调递增，又02+2×0=2×0，即x=0处连续，
所以f(x)在(-o,+o)单调递增，符合题意：
当a>0时，y=a2+2x=a(x+)-台即在(-o,-单调递减，[0单调递增，
又x=0处连续：因此，函数f)在[+∞)单调递增，所以[-1，+∞)+∞)
-≤-1，得a≤1，则0<a≤1：
当a<0时，y=a2+2x=a(x+)-总又x=0处连续，
因为->0，所以在(-∞，0)单调递增，因此，函数f)在(-∞，+∞)单调递增，符合题意，
综上可知，若f(x)在[-1，+o)上单调递增，则a≤1，故C正确.
对于D:由单调性可知，当a≤0时f(x)在(-o,+oo)单调递增，则方程f(x)=1有一个实根；
当a>0时，f)在(-∞，-单调递减，f在[。+∞）单调递增，
则f)min=f()=-是<0，所以方程f9=1有两个不等实根：
综上可知，方程f(x)=1有两个不等实根，则a>0.
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故选：BCD
【例3-5】(2627高三上江西阶段检测)若函数f={xx≤0，为奇函数，则a+b=
lax2+bx,x>0
【答案】-2
【难度】0.85
【知识点】分段函数函数值、函数奇偶性的定义与判断、由奇偶性求参数、由函数奇偶性解不等式
【分析】解法1：根据奇函数的定义，求出x>0时的解析式，得到a,b即可：
解法2：利用f(-1)=-f(1)即可求解.
【详解】解法1：当x>0时，-x<0,所以f(-x)=(-x)2-(-x)=x2+x,
又f(x)为奇函数，所以f(-x)=-f(x),所以-f(x)=x2+x,
即当x>0时，f(x)=-x2-x,所以a=-1,b=-1,所以a+b=-2
解法2：由题意得f(-1)=-f(1),即2=-(a+b),所以a+b=-2.
变式训练
1.（2026湖北模拟预测)若f(x)=x(x-1)(x+a)(x∈R)为奇函数，则a的值为()
A.-1
B.0
C.1
D.-1或1
【答案】c
【难度】0.85
【知识点】由奇偶性求参数
【详解】f(x)=x(x-1)(x+a,·f(-x)=-x(-x-1)(-x+a)=-x(x+1)(x-a),
f(x)=x(x-1)(x+a)(x∈R)为奇函数，f(-x)=-f(x),
-x(x+1)(x-a=-x(x-1)(x+a,∴.(x+1)(x-a=(x-1)(x+a),
x2-ax+x-a=x2+ax-x-a,∴-ax+x=ax-x,(a-1)x=0对于任意的x∈R恒成立，
a-1=0,∴a=1,故选项C正确
(x+a,x<0,
2.(25-26高三上河北衡水期末)己知函数f(x)={b,x=0,是奇函数，则a+b+c=()
CX+2,x>0
A.2
B.1
C.0
D.-1
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量、函数奇偶性的定义与判断、由奇偶性求参数
【分析】利用奇函数的性质，结合分段函数讨论，可得恒等式求系数，即可得出结果，
【详解】由题意知f(0)=0,所以b=0,
当x<0时，由f(-x)=-f(x)可得：此时等式c(-x)+2=-(x+a)恒成立，
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即c=1,a=-2,则a+b+c=-2+0+1=-1,
故选：D
3.(26-27高三上江苏常州，开学考试)已知函数f)=+是奇函数，若f()>f2),则实数a的值为〈)
A.1
B.-1
C.±1
D.0
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】根据函数的单调性求参数值、函数奇偶性的定义与判断、由奇偶性求参数
【分析】先利用奇函数的性质求出a的可能取值，再根据f(1)>f(2)筛选得到a的正确值.
【详解】因为函数f)=是奇函数，所以对定义域内任意x,都有f(-习=-f)成立。
。年+由f(-)=-f)得：--
f(-)=。a=1ae,
交叉相乘整理得：(1-a)ex=0对任意定义域内x恒成立，
因为ex>0,故1-a2=0,解得a=士1.
将f变形为f=1-
当a=1时，f四=1-子此时f四=1-品f2)=1-异
2
由0<e+1<e2+1,易得f(1)<f(2),不符合条件：
当a=-1时，f)=1+号此时f)=1+二f2)=1+号
由0<e-1<e2-1,易得f(1)>f(2),符合题意：
综上，a=-1.
1+2,x<0,
4.(多选)(2025河北一模)己知函数f(x)
x,x=0,下列命题正确的是()
1
x+1+a,x>0,
A.若f(x)是奇函数，则a=-2
B.若f(x)是奇函数，则a=0
C.若f(x)是减函数，则a的取值范围为(-oo,-1]D.若f(x)是减函数，则a的取值范围为(-∞，-2]
【答案】AC
【难度】0.65
【知识点】根据函数的单调性求参数值、函数奇偶性的定义与判断、由奇偶性求参数
【分析】根据奇函数的性质即可求解a=一2，根据单调性的性质即可求解CD.
【详解】当x>0时，-x<0,f(-)=+2
若f因是奇函数，则f四=-f(刘=点-2=点+a,解得a=-2
当a=-2时x<0时，x>0,f(-习=年ta=点2=吉-2=-f0,
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也满足奇函数，故A正确.
若f是减函数，则+1+a≤0，解得a≤-1，C正确.
故选：AC
5.(26-27高三上江西阶段检测)己知f)=是偶函数，则实数a的值为
【答案】0
【难度】0.85
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数奇偶性的应用、由奇偶性求参数
【详解】：函数f=出是偶函数，定义域分析可得为R,且f(-)=出
2x2+1
-ax+1=ax+1对任意xER恒成立，
2x+12x2+1
,'.-aX+1=ax+1,即2aX=0对任意xER恒成立，
∴.a=0.
题型4由奇偶性求解析式
【例4-1K25-26高三下.河南新乡.阶段检测)己知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f(x)=x(1-x),
则当x>0时，f(x)=()
A.-x(1-X)
B.x(1-x)
C.-x(1+x)
D.x(1+x)
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】由奇偶性求函数解析式
【分析】根据奇函数的性质f(x)=一f(-x),计算可得.
【详解】由题意，当x>0时，-x<0,f(-x)=-x(1+x),
又函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(x)=-f(-x)=x(1+x)
【例4-2】(25-26高三上·江苏南通·开学考试)己知f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)=x-2x,则x<0
时，f(x)=()
A.x+2x
B.X十2-x
C.-X+2-x
D.-X-2-x
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】由奇偶性求函数解析式
【分析】利用奇函数的性质，根据题设条件即可求得另一半的解析式
【详解】因为x>0时，f(x)=x-2x,
当x<0时，则-x>0,f(-x)=-x-2x,
因f(x)是奇函数，则f(x)=-f(-x)=x+2x
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故选：B
【例4-3】(2025广东模拟预测)已知f(x)是定义域为R的奇函数，当x<0时，f(x)=x+1+1,则当x>0
时，f(x)的最小值为()
A.1
B.2
C.3
D.4
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】由奇偶性求函数解析式、基本不等式求和的最小值
【分析】由奇函数性质求出当x>0时，f()=x+-1,再由基本不等式求解。
【详解】当x>0时，得-x<0,
由函数f()是定义域为R的奇函数，得f()=-f(-)=-[【(-x)+号+1=x+-1,
即当x>0时，f(x)=x+-1≥2x·-1=1,等号成立时，x=1,
则当x>0时，f(x)的最小值为1，
故选：A
【例4-4】（多选）(26-27高三上.宁夏石嘴山阶段检测)己知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=
x2一2x,则下列说法正确的是()
A.f(x)在R上单调递增
B.f(x)的图象关于原点对称
C.f(-1)=-1
D.当x<0时，f(x)=-x2-2x
【答案】BD
【难度】0.85
【知识点】求函数值、函数奇偶性的定义与判断、由奇偶性求函数解析式、函数奇偶性的应用
【详解】选项A:当x≥0时，f(x)=x2-2x=(x-1)2-1,在[0,1]上递减，在[1，+o∞)上递增.
故f(x)在R上不是单调递增函数，故A错误
选项B:因为f(x)是奇函数，奇函数的图象关于原点对称B正确。
选项C:得f(-1)=-f(1).又f(1)=12-2×1=-1,故f(-1)=-(-1)=1,故C错误.
选项D:当x<0时，-x>0,则f(-x)=(-x)-2(-x)=x2+2x.
由奇函数性质f(x)=-f(-x)=-x2-2x.故D正确.
【例4-5】(26-27高三上·上海普陀·开学考试)己知y=f(x)是定义在R上的奇函数，若当x>0时，f(x)=x2+
2x,则f(x)=
【答案】f(x)=
-x2+2x,x<0
1x2+2x,x20
【难度】0.85
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【知识点】由奇偶性求函数解析式
【详解】因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(-x)=-f(x):
当x<0时，-x>0,所以f(-x)=(-x)2+2×(-x)=x2-2x,
则f(x)=-f(-x)=-x2+2x:
由f(-x)=-f(x)可得f(0)=0:
所以f(x)=
(-x2+2x,x<0
(x2+2x,x≥0
变式训练
1.(25-26高一上浙江杭州期中)若函数f(x)是奇函数，且当x>0时，f()=x2+,则当x<0时，f(x)
的解析式为()
A.f)=-x2+月B.f)=-x2-是C.f)=2-是D.f)=x2+日
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】由奇偶性求函数解析式
【分析】利用奇函数的性质即可求出x<0时，f(x)的解析式.
【详解】由题可知，x>0时，f(x)=x2+1
取x<0,则-x>0,f(-0)=(-x)2+=x2-
由奇函数性质f(x)=-f(-x)可得：f(x)=-x2+1
Q627高三上旷西南宁开学考试)已知f)=,6,。0是奇函数，则)的单调递增区间为
A.[-3,0],[3,+0)B.[-6,-3],[6,+∞)C.(-∞，-3]，[3，+∞)D.(-∞，-6]，[6，+∞)
【答案】c
【难度】0.65
【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、分段函数的性质及应用、由奇偶性求函数解析式
【分析】利用奇函数性质求出g(x)的解析式，再利用二次函数单调性求出即可.
【详解】当x<0时，-x>0,则f(-x)=(-x)2-6(-x)=x2+6x,
又，f(x)是奇函数，f(-x)=-f(x),即f(x)=-x2-6x,
即r四={6020o
当x≥0时，二次函数f(x)=x2-6x,开口向上，对称轴为x=3,
故单调递增区间为[3，+∞)，
当x<0时，二次函数f(x)=-x2-6x,开口向下，对称轴为x=-3,
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故单调递增区间为(-∞，-3]，
综上所述，f(x)的单调递增区间为(-o,-3],[3,+oo)
3.(多选)(24-25高三上.安微毫州阶段检测)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)=x2+x+
a,则下列说法正确的是()
A.a=0
B.当x>0时，f(x)=-x2-x
C.函数f)的单调递减区间为(-∞，-)和(，+∞)
D.不等式f(x)<0的解集为(-1,0)U(1,+o)
【答案】ACD
【难度】0.85
【知识点】由奇偶性求函数解析式、由奇偶性求参数、求函数的单调区间、图象法表示函数
【分析】根据函数的奇偶性、单调性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案
【详解】由于f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(O)=a=0,经验证此时满足题意，所以A选项正确.
则当x≤0时，f(x)=x2+x,
当x>0时，-x<0,f(x)=-f(-x)=-[(-x)-x=-x2+x,所以B选项错误.
由上述分析可知f(x)=
(x2+x,x≤
(-x2+x,x>
。,由此画出f()的图象如下图所示，
由图可知，f)的单调递减区间为（∞，-）和(，+∞)，C选项正确，
不等式f(x)<0的解集为(-1,0)U(1,+o),D选项正确
故选：ACD
13
4.(2026·重庆永川模拟预测)己知f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)=x(1+x).则当x≥0时，
f(x)
【答案】x(1-x)
【难度】0.85
【知识点】由奇偶性求函数解析式、函数奇偶性的应用
【分析】利用奇函数的性质可知，f(-x)=-f(x),结合当x<0时，f(x)=x(1+x),即可求解
【详解】当x>0时，-x<0,由于f(x)是定义在R上的奇函数，则f(-x)=-fx):
f(x)=-f(-x)=-[-x(1-x)]=x(1-x):
当x=0时，由于f(x)是定义在R上的奇函数，则f(0)=0,代入x(1-x)=0(1-0)=0,仍成立
综上，当x≥0时，f(x)=x(1-x)
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5.（26-27高三上山东期中)设函数f(x)的定义域为R,g(x)=(x-1)f(x),h(x)=f(x)-x,若g(x)为奇
函数，h(x)为偶函数，则f(x)=
【答案】x2+x
【难度】0.85
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、由奇偶性求函数解析式、函数奇偶性的应用、函数方程组法求解析式
【分析】通过奇函数、偶函数的定义建立等式，联立求解得出函数表达式，
【详解】因为g(x)=(x-1)f(x)为奇函数，所以g(-x)=-g(x),
即(-x-1)f(-x)=-(x-1)f(x)
又h(x)=f(x)-x为偶函数，所以h(-x)=h(x),
即f(-x)+x=f(x)-x,得f(-x)=f(x)-2x.
将f(-x)=f(x)-2x代入(-x-1)f(-x)=-(x-1)f(x),
得：(-x-1)fx)-2x)=-(x-1)f(x),即-xf(x)+2x2-f(x)+2x=-xf(x)+f(x),
化简得f(x)=x2+x.
题型5由奇偶性求函数值
【例5-1(25-26高三上·江苏盐城阶段检测)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)=x2+
2x+1+m,则f(-1)=()
A.1
B.3
C.-3
D.-1
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】求函数值、由奇偶性求函数解析式、函数奇偶性的应用
【分析】由题意f(0)=1+m=0求出m=-1,再由函数的奇偶性代值计算即得
【详解】因函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=x2+2x+1+m
则f(0)=1+m=0,解得m=-1,则当x≥0时，f(x)=x2+2x,
故f(-1)=-f(1)=-(12+2×1)=-3.
故选：C
【例5-2】(2026辽宁抚顺模拟预测)已知函数f()=ax2+bx,x∈[-2a+1,1刂是偶函数，则f(（月=()
A.
C.2
D.4
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】函数奇偶性的应用、由奇偶性求参数
【分析】因为f(x)具有奇偶性，所以定义域一定关于原点对称，再通过偶函数定义即可求得f(x)=x2,代入
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x=即可求解
【详解】根据题意得-2a+1+1=0,解得a=1,此时f(x)=x2+bx,
因为f(x)为偶函数，所以f(-x)=fx)→(-x)+b·(-x)=x2+bx,
解得b=0,经验证b=0符合题意，故f()=x,所以f(月=
【例5-3K2025河北模拟预测)已知偶函数f(x)的定义域为R,且当x>0时，f(x)=-3x+m,若f(-2)=-7,
则f3)=()
A.-11
B.-15
C.-25
D.-29
【答案】c
【难度】0.65
【知识点】由奇偶性求函数解析式
【分析】根据偶函数的性质，结合条件求m,再代入求值
【详解】由偶函数的性质可知，f(-2)=f(2)=-9+m=-7,得m=2,
即x>0时，f(x)=-3*+m,f(3)=-27+2=-25.
故选：C
【例5-4】（多选）(25-26高一上广东佛山期中)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=x2一
2x,则()
A.f(0)=0
B.f(x)的值域为R
C.当x<0时，f(x)=-x2-2x
D.f(x)>0的解集为(-∞，-2)U(2,+∞)
【答案】ABC
【难度】0.65
【知识点】由奇偶性求函数解析式、画出具体函数图象、函数图象的应用
【分析】根据奇函数性质可得f(O)=0,即可判断A:根据奇函数的定义求函数f(x)的解析式，即可判断C:
作出函数f(x)的图象，结合图象判断BD
【详解】因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，则f(O)=0,故A正确：
且当x>0时，f(x)=x2-2x,
当x<0时，则-x>0,可得f(x)=-f(-x)=-[(-x)2-2(-x)]=-x2-2x,故C正确：
x2-2x,x>0
f(x)=
0,x=0,作出函数f(x)的图象，如图所示：可知f(x)的值域为R,故B正确：
x2-2x,x<0
=x)
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f(x)>0的解集为(-2,0)U(2,+∞)，故D错误：
故选：ABC
【例5-5】(26-27高三上·山西·阶段检测)若f(x)=(x+m)2-2x是偶函数，则f(m)=
·(用数
字作答)
【答案】2
【难度】0.85
【知识点】由奇偶性求参数、求函数值
【分析】将函数解析式展开，利用偶函数满足自变量一次项系数为0，求出m的值后代入计算fm).
【详解】f(x)=(x+m)2-2x=x2+(2m-2)x+m2.
因为f(x)是偶函数，所以x的一次项系数为0，即2m-2=0;解得m=1.
所以fm)=f(1)=(1+1)2-2×1=2.
变式训练
1(2026河北雄安模拟预测)已知函数f)=x+一为奇函数，则f6=（）
A
B.9
C.
.号
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】由奇偶性求参数、求函数值
【详解】由函数f)=x+马为奇函数，得f(x)=-f(-x),
x-a
即x+片=x-解得a=0,
因此f)=x+是所以f(6)=马
Γ6
2.(2026湖南株洲一模)已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，其定义域均为R,且f(x)+g(x)=x(x+1),
则f(1)-g(1)=（)
A.0
B.2
C.-2
D.1
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】求函数值、由奇偶性求函数解析式、函数奇偶性的应用
【分析】利用奇偶性，结合恒等式可求解f(x)=x,g(x)=x2,从而可求出结果
【详解】因为定义域均为R且f(x)+g(x)=x(x+1),
所以可得f(-x)+g(-x)=-x(-x+1)=x(x-1),
又因为f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，所以f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),
即上式可化简为-f(x)+g(x)=x(x-1),
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再与f(x)+g(x)=x(x+1)相加可得2g(x)=x(x+1)+x(x-1)=2x2→g(x)=x2,
代入fx)+g(x)=x(x+1)可得f(x)+x2=x(x+1)→f(x)=x,
所以f(1)=1,g(1)=1,即f(1)-g(1)=0.
故选：A
3.(25-26高一下四川泸州期末)已知f为奇函数，且当x>0时，f)=2x-x,则f(-1)=（）
A-月
B.-1
C.1
D.
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】求函数值、由奇偶性求函数解析式、函数奇偶性的应用
【详解】：当x>0时，f的)=2*-x,·f四)=21-×1=2-=
”f是奇函数，满足f(-x)=-f),·f(-)=-f四)=-
4.(25-26高三上山东潍坊·期中)己知f(x)是定义域为R的奇函数，若x>0时，f(x)=x3-2x2,则f[f(1)]=
()
A.-1
B.0
C.1
D.2
【答案】c
【难度】0.85
【知识点】求函数值、由奇偶性求函数解析式、函数奇偶性的应用
【分析】利用奇函数的性质求出x<0时f(x)解析式可得
【详解】由题意可得f(1)=13-2×12=-1,
因为f(x)是定义域为R的奇函数，若x>0时，f(x)=x3-2x2,
当x<0时，-x>0,则f(-x)=(-x)3-2(-x)2=-x3-2x2,
因为f(-x)=-f(x),所以f(x)=x3+2x2,所以f(-1)=(-1)3+2×(-1)2=1.
故选：C
5.(多选)(26-27高三上湖南阶段检测)若y=f(x)+x2为R上的奇函数，y=f(x)-x3为R上的偶函数，则
()
A.f(0)=1
B.f(x)+f(-x)=-2x2C.f(1)=0D.f(x)-f(-x)=-2x3
【答案】BC
【难度】0.85
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、由奇偶性求函数解析式、函数奇偶性的应用
【分析】根据奇偶性的定义结合赋值法求解
【详解】选项AB,y=f(x)+x2为R上的奇函数，
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则f(0)+02=0,f0)=0,f(-x)+(-x)2=-f(x)-x2,
所以f(x)+f(-x)=-2x2,A错：B正确：
选项C,由B,得f(1)+f(-1)=-2,又y=f(x)-x3为R上的偶函数，
则f(-1)-(-1)3=f(1)-13,f(-1)=f(1)-2,
所以f1)+f(1)-2=-2,f(1)=0,C正确：
选项D,由y=f(x)-x3为R上的偶函数，得f(-x)-(-x)3=f(x)-x3,
所以fx)-f(-x)=2x3,D错
题型6抽象函数的奇偶性
【例6-1】(2026江苏南京三模)已知定义在R上的非常数函数f(x)满足：对于任意x,y∈R都有：f(x+y)=
f(x)fy)+f(x)+f(y),f(1)=e-1.下列选项正确的是()
A.f(x)是奇函数
B.f(x)是偶函数
C.f(0)=-1D.f(2)=e2-1
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】求函数值、函数奇偶性的定义与判断、抽象函数的奇偶性
【分析】根据已知条件赋值，根据指数型函数方程的结构，通过换元，再结合非常数函数的条件，推出f(x)=
e*一1，即可判断四个选项.
【详解】解：令x=y=0,则f(0+0)=f(0)f(0)+f(0)+f(0)
则f2(0)+f(0)=0,解得f(0)=0或f(0)=-1,
因为f(x+y)=f(x)fy)+f(x)+fy),所以f(x+y)+1=f(x)fy)+f(x)+fy)+1,
化简得f(x+y)+1=[f(x)+1[fy)+1],设g(x)=f(x)+1,则g(x+y)=g(x)gy),
当f(0)=-1时，g(0)=f(0)+1=0,令y=0,则g(x+0)=g(x)g(0)=0,
即g(x)=0,即f(x)=-1为常数函数，与已知矛盾，因此f0)≠-1，f(0)=0,选项c错误：
因为f(1)=e-1,所以g(1)=f(1)+1=e-1+1=e,结合g(x+y)=g(x)gy),可得g(x)=e,
所以f(x)=ex-1,则f(-x)=e-x-1,因此f(x)≠f(-x),f(-x)≠-f(x),
所以f(x)既不是奇函数，也不是偶函数，选项A和选项B错误，
此时f(2)=e2-1,选项D正确，
【例6-2】(2025河南·模拟预测)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意x,y,都有f(x)+f(y)=f(x+y)+
a,则a=()
A.2
B.1
C.0
D.-1
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】函数奇偶性的应用、抽象函数的奇偶性
第26页共35页
【分析】通过赋值法结合奇函数的性质即可求解
【详解】令y=-x,则f(x)+f(-x)=f(0)+a,
因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(x)+f(-x)=0,f(0)=0,则a=0.
故选：C
【例6-3】(25-26高二下·上海·期末)己知奇函数y=f(x)的定义域为R,且对任何实数x,都有f(x)=4f[f(x+
4],则f(2)可以是().
A.4
B.2
C.1
D.-2
【答案】c
【难度】0.55
【知识点】求函数值、函数奇偶性的应用、抽象函数的奇偶性
【分析】由奇函数的性质及已知关系，依次代入x=0、x=-4、x=士2且令f(2)=Q得到f(@=-导再依
次验证各项对应值判断即可.
【详解】已知y=f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(O)=0,且fx)=4ff(x+4)]①，
将x=0代入①中，得f0)=4f[f(4)],
因为f(0)=0,所以4f[f(4)]=0,即f[f(4)]=0,
将x=-4代入①中，得f(-4)=4ff(0)]=4f(0)=0,
由于f(x)是奇函数，因此f(4)=-f(-4④=0，这与上面得出的f[f(④]=f(0)=0相符，
将x=2代入①中，设f(2)=a,则f(2)=4f[f(6)]→a=4f[f(6)],
将x=-2代入①中，f(-2)=4ff(2)]→-f(2)=4f[f(2)],
把f(2)=a代入上式，得到-a=4f@)→f(@)=-②，
若a=4,由②得f(4=-1,与f(4)=0矛盾，排除A,
若a=2,由②得f(2)=-与f2)=a=2矛盾，排除B,
若a=1,由②得f()=-子与f(2)=1没有冲突，且满足奇函数性质，
若a=-2,由②得f(-2)=与f(-2)=-f2)=2矛盾，排除D,
综上可知，f(2)的值只能是1.
【例6-4】（多选）(26-27高三上·吉林长春·阶段检测)已知定义域为R的函数f(x)满足f(xy)=xfy)+yf(x),
且f(2)=4,则下列命题正确的是()
A.f(0)=0
B.f(-1)=0
C.f(x)是奇函数
D.f月=-
【答案】ABC
【难度】0.65
【知识点】求函数值、函数奇偶性的定义与判断、函数奇偶性的应用、抽象函数的奇偶性
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【分析】给题中恒成立的等式赋值，对于A,令x=y=0进行判断，对于B,令x=2,y=1赋值可求出f(1)
的值，再令x=y=-1可求出f(-1)的值，对于C,令y=-1进行判断，对于D,令x=2,y=判断.
【详解】对于A,令x=y=0,则f(O)=0×f(O)+0×f(0),所以f(O)=0,所以A正确：
对于B,令x=2,y=1,得f(2)=2f(1)+f(2),所以f(1)=0,
令x=y=-1可得f(1)=-f(-1)-f(-1)=-2f(-1)=0,所以f(-1)=0,故B正确：
对于C,令y=-1,由f(xy)=xfy)+yf(x)得f(-x)=xf(-1)-f(x)=-f(x),
又因为函数f(x)的定义域为R,所以f(x)为奇函数，所以C正确：
对于D,令x=2,y=得f(1=2f+f(2)=2f+2=0,所以f(月=-1，所以D错误.
【例6-5】(24-25高三下.广东·开学考试)已知定义域为R的函数f(x)满足对x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+
f(y),f(-x)=f(x),则f(2025)=」
【答案】0
【难度】0.65
【知识点】求函数值、抽象函数的奇偶性
【分析】令x=y=0求得f(O),再令y=-x,求得f(x),从而可得答案.
【详解】令x=y=0,得f(0)=0,
令y=-x得f(0)=f(x)+f(-x)=0,
所以f(x)=-f(-x),又f(-x)=f(x),
所以f(x)=0,所以f(2025)=0.
故答案为：0.
变式训练
1.(2026山东·模拟预测)已知定义在R上的函数f(x)满足：fx+1)为奇函数，且f(0)=2,则f(2)=()
A.-2
B.0
C.1
D.2
【答案】A
【难度】0.82
【知识点】函数奇偶性的应用、抽象函数的奇偶性
【分析】由f(x+1)为奇函数，得f(-x+1)=-f(x+1),令x=1即可求解.
【详解】由f(x+1)为奇函数，得f(-x+1)=-f(x+1),
令x=1,得f(-1+1)=-f(1+1),得f0)=-f(2),由f(0)=2,
得f(2)=-2.
2.(24-25高三上.宁夏石嘴山阶段检测)若函数f(x)是定义在R上的奇函数，函数f(x+1)是偶函数，则f(2)=
()
A.2
B.0
C.60
D.62
第28页共35页
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】函数奇偶性的应用、抽象函数的奇偶性
【分析】根据题意，可得f(0)=0,又f(-x+1)=f(x+1),令x=1,得解
【详解】因为函数f(x)是R上的奇函数，所以f(O)=0,
又函数f(x+1)是偶函数，则f(-x+1)=f(x+1),令x=1,·f(2)=f(0)=0.
故选：B
3.(24-25高三上山东济宁·期中)已知函数f(x)的定义域为R,满足f(x+y)-[f(x)+f(y)]=2024,则下列
说法正确的是（)
A.f(x)是偶函数
B.f(x)是奇函数C.f(x)+2024是奇函数D.f(x)+2024是偶函数
【答案】c
【难度】0.65
【知识点】抽象函数的奇偶性
【分析】根据抽象函数，利用奇偶函数的性质直接判断即可！
【详解】因为f(x+y)-f(x)+fy)]=2024,
所以令x=y=0,可得f(0)=-2024,
令y=-x,则f(0)-f(x)-f(-x)=2024
所以f(-x)=-f(x)-4048,则f(x)既不是奇函数又不是偶函数，
且f(-x)+2024=-[f(x)+2024,所以f(x)+2024是奇函数.
故选：C
4.(多选)(2026广西河池三模)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)+f(x)=0,且y=f(2-x)为偶函
数，则下列结论正确的是()
A.函数f(x)为奇函数B.函数f(x+1)为奇函数C.函数f(x)是偶函数D.函数f(x+2)是偶函数
【答案】BCD
【难度】0.65
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、抽象函数的奇偶性
【分析】结合函数奇偶性的定义逐项分析判断即可.
【详解】由y=f(2-x)为偶函数，得f(2-(-x)=f(2-x),即f(2+x)=f(2-x):
由f(x+2)=-f(x)及f(2+x)=f(2-x),得f(2-x)=-f(x).
令t=2-x,则x=2-t,所以f(t)=-f(2-t),
又f(2+x)=-f(x),所以f(2+(-t)=-f(-t),即f(2-t)=-f(-t).
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所以f(t)=-f(2-t)=-(-f(-t)=f(-t),因此f(x)是偶函数，故A错误，C正确。
由f(x+2)=-f(x),得f(x+1)=-f(x-1),
又f(x)是偶函数，所以f(x-1)=f(-(x-1)=f(1-x),
所以f(x+1)=-f1-x),故f(x+1)为奇函数，故B正确，
由f(x+2)=-f(x),得f(-x+2)=-f(-x),又f(x)是偶函数，所以f(-x)=f(x),
所以f(x+2)=f(-x+2),即f(x+2)是偶函数，故D正确.
5.(2025·重庆·模拟预测)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(1+x)=f(1-x)+2x,则f(2026)=
【答案】2026
【难度】0.65
【知识点】抽象函数的奇偶性
【分析】法一：由题意利用列举法写出函数值，整理等式可得递推公式，根据累加法，可得答案：
法二：由题意利用列举法写出函数值，设出函数解析式，利用等式检验，可得答案。
【详解】法一：由函数f(x)是R上的奇函数，则f(O)=0,
由f(1+x)=f(1-x)+2x,令x=1,则f(2)=f(0)+2=2;
则f(x+4)=f(1-x-3)+2x+6=-f(x+2)+2x+6=-[f(1-x-1)+2x+2]+2x+6=f(x)+4,
由f(2026)=f(2026)-f(2022)+f(2022)-f(2018)+.+f(6)-f(2)+f(2)
=4×506+f(2)=2024+2=2026.
法二：由函数f(x)是R上的奇函数，则f(O)=0,
由f(1+x)=f(1-x)+2x,令x=1,则f(2)=f0)+2=2:
由f(1+x)=f(1-x)+2x,令x=3,则f(④=f(-2)+6=-f(2)+6=4:
猜想f(x)=x,则f(1+x)=1+x,f(1-x)=1-x,即f(1+x)-f(1-x)=2x,符合题意，
所以f(2026)=2026:故答案为：2026.
题型7奇偶性与单调性结合解不等式
【例7-1】(2026·吉林长春.模拟预测)已知f(x)是定义域为[-5,5]的奇函数，f(x)的部分图象如图所示，则
不等式xf(x)<0的解集为()
5
A.(-5,-2)
B.(0,2)
C.(-5,-2)U(2,5)
D.(-20)U(2,5)
【答案】C
【难度】0.85
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【知识点】函数图象的应用、函数奇偶性的应用、由函数奇偶性解不等式
【分析】根据奇函数的性质，补全函数图象，结合图象，可得答案，
【详解】因为f(x)是奇函数，所以f(x)在[-5,5]上的图象关于坐标原点对称，
因此由f(x)在[-5,0]上的图象，可得它在[-5,5]上的图象如图所示，
故当x∈(-5，-2)时，fx)>0,xf(x)<0,
当x∈(-2,0)时，f(x)<0,xf(x)>0,
当xe(0,2)时，f(x)>0,xf(x)>0,
当x∈(2,5)时，f(x)<0,xf(x)<0,
当x∈{-5，-2,0,2,5时，f(x)=0,xf(x)=0,
因此不等式xf(x)<0的解集为(-5，-2)U(2,5).
【例7-2】(26-27高三上·安徽阶段检测)定义在R上的奇函数f(x)在(-∞，0)上单调递减，且f(3)=0,则满
足xf(x)<0的x的取值范围是()
A.(-∞，-3)U(3,+∞)
B.(-3,0)U(3,+∞)
C.(-3,0)U(0,3)
D.（-∞，-3)U(0,3)
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】根据函数的单调性解不等式、函数基本性质综合应用、由函数奇偶性解不等式
【分析】由题意可得f(x)在(-∞，0)上单调递减，在(0，+o)上是减函数，且f(-3)=f(3)=0,再讨论x>0
和x<0,可得不等式的解集
【详解】由定义在R上的奇函数f(x)在(-∞，0)上单调递减，可得f(x)在(0，+o∞)上是减函数：
又f(-3)=-f3)=0,
不等式e国<0，等价为码90r西90
所以x>0时，即有f(x)<0=f3),解得x>3:
x<0时，即有f(x)>0=f(-3),解得x<-3:
综上可得xf(x)<0的解集为(-oo,-3)U(3,+∞).
【例7-3】(25-26高一上河北邢台·期中)己知f(x)是定义在(m-5,4m)上的偶函数，对任意的x1,x2∈[0,4m),
当x1≠x2时，++2>0恒成立，若f(1)=4,则关于x的不等式fx-m>2x2-4x+4的解
x1-X2
集为()
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A.(0,2)
B.(-4,0)U(2,4)
C.(-3,0)U(2,5)
D.(-∞，0)U(2,+∞)
【答案】c
【难度】0.4
【知识点】根据函数的单调性解不等式、由奇偶性求函数解析式、由函数奇偶性解不等式
【分析】根据题意求出m,接着由思设得到器<器令g)一岛得到g)为偶函数：且在0，利上递
增，在(-4,0)上单减，结合g(1)=2,把不等式转化为g(x-1)>g(1),得到不等式组，即可求解
【详解】因为f(x)是定义在(m-5,4m)上的偶函数，所以m-5+4m=0,解得m=1,
x1x2∈[0,4)，且x1<x2,则x1-x2<0,
又因为r)+@>0,所以(+1)fx1)-(x好+1)f(x2)<0,
X1一X2
所以（号+1）fx)<(x好+1)·fx),则<2
x2+1x2+1
令g)=码则型>0，故g()在[0，上单调递增。
x1-X2
因为f(x)为（一4④上的偶函数，所以g(x)为(-4,4）上的偶函数，
所以g(x)在[0,4上单调递增，在(-4,0)上单调递减，
又因为00）=9=2，所以x-m>22-+4即为品>2，
即t-)>0.则44(4124解得2<x<5政-3<x<0
所以不等式的解集为(-3,0)U(2,5)
故选：C
【例7-4】（多选）(24-25高三上河南·阶段检测)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，则()
A.f(0)=0
B.函数y=f(x3)为奇函数
C.函数y=f(x)-f(-x)为偶函数
D.当x2≠x1时，若f@>0,则不等式ft2)<-f(2)的解集为(0,2)
X2-X1
【答案】AB
【难度】0.65
【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式、函数奇偶性的定义与判断
【分析】由奇函数f(-x)=-f(x)定义即可求解f(O)以及判断函数y=f(x3)和y=f(x)-f(-x)奇偶性判断
ABC:由单调性定义和奇偶性得t2<-2t,解该不等式即可得解判断D.
【详解】对于A选项，因为函数f(x)为奇函数，所以f(-x)=-f(x),
所以f0)=-f(0)即2f(0)=0,故f(0)=0,故A选项正确：
对于B选项，函数f(x)定义域为R,所以函数f(x3)定义域为R,
又f(-x))=f(-x)=-f(x),故函数f(x3)为奇函数，故B选项正确：
第32页共35页
对于C选项，由题f(x)-f(-x)=2f(x),又由函数f(x)为奇函数，可得函数y=f(x)-f(-x)为奇函数，
故C选项错误；
对于D选项，由题设可知函数f(x)单调递增，不等式f(t)<-f(2t)可化为f(t2)<f(-2t),
所以有t2<-2t,解得-2<t<0,故D选项错误。
故选：AB
【例7-5】(26-27高三上·宁夏银川阶段检测)偶函数f(x)在区间（-∞，0]上单调递减，f(2)=0,则不
等式(x-1)f(x)>0的解集为
【答案】(-2,1)U(2,+∞)
【难度】0.65
【知识点】根据函数的单调性解不等式、函数奇偶性的应用、由函数奇偶性解不等式
【分析】先根据偶函数的对称性确定f(x)在[0，+o)上的单调性和f(-2)=0,再将乘积不等式拆分为两个同
号的不等式组分类求解
【详解】因为f(x)是偶函数，在（一∞，0]上单调递减，根据偶函数的性质，f(x)在[0，+∞）上单调递增，
且f(-2)=f(2)=0.
不等式(x-1)f(x)>0等价于两个因式同号，分两种情况讨论：
当758.即2解用>2：
当听8时，即之解得-2<x<1
综上所述，不等式(x-1)f(x)>0的解集为(-2,1)U(2,+o∞).
变式训练
1.(26-27高三上·重庆渝中·阶段检测)己知定义在R上的偶函数f(x)在区间[0，+o)上单调递增，则不等式
f(x)≤f(1-x)的解集为()
A.(-0,1]
、11
.（-0,2
C.(0,1]
D.(0,
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】根据函数的单调性解不等式、函数奇偶性的应用、解不含参数的一元二次不等式、由函数奇偶性
解不等式
【详解】因为f(x)为偶函数，且f(x)在[0，+oo)上单调递增，
所以f)≤f1-)台≤1-小，解得x≤行
故选B,
2.（26-27高三上江苏扬州·阶段检测)定义在R上的奇函数f(x)在(0，+∞)上单调递增，且f(1)=0,则不等
式g≤0的解集为()
第33页共35页
A.（-∞，-1]U[0,1]
B.[-1,0)U[1,3)C.(-∞，-1]U[1,3)
D.[-1,0]U[1,3)
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】根据函数的单调性解不等式、函数奇偶性的应用、分式不等式、由函数奇偶性解不等式
【分析】利用题意可得当x∈[-1,0]U[1,+oo)时，f(x)≥0；当x∈(-o,-1]U[0,1]时，f(x)≤0：进而分
类讨论可解不等式。
【详解】由f(x)是定义在R上的奇函数，在(0，+∞)上单调递增，且f(1)=0,
可知，当x∈[-1,0]U[1,+∞)时，f(x)≥0：
当x∈(-oo,-1]U[0,1]时，f(x)≤0：
吗≤0，得二050解得-1≤x≤0或1≤x<3,
所以不等式号≤0的解集为-1,0U[1,3),
3.（25-26高一上山东青岛·期中)设f(x)是定义在(-∞，0)U(0,+∞)上的奇函数，对任意的x1,x2∈(0，+o)
满足f2)2f@>0且f(3)=15,则不等式fx)>5x的解集为（）.
X1-X2
A.(-∞，3)
B.(-∞，3)U(3,+∞)
C.(-∞，-3)U(0,3)D.(-3,0)U(3,+∞)
【答案】C
【难度】0.4
【知识点】根据函数的单调性解不等式、函数奇偶性的应用、由函数奇偶性解不等式、函数奇偶性的定义与
判断
【分析】根据题意可设g()-四，结合f)的奇偶性判断g()的奇偶性，再结合题设判断g()的单调情况，
进而结合不等式f(x)>5x,讨论x的正负，结合g(x)的单调性，分类求解，即可得答案.
【详解】由题意可设g()=四，因为f)是定义在(-∞，0)u(0,+)上的奇函数，
则g(-x)=9=f@=f但=g(),所以g()是定义在(-∞，0)U(0,+∞)上的偶函数.
-x
fs）fx2
f)fx2】
意x,x0,+,满是>0，即z-子<0,2<0，即2
X1-x2
x1一2
x1-X2
即函数g(x)在(0，+o∞)上单调递减，
又g(x)是偶函数，故g(x)在(-∞，0)上单调递增，且f(-3)=-f(3)=-15
当x>0时，f)>5x,即四>5=，即g)>g(3),0<x<3:
光
3
当x<0时，f()>5x,即四<5=，即g)<g(-3),x<-3,
-3
综上，不等式f(x)>5x的解集为(-∞，-3)U(0,3)
故选：C
第34页共35页
4.(多选)(24-25高三上四川自贡·期中)定义在R上的奇函数f(x)在(-∞，0)上单调递减，且f(3)=0,则满
足xf(x)>0的x的取值范围有().
A.（-∞，-3)
B.（-3,0)
c.(0,3)
D.(3,+∞)
【答案】BC
【难度】0.65
【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式
【分析】由题意可得f(x)在(0，+o)是减函数，再通过讨论x>0和x<0,可得不等式的解集.
【详解】由题意可得f(x)在(-∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上是减函数，且f(-3)=f(3)=0.
由定义在R上的奇函数f(x)在（一-o,0)上单调递减，可得f(x)在(0，+o)上是减函数；
又f(-3)=-f(3)=0,
不等t四≥0.等价为减r,(0
所以x>0时，即有f(x)>0=f3),解得0<x<3:
x<0时，即有f(x)<0=f(-3),解得-3<x<0:
综上可得xfx)>0的解集为(-3,0)U(0,3).
故选：BC
5.(26-27高三上·天津河东·阶段检测)函数y=f(x)是定义在(-2,2)上的奇函数，且y=f(x)在(-2,2)上单
调递增，满足不等式f(2a-1)+f(a)>0的a的取值范围是
【答案】（引
【难度】0.65
【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式
【分析】由函数的奇偶性将不等式化为f(2a-1)>f(-a),再利用单调性即可求解.
【详解】由函数y=fx)是定义在(-2,2)上的奇函数，
又y=(x)在(-2,2)上单调递增，
由f(2a-1)+f(a)>0,得f(2a-1)>-f(a),得f(2a-1)>f(-a),
(-2<2a-1<2
得
2-2<a<2,解得<a<
2a-1>-a
故a的取值范围是(G,)
第35页共35页2027届高考数学一轮复习3-3函数的奇偶性讲义
新高考全国卷考情解读
考点
新高考I卷、新高考Ⅱ卷五年考情(2022-2026)
命题解读
判断奇偶性
判断函数的奇偶性、奇偶性与图象
2026新Ⅱ卷I8、2025新I卷T5、2025新川卷T10、
由奇偶性求参数或函数值
已知奇偶性求参数值或函数值：
2023新I卷T11、2025新Ⅱ卷T4、
知识梳理
定义
图象特点
偶函数
对于定义域内任意一个x,都有几一)=)，那么)是偶函数
关于y轴对称
奇函数
对于定义域内任意一个x,都有一)=一)，那么)是奇函数
关于原点对称
(1)fx)为奇函数台f(一x)=一f(x)台f(一x)+f(x)=0台
f-9=-1
概念及运算
概念等
价式
(2)fx)为偶函数台f(-x)=f(x)台f(-x)一fx)=0台
f-=1
f(x)
g(x)
f(x)+g(x)
f(x)-g(x)
f(x)·g(x)
f(x)÷g(x)
flg(x)]
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶性的运
偶函数
奇函数
不能确定
不能确定
奇函数
奇函数
偶函数
奇函数
偶函数
不能确定
不能确定
奇函数
奇函数
偶函数
奇函数
奇函数
奇函数
奇函数
偶函数
偶函数
奇函数
函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件
如果一个奇函数f(x)在x=0处有定义，那么一定有f(0)=0
如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)=f(x)
在关于原点对称的区间上：奇函数具有相同的单调性，偶函数具有相反的单调性.
用结
(-o,+o),(-m,m),[-m,m],
常见
(-o∞，-m)U(m,+o),(-n,-m)U(m,n),[-n,-m]U[m,n],
对称
函数的奇偶性
区间
(-o,-m]U[m,+∞)，(-n,-mU[m,n),[-n,m)U(m,m
若y=f(x十a)是奇函数÷f(x)关于点(a,0)对称
若y=f(x十a)是偶函数“f(x)关于直线x=a对称
若奇函数f(x)在区间D上有最值，则fax(x)+fmin(x)=0
若函数f(x)的定义域关于原点对称，则f(x)能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式
即fx)=g(8)+h(8,其中：gx)=fx)+f(-x,h(8)=f☒)-f(-x]
1.f(x)=ax+ax(a>0,a≠1)为偶函数；
2.f(x)=ax-ax(a>0,a≠1)为奇函数；
30侧==-
(a>0,a≠1)为奇函数：
见的
4f0)=log(a>0.a≠1，b≠0)为奇函数：
5.f(x)=loga(x2+1±x)(a>0,a≠1)为奇函数：
偶函
6.f(x)=lax+bl+|ax-b为偶函数；
7.f(x)=lax+bl-|ax-b为奇函数；
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新高考五年真题剖析
1.(2026新IⅡ卷T8)已知f()是定义域为R的偶函数，f)+fx-2)=0,且当x∈服，3]时，f)=x2+ax+b,
则()
A.a=-2,b=-3B.a=-2,b=3C.a=-4,b=-3D.a=-4,b=3
2.(2025新1卷T5)设f8)是定义在R上且周期为2的偶函数，当2≤x≤3时，fx)=5-2x,则f(-)=()
A.-月
B.-
C.
D.
3.(2025新Ⅱ卷T10多选)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，fx)=(x2-3)ex+2,则()
A.f(0)=0
B.当x<0时，fx)=-(x2-3)e-x-2
C.fx)≥2当且仅当x≥V3
D.x=-1是fx)的极大值点
4.(2023新I卷T11(多选)已知函数f(x)的定义域为R,f(xy)=y2f(x)+x2fy),则)·
A.f(0)=0B.f(1)=0C.f(x)是偶函数
D.x=0为f(x)的极小值点
5.(2023新Ⅱ卷T4)若x)=(c十四-hn2为偶函数，则a等于()
2x+1
A.-1
B.0
c
D.1
重点题型分析
题型1判断函数奇偶性
【例1-1】(26-27高三上·天津·期中)设函数f(x),g(x)的定义域为R,且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则
下列结论中正确的是(
A.f(x)g(x)是偶函数B.If(xlg(x)是奇函数C.f(x)g(x1是奇函数D.f(x)g(x)是奇函数
【例1-2】(2026广东广州.二模)函数f(x)=xlx-ml+n2是奇函数的充要条件是()
A.mn=0
B.m2+n2=0C.m-n=0
D.m+n=0
【例1-3】（26-27高三上·北京开学考试)已知函数f(x)的定义域为R,则“Vx1,x2∈R,当x2f(x2)≠0时，
都有号-号是f)为奇函数“的（）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
第2页共12页
【例1-4】（多选）(25-26高一上广东广州·阶段检测)下列函数是偶函数的有()
A.f(x)=
B.f(x)=Ixl
C.f(x)=x2+xl
D.f(x)=(x+1)2
【例1-5】（2026四川遂宁.一模)己知函数f(x)=x3-6x2+12,若函数g(x)=f(x-m)+n为偶函数，
则mn=
鲁方法提炼思维升华
定
确定定义域
义
法
判断f(-x)与
f(-x)=f(x),偶函数
判
判断定义域是否
是
f(x)的关系
f(x)=-f(x),奇函数
断
关于原点对称
上面2式均不对，非奇非偶函数
奇
否
非奇非偶函数
偶
关于原点对称，奇函数
性
图象法
关于y轴对称，偶函数
变式训练
1(2527商三上上海徐汇开学考试)函数y=品在定义域R上是（)
A.严格增的奇函数B.严格增的偶函数C.严格减的奇函数D.严格减的偶函数
2.(2026重庆万州三模)若y=f(x),y=f(g(x)分别为定义在R上的奇函数、偶函数，则g(x)的解析式可
以为()
A.g(x)=x2-x B.g(x)=x+lxl C.g(x)=x3+x D.g(x)=x4+x3
3.（2026江西南昌一模)已知函数f(x)=x3-6x2+12,若函数g(x)=f(x-m)+n为偶函数，则()
A.m=2,n=-4B.m=-2,n=4C.m=2,n=4D.m=-2,n=-4
4.(多选)(2025湖南·模拟预测)若函数f(x),g(x),h(x)的定义域都为R,且f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，则
()
A.f(x2)是偶函数B.f(x)川是偶函数C.g[f(x)]是奇函数D.f(x)h(Ix)是奇函数
5.(26-27高三上广东·阶段检测)己知函数f(x)的定义域为R,f(x)+x2为奇函数，f(x)+x为偶函数，则
f(1)=
题型2利用奇偶性判断函数图象
【例2-1】(25-26高三上·江西·阶段检测)己知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能是()
第3页共12页
A.fx)=2-x2.xB.f()=x·21-2
C.f(x)=x.(xl-1)D.f(x)=2x.v1-x2
【例22】(2526高三上云南曲靖期中)函数)y=,的大致图象是()
【例23】(2627高三上河北廊坊阶段检测)函数f)=的图象大致是()
【例2-4】(25-26高三下·天津.阶段检测)函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可能是()
A.fx)=21-
x3
B.f0)=22+
x3
C.f(x)=
0.f)=
【例2-5】（多选）(25-26高三·全国.一轮复习)已知图甲中的图象对应的函数y=f(x),则图乙中的图象对应
的函数可能是()
A.y=f(Ix)
B.y=If(x引
C.y=f(-x)
D.y=-f(x)
变式训练
1.(25-26高二下浙江宁波期中)函数f()=的图象大致是（)
第4页共12页
4x-1
2.(2026甘肃兰州：模拟预测)函数f()=2的大致图象为（）
主，和清
3.(25-26高三上·北京海淀.期中)函数f(x)=kx2+的图象可能是（)
这：
4.(2526高三·全国一轮复习)已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可以是()
A.f(x)=Ilxl
B.F)
c.f)=是-1
D.f)=x-是
5.(26-27高三上山东临沂阶段检测)函数f()=4o产在区间[-3,0)U(0,3]上的图象大致为()
第5页共12页
题型3由奇偶性求参数
【例3-1】(2026湖南湘潭.三模)已知f(x)=x3+(b-2)x2+3x是定义在[a-2b,2a+b]上的奇函数，则
()
A.Q=-6,b=2B.Q=-6,b=-2C.Q=子，b=-2D.a=3,b=2
(2x-a,x≥0
【例3-2】(2026湖南衡阳模拟预测）已知函数f凶={b-(白，x<0为奇函数，则a+2b=（）
A.1
B.2
C.3
D.4
【例3-3】(26-27高三上·湖北阶段检测)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，且f(x+1)为偶函数，f(-1)=
-1,当x∈[1,2]时，fx)=x2+ax+b,则()
A.a=-4,b=4
B.a=4,b=0
C.a=2,b=-2
D.a=-3,b=3
【例3-4】（多选）(2025四川成都模拟预测)己知函数f(x)=
{ax2+2x,x≤0’下列说法正确的有()
∫x2+2x,x>0
A.存在实数a,使得f(-1)=a2+2a成立
B.若f(x)为奇函数，则a=一1
C.若f(x)在[-1，+∞)上单调递增，则a≤1
D,若方程f(x)=1有两个不等实根，则a>0
【例3-5】(26-27高三上江西·阶段检测)若函数f(x)=
{x2-x,x≤0，为奇函数，则a+b=
lax2+bx,x>0
变式训练
1.(2026湖北模拟预测)若f(x)=x(x-1)(x+a)(x∈R)为奇函数，则a的值为()
A.-1
B.0
C.1
D.-1或1
(X+a,X<0,
2.(25-26高三上河北衡水·期末)己知函数f(x)
b,x=0,是奇函数，则a+b+c=()
cX+2,X>0
A.2
B.1
C.0
D.-1
3.(26-27高三上江苏常州开学考试)已知函数f)-+是奇函数，若f四>f(2),则实数a的值为（)
A.1
B.-1
C.±1
D.0
第6页共12页
1
+2,x<0,
x-1
4.(多选)(2025河北一模)己知函数f(x)
x,x=0,下列命题正确的是()
+1+ax>0,
A.若f(x)是奇函数，则a=-2
B.若f(x)是奇函数，则a=0
C.若f(x)是减函数，则a的取值范围为(-∞，-1]
D.若f(x)是减函数，则a的取值范围为(-∞，-2]
5.(2627高三上·江西，阶段检测)已知f)=+是偶函数，则实数的值为
题型4由奇偶性求解析式
【例4-1K25-26高三下河南新乡阶段检测)己知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f(x)=x(1-x),
则当x>0时，f(x)=()
A.-x(1-x)
B.x(1-x)
C.-x(1+x)
D.x(1+x)
【例4-2】(25-26高三上·江苏南通·开学考试)己知f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)=x-2x,则x<0
时，f(x)=()
A.x+2x
B.X十2-x
C.-x+2-x
D.-X-2-x
【例4-3】(2025广东模拟预测)已知f(x)是定义域为R的奇函数，当x<0时，f()=x++1,则当x>0
时，f(x)的最小值为()
A.1
B.2
C.3
D.4
【例4-4】（多选）(26-27高三上宁夏石嘴山阶段检测)己知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=
x2-2x,则下列说法正确的是()
A.f(x)在R上单调递增
B.f(x)的图象关于原点对称
C.f(-1)=-1
D.当x<0时，f(x)=-x2-2x
【例4-5】(2627高三上·上海普陀开学考试)已知y=f(x)是定义在R上的奇函数，若当x>0时，f(x)=x2+
2x,则f(x)=」
变式训练
1.(25-26高一上浙江杭州期中)若函数f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)=x2+三，则当x<0时，f(x)
的解析式为()
A.f)=-x2+B.f()=-x2-C.f)=x2-是D.f)=x2+
第7页共12页
2.(2627高三上产西南宁开学考试)已知)=6，。是奇函数，则听凶的单调递增区何为()
A.[-3,0],[3,+∞)B.[-6,-3],[6,+∞)C.（-∞，-3]，[3，+∞)D.（-∞，-6]，[6，+∞)
3.(多选)(24-25高三上安徽毫州阶段检测)己知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)=x2+x+
a,则下列说法正确的是()
A.a=0
B.当x>0时，f(x)=-x2-x
C.函数f(x)的单调递减区间为(-∞，-)和(，+∞)
D.不等式f(x)<0的解集为(-1,0)U(1,+∞)
4.（2026重庆永川模拟预测)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)=x(1+x).则当x≥0时，
f(x)=.
5.（26-27高三上山东·期中)设函数f(x)的定义域为R,g(x)=(x-1)f(x),h(x)=f(x)-x,若g(x)为奇
函数，h(x)为偶函数，则f(x)=
题型5由奇偶性求函数值
【例5-125-26高三上·江苏盐城阶段检测)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)=x2+
2x+1+m,则f(-1)=()
A.1
B.3
C.-3
D.-1
【例5-2】(2026辽宁抚顺模拟预测)已知函数f()-a2+bx,x∈[-2a+1,1刂是偶函数，则f(月-()
A.
B.月
C.2
D.4
【例5-3K2025河北模拟预测)已知偶函数f(x)的定义域为R,且当x>0时，f(x)=-3x+m,若f(-2)=-7,
则f(3)=()
A.-11
B.-15
C.-25
D.-29
【例5-4】（多选）(25-26高一上广东佛山期中)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=x2一
2x,则()
A.f(0)=0
B.f(x)的值域为R
C.当x<0时，f(x)=-x2-2x
D.f(x)>0的解集为(-∞，-2)U(2,+∞)
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【例5-5】(26-27高三上山西·阶段检测)若f(x)=(x+m)2-2x是偶函数，则f(m)=
.(用数
字作答)
变式训练
1.(2026河北雄安模拟预测)己知函数f(x)=x+1为奇函数，则f(6)=()
X一a
A号
B.9
c.
0.号
2.(2026·湖南株洲.一模)已知f(x)是奇函数，gx)是偶函数，其定义域均为R,且f(x)+g(x)=x(x+1):
则f(1)-g(1)=()
A.0
B.2
C.-2
D.1
3.(25-26高一下四川泸州期未)已知f()为奇函数，且当x>0时，f)=2x-x,则f(-1)=（)
A-月
B.-1
C.1
o.是
4.(25-26高三上山东潍坊·期中)己知f(x)是定义域为R的奇函数，若x>0时，f(x)=x3-2x2,则ff(1)]=
()
A.-1
B.0
C.1
D.2
5.(多选)(26-27高三上·湖南·阶段检测)若y=f(x)+x2为R上的奇函数，y=f(x)-x3为R上的偶函数，则
()
A.f(0)=1B.f(x)+f(-x)=-2x2C.f(1)=0D.f(x)-f(-x)=-2x3
题型6抽象函数的奇偶性
【例6-1】(2026江苏南京三模)己知定义在R上的非常数函数f(x)满足：对于任意x,y∈R都有：f(x+y)=
f(x)fy)+f(x)+f(y),f(1)=e-1.下列选项正确的是()
A.f(x)是奇函数B.f(x)是偶函数
C.f(0)=-1D.f(2)=e2-1
【例6-2】(2025河南·模拟预测)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意x,y,都有f(x)+fy)=f(x+y)+
a,则a=()
A.2
B.1
C.0
D.-1
【例6-3】(25-26高二下·上海·期末)己知奇函数y=f(x)的定义域为R,且对任何实数x,都有f(x)=4f[f(x+
4)],则f(2)可以是().
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A.4
B.2
C.1
D.-2
【例6-4】（多选）(26-27高三上·吉林长春.阶段检测)已知定义域为R的函数f(x)满足f(xy)=xfy)+yf(x),
且f(2)=4,则下列命题正确的是()
A.f(0)=0
B.f(-1)=0
C.f(x)是奇函数
D.f(月=-
【例6-5】（24-25高三下广东·开学考试)己知定义域为R的函数f(x)满足对∀x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+
fy),f(-x)=f(x),则f(2025)=」
变式训练
1.(2026-山东·模拟预测)已知定义在R上的函数f(x)满足：f(x+1)为奇函数，且f(0)=2,则f(2)=()
A.-2
B.0
C.1
D.2
2.(24-25高三上宁夏石嘴山阶段检测)若函数f(x)是定义在R上的奇函数，函数f(x+1)是偶函数，则f(2)=
()
A.2
B.0
C.60
D.62
3.(24-25高三上山东济宁.期中)已知函数f(x)的定义域为R,满足f(x+y)-[f(x)+f(y)]=2024,则下列
说法正确的是()
A.f(x)是偶函数B.f(x)是奇函数
C.f(x)+2024是奇函数D.f(x)+2024是偶函数
4.(多选)(2026广西河池三模)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)+f(x)=0,且y=f(2-x)为偶函
数，则下列结论正确的是()
A.函数f(x)为奇函数B.函数f(x+1)为奇函数C.函数f(x)是偶函数D.函数f(x+2)是偶函数
5.(2025·重庆模拟预测)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(1+x)=f(1-x)+2x,则f(2026)=
题型7奇偶性与单调性结合解不等式
【例7-1】(2026吉林长春.模拟预测)己知f(x)是定义域为[-5,5]的奇函数，f(x)的部分图象如图所示，则
不等式xf(x)<0的解集为()
A.(-5,-2)
B.(0,2)
C.(-5,-2)U(2,5)D.(-2,0)U(2,5)
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25
【例7-2】(26-27高三上·安徽阶段检测)定义在R上的奇函数f(x)在(-∞，0)上单调递减，且f(3)=0,则满
足xf(x)<0的x的取值范围是()
A.(-∞，-3)U(3,+∞)
B.(-3,0)U(3,+∞)
C.(-3,0)U(0,3)
D.（-∞，-3)U(0,3)
【例7-3】(25-26高一上.河北邢台期中)己知f(x)是定义在(m-5,4m)上的偶函数，对任意的x1,x2∈[0,4m)
当x1≠x,时，++回>0恒成立，若f①）=4.则关于x的不等式f(x-m>2x2-4x+4的解
X1-X2
集为()
A.(0,2)
B.(-4,0)U(2,4)
C.(-3,0)U(2,5)
D.(-∞，0)U(2,+∞)
【例7-4】（多选）(24-25高三上·河南·阶段检测)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，则()
A.f(0)=0
B.函数y=f(x3)为奇函数
C.函数y=f(x)-f(-x)为偶函数
D.当x2≠x1时，若2)f>0,则不等式f(t2)<-f(2t)的解集为(0,2)
X2-x1
【例7-5】(26-27高三上·宁夏银川阶段检测)偶函数f(x)在区间(-∞，0]上单调递减，f(2)=0,则不
等式(x-1)f(x)>0的解集为
变式训练
1.(26-27高三上·重庆渝中.阶段检测)己知定义在R上的偶函数f(x)在区间[0，+∞)上单调递增，则不等式
f(x)≤f(1-x)的解集为()
A.(-0,1]
B.（m,引
C.(0,1]
.(o,引
2.(26-27高三上江苏扬州·阶段检测)定义在R上的奇函数f(x)在(0，+∞)上单调递增，且f(1)=0,则不等
式号≤0的解集为()
A.(-∞，-1]U[0,1]B.[-1,0)U[1,3)C.（-∞，-1U[1,3)
D.[-1,0]U[1,3)
3.（25-26高一上山东青岛·期中)设f(x)是定义在(-∞，0)U(0,+∞)上的奇函数，对任意的x1,x2∈(0，+∞)
满足2)-f>0且f3)=15,则不等式f()>5x的解集为().
X1-X2
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A.(-00,3)B.(-∞，3)U(3,+∞)
C.(-∞，-3)U(0,3)D.(-3,0)U(3,+∞)
4.(多选)(24-25高三上四川自贡期中)定义在R上的奇函数f(x)在(-∞，0)上单调递减，且f(3)=0,则满
足xf(x)>0的x的取值范围有(）·
A.（-∞，-3)
B.（-3,0)
C.(0,3)
D.(3,+∞)
5.(26-27高三上·天津河东阶段检测)函数y=f(x)是定义在(-2,2)上的奇函数，且y=f(x)在(-2,2)上单
调递增，满足不等式f(2a-1)+f(a)>0的a的取值范围是
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2027届高考数学一轮复习 3-3 函数的奇偶性 讲义
新高考全国卷考情解读
考点
新高考Ⅰ卷、新高考Ⅱ卷五年考情(2022-2026)
命题解读
判断奇偶性
判断函数的奇偶性、奇偶性与图象。
已知奇偶性求参数值或函数值；
由奇偶性求参数或函数值
2026新Ⅱ卷T8、2025新Ⅰ卷T5、2025新Ⅱ卷T10、
2023新Ⅰ卷T11、2025新Ⅱ卷T4、
知识梳理
新高考五年真题剖析
1.(2026新Ⅱ卷T8)已知是定义域为R的偶函数，，且当时，，则（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】由奇偶性求参数、函数周期性的应用、函数奇偶性的应用
【分析】根据推出周期，可得，得到，再由可得.
【详解】，则，
，即的周期为，
结合奇偶性，周期性，故，
在上满足，说明的对称轴为，
则，解得，
又根据知，而，
则，于是，
即，解得.
2.(2025新Ⅰ卷T5)设是定义在R上且周期为2的偶函数，当时，，则( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据周期性和奇偶性把待求自变量转化为的范围中求解.
【详解】由题知，恒成立，
于是.故选：A
3.(2025新Ⅱ卷T10)(多选)已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则( )
A． B．当时，
C．当且仅当 D．是的极大值点
【答案】ABD
【分析】对A，根据奇函数特点即可判断；对B，利用代入求解即可；
对C，举反例即可；对D，直接求导，根据极大值点判定方法即可判断.
【详解】对A，因为定义在上奇函数，则，故A正确；
对B，当时，，则，故B正确；
对C，， 故C错误；
对D，当时，，则；
令，解得或3(舍去)，
当时，，此时递增，当时，，此时递减，
则是极大值点，故D正确；故选：ABD.
4.(2023新Ⅰ卷T11)(多选)已知函数的定义域为，，则( )．
A． B． C．是偶函数 D．为的极小值点
【答案】ABC
【难度】0.65
【知识点】函数极值点的辨析、函数奇偶性的定义与判断
【分析】方法一：赋值法，结合函数奇偶性的判断方法可判断选项ABC，举反例即可排除选项D.
方法二：选项ABC的判断与方法一同，对于D，可构造特殊函数进行判断即可.
【详解】方法一：因为，
对于A，令，，故正确.
对于B，令，，则，故B正确.
对于C，令，，则，
令，
又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确，
对于D，不妨令，显然符合题设条件，此时无极值，故错误.
方法二：因为，
对于A，令，，故正确.
对于B，令，，则，故B正确.
对于C，令，，则，
令，
又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确，
对于D，当时，对两边同时除以，得到，
故可以设，则，
当肘，，则，
令，得；令，得；
故在上单调递减，在上单调递增，
因为为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减，
显然，此时是的极大值点，故D错误.
故选：.
5.(2023新Ⅱ卷T4)若f(x)＝(x＋a)·ln 为偶函数，则a等于( )
A．－1 B．0 C. D．1
【答案】B【详解】方法一 因为f(x)为偶函数，则 f(1)＝f(－1)，即(1＋a)ln ＝(－1＋a)ln 3，解得a＝0.
当a＝0时，f(x)＝xln ；由(2x－1)(2x＋1)>0，解得其定义域为，关于原点对称．
f(－x)＝(－x)ln＝(－x)ln＝(－x)ln＝xln ＝f(x)，f(x)为偶函数，符合题意．故a＝0.
方法二 设g(x)＝ln ，易知g(x)的定义域为，
且g(－x)＝ln ＝ln ＝－ln ＝－g(x)，所以g(x)为奇函数．
若f(x)＝(x＋a)ln 为偶函数，则y＝x＋a也应为奇函数，所以a＝0.
重点题型分析
题型1 判断函数奇偶性
【例1-1】（26-27高三上·天津·期中）设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】函数奇偶性的定义与判断
【分析】利用函数的奇偶性对选项逐一判断即可.
【详解】易知选项ABCD中的函数定义域即为；
因为是奇函数，是偶函数，所以，
对于A，因为，故是奇函数，即A错误；
对于B，因为，故是偶函数，即B错误；
对于C，，故是奇函数，即C正确；
对于D，，故是偶函数，即D错误.
【例1-2】（2026·广东广州·二模）函数是奇函数的充要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】探求命题为真的充要条件、函数奇偶性的定义与判断、由奇偶性求参数
【分析】根据奇函数定义：若是奇函数，则对任意都满足，且定义域为时必有.
【详解】代入得，因此，
代入得，结合即，
整理得对任意恒成立，平方化简得对任意恒成立，因此，
因此是奇函数等价于且，即，反之若，必有，
此时确实是奇函数，故充要条件为.
【例1-3】（26-27高三上·北京·开学考试）已知函数的定义域为，则“，，当时，都有”是“为奇函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】判断命题的充分不必要条件、函数奇偶性的定义与判断
【分析】先验证题设条件能否推出是奇函数判断充分性，再举反例验证奇函数是否一定满足题设条件判断必要性，最终确定条件类型.
【详解】已知，当时，都有，
当时，可得，因此.
对任意，令，，可得，即.
记，由分母不为零可知，因此.
此时，满足奇函数定义，充分性成立；
若是奇函数，取反例，其定义域为且满足是奇函数，
取，，则，而，二者不相等，不满足题设条件，故必要性不成立.
综上所述，“，当时，都有”是“是奇函数”的充分不必要条件.
【例1-4】(多选)（25-26高一上·广东广州·阶段检测）下列函数是偶函数的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【难度】0.85
【知识点】函数奇偶性的定义与判断
【分析】根据偶函数的定义，结合偶函数定义域关于原点对称的性质，逐一分析判断选项．
【详解】选项A：的定义域为，不关于原点对称，不是偶函数，故A错误；
选项B：的定义域为，关于原点对称，且，满足偶函数定义，
是偶函数，故B正确；
选项C：的定义域为，关于原点对称，且，满足偶函数定义，是偶函数，故C正确；
选项D：的定义域为，关于原点对称，但，不满足偶函数定义，不是偶函数，故D错误．
故选：．
【例1-5】（2026·四川遂宁·一模）已知函数，若函数为偶函数，则________．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、由奇偶性求参数
【分析】令，通过已知条件得出为奇函数，再根据即可求出.
【详解】令，
因为函数为偶函数，且为三次函数，为奇函数，即，
，
即，即，
，解得，.
变式训练
1.（26-27高三上·上海徐汇·开学考试）函数在定义域上是（ ）
A．严格增的奇函数 B．严格增的偶函数 C．严格减的奇函数 D．严格减的偶函数
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据解析式直接判断函数的单调性
【详解】函数定义域为，关于原点对称.记，，
故为奇函数.将函数变形为，在上严格递增，
则严格递减，严格递增，因此在上严格递增.
2.（2026·重庆万州·三模）若分别为定义在上的奇函数、偶函数，则的解析式可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数奇偶性的应用
【分析】根据题意得到为偶函数，利用奇偶性定义判断各项对应函数的奇偶性，即可得.
【详解】由题意，在上且恒成立，
若为奇函数或非奇非偶函数，
则存在奇函数不能保证即恒成立，
若为偶函数，则，
此时对于任意奇函数都有，即恒成立，所以为偶函数，
A，且定义域为，为非奇非偶函数，
B，且定义域为，为偶函数，
C，且定义域为，为奇函数，
D，且定义域为，为非奇非偶函数.
故选B.
3.（2026·江西南昌·一模）已知函数，若函数为偶函数，则（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数奇偶性的应用、由奇偶性求参数
【详解】令，
因为函数为偶函数，且为三次函数，
所以为奇函数，即，
所以，
即，
即，
所以，解得.
4.(多选)（2025·湖南·模拟预测）若函数的定义域都为，且为奇函数，为偶函数，则（ ）
A．是偶函数 B．是偶函数 C．是奇函数 D．是奇函数
【答案】ABD
【难度】0.85
【知识点】函数奇偶性的定义与判断
【分析】根据偶函数定义判断A，B，奇函数定义判断C，D.
【详解】函数的定义域都为，
对于A，因为，所以是偶函数，故A正确；
对于B，因为为奇函数，所以，则是偶函数，故B正确；
对于C，因为偶函数，则，即是偶函数，故C错误；
对于D，因，则为偶函数，又因为为奇函数，则是奇函数，故D正确.
故选：ABD.
5.（26-27高三上·广东·阶段检测）已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，则__________．
【答案】
【难度】0.75
【知识点】求函数值、函数奇偶性的定义与判断、由奇偶性求函数解析式、函数奇偶性的应用
【详解】设 ，.
因为 为奇函数，所以对任意 ，有 ，即 ；①
因为 为偶函数，所以对任意 ，有 ，
即 ，整理得 .②；由①得 .③
由②③联立，得 ，即 ，故 .
所以 .
题型2 利用奇偶性判断函数图象
【例2-1】（25-26高三上·江西·阶段检测）已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数图像的识别
【分析】根据函数的奇偶性和特殊值，逐个分析判断，即可得解.
【详解】由图象可知，函数的图象关于原点对称，故函数为奇函数，且时，.
对于A，由，，
则，所以为偶函数，不符合题意；
对于B，由，，则，
所以为奇函数，且时，，符合题意；
对于C，由，则，不符合题意；
对于D，由，则，不符合题意.
故选：B
【例2-2】（25-26高三上·云南曲靖·期中）函数的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数图像的识别
【分析】利用奇偶性定义判断函数奇偶性，结合的函数符号，利用排除法即可得解.
【详解】函数的定义域为R，且，
所以函数是奇函数，排除AC；
当时，，排除D.
故选：B.
【例2-3】（26-27高三上·河北廊坊·阶段检测）函数的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数奇偶性的应用、函数图像的识别、根据解析式直接判断函数的单调性
【分析】先利用奇偶性、函数正负快速排除选项，再结合单调性与极限验证，本题为奇函数，图象关于原点对称，排除D；由时可排除 C，由时可排除 A，从而可得结果.
【详解】∵函数，∴定义域，
∴，
∴是奇函数，图像关于原点对称，排除D；
当，，图象在轴上方，排除C；
当时，，故排除 A.
【例2-4】（25-26高三下·天津·阶段检测）函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数图象的应用、根据函数图象选择解析式
【分析】由取值情况判断B；由时函数值情况判断C；由的值判断D；分析函数性质判断A.
【详解】对于B，函数的定义域为R，而给定图象对应函数中，B不是；
对于C，函数，当时，，此时图象在下方，C不是；
对于D，函数，，其图象过点，D不是；
对于A，函数，定义域为，
，函数为奇函数，图象关于原点对称，
当时，；当时，，A可能是.
【例2-5】(多选)（25-26高三·全国·一轮复习）已知图甲中的图象对应的函数，则图乙中的图象对应的函数可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【难度】0.85
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数对称性的应用、函数图像的识别、函数图象的变换
【分析】根据函数，与函数的图象关系，结合函数的奇偶性逐一判断即得．
【详解】由题意可知，图乙函数是偶函数，
对于A：的图象是保持在轴右侧的图象并将右侧图象沿着轴翻折，而乙图中在轴右侧的图象发生改变，故A不合题意；
对于B：的图象是保持在轴上方的图象并将下方的图象沿着轴翻折,而乙图中在
原点附近的图象均在轴下方，故B不合题意；
对于C：当时，，即乙图中轴右侧的图象可由甲图中在轴左侧的图象翻折得到，
又为偶函数，图象应关于轴对称，故C符合题意；
对于D：可由关于轴翻折得到，根据A项分析,可知D符合题意.
变式训练
1.（25-26高二下·浙江宁波·期中）函数的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数图像的识别
【详解】的定义域为，C选项排除.
，为奇函数.
又，，B，D选项排除，故A选项正确.
2.（2026·甘肃兰州·模拟预测）函数的大致图象为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数图像的识别
【详解】，函数的定义域为，关于原点对称，
由，所以为奇函数，排除A；
又，排除C和D.
3.（25-26高三上·北京海淀·期中）函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数图像的识别、根据解析式直接判断函数的单调性
【分析】根据函数奇偶性排除AB，再利用函数单调性或是极限值即可排除D.
【详解】，定义域为，关于原点对称，
当时，则，且，显然图中没有符合的，
当时， ，其既不恒等于，
也不恒等于，则其不具有奇偶性，即为非奇非偶函数，故AB错误；
当时，取的情况，此时，则，则CD图象不适合，
则只考虑的情况，
当时，取的情况，此时均在上单调递减，则在上单调递减，故D错误，
从极限角度考虑则当，且时，此时，则，故D错误.
故选：C.
4.（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可以是（ ）
A． B． C．－1 D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据函数图象选择解析式
【详解】由函数图象可知，函数为奇函数，而选项C是偶函数，排除C;
选项B，当,,与图象矛盾，排除B.
若函数为则时，，排除D，故选A.
5.（26-27高三上·山东临沂·阶段检测）函数在区间上的图象大致为（）
A． B． C． D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数奇偶性的应用、函数图像的识别
【分析】利用函数的奇偶性与时的符号即可判断出正确选项.
【详解】由题意可知，函数的定义域为，关于原点对称，
且，
所以函数为奇函数，图象关于原点对称，故排除选项A、B，
当时，，，，所以，
即当趋向于的右侧时，函数图象应在轴下方，故排除选项C，选项D符合题意.
题型3 由奇偶性求参数
【例3-1】（2026·湖南湘潭·三模）已知是定义在上的奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】由奇偶性求参数
【详解】由奇函数的性质可知，解得.
【例3-2】（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知函数为奇函数，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】由奇偶性求参数
【分析】根据奇函数的性质求解即可．
【详解】由奇函数的定义域为，得，解得．
当时，0，则，
又时，，所以，所以．
【例3-3】（26-27高三上·湖北·阶段检测）已知函数是定义域为的奇函数，且为偶函数，，当时， ，则（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、由函数的周期性求函数值、由奇偶性求参数
【详解】因为函数是定义域为的奇函数，所以，且，因为，所以①，
为偶函数，所以②，
当时，，由①②得，，
解得，.
【例3-4】(多选)（2025·四川成都·模拟预测）已知函数，下列说法正确的有（ ）
A．存在实数a，使得成立 B．若为奇函数，则
C．若在上单调递增，则 D．若方程有两个不等实根，则
【答案】BCD
【难度】0.4
【知识点】分段函数的性质及应用、由奇偶性求参数、根据分段函数的单调性求参数
【分析】根据方程的判别式可判断A选项；由奇偶性可判断B选项；利用分段函数的单调性可判断C选项；结合单调性和最值可判断D选项.
【详解】对于A：，即，其判别式，
所以该方程无解，即不存在实数a，使得成立，故A错误；
对于B：若为奇函数，则，
当时， ，则，
，其对都成立，解得；
当时同理可得；
当时，也符合题意，故，B正确；
对于C：函数在单调递增；
当时，，单调递增，又，即处连续，
所以在单调递增，符合题意；
当时，，即在单调递减，单调递增，
又处连续；因此，函数在单调递增，所以，
，得，则；
当时，，又处连续，
因为，所以在单调递增，因此，函数在单调递增，符合题意，
综上可知，若在上单调递增，则，故C正确.
对于D：由单调性可知，当时在单调递增，则方程有一个实根；
当时， 在单调递减，在单调递增，
则，所以方程有两个不等实根；
综上可知，方程有两个不等实根，则.
故选：BCD
【例3-5】（26-27高三上·江西·阶段检测）若函数为奇函数，则___________.
【答案】
【难度】0.85
【知识点】分段函数函数值、函数奇偶性的定义与判断、由奇偶性求参数、由函数奇偶性解不等式
【分析】解法1：根据奇函数的定义，求出时的解析式，得到即可；
解法2：利用即可求解．
【详解】解法1：当时，，所以，
又为奇函数，所以，所以，
即当时，，所以，所以．
解法2：由题意得，即，所以．
变式训练
1.（2026·湖北·模拟预测）若为奇函数，则的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．或1
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】由奇偶性求参数
【详解】，，
为奇函数，，
，，
，，对于任意的恒成立，
，，故选项C正确.
2.（25-26高三上·河北衡水·期末）已知函数是奇函数，则（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量、函数奇偶性的定义与判断、由奇偶性求参数
【分析】利用奇函数的性质，结合分段函数讨论，可得恒等式求系数，即可得出结果.
【详解】由题意知，所以，
当时，由可得：此时等式恒成立，
即，则，
故选：D
3.（26-27高三上·江苏常州·开学考试）已知函数 是奇函数，若，则实数的值为（ ）
A．1 B． C． D．0
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】根据函数的单调性求参数值、函数奇偶性的定义与判断、由奇偶性求参数
【分析】先利用奇函数的性质求出的可能取值，再根据筛选得到的正确值.
【详解】因为函数是奇函数，所以对定义域内任意，都有成立.
， 由得：，
交叉相乘整理得：对任意定义域内恒成立，
因为，故，解得.
将变形为，
当时，，此时，，
由，易得，不符合条件；
当时，，此时，，
由，易得，符合题意;
综上，.
4.(多选)（2025·河北·一模）已知函数下列命题正确的是（ ）
A．若是奇函数，则 B．若是奇函数，则
C．若是减函数，则的取值范围为 D．若是减函数，则的取值范围为
【答案】AC
【难度】0.65
【知识点】根据函数的单调性求参数值、函数奇偶性的定义与判断、由奇偶性求参数
【分析】根据奇函数的性质即可求解，根据单调性的性质即可求解CD.
【详解】当时，.
若是奇函数，则，解得，
当时，时，，
也满足奇函数，故A正确.
若是减函数，则，解得，C正确.
故选：AC
5.（26-27高三上·江西·阶段检测）已知是偶函数，则实数的值为__________．
【答案】0
【难度】0.85
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数奇偶性的应用、由奇偶性求参数
【详解】∵函数是偶函数，定义域分析可得为，且，
∴ 对任意恒成立,
∴ ，即对任意恒成立,
∴ .
题型4 由奇偶性求解析式
【例4-1】（25-26高三下·河南新乡·阶段检测）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则当时，（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】由奇偶性求函数解析式
【分析】根据奇函数的性质,计算可得.
【详解】由题意，当时，，，
又函数是定义在R上的奇函数，所以.
【例4-2】（25-26高三上·江苏南通·开学考试）已知是奇函数，且当时，，则时，（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】由奇偶性求函数解析式
【分析】利用奇函数的性质，根据题设条件即可求得另一半的解析式.
【详解】因为时，，
当时，则，，
因是奇函数，则.
故选：B.
【例4-3】（2025·广东·模拟预测）已知是定义域为R的奇函数，当时，，则当时，的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】由奇偶性求函数解析式、基本不等式求和的最小值
【分析】由奇函数性质求出当时，，再由基本不等式求解．
【详解】当时，得，
由函数是定义域为R的奇函数，得，
即当时，，等号成立时，，
则当时，的最小值为1，
故选：A
【例4-4】(多选)（26-27高三上·宁夏石嘴山·阶段检测）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．在上单调递增 B．的图象关于原点对称
C． D．当时，
【答案】BD
【难度】0.85
【知识点】求函数值、函数奇偶性的定义与判断、由奇偶性求函数解析式、函数奇偶性的应用
【详解】选项A：当时，，在上递减，在上递增.
故在上不是单调递增函数，故A错误.
选项B：因为是奇函数，奇函数的图象关于原点对称.B正确.
选项C：得.又，故，故C错误.
选项D：当时，，则.
由奇函数性质.故D正确.
【例4-5】（26-27高三上·上海普陀·开学考试）已知是定义在上的奇函数，若当时，，则________．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】由奇偶性求函数解析式
【详解】因为是定义在上的奇函数，所以；
当时，，所以，
则；
由可得；
所以.
变式训练
1.（25-26高一上·浙江杭州·期中）若函数是奇函数，且当时，，则当时，的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】由奇偶性求函数解析式
【分析】利用奇函数的性质即可求出时，的解析式.
【详解】由题可知，时，，
取，则，，
由奇函数性质可得：.
2.（26-27高三上·广西南宁·开学考试）已知是奇函数，则的单调递增区间为（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、分段函数的性质及应用、由奇偶性求函数解析式
【分析】利用奇函数性质求出的解析式，再利用二次函数单调性求出即可.
【详解】当时，，则，
又∵是奇函数，∴，即，
即，
当时，二次函数，开口向上，对称轴为，
故单调递增区间为，
当时，二次函数，开口向下，对称轴为，
故单调递增区间为，
综上所述，的单调递增区间为.
3.(多选)（24-25高三上·安徽亳州·阶段检测）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．当时，
C．函数的单调递减区间为和 D．不等式的解集为
【答案】ACD
【难度】0.85
【知识点】由奇偶性求函数解析式、由奇偶性求参数、求函数的单调区间、图象法表示函数
【分析】根据函数的奇偶性、单调性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】由于是定义在上的奇函数，所以，经验证此时满足题意，所以A选项正确.
则当时，，
当时，，，所以B选项错误.
由上述分析可知，由此画出的图象如下图所示，
由图可知，的单调递减区间为和，C选项正确.
不等式的解集为，D选项正确.
故选：ACD
4.（2026·重庆永川·模拟预测）已知是定义在上的奇函数，当时，.则当时，______.
【答案】
【难度】0.85
【知识点】由奇偶性求函数解析式、函数奇偶性的应用
【分析】利用奇函数的性质可知，，结合当时，，即可求解.
【详解】当时，,由于是定义在上的奇函数，则，
；
当时，由于是定义在上的奇函数，则，代入,仍成立
综上，当时，.
5.（26-27高三上·山东·期中）设函数的定义域为，若为奇函数，为偶函数，则____________.
【答案】
【难度】0.85
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、由奇偶性求函数解析式、函数奇偶性的应用、函数方程组法求解析式
【分析】通过奇函数、偶函数的定义建立等式，联立求解得出函数表达式.
【详解】因为为奇函数，所以，
即.
又为偶函数，所以，
即 ，得 .
将 代入，
得：， 即，
化简得.
题型5 由奇偶性求函数值
【例5-1】（25-26高三上·江苏盐城·阶段检测）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则（ ）
A．1 B．3 C． D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】求函数值、由奇偶性求函数解析式、函数奇偶性的应用
【分析】由题意求出，再由函数的奇偶性代值计算即得.
【详解】因函数是定义在上的奇函数，当时，
则，解得，则当时，，
故.
故选：C.
【例5-2】（2026·辽宁抚顺·模拟预测）已知函数，是偶函数，则（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】函数奇偶性的应用、由奇偶性求参数
【分析】因为具有奇偶性，所以定义域一定关于原点对称，再通过偶函数定义即可求得，代入即可求解.
【详解】根据题意得，解得，此时，
因为为偶函数，所以，
解得，经验证符合题意，故，所以.
【例5-3】（2025·河北·模拟预测）已知偶函数的定义域为，且当时，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】由奇偶性求函数解析式
【分析】根据偶函数的性质，结合条件求，再代入求值.
【详解】由偶函数的性质可知，，得，
即时，，.
故选：C
【例5-4】(多选)（25-26高一上·广东佛山·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则（ ）
A． B．的值域为
C．当时， D．的解集为
【答案】ABC
【难度】0.65
【知识点】由奇偶性求函数解析式、画出具体函数图象、函数图象的应用
【分析】根据奇函数性质可得，即可判断A；根据奇函数的定义求函数的解析式，即可判断C；作出函数的图象，结合图象判断BD.
【详解】因为函数是定义在上的奇函数，则，故A正确；
且当时，，
当时，则，可得，故C正确；
，作出函数的图象，如图所示：可知的值域为，故B正确；
的解集为，故D错误；
故选：ABC.
【例5-5】（26-27高三上·山西·阶段检测）若是偶函数，则__________．（用数字作答）
【答案】2
【难度】0.85
【知识点】由奇偶性求参数、求函数值
【分析】将函数解析式展开，利用偶函数满足自变量一次项系数为 ，求出 的值后代入计算 .
【详解】.
因为 是偶函数，所以 的一次项系数为 ，即 ；解得 .
所以.
变式训练
1.（2026·河北雄安·模拟预测）已知函数为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】由奇偶性求参数、求函数值
【详解】由函数为奇函数，得，
即，解得，
因此，所以.
2.（2026·湖南株洲·一模）已知是奇函数，是偶函数，其定义域均为，且，则（ ）
A．0 B．2 C． D．1
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】求函数值、由奇偶性求函数解析式、函数奇偶性的应用
【分析】利用奇偶性，结合恒等式可求解，从而可求出结果.
【详解】因为定义域均为且，
所以可得，
又因为是奇函数，是偶函数，所以
即上式可化简为，
再与相加可得，
代入可得，
所以即.
故选：A.
3.（25-26高一下·四川泸州·期末）已知为奇函数，且当时，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】求函数值、由奇偶性求函数解析式、函数奇偶性的应用
【详解】∵ 当时，，∴ .
∵ 是奇函数，满足，∴ .
4.（25-26高三上·山东潍坊·期中）已知是定义域为的奇函数，若时，，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】求函数值、由奇偶性求函数解析式、函数奇偶性的应用
【分析】利用奇函数的性质求出时解析式可得.
【详解】由题意可得，
因为是定义域为的奇函数，若时，，
当时，，则，
因为，所以，所以.
故选：C.
5.(多选)（26-27高三上·湖南·阶段检测）若为上的奇函数，为上的偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【难度】0.85
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、由奇偶性求函数解析式、函数奇偶性的应用
【分析】根据奇偶性的定义结合赋值法求解.
【详解】选项AB，为上的奇函数，
则，，，
所以，A错；B正确；
选项C，由B，得，又为上的偶函数，
则，，
所以，，C正确；
选项D，由为上的偶函数，得，
所以，D错.
题型6 抽象函数的奇偶性
【例6-1】（2026·江苏南京·三模）已知定义在上的非常数函数满足：对于任意都有：，.下列选项正确的是（ ）
A．是奇函数 B．是偶函数 C． D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】求函数值、函数奇偶性的定义与判断、抽象函数的奇偶性
【分析】根据已知条件赋值，根据指数型函数方程的结构，通过换元，再结合非常数函数的条件，推出，即可判断四个选项.
【详解】解：令，则，
则，解得或，
因为，所以，
化简得，设，则，
当时，，令，则，
即，即为常数函数，与已知矛盾，因此，，选项错误；
因为，所以，结合，可得，
所以，则，因此，，
所以既不是奇函数，也不是偶函数，选项和选项错误，
此时，选项正确，
【例6-2】（2025·河南·模拟预测）已知是定义在上的奇函数，且对任意，都有，则（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】函数奇偶性的应用、抽象函数的奇偶性
【分析】通过赋值法结合奇函数的性质即可求解.
【详解】令，则，
因为是定义在上的奇函数，所以，则.
故选：C.
【例6-3】（25-26高二下·上海·期末）已知奇函数的定义域为，且对任何实数，都有，则可以是（ ）．
A．4 B．2 C．1 D．
【答案】C
【难度】0.55
【知识点】求函数值、函数奇偶性的应用、抽象函数的奇偶性
【分析】由奇函数的性质及已知关系，依次代入、、且令得到，再依次验证各项对应值判断即可.
【详解】已知是定义在上的奇函数，所以，且①，
将代入①中，得，
因为，所以，即，
将代入①中，得，
由于是奇函数，因此，这与上面得出的 相符，
将代入①中，设，则 ，
将代入①中， ，
把代入上式，得到②，
若，由②得，与矛盾，排除 A，
若，由②得，与矛盾，排除 B，
若，由②得，与没有冲突，且满足奇函数性质，
若，由②得，与矛盾，排除D，
综上可知，的值只能是.
【例6-4】(多选)（26-27高三上·吉林长春·阶段检测）已知定义域为的函数满足，且，则下列命题正确的是（ ）
A． B． C．是奇函数 D．
【答案】ABC
【难度】0.65
【知识点】求函数值、函数奇偶性的定义与判断、函数奇偶性的应用、抽象函数的奇偶性
【分析】给题中恒成立的等式赋值，对于A，令进行判断，对于B，令，赋值可求出的值，再令可求出的值，对于C，令进行判断，对于D，令，判断.
【详解】对于A，令，则，所以，所以A正确；
对于B，令，，得，所以，
令可得，所以，故B正确；
对于C，令，由得，
又因为函数的定义域为，所以为奇函数，所以C正确；
对于D，令，，得，所以，所以D错误.
【例6-5】（24-25高三下·广东·开学考试）已知定义域为的函数满足对，都有，则__________.
【答案】0
【难度】0.65
【知识点】求函数值、抽象函数的奇偶性
【分析】令求得，再令，求得，从而可得答案.
【详解】令，得，
令，得，
所以，又，
所以，所以.
故答案为：0.
变式训练
1.（2026·山东·模拟预测）已知定义在上的函数满足：为奇函数，且，则（ ）
A．-2 B．0 C．1 D．2
【答案】A
【难度】0.82
【知识点】函数奇偶性的应用、抽象函数的奇偶性
【分析】由为奇函数，得，令即可求解．
【详解】由为奇函数，得，
令，得，得，由，
得．
2.（24-25高三上·宁夏石嘴山·阶段检测）若函数是定义在上的奇函数，函数是偶函数，则（ ）
A．2 B．0 C．60 D．62
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】函数奇偶性的应用、抽象函数的奇偶性
【分析】根据题意，可得，又，令，得解.
【详解】因为函数是R上的奇函数，所以，
又函数是偶函数，则，令，.
故选：B.
3.（24-25高三上·山东济宁·期中）已知函数的定义域为，满足，则下列说法正确的是（ ）
A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是偶函数
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】抽象函数的奇偶性
【分析】根据抽象函数，利用奇偶函数的性质直接判断即可.
【详解】因为，
所以令，可得，
令，则，
所以，则既不是奇函数又不是偶函数，
且，所以是奇函数.
故选：C
4.(多选)（2026·广西河池·三模）已知定义在上的函数满足，且为偶函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数为奇函数 B．函数为奇函数 C．函数是偶函数 D．函数是偶函数
【答案】BCD
【难度】0.65
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、抽象函数的奇偶性
【分析】结合函数奇偶性的定义逐项分析判断即可.
【详解】由为偶函数，得，即，
由及，得.
令，则，所以，
又，所以，即.
所以，因此是偶函数，故A错误，C正确.
由，得，
又是偶函数，所以，
所以，故为奇函数，故B正确.
由，得，又是偶函数，所以，
所以，即是偶函数，故D正确.
5.（2025·重庆·模拟预测）已知定义在上的奇函数满足，则_______.
【答案】2026
【难度】0.65
【知识点】抽象函数的奇偶性
【分析】法一：由题意利用列举法写出函数值，整理等式可得递推公式，根据累加法，可得答案；
法二：由题意利用列举法写出函数值，设出函数解析式，利用等式检验，可得答案.
【详解】法一：由函数是上的奇函数，则，
由，令，则；
则，
由
.
法二：由函数是上的奇函数，则，
由，令，则；
由，令，则；
猜想，则，，即，符合题意，
所以；故答案为：.
题型7 奇偶性与单调性结合解不等式
【例7-1】（2026·吉林长春·模拟预测）已知是定义域为的奇函数，的部分图象如图所示，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】函数图象的应用、函数奇偶性的应用、由函数奇偶性解不等式
【分析】根据奇函数的性质，补全函数图象，结合图象，可得答案．
【详解】因为是奇函数，所以在上的图象关于坐标原点对称，
因此由在上的图象，可得它在上的图象如图所示，
故当时，，，
当时，，，
当时，，，
当时，，，
当时，，，
因此不等式的解集为．
【例7-2】（26-27高三上·安徽·阶段检测）定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】根据函数的单调性解不等式、函数基本性质综合应用、由函数奇偶性解不等式
【分析】由题意可得在上单调递减，在上是减函数，且，再讨论和，可得不等式的解集.
【详解】由定义在上的奇函数在上单调递减，可得在上是减函数；
又，
不等式，等价为或，
所以时，即有，解得；
时，即有，解得；
综上可得的解集为.
【例7-3】（25-26高一上·河北邢台·期中）已知是定义在上的偶函数，对任意的，当时，恒成立，若，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【难度】0.4
【知识点】根据函数的单调性解不等式、由奇偶性求函数解析式、由函数奇偶性解不等式
【分析】根据题意求出，接着由题设得到，令，得到为偶函数，且在上递增，在上单减，结合，把不等式转化为，得到不等式组，即可求解.
【详解】因为是定义在上的偶函数，所以，解得，
，且，则，
又因为，所以，
所以，则，
令，则，故在上单调递增，
因为为上的偶函数，所以为上的偶函数，
所以在上单调递增，在上单调递减，
又因为，所以，即为，
即，则或，解得或，
所以不等式的解集为.
故选：C.
【例7-4】(多选)（24-25高三上·河南·阶段检测）已知函数是定义在上的奇函数，则（ ）
A． B．函数为奇函数 C．函数为偶函数
D．当时，若，则不等式的解集为
【答案】AB
【难度】0.65
【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式、函数奇偶性的定义与判断
【分析】由奇函数定义即可求解以及判断函数和奇偶性判断ABC；由单调性定义和奇偶性得，解该不等式即可得解判断D.
【详解】对于A选项，因为函数为奇函数，所以，
所以即，故，故A选项正确；
对于B选项，函数定义域为，所以函数定义域为，
又，故函数为奇函数，故B选项正确；
对于C选项，由题，又由函数为奇函数，可得函数为奇函数，
故C选项错误；
对于D选项，由题设可知函数单调递增，不等式可化为，
所以有，解得，故D选项错误.
故选：AB.
【例7-5】（26-27高三上·宁夏银川·阶段检测）偶函数 在区间 上单调递减，，则不等式 的解集为 ________.
【答案】
【难度】0.65
【知识点】根据函数的单调性解不等式、函数奇偶性的应用、由函数奇偶性解不等式
【分析】先根据偶函数的对称性确定在上的单调性和，再将乘积不等式拆分为两个同号的不等式组分类求解.
【详解】 因为是偶函数，在上单调递减，根据偶函数的性质，在上单调递增，
且.
不等式等价于两个因式同号，分两种情况讨论：
当时，即，解得；
当时，即，解得.
综上所述，不等式的解集为.
变式训练
1.（26-27高三上·重庆渝中·阶段检测）已知定义在上的偶函数在区间上单调递增，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】根据函数的单调性解不等式、函数奇偶性的应用、解不含参数的一元二次不等式、由函数奇偶性解不等式
【详解】因为为偶函数，且在上单调递增，
所以，解得，
故选B.
2.（26-27高三上·江苏扬州·阶段检测）定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】根据函数的单调性解不等式、函数奇偶性的应用、分式不等式、由函数奇偶性解不等式
【分析】利用题意可得当时，；当时，；进而分类讨论可解不等式.
【详解】由是定义在上的奇函数，在上单调递增，且，
可知，当时，；
当时，；
由，得或，解得或，
所以不等式的解集为.
3.（25-26高一上·山东青岛·期中）设是定义在上的奇函数，对任意的满足且，则不等式的解集为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【难度】0.4
【知识点】根据函数的单调性解不等式、函数奇偶性的应用、由函数奇偶性解不等式、函数奇偶性的定义与判断
【分析】根据题意可设，结合的奇偶性判断的奇偶性，再结合题设判断的单调情况，进而结合不等式，讨论的正负，结合的单调性，分类求解，即可得答案.
【详解】由题意可设，因为是定义在上的奇函数，
则，所以是定义在上的偶函数.
对任意，满足，即，，即，
即函数在上单调递减，
又是偶函数，故在上单调递增，且，
当时，，即，即，；
当时，，即，即，，
综上，不等式的解集为.
故选：C.
4.(多选)（24-25高三上·四川自贡·期中）定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围有（ ）.
A． B． C． D．
【答案】BC
【难度】0.65
【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式
【分析】由题意可得在是减函数，再通过讨论和，可得不等式的解集.
【详解】由题意可得在上单调递减，在上是减函数，且.
由定义在上的奇函数在上单调递减，可得在上是减函数；
又，
不等式，等价为或，
所以时，即有，解得；
时，即有，解得；
综上可得的解集为.
故选：BC.
5.（26-27高三上·天津河东·阶段检测）函数是定义在上的奇函数，且在上单调递增，满足不等式的的取值范围是__________．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式
【分析】由函数的奇偶性将不等式化为，再利用单调性即可求解．
【详解】由函数是定义在上的奇函数，
又在上单调递增，
由，得，得，
得，解得，
故的取值范围是．
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2027届高考数学一轮复习 3-3 函数的奇偶性 讲义
新高考全国卷考情解读
考点
新高考Ⅰ卷、新高考Ⅱ卷五年考情(2022-2026)
命题解读
判断奇偶性
判断函数的奇偶性、奇偶性与图象。
已知奇偶性求参数值或函数值；
由奇偶性求参数或函数值
2026新Ⅱ卷T8、2025新Ⅰ卷T5、2025新Ⅱ卷T10、
2023新Ⅰ卷T11、2025新Ⅱ卷T4、
知识梳理
新高考五年真题剖析
1.(2026新Ⅱ卷T8)已知是定义域为R的偶函数，，且当时，，则（ ）
A．， B．， C．， D．，
2.(2025新Ⅰ卷T5)设是定义在R上且周期为2的偶函数，当时，，则( )
A． B． C． D．
3.(2025新Ⅱ卷T10)(多选)已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则( )
A． B．当时，
C．当且仅当 D．是的极大值点
4.(2023新Ⅰ卷T11)(多选)已知函数的定义域为，，则( )．
A． B． C．是偶函数 D．为的极小值点
5.(2023新Ⅱ卷T4)若f(x)＝(x＋a)·ln 为偶函数，则a等于( )
A．－1 B．0 C. D．1
重点题型分析
题型1 判断函数奇偶性
【例1-1】（26-27高三上·天津·期中）设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数
【例1-2】（2026·广东广州·二模）函数是奇函数的充要条件是（ ）
A． B． C． D．
【例1-3】（26-27高三上·北京·开学考试）已知函数的定义域为，则“，，当时，都有”是“为奇函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【例1-4】(多选)（25-26高一上·广东广州·阶段检测）下列函数是偶函数的有（ ）
A． B． C． D．
【例1-5】（2026·四川遂宁·一模）已知函数，若函数为偶函数，则________．
变式训练
1.（26-27高三上·上海徐汇·开学考试）函数在定义域上是（ ）
A．严格增的奇函数 B．严格增的偶函数 C．严格减的奇函数 D．严格减的偶函数
2.（2026·重庆万州·三模）若分别为定义在上的奇函数、偶函数，则的解析式可以为（ ）
A． B． C． D．
3.（2026·江西南昌·一模）已知函数，若函数为偶函数，则（ ）
A．， B．， C．， D．，
4.(多选)（2025·湖南·模拟预测）若函数的定义域都为，且为奇函数，为偶函数，则（ ）
A．是偶函数 B．是偶函数 C．是奇函数 D．是奇函数
5.（26-27高三上·广东·阶段检测）已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，则__________．
题型2 利用奇偶性判断函数图象
【例2-1】（25-26高三上·江西·阶段检测）已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（ ）
A． B． C． D．
【例2-2】（25-26高三上·云南曲靖·期中）函数的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
【例2-3】（26-27高三上·河北廊坊·阶段检测）函数的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【例2-4】（25-26高三下·天津·阶段检测）函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（ ）
A． B． C． D．
【例2-5】(多选)（25-26高三·全国·一轮复习）已知图甲中的图象对应的函数，则图乙中的图象对应的函数可能是（ ）
A． B． C． D．
变式训练
1.（25-26高二下·浙江宁波·期中）函数的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
2.（2026·甘肃兰州·模拟预测）函数的大致图象为（ ）
A． B． C． D．
3.（25-26高三上·北京海淀·期中）函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
4.（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可以是（ ）
A． B． C．－1 D．
5.（26-27高三上·山东临沂·阶段检测）函数在区间上的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
题型3 由奇偶性求参数
【例3-1】（2026·湖南湘潭·三模）已知是定义在上的奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
【例3-2】（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知函数为奇函数，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【例3-3】（26-27高三上·湖北·阶段检测）已知函数是定义域为的奇函数，且为偶函数，，当时， ，则（ ）
A．， B．， C．， D．，
【例3-4】(多选)（2025·四川成都·模拟预测）已知函数，下列说法正确的有（ ）
A．存在实数a，使得成立 B．若为奇函数，则
C．若在上单调递增，则 D．若方程有两个不等实根，则
【例3-5】（26-27高三上·江西·阶段检测）若函数为奇函数，则___________.
变式训练
1.（2026·湖北·模拟预测）若为奇函数，则的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．或1
2.（25-26高三上·河北衡水·期末）已知函数是奇函数，则（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
3.（26-27高三上·江苏常州·开学考试）已知函数 是奇函数，若，则实数的值为（ ）
A．1 B． C． D．0
4.(多选)（2025·河北·一模）已知函数下列命题正确的是（ ）
A．若是奇函数，则 B．若是奇函数，则
C．若是减函数，则的取值范围为 D．若是减函数，则的取值范围为
5.（26-27高三上·江西·阶段检测）已知是偶函数，则实数的值为__________．
题型4 由奇偶性求解析式
【例4-1】（25-26高三下·河南新乡·阶段检测）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则当时，（ ）
A． B． C． D．
【例4-2】（25-26高三上·江苏南通·开学考试）已知是奇函数，且当时，，则时，（ ）
A． B． C． D．
【例4-3】（2025·广东·模拟预测）已知是定义域为R的奇函数，当时，，则当时，的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【例4-4】(多选)（26-27高三上·宁夏石嘴山·阶段检测）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．在上单调递增 B．的图象关于原点对称
C． D．当时，
【例4-5】（26-27高三上·上海普陀·开学考试）已知是定义在上的奇函数，若当时，，则________．
变式训练
1.（25-26高一上·浙江杭州·期中）若函数是奇函数，且当时，，则当时，的解析式为（ ）
A． B． C． D．
2.（26-27高三上·广西南宁·开学考试）已知是奇函数，则的单调递增区间为（ ）
A．， B．， C．， D．，
3.(多选)（24-25高三上·安徽亳州·阶段检测）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．当时，
C．函数的单调递减区间为和 D．不等式的解集为
4.（2026·重庆永川·模拟预测）已知是定义在上的奇函数，当时，.则当时，______.
5.（26-27高三上·山东·期中）设函数的定义域为，若为奇函数，为偶函数，则____________.
题型5 由奇偶性求函数值
【例5-1】（25-26高三上·江苏盐城·阶段检测）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则（ ）
A．1 B．3 C． D．
【例5-2】（2026·辽宁抚顺·模拟预测）已知函数，是偶函数，则（ ）
A． B． C．2 D．4
【例5-3】（2025·河北·模拟预测）已知偶函数的定义域为，且当时，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【例5-4】(多选)（25-26高一上·广东佛山·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则（ ）
A． B．的值域为
C．当时， D．的解集为
【例5-5】（26-27高三上·山西·阶段检测）若是偶函数，则__________．（用数字作答）
变式训练
1.（2026·河北雄安·模拟预测）已知函数为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
2.（2026·湖南株洲·一模）已知是奇函数，是偶函数，其定义域均为，且，则（ ）
A．0 B．2 C． D．1
3.（25-26高一下·四川泸州·期末）已知为奇函数，且当时，，则（ ）
A． B． C． D．
4.（25-26高三上·山东潍坊·期中）已知是定义域为的奇函数，若时，，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
5.(多选)（26-27高三上·湖南·阶段检测）若为上的奇函数，为上的偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
题型6 抽象函数的奇偶性
【例6-1】（2026·江苏南京·三模）已知定义在上的非常数函数满足：对于任意都有：，.下列选项正确的是（ ）
A．是奇函数 B．是偶函数 C． D．
【例6-2】（2025·河南·模拟预测）已知是定义在上的奇函数，且对任意，都有，则（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
【例6-3】（25-26高二下·上海·期末）已知奇函数的定义域为，且对任何实数，都有，则可以是（ ）．
A．4 B．2 C．1 D．
【例6-4】(多选)（26-27高三上·吉林长春·阶段检测）已知定义域为的函数满足，且，则下列命题正确的是（ ）
A． B． C．是奇函数 D．
【例6-5】（24-25高三下·广东·开学考试）已知定义域为的函数满足对，都有，则__________.
变式训练
1.（2026·山东·模拟预测）已知定义在上的函数满足：为奇函数，且，则（ ）
A．-2 B．0 C．1 D．2
2.（24-25高三上·宁夏石嘴山·阶段检测）若函数是定义在上的奇函数，函数是偶函数，则（ ）
A．2 B．0 C．60 D．62
3.（24-25高三上·山东济宁·期中）已知函数的定义域为，满足，则下列说法正确的是（ ）
A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是偶函数
4.(多选)（2026·广西河池·三模）已知定义在上的函数满足，且为偶函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数为奇函数 B．函数为奇函数 C．函数是偶函数 D．函数是偶函数
5.（2025·重庆·模拟预测）已知定义在上的奇函数满足，则_______.
题型7 奇偶性与单调性结合解不等式
【例7-1】（2026·吉林长春·模拟预测）已知是定义域为的奇函数，的部分图象如图所示，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【例7-2】（26-27高三上·安徽·阶段检测）定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【例7-3】（25-26高一上·河北邢台·期中）已知是定义在上的偶函数，对任意的，当时，恒成立，若，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【例7-4】(多选)（24-25高三上·河南·阶段检测）已知函数是定义在上的奇函数，则（ ）
A． B．函数为奇函数 C．函数为偶函数
D．当时，若，则不等式的解集为
【例7-5】（26-27高三上·宁夏银川·阶段检测）偶函数 在区间 上单调递减，，则不等式 的解集为 ________.
变式训练
1.（26-27高三上·重庆渝中·阶段检测）已知定义在上的偶函数在区间上单调递增，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
2.（26-27高三上·江苏扬州·阶段检测）定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
3.（25-26高一上·山东青岛·期中）设是定义在上的奇函数，对任意的满足且，则不等式的解集为（ ）.
A． B． C． D．
4.(多选)（24-25高三上·四川自贡·期中）定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围有（ ）.
A． B． C． D．
5.（26-27高三上·天津河东·阶段检测）函数是定义在上的奇函数，且在上单调递增，满足不等式的的取值范围是__________．
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