07函数的奇偶性、周期性和对称性题型讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦函数奇偶性、周期性和对称性三大核心考点，按定义梳理、结论拓展、性质应用的逻辑层次构建知识体系，通过考点解析、方法归纳、题型突破、分层训练四个环节，帮助学生系统掌握概念本质及内在联系，突破高考高频难点。 讲义采用定义辨析与图像直观结合的教学策略，如通过对比奇偶函数图像特征培养学生数学眼光，设计“性质应用—综合交汇—创新拓展”三级训练体系，配合详细解析强化数学思维。分层练习精准对接高考难度，助力教师高效把控复习节奏，提升学生解题能力与应试技巧。

函数的奇偶性、周期性和对称性 一、知识梳理 1. 函数的奇偶性 奇偶性 满足的充要条件 图象特征 奇函数 设函数 的定义域为 ,如果 ,都有 ,且 关于原点对称 偶函数 设函数 的定义域为 ,如果 ,都有 ,且 关于 轴对称. 2. 常用结论 1. 函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件. 2. 若 ，则奇(偶)函数定义的等价形式如下: (1) 为奇函数 (2) 为偶函数 3. 如果一个奇函数 在 处有定义,那么一定有 4. 如果函数 是偶函数,那么 . 5. 奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性; 偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性. 6. 若 是奇函数,则 ; 若 是偶函数,则 . 3.函数的周期性 1. 周期函数的定义: 一般地,设函数 的定义域为 ,如果存在一个非零常数 ,使得对每一个 都有 ,且 , 那么函数 就叫做周期函数. 非零常数 叫做这个函数的周期. 2. 最小正周期的定义: 如果在周期函数 的所有周期中存在一个最小正数，那么这个正数就叫做 的最小正周期. 提醒 并非所有周期函数都有最小正周期. 4. 知识拓展 关于函数周期性的几个常见结论 1. 若 ,则 的周期是 . 2. 若 或 ,其中 ,则 的周期是 . 5. 考点 3 函数的对称性 6. 函数的图象自对称性 (1)函数 ，若其图象关于直线 对称 ，则 (2)函数 ，若其图象关于点 中心对称 ，则 . (3)函数 ，若其图象关于点 中心对称,则 7. 两个函数的图象互相对称性 (1)若函数 与 的图象关于直线 对称,则 . (2)若函数 与 的图象关于点 对称,则 . 8. 知识拓展 1. 关于函数图象的对称中心或对称轴的常用结论: (1)若函数 满足关系 ，则函数 的图象关于直线 对称； (2)若函数 满足关系 ，则函数 的图象关于点 对称； (3)若函数 满足关系 ，则函数 的图象关于点 对称. 2. 对称性与周期性之间的常用结论: (1)若函数 的图象关于直线 和 对称,则函数 的周期 ； (2)若函数 的图象关于点 和点 对称， 则函数 的周期 ； (3)若函数 的图象关于直线 和点 对称,则函数 的周期 . 9. 判断函数奇偶性的方法 (1)定义法: (2)图象法: (3)性质法: 在公共定义域内有: 奇 奇 奇,偶 偶 偶, 奇 奇 偶,偶 偶 偶,奇 偶 奇. 10.常见具有奇偶性的函数类型 1. 常见的奇函数: (1)函数 或函数 ; (2)函数 ； (3)函数 或函数 (4)函数 . 2. 常见的偶函数:函数 . (以上各式中 ,且 ) 11. 函数奇偶性应用的两个方向 1. 求函数值或函数解析式:将所求值或解析式对应的自变量利用奇偶性转化到已知解析式的区间，构造方程 (组). 2. 求参数:由定义或定义的等价关系式 (奇函数) 与 (偶函数) 得到恒等式,再利用系数相等构造方程(组). 12. 技巧点拨 利用函数奇偶性求解不等式需注意: 1. 奇函数在原点两侧的单调性相同, 若在定义域上连续则在定义域上单调；若在定义域上不连续，结合函数零点运用图象解不等式. 2. 偶函数的常见示意图. 如左图,由 可得 ; 如右图,由 可得 . 二、练习题 1. 判断正误.(对的打“√”，错的打“✗”) (1)对于函数 ，若存在 ，使得 ,则 是奇函数. ( ) (2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点. ( ) (3)若 是函数 的一个周期，则 也是函数 的周期. ( ) (4)若函数 满足 ，则函数 的图象关于点 对称.( ) 2. (易错题) 已知 是定义在 上的偶函数，那么 的值是___. 3. 已知 是定义域为 R 的奇函数,当 时, ，则 的值为___. 4. 已知函数 是定义在 上的奇函数，且 ,且当 时, ,则 ___. 题型一 函数奇偶性的判断 5. (多选)下列函数中, 是奇函数的是 ( ) A. B. C. D. 6. 已知函数 ,则下列结论正确的是 ( ) A. 是偶函数，且单调递增区间是 B. 是偶函数，且单调递减区间是 C. 是奇函数，且单调递减区间是 D. 是奇函数，且单调递增区间是 7. 已知 为定义在 上的偶函数,则 的解析式可以为 ( ) A. B. C. D. 题型二 函数奇偶性的应用 角度 1 利用奇偶性求值 (或解析式) 8. 若 是奇函数，则 ___， ___ 9. 函数 是定义在 上的奇函数. 若 时， ，则 等于( ) A. 8 B. 4 C. -8 D. 0 10. 已知定义在 上的函数 对任意的实数 都有 ,则 ( ) A. 2025 B. -2025 C. 0 D. 1 角度 2 利用奇偶性解不等式 11.已知函数 ,若 ,则实数 的取值范围() A. B. C. D. 12. 是定义在 上的奇函数,当 时, ,则不等式 的解集为 ( ) A. B. C. D. 13. 已知函数 的定义域为 是偶函数,当 时, ,则不等式 的解集为___. 题型三 函数周期性与奇偶性的综合 14. (多选)已知定义在 上的奇函数 满足 ，且 在 上单调递增，则 ( ) A. 的图象关于点 中心对称 B. 是周期函数 C. 在 上单调递减 D. 15. 定义在 上的函数 满足 ,且当 时, . 若当 时, ,则 ( ) A. B. C. D. 题型四 函数对称性的应用 16. (多选) 已知函数 的定义域为 ,对任意 ，都有 ，且 ,则下列结论正确的是 ( ) A. 的图象关于直线 对称 B. 的图象关于点 对称 C. 4 为 的一个周期 D. 为偶函数 17. 我们知道，函数 的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数 为奇函数，有同学发现可以将其推广为:函数 的图象关于点 成中心对称的充要条件是函数 为奇函数. 根据这一结论,可以求出函数 的图象的对称中心是___. 考点 1 函数的奇偶性 18. 下列函数是偶函数的为 ( ) A. B. C. D. 19. 已知 是偶函数,则 ( ) A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 20. 若 为偶函数，则 ( ) A. -1 B. 0 C. D. 1 21. 设函数 ， 则下列函数中为奇函数的是 ( ) A. B. C. D. 22. 设函数 的定义域为 ,且 为偶函数, 为奇函数, 则 ( ) A. B. C. D. 23. (多选) 已知函数 的定义域为 ,则 ( ) A. B. C. 是偶函数 D. 为 的极小值点 24. 若 为偶函数，则 ___. 25. 已知函数 是偶函数，则 ___. 考点 2 函数的周期性 26. 设 是定义域为 的奇函数,且 . 若 ,则 ( ) A. B. C. D. 27. 设函数 的定义域为 为奇函数， 为偶函数,当 时, . 若 ,则 ( ) A. B. C. D. 28. 已知函数 的定义域为 ，且 ， ,则 ( ) A. -3 B. -2 C. 0 D. 1 考点 3 函数的对称性 29. (多选) 已知函数 及其导函数 的定义域均为 ,记 . 若 均为偶函数, 则 ( ) A. B. C. D. 基础强化练 30. 在下列函数中,值域为 的偶函数是 ( ) A. B. C. D. 31. 已知函数 为偶函数，则 ( ) A. -2 B. -1 C. 0 D. 2 32. 下列函数的图象不存在对称中心的是 ( ) A. B. C. D. 33. 函数 是奇函数且在 上单调递增, 则 的取值集合为 ( ) A. B. C. D. 34. 已知函数 的定义域为 ,且 ,函数 的图象关于直线 对称,则 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 35. 已知函数 为奇函数， 为偶函数，且当 时， ,则 ( ) A. 2 B. -2 C. 1 D. -1 36. (多选)下列函数为奇函数的是 ( ) A. B. C. D. 37. (多选) 已知函数 满足 ，则() A. B. C. 是偶函数 D. 是奇函数 38. 已知函数 ,且 ,则 的值为___. 39. 已知函数 的值域为 ,则 ___. 40. 已知函数 (1)求 的解析式； (2)判断函数 的奇偶性,并说明理由; (3)求 的值. 能力拔高练 41. 已知函数 为奇函数，则 ( ) A. B. 2 C. D. 3 42. 定义在 上的奇函数 满足 ,当 时, ，则 ( ) A. -2 023 B. -1 C. 1 D. 43. 在同一直角坐标系内,存在一条直线 ,使得函数 与函数 的图象关于直线 对称,就称函数 是函数 的“轴对称函数”. 已知函数 ( 是自然对数的底数),则下列函数不是函数 的 “轴对称函数” 的是 ( ) A. B. C. D. 44. 已知 是奇函数, 是偶函数,且 ,则 的最小值是 ( ) A. 2 B. C. 4 D. 45. 已知函数 的定义域为 ,满足 是奇函数,且 ,若 ,则 ( ) A. -100 B. -3 C. 3 D. 2025 46. 已知函数 ,若不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是( ) A. B. C. D. 47. (多选)已知函数 的定义域为 ,当 时, ,且当 时, ,则下列结论中一定正确的是 ( ) A. B. C. D. 48. (多选) 已知函数 对任意 都有 ,若函数 的图象关于直线 对称,且 ,当 时,都有 ,则下列结论正确的是 ( ) A. B. 是奇函数 C. 是周期为 4 的周期函数 D. 创新风向 49. (概念深度理解) (多选) 定义:若存在非零常数 ， ，使得函数 满足 对定义域内的任意实数 恒成立，则称函数 为“ 距周期函数”，其中 称为函数的“类周期”. 则 ( ) A. 一次函数均为 “ 距周期函数” B. 存在某些二次函数为 “ 距周期函数” C. 若 “ 1 距周期函数” 的 “类周期” 为 1，且 ,则 D. 若 是周期为 2 的函数,且函数 在 上的值域为 ,则函数 在区间 上的值域为 参考答案与解析 1. (1) (2) (3) (4) 2. 3. 4. 5. 选 ACD. ,故 为奇函数, 符合题意; 对于 ,令 ,定义域为 , 不是奇函数, 不符合题意; 对于 ,令 ,定义域为 ,关于原点对称, 为奇函数，C 符合题意； 对于 ,令 ,由 ,解得 ,即函数的定义域为 ,关于原点对称, 为奇函数, D 符合题意. 故选 ACD. 6. 选 C. 7. 选 A. C, D 选项中的函数都不是奇函数. 故选 A. 8. 填 解析 解法一: 利用奇函数的定义求参 ,且 , 又 函数 为奇函数, , 恒成立, 因此有 ,则 ,解得 , , . 解法二: 是奇函数, 的定义域关于原点对称. 由已知得 , 即当 时, , , 此时 , 为奇函数且在 处有意义, ,即 , ,此时 ,满足题意. 综上可知, . 9. 选 C. 是定义在 上的奇函数, . 故选 C. 10. 选 C. 令 ,可得 ,即 , 令 ,则 , 则 . 故选 C. 11. 选 B. 则 ,所以 为奇函数,则 的图象关于原点对称，所以 的图象关于点 对称， 则 , 因为 在定义域 上单调递减, 在定义域 上单调递增, 所以 在定义域 上单调递减,(减 增 减) 则不等式 ,即 , 所以 ,则 , 解得 ,即实数 的取值范围是 . 故选 B. 12. 选 B. 当 时, ,且 , 时,由 得 ,由 得 , 时,由 得 ,由 得 由 得 或 当 时,无解,当 时, ,故选 B. 13. 填 解析 因为函数 的定义域为 是偶函数,所以 ,即 ,所以 的图象关于直线 对称. 因为当 时， ， 因此 在 上单调递减，故 在 上单调递增. 因为 ,所以 ,即 ,即 ,可得 ,解得 或 , 故不等式 的解集为 . 14. 选 BC. 所以 . 因为 ,所以 , 则 ,即 , 则 ,故 是以 4 为周期的函数. 因为 ,所以 的图象关于直线 对称. (若函数 满足 ,则 的图象关于直线 对称) 因为 是 上的奇函数,且在 上单调递增,所以 在 上单调递增 (奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同), 又 的图象关于直线 对称，所以 在 上单调递减, 的图象关于点 中心对称 (可结合图象观察),故 . 易知 ,则 , 由 得 . 故 , 则 15. 选 B. 当 时, ; ...... 可得在区间 上, . (提示:根据在前两个区间上的解析式,总结在区间 上的解析式) 作函数 的图象,如图所示, 当 时, ,当 时, ,(从 这个区间开始, 后边所有区间上的最大值都比 小, 当 时,由 ,得 ,所以当 时, 恒成立, 所以 的最小值为 . 故选 B. 16. 选 ACD. 由 知 是偶函数,又 , 所以 为偶函数,故选项 D 正确. 故选 ACD. 17. 填 解析 设 的图象的对称中心是 ,则函数 为奇函数,所以 恒成立,故 恒成立,所以 恒成立,整理得 恒成立,则 ,所以 ,故 的图象的对称中心是 . 速解 由 得 ,因此 ,令 ,得 ,又 ,故 的图象的对称中心是 . 18. 选 B. 对于 ,令 ,函数定义域为 , ,则 为偶函数,故 符合题意; 对于 ,令 ,易知函数定义域不关于原点对称,则 不是偶函数,故 不符合题意; 对于 ,令 ,函数定义域为 , ,则 ,故 不符合题意. 故选 B. 19. 选 D. 解法二: 的定义域为 . 由 为偶函数知 , 即 ,即 , 化简得 ,所以 . 速解 的定义域为 ,因为 是偶函数, 是奇函数,所以 是奇函数 (奇 奇 偶),则 . 20. 选 B. 21. 选 B. 22. 选 B. 即函数 的图象关于直线 对称, 又因为函数 为奇函数,所以 , 令 ,则 , 故函数 的图象关于点 对称, 又因为函数 为奇函数,且 的定义域为 , 所以 ,即 , 所以 ,其他三个选项无法得出结果. 23. 选 ABC. 取特殊函数 ,满足 ,此时 不是 的极小值点,故 D 错误,故选 ABC. 24. 填 2 解析 由题意知 的定义域为 函数 是偶函数, . 25. 填 1 解析 为偶函数, . 当 时, ,定义域为 ,且满足 , 即 为偶函数. 26. 选 C. 27. 选 D. 从而 ,即 , 所以 ,即 .① 又由题知 为奇函数, ,所以 ,即 . ② 由①②得 从而 . 所以 . 故选 D. 28. 选 A. 令 ,得 ,故 , 令 ,得 ; 令 ,得 ; 令 ,得 ; 令 ,得 ; 令 ,得 . 故 , 所以 . 故选 A. 29. 选 BC. 故 ,两边同时求导得 ,即 , 所以 的图象关于直线 对称,且关于点 中心对称,从而可得 的周期为 ,由 可得 ,即 , 所以 ,故 正确. ,故 D 不正确. 由导函数与原函数的关系知函数 的周期为 2, 的图象关于直线 对称,关于点 对称,若 ,则 ,若 ,则 ,故 A 不正确. 由 的图象关于直线 对称,得 ,故 C 正确. 30. 选 B. 由对数函数性质知其值域为 ,符合题意; 对于 ,当且仅当 时取等号,因此函数值域不是 ,不符合题意; 对于 ,令 的定义域为 , ,因此 是奇函数,不符合题意. 故选 B. 31. 选 A. 若 为偶函数,则 在定义域内恒成立, 则有 在定义域内恒成立, 必有 在定义域内恒成立, 即 ,必有 . 故选 A. 小题巧解 的定义域为 ,根据 是偶函数得 . (定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提) 32. 选 D. 对于 ,其图象可由 的图象向右平移 1 个单位长度得到,因为 是奇函数,所以其图象关于 对称,则 的图象关于 对称,不符合题意. 对于 ,函数定义域为 ,易证 是奇函数,故其图象关于 对称,不符合题意. 对于 的定义域为 ,易证 是偶函数,其图象关于 轴对称,符合题意. 故选 D. 33. 选 C. 34. 选 B. 所以令 或 解得 . 故选 B. 35. 选 A. 函数 为偶函数, , 即函数 的图象关于直线 对称. 当 时, , . 故选 A. 36. 选 ABD. 对于 的定义域为 或 ,关于原点对称,且 所以 为奇函数，因此 符合题意； 对于 的定义域为 ，关于原点对称，且 ,所以 为偶函数,因此 不符合题意; 对于 的定义域为 ,关于原点对称, ,所以 为奇函数,因此 符合题意. 故选 ABD. 37. 选 AC. 若 ,则 不恒成立,则必有 正确; 在 中,由 ,得 ,则 2, B 错误; 的定义域为 ,且 ,则 为偶函数, 正确, 错误. 故选 AC. 38. 填 -10 解析 设 ,则 是奇函数,且 , (解题要点: 利用 ,由 求 ,利用 是奇函数由 求 由 ,得 , 因此 ,从而 . 39. 填 2 解析 令 的定义域关于原点对称,且 , 所以 为奇函数,则 , 又 ,则 , 即 . 40. (1) 因为 , 所以 . (2) 是偶函数. 理由如下:函数 的定义域为 ,关于原点对称,且 因此 ,即 为偶函数. (3) ，由(2)可得 是奇函数， 因此 ， 所以 . 名师点睛 41. 选 D. 小题速解 由函数 是奇函数且定义域为 知: 0,即 ,因此 ,即 ,则 ,故选 D. 42. 选 B. 令 ,则 , 又 为奇函数,所以 ,所以 , , 所以 . 故选 B. 43. 选 C. 对于选项 ,由 ,可知 与 的图象关于直线 对称,不合题意; 对于选项 ,因为 与 的图象关于原点对称,所以 不是 的轴对称函数,符合题意; 对于选项 与 的图象关于直线 对称,不合题意. 故选 C. 44. 选 B. 为奇函数, 为偶函数, ②, ① +② 得 ， ， ①-②得 ， ， , 当且仅当 ,即 时,等号成立, 的最小值为 ,故选 B. 45. 选 C. ,即 , 因为 ,则 , 所以 ,即 , 故 ,所以函数 的周期为 4, 在 中,令 ,则 , 令 ,则 , 又 ,所以 , 所以 . 故选 C. 46. 选 D. 当 时, 是增函数,对于 ,任取 ,且 ,则 , 因为 ,所以 ,所以 , 所以 在 上是增函数,即 在 上是增函数 (增+增为增). 所以不等式 对任意 恒成立转化为 ,即 ,从而转化为 和 在 上恒成立. ①若 在 上恒成立，则 ，解得 ； ②若 在 上恒成立，则 ，解得 . 综上所述，实数 的取值范围是 . 故选 D. 47. 选 BC. 则 , A 错误; , B 正确; , C 正确; , D 错误. 故选 BC. 48. 选 AC. 在 中,令 ,得 ,又因为 ,所以 ,解得 , 正确. 又 且 ,所以有 ,则 是周期为 4 的周期函数, C 正确. ,当 时,都有 , 则 在 上单调递增,又 是周期为 4 的周期函数,且 是偶函数,故 ,因为 ,所以 不正确. 故选 AC. 49. 选 AD. 选项 B,设二次函数为 ,则对非零常数 , 若 是 “ 距周期函数”,则 ,则 ,不满足题意, 错误; 选项 C,设 则 是 “ 1 距周期函数”,且类周期为 1, , 错误; 选项 D,设 ,则 ,即 , 则 , D 正确. 故选 AD. 学科网（北京）股份有限公司 $